北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.4 双曲线
专题检测
[教师专用题组]
【3 年模拟】
1.(2019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为(
)
x2
y2 x2
A.11- =1 B. -y2=1
11 2
3
y2 x2
x2 y2
C.11- =1 D. -11=1
11 11
3 3
答案 A 设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切可得圆心(0,2)到渐近线的
距离等于半径1,由点到直线的距离公式可得
|k×0-2|
=1,解得k=± .又因为双曲线经过点(2,1),所以双
√3
√k2+1
4 1
{ - =1,
曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为
x2 -y2
=1(a>0,b>0),将(2,1)代入可得
4
-
1
=1,由
a2 b2
a2 b2 a2 b2 b
=√3
a
得
{ a2= 11 ,
故所求双曲线的标准方程为
x2 -y2
=1.故选A.
3 11
11
b2=11, 3
一题多解 设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),将(2,1)代入方程可得,4m-n=1①.双曲线的渐近线方程为y=±
2
√m m
x,圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,可得√ m=1,即 =3②,由
n 1+ n
n
x2
3 1 y2
①②可得m= ,n= ,所以该双曲线的标准方程为11- =1,故选A.
11 11 11
3
解后反思 用待定系数法求双曲线的方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定
a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为
x2 -y2
=λ(λ≠0)或mx2-
m2 n2
ny2=1(mn>0),再根据条件求解.
x2
2.(多选题)已知双曲线的方程为 -y2=1,则双曲线的 ( )
4
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√5
A.离心率为
2
1
B.渐近线方程为y=± x
4
y2
C.共轭双曲线为 -x2=1
4
D.焦点在曲线x2-√5|x|+ty2=0(t∈R)上
x2
答案 AD 由双曲线的方程为 -y2=1,可得a=2,b=1,
4
又c2=a2+b2,所以c= = ,
√a2+b2 √5
c √5
所以双曲线的离心率为 = ,故A正确;
a 2
b 1
双曲线的渐近线方程为y=± x=± x,故B错误;
a 2
x2 x2
由双曲线的方程为 -y2=1,得其共轭双曲线为y2- =1,
4 4
故C错误;
x2
由双曲线的方程为 -y2=1,
4
得焦点为(±√5,0),代入曲线的方程x2-√5|x|+ty2=0(t∈R),满足方程,故D正确.
故选AD.
x2 y2
3.已知双曲线 - =1的左、右焦点分别为F,F,点P是该双曲线上的一点,且|PF|=10,则|PF|= ( )
1 2 1 2
16 48
A.2或18 B.2 C.18 D.4
答案 C 由已知得a=4,b=4√3,
又c2=a2+b2,所以c=8,
因为|PF|=10<a+c=12,
1
所以点P在该双曲线左支上,则|PF|=2a+|PF|=2×4+10=18,
2 1
故选C.
4.(2020北大附中周测,8)已知F为双曲线C:x2 -y2
=1(a>b>0)的右焦点,A、B是双曲线C的一条渐近线上关
a2 b2
于原点对称的两点,AF⊥BF,且AF的中点在双曲线C上,则C的离心率为( )
√3+1 √5+1
A.√5-1 B. C. D.√3+1
2 2
答案 A 本题考查双曲线的几何性质,通过双曲线的几何性质考查学生分析问题、处理问题的能力,体现
直观想象、数学运算的核心素养.
因为a>b>0,所以1<e<√2,
双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,由渐近线上的点A、B关于原点对称,AF⊥BF,可得AO=OB=OF=c.
①当A(-a,b)时,F(c,0),可得AF的中点坐标为(c-a b),所以(c-a)2 - b2 =1,即(c-a)2 =5,解得e=
,
2 2 4a2 4b2 a2
√5+1(舍去)或e=-√5+1(舍去),
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②如图,当A(a,-b)时,F(c,0),可得AF的中点坐标为(c+a b),所以(c+a)2 - b2 =1,即(c+a)2 =5,解
,-
2 2 4a2 4b2 a2
得e=√5-1或e=-√5-1(舍去),故选A.
思路分析 首先写出双曲线的渐近线方程,求得点A的坐标,然后求AF的中点,代入双曲线方程即可求解.
5.(2020湖北黄冈中学期中)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F、F,过点F 作圆x2+y2=a2
1 2 1
a2 b2
的切线,交双曲线右支于点M,若∠FMF=45°,则双曲线的渐近线方程为 ( )
1 2
1
A.y=± x B.y=±x C.y=±√2x D.y=±√3x
2
答案 C 如图,设直线FM与圆O的切点为A,连接OA,作FB⊥FM于点B.
1 2 1
则|OA|=a,|FB|=|BM|=2a,|FM|=2√2a,|FB|=2b.
2 2 1
又点M在双曲线右支上,∴|FM|-|FM|=2a+2b-2√2a=2a,
1 2
b
整理得b=√2a,即 =√2,
a
∴双曲线的渐近线方程为y=±√2x.
故选C.
x2 y2
6.(2020浙江湖州期末,6)已知双曲线 - =1的左、右焦点分别为F,F,过F 的直线l交双曲线于P,Q两
1 2 2
16 4
点,若PQ长为5,则△PQF 的周长是 ( )
1
A.13 B.18 C.21 D.26
答案 D 本题主要考查双曲线的定义运用.
若直线l与双曲线的两支均相交,则|PQ|≥2a=8,这与已知矛盾,所以l与双曲线的右支交于点P、Q.
由双曲线的定义知
{|PF
1
|=|PF
2
|+2a,
所以△PQF 1 的周长为|PQ|+|PF 1 |+|QF 1 |=2|PQ|
|QF |=|QF |+2a,
1 2
+4a=2×5+4×4=26,故选D.
7.(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(5月),8)已知F,F
是双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点,P是
1 2
a2 b2
a
双曲线上的一点,且PF⊥PF,若△PFF 的内切圆半径为 ,则该双曲线的离心率为( )
1 2 1 2
2
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√3+1 √6+1
A.√6-1 B. C. D.√6+1
2 2
答案 C 由题意知
||PF |-|PF ||=2a,
{ 1 2 ||PF |-|PF ||=2a,①
{
|PF |2+|PF |2=4c2, 1 2
1 2 即 |PF |2+|PF |2=4c2,
|PF |+|PF |-2c a 1 2
1 2 = , |PF |+|PF |=a+2c,②
2 2 1 2
由①2+②2得2(
|PF |2
+
|PF |2
)=5a2+4ac+4c2,即8c2=5a2+4ac+4c2,
1 2
√6+1
故4e2-4e-5=0,解得e= (负的已舍),故选C.
2
x2
8.(2020北京十四中期中,10)双曲线 -y2=1的渐近线方程为 .
4
1
答案 y=± x
2
x2
解析 由双曲线 -y2=1得a=2,b=1,焦点在x轴上,
4
x2 b 1
∴双曲线 -y2=1的渐近线方程为y=± x=± x.
4 a 2
思路分析 由双曲线的方程确定双曲线的焦点所在坐标轴,以及a,b,从而确定双曲线的渐近线方程.
9.(2020湖北武汉月考)双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0)、F(c,0),过F 且斜率为
1 2 1 √3
a2 b2
的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B,若( + )· =0,则C的离心率为 .
⃗BA ⃗BF ⃗AF
2 2
1+√13
答案
2
解析 由( + )· =( + )·( - )= - =0得|BF|=|BA|,
⃗BA ⃗BF ⃗AF ⃗BA ⃗BF ⃗BF ⃗BA |⃗BF |2|⃗BA|2 2
2 2 2 2 2
根据双曲线的定义可得|BF|-|BF|=2a,|AF|-|AF|=2a,
1 2 2 1
所以|AF|=|BF|-|BA|=2a,
1 1
因此|AF|=2a+|AF|=4a,
2 1
因为直线AB的斜率为√3,所以∠AFF=60°,
1 2
又|FF|=2c,
1 2
所以cos 60°=
|AF
1
|2+|F
1
F
2
|2-|AF
2
|2 =4a2+4c2-16a2 =c2-3a2
,
2|AF ||F F | 4a·2c 2ac
1 1 2
即c2-ac-3a2=0,所以e2-e-3=0,
1+√13 1-√13
解得e= 或e= (舍,双曲线的离心率大于1).
2 2
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思路分析 先由( + )· =0,得出|BF|=|BA|,再由双曲线的定义求出|AF|=|BF|-|BA|=2a,|AF|=2a+|
⃗BA ⃗BF ⃗AF 2 1 1 2
2 2
AF|=4a,根据直线AB的斜率得到∠AFF=60°,由余弦定理列出方程求解,即可得出结果.
1 1 2
10.(2018江苏高邮中学阶段考试,9)如图所示,F 和F
是双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O
1 2
a2 b2
为圆心、OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△FAB是等边三角形,则该双曲线的离心率为
1 2
.
答案 √3+1
解析 由题意得|AF|=|FF|·cos 30°=√3c,|AF|=|FF|·sin 30°=c.由双曲线的定义得|AF|-|AF|=2a,即2a=(√3
2 1 2 1 1 2 2 1
c 2
-1)c,∴e= = =√3+1.
a √3-1
11.(2018江苏扬州期末检测,10)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2-
a2 b2
6y+5=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是 .
答案 ( 3)
1,
2
b
解析 圆x2+y2-6y+5=0的标准方程为x2+(y-3)2=4,双曲线的渐近线方程为y=± x,即bx±ay=0,由条件知圆心到
a
渐近线的距离大于半径,从而有 |3a| >2,∴3a>2c,∴e<3,又e>1,∴1<e<3,∴离心率的取值范围是( 3).
1,
√a2+b2 2 2 2
评析 本题根据双曲线的渐近线与圆没有交点,即圆心到渐近线的距离大于半径找到基本量的关系,得到离
心率的范围,是基础题.
12.(2018江苏南京、盐城高三二模,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2-y2
=1(b>0)的两条渐近线与圆
b2
O:x2+y2=2的四个交点依次为A,B,C,D.若矩形ABCD的面积为b,则b的值为 .
答案 √7
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2
{x2= ,
1+b2
解析 双曲线的渐近线方程为y=±bx,与圆的方程联立,解得 由对称性知矩形ABCD的面积
2b2
y2= ,
1+b2
b=4|xy|=4√ 2 2b2 ,解得b= .
× √7
1+b2 1+b2
解题关键 本题关键是抓住对称性,得到矩形ABCD的面积b=4|xy|.
y2
13.(2018南通高三调研,7)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C与双曲线x2- =1有公共的渐近线,且经
3
过点P(-2,√3),则双曲线C的焦距为 .
答案 4√3
y2
解析 ∵双曲线C与双曲线x2- =1有公共的渐近线,
3
y2
∴设双曲线C的方程为x2- =λ(λ>0),
3
∵双曲线C经过点P(-2,√3),
∴λ=4-1=3.
x2 y2
∴双曲线C的方程为 - =1.
3 9
∴双曲线C的焦距为2√3+9=4√3.
方法归纳
与双曲线x2 -y2 =1(a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2 -y2
=λ(λ>0),此种方法比用
a2 b2 a2 b2
基本量求a,b要简单.
14.(2017安徽池州模拟,15)已知椭圆x2+ y2=1的右焦点F到双曲线E:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的渐近线的距离
16 12 a2 b2
小于√3,则双曲线E的离心率的取值范围是 .
答案 (1,2)
x2 y2
解析 椭圆 + =1的右焦点F为(2,0),
16 12
不妨取双曲线E:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线为bx+ay=0,
a2 b2
|2b|
则F到渐近线bx+ay=0的距离d= < ,
√3
√b2+a2
即有2b<√3c,∴4b2<3c2,
∴4(c2-a2)<3c2,
∴e<2,
∵e>1,∴1<e<2.
失分警示 求双曲线离心率的范围时一定要注意离心率大于1的前提条件.
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15.(2018河北名校名师俱乐部二调,15)已知F、F
分别是双曲线x2-y2
=1(b>0)的左、右焦点,A是双曲线上
1 2
b2
在第一象限内的点,若|AF|=2且∠FAF=45°,延长AF 交双曲线的右支于点B,则△FAB的面积等于 .
2 1 2 2 1
答案 4
解析 由题意知a=1,由双曲线定义知|AF|-|AF|=2a=2,|BF|-|BF|=2a=2,
1 2 1 2
∴|AF|=2+|AF|=4,|BF|=2+|BF|.
1 2 1 2
由题意知|AB|=|AF|+|BF|=2+|BF|,
2 2 2
∴|BA|=|BF|,
1
∴△BAF 为等腰三角形,
1
∵∠FAF=45°,
1 2
∴∠ABF=90°,
1
∴△BAF 为等腰直角三角形.
1
√2 √2
∴|BA|=|BF|= |AF|= ×4=2√2.
1 1
2 2
1 1
∴S = |BA|·|BF|= ×2√2×2√2=4.
△F 1 AB 2 1 2
16.(2017河南百校联盟质检,16)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F(c,0),A,B是
1 2
a2 b2
圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且FA∥FB,则双曲线C的离心率为 .
1 2
3+√17
答案
4
解析 由双曲线定义得|AF|=2a+2c,|BF|=2c-2a,
2 2
因为FA∥FB,
1 2
所以∠FFA+∠FFB=180°,
2 1 1 2
所以cos∠FFA=-cos∠FFB,
2 1 1 2
4c2+4c2-(2a+2c)2 4c2+(2c-2a)2-4c2
结合余弦定理得 =- ,
2×2c×2c 2×2c×(2c-2a)
所以2e2-3e-1=0,又e>1,
3+√17
所以e= .
4
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17.(2018浙江名校协作体联考,16)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F的直线l与双曲线的渐
a2 b2
近线交于A,B两点,且与其中一条渐近线垂直,若⃗AF=3⃗FB,则此双曲线的离心率为 .
√6
答案
2
b
解析 设渐近线l 的倾斜角为θ,且AB⊥l,则由题意知tan θ= ,且满足tan 2θ=4tan θ,利用二倍角公式展开,
1 1
a
知 2tanθ =4tan θ,故tan2θ=1,所以b2 =1,即e2=3,因此e=√6.
1-tan2θ 2 a2 2 2 2
18.(2018江苏启东中学月考)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F,F,且|FF|=2√13,
1 2 1 2
椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程;
(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠FPF 的值.
1 2
解析 (1)由题意知c=
,设椭圆方程为x2 +y2
=1(a>b>0),双曲线方程为
x2 -y2
=1(m>0,n>0),
√13
a2 b2 m2 n2
{
a-m=4,
则 解得a=7,m=3.则b=6,n=2.
√13 √13
7· =3· ,
a m
x2 y2 x2 y2
故椭圆方程为 + =1,双曲线方程为 - =1.
49 36 9 4
(2)不妨设F,F 分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF|+|PF|=14,|PF|-|PF|=6,
1 2 1 2 1 2
所以|PF|=10,|PF|=4.又|FF|=2√13,
1 2 1 2
|PF |2+|PF |2-|F F |2
所以cos∠F 1 PF 2 = 1 2 1 2
2|PF ||PF |
1 2
102+42-(2√13)2 4
= = .
2×10×4 5
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