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专题 08 函数与方程
目录
题型一： 函数零点存在性...............................................................................................................2
题型二： 函数零点个数的判断.......................................................................................................3
题型三： 函数零点个数求参数.......................................................................................................4
题型四： 嵌套函数零点问题...........................................................................................................6
题型五： 最大最小值函数与零点问题..........................................................................................8
知识点总结
知识点一、函数的零点
(1)函数零点的定义：使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x
轴有公共点．
知识点二、函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f ( a )· f ( b )<0 ，那么，
函数y＝f (x)在区间 ( a ， b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个c也
就是方程f (x)＝0的解．
知识点三、二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f ( a )· f ( b )<0 的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点
所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫
做二分法．
知识点四、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点 (x 0)，(x 0) (x 0) 无交点
1, 2, 1,
零点个数 2 1 0
【常用结论与知识拓展】
1．若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
例题精讲
题型一：函数零点存在性
【要点讲解】(1)定理法:首先看函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有
f ( a )· f ( b )<0 .若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共点来判断.
【例1】函数 在以下哪个区间内一定存在零点
A． B． C． D．
【变式训练1】函数 在下列区间内一定存在零点的是
A． B． C． D．【变式训练2】函数 的零点所在的区间为
A． B． C． D．
【变式训练3】函数 的零点所在的大致区间是
A． B． C． D．
【变式训练4】函数 的零点所在的区间为
A． B． C． D．
题型二：函数零点个数的判断
【要点讲解】(1)方程法:令 f ( x )=0 ,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.
(2)定理法:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且 f ( a )· f ( b )<0 ,还必须结合函数的
图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法:画出两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,
就有几个不同的零点.
【例2】函数 在区间 ， 上的零点个数是
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练1】函数 的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练2】设函数 的定义域为 ， ， ，当 ，时， ，则函数 在区间 上零点的个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练3】已知定义在 上的函数 满足 ， ，
且当 时， ，则函数 在 ， 上的零点个数为
A．9 B．11 C．13 D．15
【变式训练4】已知函数 的周期为 2，当 ， 时， ．如果
，那么 的零点个数是
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练5】已知函数 ，若函数 ，则函数
的零点个数为
A．1 B．3 C．4 D．5
【变式训练6】已知函数 ，则函数 的零点个数是
A．1 B．0 C．2 D．3
题型三：函数零点个数求参数
【要点讲解】【例3】函数 在区间 上存在零点．则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练1】设 有三个不同的零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练2】已知关于 的方程 有三个不同的实数解，则实数 的取值范围
是
A． B． C． D．
【变式训练3】已知函数 恰有两个零点，则 的取值范围为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【例4】已知函数 有3个零点，则实数 的取值范围是A． ， B． C． D． ，
【变式训练1】已知函数 ，若方程 恰有四
个不等的实数根，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练2】已知函数 ，若函数 有4个零
点，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【变式训练3】已知函数 ， ，若 存在2个零
点，则实数 的取值范围是
A． B． ， C． D． ，题型四：嵌套函数零点问题
【要点讲解】1.求嵌套函数零点中的参数范围可抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的
图象,确定t,t 的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.
1 2
2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
【例5】已 知 函 数 为 自 然 对 数 的 底 数 ， 则 函 数
的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．3
【变式训练1】已知函数 ，若函数 有3个不同
的零点，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【变式训练2】已知函数 ，则函数 的零
点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练3】已 知 函 数 ， 如 果 关 于 的 方 程有四个不等的实数根，则 的取值范围
A． B． ， C． D． ，
【变式训练4】已 知 函 数 ， 关 于 的 方 程
恰有4个零点，则 的取值范围是
A． ， ， B． ， ， C． ，
D． ，
【变式训练5】已知函数 ，若函数 ，
恰有4个零点，则 的取值范围
A． B．
C． D．
【变式训练6】已知函数 ，则函数 零点
个数最多是
A．10 B．12 C．14 D．16【变式训练7】已 知 函 数 为 自 然 对 数 的 底 数 ） ， 则 函 数
的零点个数为
A．3 B．5 C．7 D．9
题型五：最大最小值函数与零点问题
【例6】设 ， 表 示 ， 中 的 较 小 数 ． 若 函 数 ，
至少有3个零点，则实数 的取值范围是
A． ， B． ，
C． ， D．
【变式训练1】设 函数 ， ，若关于 的
方程 有三个不相等的实数解，则实数 的取值范围是 ．
【变式训练2】设 ，若函数 ， 有
且只有三个零点，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．【变式训练3】定义函数 ， ， ，
，若 至少有3个不同的解，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练4】记 设函数 ，若
函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围的是
A． B．
C． D．
【变式训练5】设 ，对任意实数 ，记 ， ．若
有三个零点，则实数 的取值范围是 ．
【变式训练6】设 ，对于任意实数 ，记 ， ，
若方程 至少有3个根，则实数 的最小值为 ．
【变式训练7】已知 ， ，其中 且 ．
（1）若 ， ，求实数 的取值范围；
（2）用 ， 表示 ， 中的最大者，设 ， ，讨论零点个数．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．函数 的零点为
A．4 B．4或5 C．5 D． 或5
2．已知函数 ，若函数 有3个不同的零点，则实数 的取
值范围为
A． B． C． D．
3．函数 的零点所在的区间是
A． B． C． D．
4．函数 的零点所在的区间是
A． B． C． D．
5．已知函数 若函数 有四个不同的零点，则实数 的
取值范围为
A． ， B． ， C． D．6．若函数 有三个零点，则 的取值范围为
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．设函数 ，则
A．在区间 内无零点 B．在区间 内有零点
C．在区间 内无零点 D．在区间 内有零点
8．已知函数 ，方程 有四个不同的实数根，
从小到大依次是 ， ， ， ，则下列说法正确的有
A． B． C． D． 可以取到3
三．填空题（共4小题）
9．已知函数 ，则函数 零点的个数是 ．
10．已知函数 ， ，若函数 与 的图象有4个交点
， ， ， ， ， ， ， ，则
．
11．对于函数 、 ，设 ， ，若存在 、 使得
，则称 与 互为“友好函数”．已知函数 与
互为“友好函数”，则实数 的取值范围是 ．12．已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值
范围是 ．
四．解答题（共3小题）
13．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的值；
（3）求使 的值为整数的实数 的整数值．
14．有一道题“若函数 在区间 内恰有一个零点，求 的取值范
围”，某个同学给出了如下解答：
由 （1） ，解得 ．所以，实数 的取值范围是
．上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答．
15．已知 为 上的奇函数，当 时， ．
（1）作出 的图像，并求 的解析式；
（2）关于 的方程 有三个不同的根，求实数 的取值范围．
