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第二章 函数 ７ ９
§２．７ 函数模型及综合应用
函数模型及应用 学生用书Ｐ３８ 为Ｍ 月球质量为Ｍ 地月距离为Ｒ Ｌ 点到月球的距离为ｒ
１， ２， ， ２ ，
根据牛顿运动定律和万有引力定律 ｒ满足方程
１．（２０２０课标 ，文４，理４，５分） 模型是常用数学模型之 ， ：
Ⅲ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ Ｍ Ｍ Ｍ
一 可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区 １ ２ Ｒ ｒ １．
新 ， 冠肺炎累计确诊病例数Ｉ ｔ ｔ的单位 天 的 模型 （ Ｒ ＋ ｒ ） ２ ＋ｒ２ ＝（ ＋ ）Ｒ３
Ｋ
（ ）（ ： ） Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ：
设α
ｒ
．由于α的值很小 因此在近似计算中３
α３
＋３
α４
＋
α５
Ｉ （ ｔ ）＝ －０ ． ２３（ ｔ －５３）， 其中Ｋ为最大确诊病例数．当Ｉ （ ｔ∗ ）＝ ０ ． ９５ Ｋ ＝ Ｒ ， （１＋ α ） ２ ≈
时 标志
１＋
着
ｅ
已初步遏制疫情 则ｔ∗约为 ３
α３
，
则ｒ的近似值为
（ ）
， ， （ｌｎ１９≈３） （ ）
Ｍ Ｍ
Ａ．６０ Ｂ．６３ Ｃ．６６ Ｄ．６９ ２Ｒ ２ Ｒ
１． 答案 Ｃ Ａ． Ｍ Ｂ． Ｍ
１ ２ １
２．（２０２０新高考 ，６，５分）基本再生数Ｒ 与世代间隔Ｔ是新冠 ３ Ｍ ３ Ｍ
Ⅰ ０ ３ ２Ｒ ２ Ｒ
肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的 Ｃ． Ｍ Ｄ． Ｍ
１ ３ １
平均人数 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新 ５． 答案 Ｄ
，
冠肺炎疫情初始阶段 可以用指数模型 Ｉ ｔ ｒｔ描述累计感 ６．（２０２０北京，１５，５分）为满足人民对美好生活的向往 环保部
， ： （ ）＝ｅ ，
染病例数Ｉ ｔ 随时间ｔ 单位 天 的变化规律 指数增长率ｒ 门要求相关企业加强污水治理 排放未达标的企业要限期整
（ ） （ ： ） ， ，
与Ｒ Ｔ近似满足Ｒ ｒＴ．有学者基于已有数据估计出Ｒ 改．设企业的污水排放量 Ｗ 与时间 ｔ 的关系为 Ｗ ｆ ｔ 用
０， ０＝１＋ ０＝ ＝ （ ），
． Ｔ ．据此 在新冠肺炎疫情初始阶段 累计感染病例数 ｆ ｂ ｆ ａ
３ ２８， ＝６ ， ， （ ）－（ ）的大小评价在 ａ ｂ 这段时间内企业污水治理能
增加 倍需要的时间约为 ． － ｂ ａ ［ ， ］
１ （ｌｎ ２≈０ ６９） （ ） －
． 天 ． 天 力的强弱．已知整改期内 甲 乙两企业的污水排放量与时间的
Ａ．１２ Ｂ．１８ ， 、
． 天 ． 天 关系如图所示．
Ｃ．２５ Ｄ．３５
２． 答案 Ｂ
３．（２０２０北京，１０，４分） 年 月 日是全球首个国际圆周
２０２０ ３ １４
率日 ．历史上 求圆周率 的方法有多种 与中国传统
（π Ｄａｙ） ， π ，
数学中的 割圆术 相似 数学家阿尔 卡西的方法是 当正整
“ ” ， · ：
数ｎ充分大时 计算单位圆的内接正 ｎ边形的周长和外切正
， ６
ｎ边形 各边均与圆相切的正 ｎ边形 的周长 将它们的算术
６ （ ６ ） ，
平均数作为 的近似值．按照阿尔 卡西的方法 的近似值
给出下列四个结论
２π · ，π
：
的表达式是 在 ｔ ｔ 这段时间内 甲企业的污水治理能力比乙企业强
( ° °) ( ° °) （ ） ① 在 ［ ｔ １ 时 ，２ 刻 ］ 甲企业的污 ， 水治理能力比乙企业强 ；
Ａ．３ ｎ ｓｉｎ ３ ｎ ０ ＋ｔａｎ ３ ｎ ０ Ｂ．６ ｎ ｓｉｎ ３ ｎ ０ ＋ｔａｎ ３ ｎ ０ ② ２ ， ；
在ｔ 时刻 甲 乙两企业的污水排放都已达标
( ° °) ( ° °) ③ ３ ， 、 ；
ｎ ６０ ６０ ｎ ６０ ６０ 甲企业在 ｔ ｔ ｔ ｔ ｔ 这三段时间中 在 ｔ 的
Ｃ．３ ｓｉｎ ｎ ＋ｔａｎ ｎ Ｄ．６ ｓｉｎ ｎ ＋ｔａｎ ｎ ④ ［０，１］，［ １，２］，［ ２，３］ ， ［０， １］
污水治理能力最强．
３． 答案 Ａ
其中所有正确结论的序号是 ．
４．（２０１９北京，文７，理６，５分）在天文学中 天体的明暗程度可
， ６． 答案
以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 ｍ ｍ ①②③
Ｅ
２－ １＝
以下为教师用书专用（１—６）
５ １ 其中星等为ｍ 的星的亮度为Ｅ ｋ ．已知太阳
ｌｇＥ ， ｋ ｋ（ ＝１，２） １．（２０２０课标 文，３，５分）如图 将钢琴上的 个键依次记为
２ ２ Ⅱ ， １２
的星等是 ． 天狼星的星等是 ． 则太阳与天狼星的亮 ａ ａ ａ 设 ｉ ｊ ｋ ．若ｋ ｊ 且ｊ ｉ 则称ａ ａ
－２６７， －１ ４５， １， ２，…， １２， １≤ ＜＜ ≤１２ － ＝３ － ＝４， ｉ， ｊ，
度的比值为 ａ 为原位大三和弦 若ｋ ｊ 且ｊ ｉ 则称ａ ａ ａ 为原位
（ ） ｋ ； － ＝４ － ＝３， ｉ， ｊ， ｋ
Ａ．１０ １０ ． １ Ｂ．１０ ． １ 小三和弦．用这 １２ 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三
Ｃ．ｌｇ１０ ． １ Ｄ．１０ －１０ ． １ 和弦的个数之和为 （ ）
４． 答案 Ａ
５．（２０１９课标 理，４，５分） 年 月 日嫦娥四号探测器成
Ⅱ ２０１９ １ ３
功实现人类历史上首次月球背面软着陆 我国航天事业取得
，
又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术
问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题 发射了嫦
，
娥四号中继星 鹊桥 鹊桥沿着围绕地月拉格朗日Ｌ 点的轨
“ ”， ２ Ａ．５ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１５
道运行．Ｌ 点是平衡点 位于地月连线的延长线上．设地球质量 答案 Ｃ 根据已知条件可知原位大三和弦有 ａ ａ ａ
２ ， １， ５， ８；
８ ０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ 共 个．原位小三和
２， ６， ９； ３， ７， １０； ４， ８， １１； ５， ９， １２， ５ ４．（２０１１课标理，１２，５分）函数ｙ １ 的图象与函数ｙ ｘ
弦有ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ 共 ＝ ｘ ＝２ｓｉｎ π
１， ４， ８； ２， ５， ９； ３， ６， １０； ４， ７， １１； ５， ８， １２， ５ １－
个 所以用这 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和 ｘ 的图象所有交点的横坐标之和等于
， １２ （－２≤ ≤４） （ ）
弦的个数之和为 故选 ．
１０， Ｃ Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８
２．（２０１３课标 理，１１，５分）已知函数ｆ ｘ
{
－
ｘ２
＋２
ｘ
，
ｘ
≤０，若 答案 Ｄ 函数ｙ １ －１和ｙ
Ⅰ （ ）＝ ｘ ｘ ． ＝ ｘ＝ｘ
ｌｎ（ ＋１）， ＞０ １－ －１
ｆ ｘ ａｘ 则ａ的取值范围是 ｘ的图象有公共的对称中心
｜ （ ）｜≥ ， （ ） ＝２ｓｉｎπ
画出二者图象如图所示 易
Ａ．（－∞，０］ Ｂ．（－∞，１］ （１，０）， ，
Ｃ．［－２，１］ Ｄ．［－２，０］ 知ｙ １ 与ｙ ｘ ｘ
{ｘ２ ｘ ｘ ＝ １－ ｘ ＝２ｓｉｎ π （－２≤ ≤４）
答案 Ｄ 由题意作出ｙ ＝｜ ｆ （ ｘ ）｜＝ － ｘ ２ （ ≤ ｘ ０），的图象 ： 的图象共有 ８ 个交点 ， 不妨设其横
ｌｎ（ ＋１）（ ＞０）
坐标为ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 且
１， ２， ３， ４， ５， ６， ７， ８，
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 由对称性得ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
１＜ ２＜ ３＜ ４＜ ５＜ ６＜ ７＜ ８， １＋ ８＝ ２＋ ７＝ ３＋ ６＝
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 故选 ．
４＋ ５＝２，∴ １＋ ２＋ ３＋ ４＋ ５＋ ６＋ ７＋ ８＝８， Ｄ
５．（２０１１课标文，１２，５分）已知函数ｙ ｆ ｘ 的周期为 当ｘ
＝ （ ） ２， ∈
由题意结合图象知 ， 当ａ ＞０ 时 ， ｙ ＝ ａｘ与ｙ ＝ｌｎ（ ｘ ＋１） 在ｘ ＞０ 时 ［－１，１］ 时ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ ， 那么函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图象与函数ｙ ＝｜ｌｇ ｘ ｜ 的
图象的交点共有
必有交点 所以ａ ．当ｘ 时 ｆ ｘ ａｘ显然成立 当ｘ （ ）
， ≤０ ≥０ ，｜ （ ）｜≥ ； ＜０
个 个 个 个
时 －２ ， ．综 ｜ ｆ （ 上 ｘ ） ，－ ｜＝ ２≤ ｘ２ ａ － ≤ ２ ｘ ０ ≥ ， 故 ａｘ 选 ， 则 Ｄ ａ ． ≥ ｘ －２ 恒成立 ， 又ｘ －２＜－２，∴ ａ ≥ Ａ．１ 答 ０ 案 Ａ 在 Ｂ 同 ．９ 一平面直角 Ｃ 坐 ．８ 标系中分别 Ｄ 作 ．１ 出ｆ （ ｘ ） 和 ｙ ＝
评析 本题考查了函数的综合应用，考查了数形结合的能
｜ｌｇ
ｘ
｜
的图象
，
如图．又
ｌｇ１０＝１，
由图象知选
Ａ
．
力．借助基本初等函数的图象缩小参数范围是解题关键．
３．（２０１２课标理，１２，５分）设点Ｐ在曲线ｙ １ ｘ 上 点Ｑ在曲
＝ ｅ ，
２
线ｙ ｘ 上 则 ＰＱ 的最小值为
＝ｌｎ（２ ） ， ｜ ｜ （ ）
评析 本题考查函数的图象、周期等相关知识，考查学生作
Ａ．１－ｌｎ２ Ｂ． ２（１－ｌｎ２）
图、用图能力，体现了数形结合思想．
Ｃ．１＋ｌｎ２ Ｄ． ２（１＋ｌｎ２） ６．（２０１１湖北文，１５，５分）里氏震级Ｍ的计算公式为 Ｍ Ａ
答案 Ｂ 由ｙ １ ｘ 得 ｘ ｙ 所以ｘ ｙ 所以 ｙ ： ＝ｌｇ －
＝ ｅ ｅ ＝２ ， ＝ｌｎ（２ ）， ＝ Ａ 其中Ａ是测震仪记录的地震曲线的最大振幅 Ａ 是相应
２ ｌｇ ０， ， ０
的标准地震的振幅．假设在一次地震中 测震仪记录的最大振
１ ｘ的反函数为ｙ ｘ 所以ｙ １ ｘ 与ｙ ｘ 的图象 ，
ｅ ＝ｌｎ（２ ）， ＝ ｅ ＝ｌｎ（２ ） 幅是 此时标准地震的振幅为 ． 则此次地震的震级
２ ２ １０００， ０ ００１，
关于直线ｙ ｘ对称 所以两条曲线上的点的距离的最小值是 为 级 级地震的最大振幅是 级地震最大振幅
＝ ， ；９ ５
两条曲线上切线斜率为 的切点之间的距离 令 ｘ ′ 的 倍．
１ ， ［ｌｎ（２ ）］ ＝
( ) 答案
１ 解得ｘ 令 １ ｘ ′ 解得ｘ 所以两切点分 ６；１００００
ｘ ＝１， １＝１， ｅ ＝１， ２＝ｌｎ２， 解析 Ａ ３ Ａ ． －３
２ ＝１０００＝１０ ， ０＝０００１＝１０ ，
别为 和 故ｄ 故选 ． Ｍ ３ －３ ．
（１，ｌｎ２） （ｌｎ２，１）， ＝ ２（１－ｌｎ２）， Ｂ ＝ｌｇ１０ －ｌｇ１０ ＝３－（－３）＝６
评析 本题考查了导数的应用，互为反函数的两函数图象的 设 级地震 级地震的最大振幅分别为Ａ Ａ 则 Ａ
９ ，５ １， ２， ｌｇ １－９＝ｌｇ
性质，考查了数形结合的思想． Ａ Ａ
Ａ 得 Ａ Ａ 即 １ １ ．
２－５， ｌｇ １－ｌｇ ２＝４， ｌｇ Ａ ＝４，∴ Ａ ＝１００００
２ ２
学生用书Ｐ３９
续表
考点 函数模型及应用
函数模型 函数解析式
ａ
１．几种常见的函数模型 “对勾”函数模型 ｙ ｘ ａ
＝ ＋ ｘ （ ＞０）
函数模型 函数解析式
２．三种函数模型性质的比较
一次函数模型 ｆ ｘ ｋｘ ｂ ｋ ｂ为常数 ｋ
（ ）＝ ＋ （ ， ， ≠０） 函数
二次函数模型 ｆ （ ｘ ）＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ （ ａ ， ｂ ， ｃ为常数 ， ａ ≠０） 性质 ｙ ＝ ａｘ（ａ ＞１ ） ｙ ＝ｌｏｇａ ｘ（ａ ＞１ ） ｙ ＝ ｘｎ（ｎ ＞０ ）
指数函数模型 ｆ ｘ ａｂｘ ｃ ａ ｂ ｃ为常数 ａ ｂ ｂ
（ ）＝ ＋ （ ， ， ， ≠０， ＞０， ≠１） 在（ ， ）
对数函数模型 ｆ ｘ ｍ ｘ ｎ ｍ ｎ ａ为常数 ｍ ａ ａ ０ ＋∞ 单调递增 单调递增 单调递增
（ ）＝ ｌｏｇａ ＋ （ ， ， ， ≠０， ＞０， ≠１） 上的增减性
幂函数模型 ｆ ｘ ａｘｎ ｂ ａ ｂ ｎ为常数 ａ ｎ
（ ）＝ ＋ （ ， ， ， ≠０， ≠０）
第二章 函数 ８ １
续表
函数
ｙ ａｘ（ａ ） ｙ ｘ（ａ ） ｙ ｘｎ（ｎ ）
性质 ＝ ＞１ ＝ｌｏｇａ ＞１ ＝ ＞０
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随ｘ的增大 随ｘ的增大
随ｎ值变化
图象的变化 逐渐表现为 逐渐表现为
而各有不同
与ｙ轴平行 与ｘ轴平行
值的比较 存在一个ｘ 当ｘ ｘ 时 有 ｘ ｘｎ ａｘ
０， ＞ ０ ， ｌｏｇａ ＜ ＜
学生用书Ｐ３９
一、已知函数模型解决实际问题的方法 还原 将数学结果还原为实际意义 并进行必要的检验．
（４） ： ，
１．认清所给函数模型 弄清哪些量为待定系数． 以上过程用框图表示如下
， ：
２．根据已知条件求出或确定模型中的待定系数．
３．利用该函数模型的图象性质求解实际问题 并进行必要
，
的检验．
例１ （２０１９山东济南章丘联考，２０）尽管目前人类还无法准
确地预报地震 但科学家通过研究 已经对地震有所了解 例如
， ， ， ，
地震释放出的能量Ｅ 单位 焦耳 与地震里氏震级Ｍ之间的关
（ ： ）
系为 Ｅ ． ． Ｍ． 例２ （２０２０四川绵阳一诊，１０）某数学小组进行社会实践调
ｌｇ ＝４８＋１５
已知地震等级划分为里氏 级 根据等级范围又分为 查 了解到某公司为了实现 万元利润目标 准备制订激励
（１） １２ ， ， １ ０００ ，
三种类型 其中小于 ． 级的为 小地震 介于 ． 级到 ． 级 销售人员的奖励方案 在销售利润超过 万元时 按销售利润
， ２５ “ ”， ２ ５ ４ ７ ： １０ ，
之间的为 有感地震 大于 ． 级的为 破坏性地震 若某次地 进行奖励 且奖金ｙ 单位 万元 随销售利润ｘ 单位 万元 的增
“ ”， ４７ “ ”， ， （ ： ） （ ： ）
震释放能量约 １２焦耳 试确定该次地震的类型 加而增加 但奖金总数不超过 万元 同时奖金不超过利润的
１０ ， ； ， ５ ，
年汶川地震为里氏 级 年日本地震为里氏 ％．同学们利用函数知识 设计了如下函数模型 其中符合公司
（２）２００８ ８ ，２０１１ ２５ ， ，
级 问 年日本地震所释放的能量是 年汶川地震所 要求的是 参考数据 ． １０００ ． ．
９ ， ：２０１１ ２００８ （ ：１００２ ≈７３７，ｌｇ７≈０８４５） （ ）
ｙ ． ｘ ｙ ． ｘ
释放的能量的多少倍 取 ． Ａ． ＝０２５ Ｂ． ＝１００２
？ （ １０＝３２） ( ｘ )
解题思路 ｙ ｘ ｙ
Ｃ． ＝ｌｏｇ７ ＋１ Ｄ． ＝ｔａｎ －１
１０
要求 释放能量约 １２焦耳 的地震的类型 即求Ｍ的值 解题思路
（１） “ １０ ” ， ；
问题的实质是已知两次地震的Ｍ值 求对应的Ｅ值之比
（２） ， ， 将限制条件用符号语言表示出来 观察有无明显不符合的
可直接利用关系式 Ｅ ． ． Ｍ 求出对应的Ｅ值 再求其比值． ，
：ｌｇ ＝４８＋１５ ， ， 选项 先剔除掉 之后逐项验证即可．
解析 （１） 某次地震释放能量约 １０ １２焦耳 ， 即Ｅ ＝１０ １２ ， 代入 ， 解析 由题 ， 意得 当 ｘ 时 符合公司要求的函数
Ｅ ． ． Ｍ 化简得Ｍ ｌｇ１０ １２ －４ ． ８ １２－４ ． ８ ． ．因为 ． 模型应满 足 为增函 ， 数 １０＜ ｙ ≤１ ００ ｙ ０ ， ％ｘ．
ｌｇ ＝４８＋１５ ， ＝ ． ＝ ． ＝４ ８ ４ ８＞ ：① ；② ≤５；③ ≤２５
１５ １５ 选项 明显不满足条件 所以 不符合题意
． 所以该次地震为 破坏性地震 ． Ｄ ①， Ｄ ；
４７， “ ” 选项 均满足条件 但当ｘ 时 选项不满足条
设汶川地震 日本地震所释放的能量分别为 Ｅ Ｅ 焦 Ａ、Ｂ、Ｃ ①， ＞２０ ，Ａ
耳．由 （ 题 ２） 意知 Ｅ 、 ． ． ． Ｅ ． ． １， ２ ． 件 ②， 所以 Ａ 不符合题意 ； 当ｘ ＝１０００ 时 ， 有ｙ ＝１ ． ００２ １０００ ≈７ ． ３７＞
，ｌｇ １＝４８＋１ ５×８＝１６ ８，ｌｇ ２＝４ ８＋１ ５×９＝１８ ３，
５，
不符合条件
②，
所以
Ｂ
不符合题意
；
Ｅ
即Ｅ
１＝１０
１６ ． ８
，
Ｅ
２＝１０
１８ ． ３
，
所以
Ｅ
２
＝１０
１ ． ５
＝１０ １０，
取
１０＝３
．
２，
得 而对于选项 Ｃ， 当 １０＜ ｘ ≤１ ０００ 时 ， 有 ｙ ｍａｘ＝ｌｏｇ７１ ０００＋１＝
１ ３ ． 且 ｘ ％ｘ恒成立 所以满
Ｅ ３ｌｏｇ７１０＋１＝ ＋１≈４５５０＜５， ｌｏｇ７ ＋１≤２５ ，
２ ．故 年日本地震所释放的能量是 年汶川地震所 ｌｇ７
Ｅ ＝３２ ２０１１ ２００８ 足条件 故选项 符合题意 故选
１ ②③， Ｃ ， Ｃ．
释放的能量的 倍． 答案 Ｃ
３２
２－１ （２０２０湖南永州双牌二中期中，９）有一组实验数据如
二、选择函数模型，解决实际应用问题的基本方法
下表所示
选择函数模型 解决实际应用问题的方法与步骤可以归纳 ：
，
ｘ
为四步八字 １ ２ ３ ４ ５
：
审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步 ｙ ． ． ． ．
（１） ： ， ， ， １５ ５９ １３４ ２４１ ３７
选择数学模型 下列所给函数模型较适合的是
； （ ）
建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为
（２） ： ，
符号语言 利用数学知识建立相应的数学模型
， ；
解模 求解数学模型 得出数学结果 ｙ ｘ ａ ｙ ａｘ ｂ ａ
（３） ： ， ； Ａ． ＝ｌｏｇａ （ ＞１） Ｂ． ＝ ＋ （ ＞１）
８ ２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
Ｃ．
ｙ
＝
ａｘ２
＋
ｂ
（
ａ
＞０） Ｄ．
ｙ
＝ｌｏｇａ
ｘ
＋
ｂ
（
ａ
＞１）
２－１． 答案 Ｃ
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ４０
函数模型及应用 人口 ． 亿人 不包括香港 澳门和台湾地区 为依据 用马
１３３３ （ 、 ） ，
尔萨斯人口增长模型估计我国 年年末 不包括香港 澳
１．（２０２１江苏新高考基地４月第二次大联考，６）香农定理是所有 ２０２０ （ 、
( 门和台湾地区 的全国总人口数为 ． ２ ．
） （１３ ３３ ＝ １７７ ６８８ ９，
通信制式最基本的原理 ， 它可以用香农公式 Ｃ ＝ Ｂ ｌｏｇ２ １＋ １２ ． ４３ ２ ＝１５４ ． ５０４９） （ ）
Ｎ
Ｓ ) 来表示
，
其中Ｃ是信道支持的最大速度或者叫信道容量
， ２．
Ａ．１
答
４ ．
案
３０ 亿
Ａ
Ｂ．１５ ． ２０ 亿 Ｃ．１４ ． ６２ 亿 Ｄ．１５ ． ７２ 亿
Ｂ是信道带宽 Ｓ是平均信号功率 Ｎ是平均噪声功 ３．（２０２０山东菏泽一中２月自测） 年 月 中国良渚古城遗
（Ｈｚ）， （Ｗ）， ２０１９ ７ ，
率 ．已知平均信号功率为 平均噪声功率为 址获准列入世界遗产名录 标志着中华五千年文明史得到国
（Ｗ） １０００ Ｗ， １０ Ｗ， ，
在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下 要使信道容量 际社会认可 良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例 实证
， ， ，
增大到原来的 倍 则平均噪声功率约降为 了中华五千年文明史 考古科学家在测定遗址年龄的过程中
２ ， （ ） ，
． ． ． ． 利用了 放射性物质因衰变而减少 这一规律．已知样本中碳
Ａ．０１ Ｗ Ｂ．１０ Ｗ Ｃ．３２ Ｗ Ｄ．５０ Ｗ “ ”
１． 答案 Ａ 的质量Ｎ随时间ｔ 单位 年 的衰变规律满足Ｎ Ｎ ５ － ７ ｔ ３０
１４ （ ： ） ＝ ０·２
２．（２０２１河北承德二模，６）人口问题是当今世界各国普遍关注的 Ｎ 表示碳 原有的质量 则经过 年后 碳 的质量
（ ０ １４ ）， ５ ７３０ ， １４
问题．认识人口数量的变化规律 可以为有效控制人口增长提 变为原来的 经过测定 良渚古城遗址文物样本中碳
， ； ，
供依据．我国在 年进行了第七次人口普查登记 到
２０２０ ， ２０２１ 的质量是原来的 ３ 至 １ 据此推测良渚古城存在的时期距
年 月以后才能公布结果．人口增长可以用英国经济学家马尔 １４ ，
４ ７ ２
萨斯提出的模型 ｙ ｙ ｒｔ 其中 ｔ 表示经过的时间 单位 今约在 年到 年之间． 参考数据 ．
： ＝ ０·ｅ ， （ ： ５７３０ （ ：ｌｇ ２≈０ ３０，
年 ｙ 表示ｔ 时的人口数 单位 亿 ｒ表示人口的年平均 ． ．
）， ０ ＝０ （ ： ）， ｌｇ７≈０８５，ｌｇ３≈０４８）
增长率．以国家统计局发布的 年第五次人口普查登记 已
２０００ （ ３． 答案 １
上报户口 的全国总人口 ． 亿人 不包括香港 澳门和台湾 ；６８７６
） １２４３ （ 、 ２
地区 和 年第六次人口普查登记 已上报户口 的全国总
） ２０１０ （ ）
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ４０ ２５分钟 ２５分
一、单项选择题（每小题５分，共２０分） 范德瓦尔斯相互作用．今有两个惰性气体原子 原子核正电荷
，
１．（２０２１湖南益阳二模，６）我们检测视力时会发现对数视力表中 的电荷量为ｑ 这两个相距Ｒ的惰性气体原子组成体系的能量
，
(
有两列数据 分别是小数记录与五分记录 如图所示 已隐去
， ， （ 中有静电相互作用能 Ｕ 其计算式子为 Ｕ ｋｃｑ２ １
数据 其部分数据如下表 ， ＝ · Ｒ ＋
）， ： )
小数 １ １ １ 其中 ｋｃ为静电常量 ｘ ｘ 分别表示
． ． ． ． ． ． ． ． Ｒ ｘ ｘ －Ｒ ｘ －Ｒ ｘ ， ， ， １、 ２
记录ｘ ０１ ０１２ ０１５ ０２ … ？ … １０ １２ １５ ２０ ＋ １－ ２ ＋ １ － ２
两个原子的负电中心相对各自原子核的位移．已知Ｒ ｘ ｘ
五分 ＋ １－ ２＝
． ． ． ． ． ． ． ． ． æ ｘ ｘ ö æ ｘ ö æ ｘ ö
记录ｙ ４０ ４１ ４２ ４３ … ４７ … ５０ ５１ ５２ ５３ Ｒç １－ ２÷ Ｒ ｘ Ｒç １÷ Ｒ ｘ Ｒç ２÷ 且 ｘ －１
è１＋ Ｒ ø， ＋ １＝ è１＋Ｒ ø， － ２＝ è１－Ｒ ø， （１＋ ） ≈
现有如下函数模型 ｙ ｘ ｙ １ １ ｘ ｘ２ 则Ｕ的近似值为
：① ＝５＋ｌｇ ，② ＝５＋ ｌｇ ｘ ， １－ ＋ ， （ ）
１０ ｋｃｑ２ｘ ｘ ｋｃｑ２ｘ ｘ
ｘ表示小数记录数据 ｙ表示五分记录数据 请选择 １ ２ １ ２
， ， Ａ． Ｒ３ Ｂ．－ Ｒ３
最合适的模型解决如下问题 小明同学检测视力
： ｋｃｑ２ｘ ｘ ｋｃｑ２ｘ ｘ
时 医生告诉他视力为 ． 则小明同学的小数记录 ２ １ ２ ２ １ ２
数
，
据为 参考数据 －０
４
． ３
７，
． －０ ． ２２ ． －０ ． １
Ｃ． Ｒ３ Ｄ．－ Ｒ３
（ ：１０ ≈０ ５，５ ≈０ ７，１０ ≈ ２． 答案 Ｄ
．
０８） （ ） ３．（２０２０ 重庆属校（第八中学等）３ 月月考，７）函数 ｆ ｘ
． ． （ ）＝
Ａ．０３ Ｂ．０５ { ｘ ｘ
１． Ｃ．０ 答 ． ７ 案 Ｂ Ｄ．０ ． ８ ｌ ｘ ｎ ｅ （ １－ － ｘ （ ｘ ） ≥ （ ０ ＜ ） ０ ． ），若关于ｘ的方程ｆ ２ （ ｘ ）－ ａｆ （ ｘ ）＋ ａ － ａ２ ＝０ 有四
个不等的实数根 则ａ的取值范围是
２．（２０２０河北保定一模）分子间作用力是只存在于分子与分子之 ， （ ）
( ]
间或惰性气体原子间的作用力 在一定条件下 两个原子接 ４
， ， Ａ． ，１
近 则彼此因静电作用产生极化 从而导致有相互作用力 称 ５
， ， ，
Ｂ．（－∞，－１）∪［１，＋∞）
第二章 函数 ８ ３
Ｖ Ｔ Ｖ Ｔ Ｖ Ｔ Ｖ Ｔ
Ｃ．（－∞，－１）∪｛１｝ Ａ． ２， ３ Ｂ． ２， ２ Ｃ． １， ３ Ｄ． １， ２
４． 答案 Ｂ
Ｄ．（－１，０）∪｛１｝
３． 答案 Ｄ
二、填空题（共５分）
４．（２０２０福建泉州３月适应性线上测试，３）如图为服用同等剂量
５．（２０２１广东燕博园３ 月综合能力测试（一），１６）据报道 某地
的三种新药后血药浓度 的变化情况 其中点Ａ 的横 ，
（ｍｇ／ｍＬ） ， ｉ 遭遇了 年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中 沙漠
坐标表示服用第ｉ种药后血药浓度达到峰值 最高浓度 时间 ７０ ，
（ ） ， 蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫的繁殖速度很快 迁
其他点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到 ，
徙能力很强．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下 每经过
峰值一半时所用的时间 单位 点Ａ的纵坐标表示服用第ｉ ， １５
（ ：ｈ）， ｉ 天 数量就会增长为原来的 倍．该蝗虫群当前有 亿只蝗
种药后血药浓度的峰值 ｉ ．记Ｖ为服用第ｉ种药后达 ， １０ １
（ ＝１，２，３） ｉ 虫 则经过 天 蝗虫数量会达到 亿只． 参考数
到血药浓度峰值时 血药浓度提高的平均速度 记Ｔ为服用第 ， ， ４ ０００ （
， ， ｉ 据 ． ．
ｉ种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间 则 ：ｌｇ２≈０３０，ｌｇ３≈０４８）
， ５． 答案
Ｖ Ｖ Ｖ 中最小的 Ｔ Ｔ Ｔ 中最大的分别是 ５４
１， ２， ３ ， １， ２， ３ （ ）
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 机每秒可以进行 ． 亿次运算 则要保证该算法能在此计算机
１３ ，
１．（２０２１安徽池州期末，３）安徽省统计局 年 月 日发 上 秒内完成一次运行 则ｎ的最大值为
２０２０ １１ ２０ １ ， （ ）
布了全省规模以上工业增加值同比增长速度 注 增加值增长
（ ： Ａ．４０ Ｂ．５０ Ｃ．６０ Ｄ．７０
速度均为扣除价格因素的实际增长率 同比是指在相邻时段 答案 Ｂ 当ｎ较大时 对于函数Ｔ ｎ ｎ４ ｎ ｎ ｎ
， ∵ ， （ ）＝ ２０ ＋ ｌｏｇ２ （
内某一相同时间点进行比较 如下折线统计图所示 则下列 Ｎ∗ 其约等于ｆ ｎ ｎ４ 由ｆ ｎ ｎ４ ． ８ 解
）， ， ∈ ）， （ ）＝２０ ，∴ （ ）＝ ２０ ≤１ ３×１０ ，
说法正确的是 得ｎ ． 又 ｎ Ｎ∗ ｎ的最大值为 故选 ．
（ ） ≤５０４９， ∵ ∈ ，∴ ５０， Ｂ
全省规模以上工业增加值同比增长速度 ％ ３．（２０２１安徽合肥质监，６） 年 月 日起 我国个人所得税
（ ） ２０１９ １ １ ，
税额根据应纳税所得额 税率和速算扣除数据确定 计算公式
、 ，
为 个税税额 应纳税所得额 税率 速算扣除数．应纳税所得
： ＝ × －
额的计算公式为 应纳税所得额 综合所得收入额 基本减除
： ＝ －
费用 专项扣除 专项附加扣除 依法确定的其他扣除．其中
－ － － ，
基本减除费用 免征额 为每年 元．部分税率与速算
“ ”（ ） ６０ ０００
扣除数见下表
：
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率 ％ 速算扣除数
（ ）
１ ［０，３６０００］ ３ ０
２ （３６０００，１４４０００］ １０ ２５２０
３ （１４４０００，３０００００］ ２０ １６９２０
年 月份到 月份 工业增加值同比有增加也有下降
４ （３０００００，４２００００］ ２５ ３１９２０
Ａ．２０２０ ３ １０ ，
年 月份到 月份 工业增加值同比增加速度最大的
５ （４２００００，６６００００］ ３０ ５２９２０
Ｂ．２０２０ ３ １０ ，
是 月份 若某人全年综合所得收入额为 元 专项扣除占综合所
８ ２４９ ６００ ，
年 月份工业增加值同比下降 ． ％ 得收入额的 ％ 专项附加扣除是 元 依法确定其他扣
Ｃ．２０２０ １０ ０５ ２０ ， ５２８００ ，
年 月份工业增加值同比增长 ． ％ 除是 元 则他全年应缴纳的个人所得税应该是
Ｄ．２０２０ １０ ８５ ４５６０ ， （ ）
答案 Ｄ 年 月份到 月份 工业增加值同比都在 元 元 元 元
２０２０ ３ １０ ， Ａ．５７１２ Ｂ．８２３２ Ｃ．１１７１２ Ｄ．３３０００
增加 故 错误 年 月份到 月份 工业增加值同比增 答案 Ａ 由题意可得应纳税所得额为
， Ａ ；２０２０ ３ １０ ，
加速度最大的是 月份 增速为 ． ％ 故 错误 年 ％ 元
４ ， ９ １ ， Ｂ ；２０２０ １０ ２４９６００－６００００－２４９６００×２０ －５２８００－４５６０＝８２３２０（ ），
月份工业增加值同比增长 ． ％ 故 错误 正确． 根据表格可知 应纳税所得额位于区间
８５ ， Ｃ ，Ｄ ， （３６０００，１４４０００］，
２．（２０２１云南昆明一模，９）在计算机的算法分析中 常用时间复 所以他全年应缴纳的个人所得税为 ％
， ８２３２０×１０ －２５２０＝５７１２
杂度来衡量一个算法的优劣 算法的时间复杂度是指算法完 元 故选 ．
， （ ）， Ａ
成一次运行所需要的运算次数 若用Ｔ ｎ 单位 次 表示算 ４．（２０２１ 陕西宝鸡重点高中质检，１２） 已知函数 ｆ ｘ
， （ ）（ ： ） （ ） ＝
法的时间复杂度 它是算法求解问题数据规模ｎ的函数．已知 { ｘ ｘ
， ｜ ＋１｜（ ≤０），若方程ｆ ｘ ａ有 个不同的根ｘ ｘ ｘ ｘ
某算法的时间复杂度Ｔ ｎ ｎ４ ｎ ｎ ｎ Ｎ∗ 一台计算 ｘ ｘ （ ）＝ ４ １， ２， ３， ４
（ ）＝ ２０ ＋ ｌｏｇ２ （ ∈ ）， ｜ｌｏｇ２ ｜（ ＞０），
８ ４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
７．（２０２１北京朝阳二模，７）某地对生活垃圾使用填埋和环保两种
且ｘ ｘ ｘ ｘ 则ｘ ｘ ｘ １ 的取值范围是
１＜ ２＜ ３＜ ４， ３（ １＋ ２）＋ｘ２ｘ （ ） 方式处理．该地 年产生的生活垃圾为 万吨 其中 万吨
３ ４ ２０２０ ２０ ， １５
以填埋方式处理 万吨以环保方式处理．预计每年生活垃圾的
Ａ．（－１，＋∞） Ｂ．（－１，１］ Ｃ．（－∞，１） Ｄ．［－１，１） ，５
{ ｘ ｘ 总量比前一年增加 万吨 同时 因垃圾处理技术越来越进步
答案 Ｂ 作出函数ｆ ｘ ｜ ＋１｜， ≤０，的图象如图 １ ， ， ，
（ ）＝ ｘ ｘ ： 要求从 年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一
｜ｌｏｇ２ ｜， ＞０ ２０２１
年的ｑ倍 若要使得 年通过填埋方式处理的生活垃圾量不
， ２０２４
高于当年生活垃圾总量的 ％ 则ｑ的值至少为
５０ ， （ ）
５ ． ５ ． ４ ． ４ ．
Ａ． ２４ Ｂ． ２５ Ｃ． ２４ Ｄ． ２５
答案 Ｃ 年生活垃圾总量为 吨 通过环保方式处
２０２１ ２１ ，
理的垃圾是 ｑ吨 年生活垃圾总量为 吨 通过环保方
５ ；２０２２ ２２ ，
式处理的垃圾是 ｑ２ 吨 年生活垃圾总量为 吨 通过环
５ ；２０２３ ２３ ，
保方式处理的垃圾是 ｑ３ 吨 年生活垃圾总量为 吨 通
由图可知 ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ５ ；２０２４ ２４ ，
， １＋ ２＝－２， ３ ４＝１，１＜ ４≤２， 过环保方式处理的垃圾是 ｑ４ 吨 通过填埋方式处理的垃圾是
５ ，
故ｘ ｘ ｘ １ ２ ｘ ｑ４ 吨．由题意得 ｑ４ ％ 解得ｑ４ ． 即ｑ
３（ １＋ ２）＋ｘ２ｘ ＝－ｘ ＋ ４， （２４－５ ） ２４－５ ≤２４×５０ ， ≥２４， ≥
３ ４ ４ ４ ． ．故选 ．
２４ Ｃ
令ｙ
＝－
２
ｘ ＋
ｘ
，
ｘ
∈（１，２］，
８．（２０２１浙江“七彩阳光”联盟高三上第一次联考，９）已知函数
ｆ ｘ ａｘ３ ｂｘ２ ｃｘ ｄ ａ 的图象如图所示 则下列判断正确
（ ）＝ ＋ ＋ ＋ （ ≠０） ，
易证ｙ ２ ｘ在ｘ 上单调递增 所以ｙ
＝－ ｘ ＋ ∈（１，２］ ， ∈（－１，１］， 的个数是
（ ）
ａ ｃ ｂ ｄ ａｃ ｂｄ ａ ｂ ａ２ ｃ２ ｂ２．
则ｘ ｘ ｘ １ 的取值范围是 ． （１） ＋ ＞ ＋ ；（２） ＞ ；（３）３ ＞２ ；（４）９ ＋ ＞４
３（ １＋ ２）＋ｘ２ｘ （－１，１］
３ ４
５．（２０２１河南信阳第二次质检，９）定义在Ｒ上的偶函数ｆ ｘ 满
（ ）
足ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ 函数ｇ ｘ
（ －１）＝ （ ＋１）， ∈［－１，０］ ， （ ）＝ ， （ ）
是定义在Ｒ上的奇函数 当ｘ 时 ｇ ｘ ｘ 则方程ｆ ｘ ｇ
， ＞０ ， （ ）＝ｌｇ ， （ ）＝
ｘ 的解的个数是
（ ） （ ）
Ａ．９ Ｂ．１０ Ｃ．１１ Ｄ．１２
答案 Ｃ 由ｆ ｘ ｆ ｘ 得ｆ ｘ ｆ ｘ
（ －１）＝ （ ＋１）， （ ＋２）＝ （ ）， Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
可得ｆ ｘ 是周期为 的偶函数． 答案 Ｂ 由题图可知ｆ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ 故
（ ） ２ （－１）＝－ ＋ － ＋ ＜０⇒ ＋ ＞ ＋ ，
由当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ 画出函数ｙ ｆ ｘ 的图象． 正确．
∈［－１，１］ ， （ ）＝ ， ＝ （ ） （１）
由图可得ｘ 时 ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｇ ｘ 的图象有 个交点 由ｘ ｆ ｘ 知ａ 由ｆ 知ｄ
＞０ ， ＝ （ ） ＝ （ ） ９ ； →－∞， （ ）→＋∞ ＜０， （０）＜０ ＜０，
ｘ
＝０
时
，
ｆ
（０）＝
ｇ
（０）＝０；
由于ｆ ′
（
ｘ
）＝３
ａｘ２
＋２
ｂｘ
＋
ｃ
，
由题图知ｆ
（
ｘ
）
有两个极值点
－１
和
ｘ 时 ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｇ ｘ 的图象有 个交点． ｘ 所以方程ｆ ′ ｘ 有两个实根 和ｘ
＜０ ， ＝ （ ） ＝ （ ） １ ０， （ ）＝０ －１ ０，
综上 可得ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｇ ｘ 的图象共有 个交点 ì ｂ
， ＝ （ ） ＝ （ ） １１ ， ï ｘ ２
即方程ｆ ｘ ｇ ｘ 的解的个数是 ．故选 ． ï－１＋ ０＝－ ａ， ｂ ｃ
（ ）＝ （ ） １１ Ｃ 所以í ３ 若 ｘ ２ 则ｂ 又由ｘ
ï ｃ －１＋ ０＝－ ａ＜０， ＜０， ０＝－ ａ＞０
ï ｘ ３ ３
î－１· ０＝ ａ，
３
ｂ
ｃ 所以ａｃ ｂｄ 所以ａｃ ｂｄ 若 ｘ ２ 则ｂ
⇒ ＞０， ＜０， ＞０， ＜ ， －１＋ ０＝－ ａ＞０， ＞
３
则ｂｄ 无法比较ａｃ与ｂｄ大小 故 错误．
０， ＜０， ， （２）
ｂ ｂ ｂ
由ｘ ２ 得 ２ ２ ａ ｂ 故 错误．
６．（２０２１北京通州一模，１０）著名数学家
、
物理学家牛顿曾提出
：
０＝１－
３
ａ＞０， １－
３
ａ＞０⇒
３
ａ＜１⇒３ ＜２ ， （３）
物体在空气中冷却
，
如果物体的初始温度为θ
１℃，
空气温度为 由ｆ ′
（－１）＝３
ａ
－２
ｂ
＋
ｃ
＝０⇒３
ａ
＋
ｃ
＝２
ｂ
⇒９
ａ２
＋
ｃ２
＋６
ａｃ
＝４
ｂ２
⇒６
ａｃ
＝
θ
０℃，
则ｔ
ｍｉｎ
后物体的温度θ
（
单位
：℃）
满足
：
θ
＝
θ
０＋（
θ
１－
θ
０） ４
ｂ２
－（９
ａ２
＋
ｃ２
），
－ ｋｔ 其中ｋ为常数 ． ．现有某物体放在 的 而ａｃ 所以 ｂ２ ａ２ ｃ２ ａ２ ｃ２ ｂ２ 故 正确．
·ｅ （ ，ｅ＝２７１８２８…） ２０℃ ＜０， ４ －（９ ＋ ）＜０⇒９ ＋ ＞４ ， （４）
空气中冷却 后测得物体的温度为 再经过 综上 正确的是 故选 ．
，２ ｍｉｎ ５２ ℃， ６ ｍｉｎ ， （１），（４）， Ｂ
后物体的温度冷却到 则该物体的初始温度是 ９．（２０２１北京怀柔高三适应性练习，１０）形状 节奏 声音或轨迹
２４ ℃， （ ） 、 、 ，
这些现象都可以分解成自复制的结构 即相同的形式会按比
Ａ．８０ ℃ Ｂ．８２ ℃ Ｃ．８４ ℃ Ｄ．８６ ℃ ，
答案 Ｃ 由题意可得 θ －２ ｋ 例逐渐缩小 并无限重复下去 也就是说 在前一个形式中重
５２＝２０＋（ １－２０）·ｅ ①， ， ， ，
ｋ 复出现被缩小的相同形式 依此类推 如图所示 将图 的正三
２４＝２０＋（５２－２０）·ｅ
－６
②， ， ， ， １
角形的各边都三等分 以每条边中间一段为边再向外作一个
由 得 －６ ｋ １ 则 ｋ 解得ｋ ｌｎ８ ｌｎ２ 代入 得 ，
② ｅ ＝ ， －６ ＝－ｌｎ８， ＝ ＝ ， ① ５２ 正三角形 去掉中间一段得到图 称为 一次分形 用同样的
８ ６ ２ ， ２， “ ”；
方法把图 中的每条线段重复上述操作 得到图 称为 二次
＝２０＋（ θ １－２０）·ｅ －ｌｎ ２ ２×２ ， 即 （ θ １－２０）·ｅ －ｌｎ２ ＝３２， 所以θ １＝ ３ －ｌ ２ ｎ２ ＋ 分形 依次 ２ 进行 ｎ次分形 得到一个 ， 周长不小 ３ 于 ， 初始 “ 三角
ｅ ”； “ ”，
形周长 倍的分形图 则 ｎ 的最小值是 取 ．
３２ 故选 １００ ， （ ｌｇ３≈０ ４７７ １，
２０＝ ． ＋２０＝８４ ℃， Ｃ． ．
０５ ｌｇ２≈０３０１０） （ ）
第二章 函数 ８ ５
正确
；
选项 当 ｔ １ 时 ｇ ｘ ｔ有三个实根 ｇ ｘ ｔ 只
Ｃ ， １＜ ＜１＋ ， （ ）＝ ， （ ）＝ ＋２
ｅ
有一个实根 所以方程ｇ ｇ ｘ ｔ 有 个相异实根 故
， （ （ ）－）－１＝０ ４ ，
错
图 图 图 图 Ｃ ；
１ ２ ３ ４
选项 当ｔ １ 时 方程ｇ ｘ ｔ有两个相异实根 ｇ ｘ
Ｄ ， ＝１＋ ， （ ）＝ ， （ ）＝
Ａ．１５ Ｂ．１６ Ｃ．１７ Ｄ．１８ ｅ
答案 Ｃ 设正三角形的边长为ａ 一次分形 后正三角形 ｔ 有一个实根 共 个相异实根 当 ｔ 时 方程ｇ ｘ ｔ
，“ ” ＋２ ， ３ ； ０＜≤１ ， （ ）＝
ａ 有两个相异实根 ｇ ｘ ｔ 有一个实根 共 个相异实根
的一边变为长为４ 的折线 二次分形 后折线长度为 ， （ ）＝ ＋２ ， ３ ；
，“ ”
３ 当 ｔ １ 时 方程ｇ ｘ ｔ无实根 方程ｇ ｘ ｔ 有
( ) ２ ( )ｎ －１＜ ＜－１＋ ， （ ）＝ ， （ ）＝ ＋２ ３
４ ａ ｎ次分形 后折线长度为 ４ ａ 所以得到一 ｅ
，……，“ ” ， 个相异实根 故 错．故选 ．
３ ３ ， Ｄ ＡＢ
个周长不小于初始三角形周长 倍的分形图 只需满足 １１．（２０２１届山东新泰第一中学１０月月考，１２）已知ｆ ｘ 是定义
１００ ， （ ）
( )ｎ 域为Ｒ的函数 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ
４ ａ ａ 两边同时取常用对数得ｎ ４ 即 ， （ ）＝ （ －４），（ ＋２）＝ （２－ ）， ０≤
≥１００ ， ｌｇ ≥ｌｇ １００＝２， 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 则下列说法正确的是
３ ３ ≤２ ，（ ）＝ － ， （ ）
函数ｆ ｘ 是偶函数
得ｎ 解得ｎ ２ ２ Ａ． （ ）
（２ｌｇ２－ｌｇ３）≥２， ≥ ≈ ． ． ≈ 函数ｆ ｘ 的最小正周期为
２ｌｇ２－ｌｇ３ ０６０２０－０４７７１ Ｂ． （ ） ４
． 故至少需要 次分形 故选
１６０１， １７ ， Ｃ． 当 ｘ 时 函数ｆ ｘ 的最小值为 １
审题指导 根据分形的变化规律，得出一条长为ａ的线段 Ｃ． ０≤ ≤４ ， （ ） －
２
( )ｎ 方程ｆ ｘ ｘ 有 个实根
经过ｎ次分形后变为长为 ４ ａ的折线，然后建立不等关系 Ｄ． （ ）＝ｌｏｇ３｜ ｜ １０
答案 ＡＢＤ ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的函数 由ｆ ｘ ｆ
３ （ ） ， （ ＋２）＝ （２－
并利用对数求解． ｘ 得ｆ ｘ ｆ ｘ
）， （ ）＝ （４－ ），
又ｆ ｘ ｆ ｘ 所以ｆ ｘ ｆ ｘ
二、多项选择题 （ ）＝ （ －４）， （４－ ）＝ （ －４），
即ｆ ｘ ｆ ｘ
ｘ ［－（ －４）］＝ （ －４），
１０．（２０２１届山东潍坊重点中学联考，１１）已知函数ｆ ｘ ｜ ｜ 所以ｆ ｘ ｆ ｘ 所以函数ｆ ｘ 是偶函数 故 正确
（ ）＝ ｜ ｘ ｜ ＋１， （－ ）＝ （ ）， （ ） ， Ａ ；
ｅ 由ｆ ｘ ｆ ｘ 可知函数 ｆ ｘ 的最小正周期为 故
{ｆ ｘ ｘ （ ）＝ （ －４）， （ ） ４， Ｂ
ｇ ｘ （ ）， ≤０， 且ｇ 则关于ｘ的方程ｇ ｇ ｘ 正确
（ ）＝ ｘ２ ｘ ａ ｘ （１）＝０， （ （ ）－ ；
－２ ＋ ， ＞０， ( )
ｔ 实根个数的判断正确的是 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 函数的最小值为ｆ １ １ １
）－１＝０ （ ） ０≤ ≤２ ， （ ）＝ － ， ＝ －
当ｔ 时 方程ｇ ｇ ｘ ｔ 没有实根 ２ ４ ２
Ａ． ＜－２ ， （ （ ）－）－１＝０
１
当 １ ｔ 或ｔ 时 方程ｇ ｇ ｘ ｔ 有 个 ＝－ ，
Ｂ． －１＋ ＜ ＜０ ＝－２ ， （ （ ）－ ）－１＝０ １ ４
ｅ 由ｆ ｘ ｆ ｘ 知直线ｘ 为ｆ ｘ 图象的对称轴 所以
实根 （ ＋２）＝ （２－ ） ＝２ （ ） ，
当 ｘ 时 函数ｆ ｘ 的最小值为 １ 故 不正确 如图
当 ｔ １ 时 方程ｇ ｇ ｘ ｔ 有 个相异实根 ０≤ ≤４ ， （ ） － ， Ｃ ；
Ｃ． １＜ ＜１＋ ， （ （ ）－）－１＝０ ２ ４
ｅ 所示 作出当ｘ 时ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｘ的图象
， ＞０ ＝ （ ） ＝ｌｏｇ３ ，
当 ｔ １ 或 ｔ 或ｔ １ 时 方程ｇ ｇ ｘ ｔ
Ｄ． －１＜ ＜－１＋ ０＜≤１ ＝１＋ ， （ （ ）－ ）－
ｅ ｅ
有 个相异实根
１＝０ ４
答案 ＡＢ 由ｇ 得 ａ 则ａ
（１）＝０ １－２＋ ＝０， ＝１，
{ｆ ｘ ｘ ．
所以ｇ ｘ （ ）， ≤０ 故ｇ ｘ
（ ）＝ ｘ ２ ｘ （ ）≥０，
（ －１） ， ＞０， 由图象可知当ｘ 时 两函数图象有 个交点 又ｙ ｆ ｘ 与
ｘ ＞０ ， ５ ， ＝ （ ）
当ｘ 时 ｇ ｘ ｆ ｘ － ｘ ｘ ｙ ｘ 均为偶函数
≤０ ， （ ）＝ （ ）＝ － ｘ＋１＝１－ ｅ ， ＝ｌｏｇ３｜ ｜ ，
ｅ 所以由对称性可知方程ｆ ｘ ｘ 有 个实根 故 正
则ｇ′
（
ｘ
）＝－ｅ
ｘ
－
ｘ
ｅ
ｘ
＝－ｅ
ｘ
（
ｘ
＋１），
由ｇ′
（
ｘ
）＞０
得ｘ
＜－１；
由ｇ′
（
ｘ
） 确．故选 ．
（ ）＝ｌｏｇ３｜ ｜ １０ ， Ｄ
ＡＢＤ
得 ｘ 则ｇ ｘ ｇ １ 又ｇ ｆ １２．（２０２０山东菏泽一中 ２ 月自测）德国著名数学家狄利克雷
＜０ －１＜ ≤０， （ ）ｍａｘ＝ （－１）＝ １＋ ， （０）＝ （０）＝
ｅ [ ] 在数学领域成就显著 世纪 狄利
（Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ，１８０５—１８５９） ，１９ ，
１， ｘ →－∞ 时 ， ｇ （ ｘ ）→１， 所以ｘ ≤０ 时 ， ｇ （ ｘ ）∈ １，１＋ １ ｅ ．当ｘ 克雷定义了一个 奇怪的函数 Ｄ ｘ { １， ｘ ∈ Ｑ ， 其中Ｒ为
＞０ 时 ， ｇ （ ｘ ）＝（ ｘ －１） ２ ≥０ ．由ｇ （ ｇ （ ｘ ）－ ｔ ）－１＝０ 解得ｇ （ ｘ ）＝ ｔ “ ” （ ）＝ ０， ｘ ∈∁Ｒ Ｑ ，
或ｇ （ ｘ ）＝ ｔ ＋２ ． Ａ 选项 ， 当ｔ ＜－２ 时 ， ｇ （ ｘ ）＝ ｔ与ｇ （ ｘ ）＝ ｔ ＋２ 都无 实数集 ， Ｑ为有理数集 ， 则关于函数Ｄ （ ｘ ） 有如下四个命题 ：
其中正确的命题是
解 故没有实根 故 正确
（ ）
， ， Ａ ；
函数Ｄ ｘ 是偶函数
选项 当 １ ｔ 或ｔ 时 方程ｇ ｇ ｘ ｔ 有 Ａ． （ ）
Ｂ ， －１＋ ｅ ＜ ＜０ ＝－２ ， （ （ ）－）－１＝０ １ Ｂ．∀ ｘ １， ｘ ２∈∁Ｒ Ｑ ， Ｄ （ ｘ １＋ ｘ ２）＝ Ｄ （ ｘ １）＋ Ｄ （ ｘ ２） 恒成立
个实根 即ｇ ｘ ｔ无解 ｇ ｘ ｔ 只有一个实根 则只需ｔ 任取一个不为零的有理数Ｔ Ｄ ｘ Ｔ Ｄ ｘ 对任意的ｘ
， （ ）＝ ， （ ）＝ ＋２ ， ＋ Ｃ． ， （ ＋ ）＝ （ ） ∈
Ｒ恒成立
或ｔ １ ｔ 解得 ｔ 或 ｔ １ 故
２＝０ ＋２＞１＋ （ ＜０）， ＝－２ ０＞ ＞－１＋ ， Ｂ 不存在三个点 Ａ ｘ Ｄ ｘ Ｂ ｘ Ｄ ｘ Ｃ ｘ Ｄ
ｅ ｅ Ｄ． （ １， （ １））， （ ２， （ ２））， （ ３，
８ ６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｘ 使得 ＡＢＣ为等腰直角三角形 型人群仍为Ｒ型．若人口数为Ａ的人群在病毒暴发前全部是Ｓ
（ ３））， △
答案 ＡＣＤ 对于 若 ｘ Ｑ 则 ｘ Ｑ 满足 Ｄ ｘ 型 记病毒暴发ｎ周后的Ｓ型人数为Ｓ Ｉ型人数为Ｉ 则Ｓ
Ａ， ∈ ， － ∈ ， （ ）＝ ， ｎ， ｎ， ｎ＝
Ｄ ｘ 若ｘ Ｑ 则 ｘ Ｑ 满足Ｄ ｘ Ｄ ｘ 故函数 Ｉ ． 用Ａ和ｎ表示 其中ｎ
（－ ）； ∈∁Ｒ ， － ∈∁Ｒ ， （ ）＝ （－ ）， ， ｎ＝ （ ， ∈
Ｄ ｘ 为偶函数 选项 正确 Ｎ∗
（ ） ， Ａ ； ）
对于 取ｘ Ｑ ｘ Ｑ 则Ｄ ｘ ｘ Ｄ Ａ
Ｄ
Ｂ
ｘ
，
Ｄ
１＝
ｘ
π∈∁Ｒ
故
，
选
２＝
项
－π∈
错
∁
误
Ｒ ， （ １＋ ２）＝ （０）＝ 答案 Ａ
·０
．
９５
ｎ
； （０
．
９５
ｎ
－０
．
６５
ｎ
）
１， （ １）＋ （ ２）＝０， Ｂ ； 解析 Ｓ型人群即 ６ 为易感染人群 显然每周人数为上周人
对于 若ｘ Ｑ 则ｘ Ｔ Ｑ 满足Ｄ ｘ Ｄ ｘ Ｔ 若 ｘ ，
Ｃ， ∈ ， ＋ ∈ ， （ ）＝ （ ＋ ）； ∈
数的 ％ Ｓ ． Ａ
∁Ｒ Ｑ ， 则ｘ ＋ Ｔ ∈∁Ｒ Ｑ ， 满足Ｄ （ ｘ ）＝ Ｄ （ ｘ ＋ Ｔ ）， 故选项 Ｃ 正确 ； 故 Ｓ ９５ 是 ， 首项 １＝ 为 ０９５ ． ， Ａ 公比为 ． 的等比数列
对于 要为等腰直角三角形 只可能是如下四种情况 ｛ ｎ｝ ０９５ ， ０９５ ，
直角 Ｄ， 顶点Ａ在直线ｙ 上 ， 斜边在ｘ轴上 此时点Ｂ ： 点Ｃ 则Ｓ ｎ＝０ ． ９５ Ａ ·０ ． ９５ ｎ －１ ＝ Ａ ·０ ． ９５ ｎ．
① ＝１ ， ， ， Ｉ型人群即为感染人群 Ｒ型人群即为康复后对病毒永久免疫人群．
的横坐标为无理数 则ＢＣ中点的横坐标也为无理数 那么点 ，
， ， 第一周后 Ｓ ． Ａ Ｉ ． Ａ
Ａ的横坐标也为无理数 这与点Ａ的纵坐标为 矛盾 故不 ， １＝０９５ ， １＝００５ ；
成立
；
， １ ， 第
第
二
三
周
周
后
后
， Ｓ
Ｓ
２＝０ ．
．
９５ ２
３
Ａ
Ａ
， Ｉ
Ｉ
２＝０ ．
．
６５ Ｉ
Ｉ
１＋０ ．
．
０５ Ｓ
Ｓ
１；
， ３＝０９５ ， ３＝０６５ ２＋００５ ２；
……
第ｎ周后 Ｓ Ａ ． ｎ Ｉ ． Ｉ ． Ｓ
， ｎ＝ ·０９５ ， ｎ＝０６５ ｎ －１＋００５ ｎ －１，
Ｉ Ｉ ．
即Ｉ ｎ ＝０ ． ６５ Ｉ ｎ －１＋０ ． ０５×０ ． ９５ ｎ －１ · Ａ ⇒ ． ｎ ｎ ＝ ． ｎ －１ ｎ －１ ＋ ０ ． ０５ ×
０６５ ０６５ ０６５
直角顶点Ａ在直线ｙ 上 斜边不在ｘ轴上 此时点Ｂ的 ( ０ ． ９５ )ｎ －１ Ａ Ｉ ｎ Ｉ ｎ －１ Ａ ( １９ )ｎ －１
② ＝１ ， ， ． · ⇒ ． ｎ－ ． ｎ －１ ＝ × ，
横坐标为无理数 则点 Ａ的横坐标也应为无理数 这与点 Ａ ０６５ ０６５ ０６５ １３ １３
的纵坐标为 矛盾 ， 故不成立 ， Ｉ ｎ Ａ [ ( １９ ) １ ( １９ ) ２ ( １９ )ｎ －１ ] Ａ
１ ， ； ∴ ． ｎ ＝ × １＋ ＋ ＋…＋ ＝ ×
０６５ １３ １３ １３ １３ １３
( )ｎ
１９
１－ Ａ [( )ｎ ]
１３ １９
＝ × －１ ，
１９ ６ １３
１－
１３
Ａ [( )ｎ ] ( )ｎ Ａ [( )ｎ ( )ｎ]
Ｉ １９ １３ １９ １３ 即
∴ ｎ＝ × －１ × ＝ · － ，
６ １３ ２０ ６ ２０ ２０
直角顶点Ａ在ｘ轴上 斜边在ｙ 上 此时点Ｂ 点Ｃ的横 Ａ
③ ， ＝１ ， ， Ｉ ． ｎ ． ｎ ．
坐标为有理数 则ＢＣ中点的横坐标也为有理数 那么点Ａ的 ｎ＝ （０９５ －０６５ ）
， ， ６
横坐标也应为有理数 这与点 Ａ 的纵坐标为 矛盾 故不 １４．（２０２１北京西城一模，１５）长江流域水库群的修建和联合调
， ０ ，
成立 度 极大地降低了洪涝灾害风险 发挥了重要的防洪减灾效
； ， ，
益．每年洪水来临之际 为保证防洪需要 降低防洪风险 水利
， 、 ，
部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度 统一蓄水 用蓄
， ，
满指数 蓄满指数 水库实际蓄水量 水库总蓄水量 来
（ ＝ ÷ ×１００）
衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下
：
调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间
（１） ［０，１００］；
直角顶点Ａ在ｘ轴上 斜边不在ｙ 上 此时点Ａ的横坐 调度后每座水库的蓄满指数都不能降低
④ ， ＝１ ， （２） ；
标为无理数 则点Ｂ的横坐标应为无理数 这与点Ｂ的纵坐 调度前后 各水库之间的蓄满指数排名不变．
， ， （３） ，
标为 矛盾 故不成立． 记ｘ为调度前某水库的蓄满指数 ｙ为调度后该水库的蓄满
１ ， ，
指数 给出下面四个ｙ关于ｘ的函数解析式
， ：
ｘ
ｙ １ ｘ２ ｘ ｙ ｘ ｙ ５０ ｙ π ｘ．
① ＝－ ＋６ ；② ＝１０ ；③ ＝１０ ；④ ＝１００ｓｉｎ
２０ ２００
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 ．
答案
②④
综上 不存在三个点 Ａ ｘ Ｄ ｘ Ｂ ｘ Ｄ ｘ Ｃ ｘ 解析 ｙ １ ｘ２ ｘ １ ｘ２ ｘ １ ｘ ２
， （ １， （ １））， （ ２， （ ２））， （ ３， ① ＝－ ＋６ ＝－ （ －１２０ ）＝ － （ －６０） ＋
Ｄ ｘ 使得 ＡＢＣ为等腰直角三角形 故选项 正确． ２０ ２０ ２０
故
（
选
３）），
．
△ ， Ｄ
１８０，
该函数在ｘ
＝６０
时函数值为
１８０，
超过了范围
，
不合题意
；
ＡＣＤ ｙ ｘ为增函数 且ｘ ｙ
② ＝１０ ， ∈［０，１００］， ∈［０，１００］，
三、填空题
则 ｘ 则ｘ ｘ 符合题意
０≤ ≤１０， ≤１０ ， ；
１３．（２０２１浙江温州二模，１６）有一种病毒在人群中传播 使人群 ｘ ｘ
， ｙ ５０ 当ｘ 时 ５０ 不合题意
③ ＝１０ ， ＝５０ ，１０ ＝１０＜５０， ；
成为三种类型 没感染病毒但可能会感染病毒的Ｓ型 感染病 [ ]
： ； ｙ π ｘ 当ｘ 时 π ｘ π 故该函
毒尚未康复的Ｉ型 感染病毒后康复的Ｒ型 所有康复者都对 ④ ＝１００ｓｉｎ ， ∈［０，１００］ ， ∈ ０， ，
； （ ２００ ２００ ２
病毒免疫 ．根据统计数据 每隔一周 Ｓ型人群中有 ％仍为Ｓ
） ， ， ９５ 数在 上单调递增 且ｙ π ｘ
型 ％成为Ｉ型 Ｉ型人群中有 ％仍为Ｉ型 ％成为Ｒ型 Ｒ ［０，１００］ ， ＝１００ｓｉｎ ∈［０，１００］，
，５ ； ６５ ，３５ ； ２００
第二章 函数 ８ ７
递减 在 上单调递增 则当ｘ 时 函数取得最小
设ｇ ｘ π ｘ ｘ ｘ ， （－２，＋∞） ， ＝－２ ，
（ ）＝１００ｓｉｎ － ， ∈［０，１００］，
２００ 值 １ 此时不存在自变量ｙ 使得其函数值为 １ 故 不
－ ２， ， － ２ －４， ①
ｇ′ ｘ π π ｘ ｘ ｅ ｅ
（ ）＝１００· ·ｃｏｓ －１， ∈［０，１００］， 满足
２００ ２００ ；
对于 ｙ ｘ的值域为 故不存在符合条件的ｘ ｙ
即ｇ′ ｘ π π ｘ 易知ｇ′ ｘ π π ｘ 在 ④， ＝ｓｉｎ ［－１，１］， ， ，
（ ）＝ ·ｃｏｓ －１， （ ）＝ ·ｃｏｓ －１ 使得ｆ ｙ ｆ ｘ ．故 不满足 故答案为 ．
２ ２００ ２ ２００ （ ）＝ （ ）－４ ④ ， ②③
上为减函数 １６．（２０２１浙江温州二模，１７）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ａ 若对任意
［０，１００］ ， （ ）＝－ ｜ － ｜，
令
当
ｇ
ｘ
′ （ ｘ ）＝
ｘ
０， 则
时
存
ｇ
在
′ ｘ
ｘ ０∈［０
当
，１
ｘ
００］，
ｘ
有ｇ′ （ ｘ ）
时
＝０
ｇ
，
′ ｘ
ｘ
则
１∈
实
（
数
２，
ａ
＋
的
∞
最
），
大
都
值
存
为
在ｘ ２∈（－１
．
，０）， 使得ｆ （ ｘ １）· ｆ （ ｘ ２）＝－４，
∈［０， ０］ ， （ ）＞０， ∈［ ０，１００］ ， （ ）＜０，
故ｇ ｘ 在 ｘ 上递增 在 ｘ 上递减． 答案
（ ） ［０， ０］ ， ［ ０，１００］
１
又ｇ （０）＝０， ｇ （１００）＝０，
解析 ｆ ｘ
{
－
ｘ２
＋
ａｘ
，
ｘ
≥
ａ
，由于求ａ的最大值 因此只需
故ｘ 时 ｇ ｘ 即 ｘ 时 π ｘ （ ）＝ ｘ２ ａｘ ｘ ａ ，
∈［０，１００］ ， （ ）≥０， ∈［０，１００］ ，１００ｓｉｎ － ， ＜ ，
２００ 考虑ａ 即可．
ｘ ＞０
≥ ， 解法一 当ａ 时 ｆ ｘ 在 上单调递减 ｆ ｘ ａ
故 符合题意．故答案为 ． ： ＞２ ， （ ） （－１，０） ， （ ２）∈（０，
④ ②④ 在 上存在ｘ ａ 使得ｆ ａ
１５．（２０２１北京房山一模，１５）设函数ｆ ｘ 的定义域为Ｄ 若对任 ＋１）， （２，＋∞） １＝ ， （ ）＝０，
（ ） ， 则ｆ ｘ ｆ ｘ 所以不符合题意
ｆ ｘ ｆ ｙ （ １）·（ ２）＝０， ；
意ｘ Ｄ 存在ｙ Ｄ 使 （ ）－（ ） Ｃ Ｃ为常数 成立 则称 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 上单调递减 ｆ ｘ ａ
∈ ， ∈ ， ＝ （ ） ， ０＜ ≤２ ， （ ） （－１，０） ， （ ２）∈（０， ＋
２ ｆ ｘ 在 上单调递减 ｆ ｘ ａ
函数ｆ ｘ 在Ｄ上的 半差值 为Ｃ．下列四个函数中 满足所在 １）， （ ） （２，＋∞） ， （ １）∈（－∞，２ －４），
（ ） “ ” ， 要使得ｆ ｘ ｆ ｘ 只需要满足ｆ ｘ ｆ ｘ
定义域上 半差值 为 的函数是 填上所有满足条 （ １）·（ ２）＝－４， （ １）ｍａｘ·（ ２）ｍａｘ≤－
“ ” ２ （ 即可 即 ａ ａ ａ 故ａ的最大值为 ．
件的序号 ． ４ ， （ ＋１）（２ －４）≤－４⇒０＜ ≤１， １
） 解法二 ｆ ｘ 在 上单调递减 ｆ ｘ ａ ｆ ｘ
ｙ ｘ ｘ ｙ ｘ３ ｙ ｘ ｙ ｘ． ：（ ） （－１，０） ， （ ２）∈（０， ＋１）， （ １）
① ＝ｅ（ ＋１）；② ＝ －１；③ ＝ｌｏｇ２ ；④ ＝ｓｉｎ
答案 －４ 由题意得ｆ ｘ 的值域是ｙ －４ 值域的子集即可
②③ ＝ｆ ｘ ， （ １） ＝ｆ ｘ ，
解析 本题考查关于函数性质的新定义问题 考查学生综 （ ２） （ ２）
( )
，
合运用函数的知识分析与解决问题的能力 渗透逻辑推理的 所以 －４ ４ ．
， ｆ ｘ ∈ －∞，－ａ
核心素养 试题体现创新性． （ ２） ＋１
，
由题意可得 ， 对定义域中的任意 ｘ ， 存在 ｙ ， 使得 ｆ （ ｙ ）＝ ｆ （ ｘ ） 当 ０＜ ａ ≤２ 时 ， ｆ （ ｘ １）∈（－∞，２ ａ －４）， 所以 －ａ ＋ ４ １ ≥２ ａ －４，
－４ ． 解得
０＜
ａ
≤１；
由于 中函数值域为Ｒ 故满足 当ａ 时 ｆ ｘ 不符合要求．
对于
②
①
③
， ｙ ＝ｅ ｘ （ ｘ ＋１）， ｙ′ ＝ｅ ｘ
，
（ ｘ ＋２），
；
当ｘ ∈（－∞，－２） 时 ， ｙ′ ＜０， 综上
＞
，
２
ａ的
，
最大
（
值
１）
为
∈（
１
－
．
∞，０］，
当ｘ 时 ｙ′ ｙ ｘ ｘ 在 上单调
∈（－２，＋∞） ， ＞０，∴ ＝ｅ （ ＋１） （－∞，－２）
学生用书Ｐ４１
１．（２０２１５·３原创题）人们用分贝 来划分声音的等级 声音
（ｄＢ） ，
的等级ｄ ｘ 单位 与声音强度ｘ 单位 ２ 满足ｄ ｘ
（ ）（ ：ｄＢ） （ ：Ｗ／ｍ ） （ ）
ｘ
．一般两人小声交谈时 声音的等级约为 在
＝９ｌｇ －１３ ， ５４ ｄＢ，
１×１０
有 人的课堂上课时 老师声音的等级约为 那么老师
５０ ， ６３ ｄＢ，
上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的
（ ）
倍 倍 倍 倍
Ａ．１ Ｂ．１０ Ｃ．１００ Ｄ．１０００
１． 答案 Ｂ
２．（２０２１ ５·３原创题）为研究西南高寒山区一种常见树的生长 ２． 答案 １０米
②；
３
周期中前 １０ 年的生长规律 ， 统计显示 ， 生长 ４ 年的树高为 ７ ３．（２０２１ ５·３原创题）某城市内有一路段 Ａ 长 ３２５ 米 ， 在某时间
３ 内的车流量ｙ 千辆／小时 与汽车的平均速度ｖ 千米／小时
米 如图所示的散点图记录了样本树的生长时间ｔ 年 与树高 （ ） （ ）
， （ ） ｖ
ｙ （ 米 ） 之间的关系．请你据此判断 ， 在下列函数模型 ：① ｙ ＝２ ｔ － 之间的函数关系为ｙ ＝ｖ２ ２ ｖ ４６ ， 交通部门利用大数据 ， 采
＋２ ＋１６００
ａ ｙ ａ ｔ ｙ １ ｔ ａ ｙ ｔ ａ中 其中ａ为正的常实 用 信号灯不再固定长短 交通更加智能化 策略 红灯设置时
；② ＝ ＋ｌｏｇ２ ；③ ＝
２
＋ ；④ ＝ ＋ （ “ ，
车流量
” ，
数 拟合生长年数与树高的关系最好的是 填写序 间Ｔ 秒 路段长 那么在车流量最大时
）， （ （ ）＝ ·平均速度 米／秒 ， ，
（ ）
号 估计该树生长 年后的树高为 ．
）， ８ 路段 的红灯设置时间为 ．
Ａ
３． 答案 ． 秒
８７７５
