北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A版
3.9.函数模型及应用
考点 函数模型及应用
1.(多选)(2023新课标Ⅰ,10,5分,中)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声
p
音的强弱,定义声压级L =20×lg ,其中常数p (p >0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下
p p 0 0
0
表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽
10 50~60
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10 m处测得实际声压分别为p ,p ,p ,
1 2 3
则 ( )
A.p ≥p B.p >10p
1 2 2 3
C.p =100p D.p ≤100p
3 0 1 2
答案 ACD 对于C,由题意知20×lgp =40,即lgp =2,所以p =100p ,故C正确.
3 3 3 0
p p
0 0
对于A,由题意知 ≥ ,所以20×lgp ≥20×lgp ,所以p ≥p ,故A正确.
L L 1 2 1 2
p 1 p 2 p p
0 0
对于B, =20×lgp ∈[50,60],所以5≤lgp ≤3,
L 2 2
p 2 p 2 p
0 0
所以p ∈[1 5p ,103p ],即p ≤103p =10p ,故B错误.
2 02 0 0 2 0 3
对于D, =20×lgp ∈[60,90],所以3≤lgp ≤9,
L 1 1
p 1 p p 2
0 0
所以 p ∈[103p ,1 9p ],因为 100p ∈[1 9p ,105p ],所以 p ≤100p ,故 D 正确,故选
1 0 02 0 2 02 0 0 1 2
ACD.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A版
2.(2013课标Ⅰ理,11,5分)已知函数f(x)={−x2+2x,x≤0,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(
)
ln(x+1),x>0.
A.(-∞,0] B.(-∞,1]
C.[-2,1] D.[-2,0]
答案 D 由题意作出y=|f(x)|=
{x2−2x(x≤0),
的图象:
ln(x+1)(x>0)
由题意结合图象知,当a>0时,y=ax与y=ln(x+1)在x>0时必有交点,所以a≤0.当x≥0时,|f(x)|≥ax显然成立;当
x<0时,|f(x)|=x2-2x≥ax,则a≥x-2恒成立,又x-2<-2,∴a≥-2.综上,-2≤a≤0,故选D.
评析 本题考查了函数的综合应用,考查了数形结合的能力.借助基本初等函数的图象缩小参数范围是解
题关键.
1
3.(2011课标理,12,5分)函数y= 的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(
1−x
)
A.2 B.4 C.6 D.8
1 −1
答案 D 函数y= = 和y=2sin πx的图象有公共的对称中心(1,0),画出二者图象如图所示,易知
1−x x−1
1
y= 与y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象共有8个交点,不妨设其横坐标为x,x,x,x,x,x,x,x,且
1 2 3 4 5 6 7 8
1−x
x<x<x<x<x<x<x<x,由对称性得x+x=x+x=x+x=x+x=2,∴x+x+x+x+x+x+x+x=8,故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 1 8 2 7 3 6 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8
4.(2011课标文,12,5分)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg
x|的图象的交点共有( )
A.10个 B.9个 C.8个 D.1个
答案 A 在同一平面直角坐标系中分别作出f(x)和y=|lg x|的图象,如图.又lg10=1,由图象知选A.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A版
评析 本题考查函数的图象、周期等相关知识,考查学生作图、用图能力,体现了数形结合思想.
5.(2022北京,7,4分,应用性)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直
冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,
其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 ( )
A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
答案 D 对于A,当T=220,P=1 026时,lg P=lg 1 026=3+lg 1.026∈(3,4),由题图可知,二氧化碳处于固态,
∴A错误.
对于B,当T=270,P=128时,lg P=lg 128=2+lg 1.28∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于液态,∴B错误.
对于C,当T=300,P=9 987时,lg P=3+lg 9.987≈4,
由题图可知,二氧化碳处于固态,∴C错误.
对于D,当T=360,P=729时,lg P=lg 729=2+lg 7.29∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于超临界状态,∴D正
确.
故选D.
6.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个
0
感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指
数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R,T近似满足
0
R=1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1
0 0
倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )
A.1.2天 B.1.8天北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A版
C.2.5天 D.3.5天
R −1
答案 B 因为R=3.28,T=6且R=1+rT,所以指数增长率r= 0 =0.38,设累计感染病例增加1倍需要的
0 0
T
时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以
ln2 0.69
t= ≈ ≈1.8.故选B.
0.38 0.38
7.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的
f(b)−f(a)
企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用- 的大小评价在[a,b]
b−a
这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t,t]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
1 2
②在t 时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
2
③在t 时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
3
④甲企业在[0,t],[t,t],[t,t]这三段时间中,在[0,t]的污水治理能力最强.
1 1 2 2 3 1
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②③
命题意图:本题以环保部门要求相关企业加强污水处理,排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体,贴
近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型来解决问题,体现试
题的教育价值.考查学生的抽象概括、直观想象、分析和解决具有实际意义问题的能力,同时考查了数形结
合思想.
审题指导:与函数和导数有关的实际应用问题,需要先把实际问题翻译成数学问题,理解一段时间内企业污
水治理能力的强弱的计算式,并把这个计算式与其几何意义联系起来,再逐步对四个结论去伪存真.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A版
f(b)−f(a)
解题思路:设y=- ,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t,t]这段时间内污水治理能力强弱的
1 2
b−a
数值计算式为- f(t 2 )−f(t 1 )(难点:准确理解表达式的几何意义是解题的关键),由题图易知y 甲 >y 乙 ,即甲
t −t
2 1
企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对;
由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以②对;
在t 时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对;
3
f(b)−f(a)
由计算式- 可知,甲企业在[0,t]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错.
1
b−a
8.(2011湖北文,15,5分)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振
0
幅,A 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为
0
0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.
答案 6;10 000
解析 A=1 000=103,A=0.001=10-3,
0
M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6.
A A
设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A
1
,A
2
,则lg A
1
-9=lg A
2
-5,得lg A
1
-lg A
2
=4,即lg 1=4,∴ 1=10
A A
2 2
000.
