曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
10.2 双曲线
三年模拟
一、选择题
1.(2022河南开封二模,5)设A,F分别是双曲线C:
x2 y2 |AA'| 1
- =1(a>0,b>0)的一个顶点和焦点,过A,F分别作C的一条渐近线的垂线,垂足分别为A',F',若 =
a2 b2 |FF'| 2
,则C的渐近线方程为( )
√3
A.y=±√3xB.y=± x
3
√3 √2
C.y=± xD.y=± x
2 2
答案 A 不妨设A(a,0),F(c,0),一条渐近线方程为y=
ab
b |ab| ab |bc| bc |AA'| 1 c 1 a 1 b
x,则|AA'|= = ,|FF'|= = =b,又 = ,所以 = ,即 = ,所以c2=4a2,又因为c2=a2+b2,所以a2+b2=4a2,即b2=3a2,所以 =√3,所以双曲线C的渐近线方程为y=±√3
a √a2+b2 c √a2+b2 c |FF'| 2 b 2 c 2 a
x,故选A.
2.(2022合肥一模,7)若直线l:x-2y-
x2 y2
=1(a>0,b>0)的一个焦
√15=0经过双曲线M: -
a2 b2
点,且与双曲线M有且仅有一个公共点,则双曲线M的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1B. - =1
5 20 20 5
x2 y2 x2 y2
C. - =1D. - =1
3 12 12 3
答案 D 因为直线l经过双曲线M的一个焦点,所以在x-2y-
b 1 x2 y2
√15=0中,令y=0,得x=√15,所以c=√15①,又直线l与双曲线M有且仅有一个公共点,所以直线l与双曲线的一条渐近线平行,即 = ,所以a=2b②,又c2=a2+b2③,由①②③可得a2=12,b2=3,所以双曲线M的方程为 -
a 2 12 3
=1,故选D.
3.(2022长沙长郡等十五校联考(一),8)已知双曲线C:x2 y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分
-
a2 b2
别为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),双曲线C上一点P到x轴的距离为c,且∠PF
2
F
1
=135°,则双曲线C的
离心率为( )
√3+1
A.√3+1B.
2
√10+√2 √5+1
C. D.
4 2
答案 C 作PM⊥x轴于M,依题意知|PM|=c.∠PF
2
F
1
=135°,故∠PF
2
M=45°,故△PF
2
M为等腰
直角三角形,则|PF |=√2c.由双曲线的定义知|PF1|=2a+√2c,又|F M|=3c,在
2 1
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Rt△PF
1
M中,|PF
1
|2=|F
1
M|2+|PM|2,整理得2c2-
√10+√2
√2ac-a2=0,即2e2-√2e-1=0,因为e>1,所以e= .故选C.
4
4.(2022西安中学二模,10)已知双曲线C:
y2 x2 3
- =1(a>0,b>0)的上、下顶点分别为A1,A2,点P在双曲线C上(异于顶点),直线PA1,PA2的斜率乘积为
a2 b2 4
,则双曲线C的渐近线方程为( )
1 √3
A.y=± xB.y=± x
2 2
2√3
C.y=± x D.y=±2x
3
答案 B 由题意知A (0,a),A (0,-a),设点P(m,n)(|n|>a)是C上异于顶点的一点,则
1 2
n2 m2 b2 ·(n2-a2).直线PA ,PA 的斜率分别为k =
- =1,即m2= 1 2 1
a2 b2 a2
n-a n+a 3 n2-a2 3 a2 3 √3
,k2= ,由直线PA1,PA2的斜率乘积为 ,得 = ,所以 = ,则双曲线C的渐近线方程为y=±
m m 4 m2 4 b2 4 2
x,故选B.
5.(多选)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x±2y=0,则以该组直线为渐近线的双曲
线的方程可能是( )
A.x2-4y2=1 B.4y2-x2=1
y2 x2
C.x2- =1D. -y2=1
4 4
答案 ABD 双曲线x2-4y2=1的渐近线方程为y=±
1 1 y2 x2 1
x,即x±2y=0,故A符合题意;双曲线4 y2-x2=1的渐近线方程为y=± x,即x±2y=0,故B符合题意;双曲线x2- =1的渐近线方程为y=±2x,即2x± y=0,故C不符合题意;双曲线 - y2=1的渐近线方程为y=±
2 2 4 4 2
x,即x±2y=0,故D符合题意,故选ABD.
6.(多选)(2020全国统一模拟五,12)设F 、F 分别为双曲线C:
1 2
x2 y2 √15的直线l与C在
- =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过左焦点F1且斜率为
a2 b2 7
第一象限相交于一点P,则下列说法正确的是 ( )
7
A.直线l倾斜角的余弦值为
8
4
B.若|F P|=|F F |,则C的离心率e=
1 1 2
3
C.若|PF |=|F F |,则C的离心率e=2
2 1 2
D.△PF
1
F
2
不可能是等边三角形
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答案 AD 设直线l的倾斜角为α,则tan α=
√15 7 4c2+4c2-(2c-2a)2 7 2 4c2+(2c+2a)2-4c2 7 4
,所以cos α= .因为P在第一象限内,所以若|F1P|=|F1F2|,则|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|=2c-2a,由余弦定理的推论得 = ,整理得3e2-8e+4=0,解得e=2或e= (舍);若|PF2|=|F1F2|,则|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|=2c+2a,由余弦定理的推论得 = ,整理得3e2-e-4=0,解得e=
7 8 8c2 8 3 8c(c+a) 8 3
或e=-1(舍).由|PF
1
|>|PF
2
|知△PF
1
F
2
不可能为等边三角形.故选AD.
7.(2022九师联盟核心模拟卷五,5)已知双曲线C:
x2 y2 4,且双曲线上的点到焦
- =1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角的余弦值为
a2 b2 5
点的最小距离为1,则C的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1B. - =1
8 6 12 9
x2 y2 x2 y2
C. - =1D. - =1
64 36 16 9
答案 D 因为C:
x2 y2 4 b 3 4 x2 y2
- =1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角的余弦值为 ,所以 = ,即a= b.因为双曲线上的点到焦点的最小距离为1,所以c-a=1,因为c2=a2+b2,所以a=4,b=3,所以C的方程为 -
a2 b2 5 a 4 3 16 9
=1.故选D.
8.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,7)在平面直角坐标系中,双曲线C过点P(1,1),且其
两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x-y=0,则双曲线C的方程为( )
x2 4 y2
A. - =1
3 3
4x2 y2
B. - =1
3 3
4x2 y2 x2 4 y2
C. - =1或 - =1
3 3 3 3
4 y2 x2
D. - =1
3 3
答案 B
解法一:若双曲线焦点在x轴上,则可设其标准方程为x2 y2
=1(a>0,b>0),
-
a2 b2
1 1
由题意得
{ a2 - b2 =1, { a2= 3 ,
解得 4
b
=2, b2=3,
a
4x2 y2
所以双曲线的方程为 - =1.
3 3
若双曲线焦点在y轴上,则可设其标准方程为y2 x2
=1(a>0,b>0),
-
a2 b2
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1 1
{ - =1,
由题意得
a2 b2
此时无解.
a
=2,
b
4x2 y2
综上,双曲线的方程为 - =1.故选B.
3 3
解法二:由双曲线渐近线方程为2x±y=0,可设双曲线方程为(2x+y)(2x-y)=λ(λ≠0),
把P(1,1)代入上式得λ=3,
4x2 y2
所以双曲线的方程为 - =1.
3 3
x2
9.(2022安徽蚌埠三模,10)已知双曲线C: -y2=1,点F是C的左焦点,若点P为C右支上
9
的动点,设点P到C的一条渐近线的距离为d,则d+|PF|的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
x2
答案 B 由双曲线C: - y2=1,可得a2=9,b2=1,所以a=3,b=1,c=√10,
9
过点P向C的一条渐近线作垂线,垂足为H,
设F 为双曲线的右焦点,d'为F 到渐近线的距离,
2 2
则|FP|-|F P|=2a,所以|FP|+|HP|-|F P|-|HP|=2a,所以|FP|+d=|FP|+|HP|=2a+|F P|+|HP|
2 2 2
≥2a+d'=2a+b=7.故选B.
x2 y2 2√3
10.(2022江西上饶六校二模,10)已知双曲线E: - =1的离心率为 ,则双曲线
m+4 m 3
E的两条渐近线的夹角为( )
π π π π π 2π
A. B. C. 或 D. 或
6 3 6 3 3 3
答案 B 当
{m+4>0, √m+4+m 2√3 x2 y2=1.
即m>0时, = ,解得m=2,则双曲线E: -
m>0, m+4 3 6 2
√2 √3 π 5π
此时渐近线的斜率为± =± ,所以渐近线的倾斜角为 和 ,
6 3 6 6
π π
所以双曲线E的两条渐近线的夹角为2× = .
6 3
当{m+4<0, √-m-4-m 2√3 y2 x2 =1.
即m<-4时, = ,解得m=-6,则双曲线E: -
m<0, -m 3 6 2
√6 π 2π
此时渐近线的斜率为± =±√3,所以渐近线的倾斜角为 和 ,
2 3 3
所以双曲线E的两条渐近线的夹角为2×(π π) π.
- =
2 3 3
故选B.
易错警示 注意讨论双曲线焦点的位置.
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11.(2022长春二模,10)已知双曲线C:
x2 y2
- =1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P为双曲线C右支上一点,点M的坐标为(0,c),若|PM|+|PF1|的最小值为2√2
a2 b2
c,则双曲线C的离心率为( )
√5
A.√2B.√3C.2D.
2
答案 A 由双曲线的定义可知,|PF |=|PF |+2a,所以|PM|+|PF |=|PM|+|PF |+2a≥|MF |+2a=2
1 2 1 2 2
√2c,
c
又|MF |=√(c-0)2+(0-c)2=√2c,所以2a=√2c,离心率e= =√2,故选A.
2
a
12.(2022郑州二模,11)已知点F为双曲线x2 y2
=1(a>0,b>0)的左焦点,过原点O的直线
-
a2 b2
与双曲线交于A,B两点(点B在双曲线左支上),连接BF并延长交双曲线于点C,且|BC|=3|
BF|,AF⊥BC,则该双曲线的离心率为( )
√10 √17 √10 √17
A. B. C. D.
2 3 3 2
答案 B 如图,设F'为双曲线的右焦点,连接AF',BF',CF',则根据对称性及AF⊥BC知四
边形AFBF'为矩形.
设|BF|=|AF'|=m(m>0),则|BF'|=|AF|=2a+m,|CF|=2m,|CF'|=2a+2m,
|AF'| m
cos∠CFF'=-cos∠AF'F=- =- ,
|FF'| 2c
在△CFF'中,由余弦定理得|CF'|2=|CF|2+|FF'|2-2|CF|·|FF'|·cos∠CFF',
m
即(2a+2m)2=4m2+4c2+2·2m·2c· ,即4(a+m)2-8m2=4c2①,
2c
在Rt△AFF'中,|AF|2+|AF'|2=|FF'|2,即(2a+m)2+m2=4c2②,
2
联立①②,解得m= a③,
3
把③代入②,得( 2a) 2 +(2a) 2 c √17.故选B.
2a+ =4c2,解得e= =
3 3 a 3
13.(2022东城二模,6)已知双曲线C:
x2 y2 |F F |
- =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为C右支上一点.若C的一条渐近线方程为3x+4 y=0,则 1 2
a2 b2 |PF |-|PF |
2 1
=( )
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5 5 5 5
A.- B. C.- D.
3 3 4 4
答案 C 双曲线C的一条渐近线方程为y=-
3 b 3 |F F | 2c √a2+b2 √ 9 5,故选C.
x,则 = , 1 2 = =- =- 1+ =-
4 a 4 |PF |-|PF | -2a a2 16 4
2 1
14.(2022顺义二模,4)已知双曲线C:x2
,0),则双曲线C
- y2=1(a>0)的一个焦点为(√5
a2
的一条渐近线方程为( )
1 √6
A.y= xB.y=2xC.y=√6xD.y= x
2 6
答案 A 由题意得b=1,c=
b 1
√5,所以a2=(√5)2-12=4,所以双曲线C的渐近线方程为y=± x=± x,故选A.
a 2
15.(2022海淀二模,3)已知双曲线C:x2 y2
=1(a>0,b>0)的渐近线经过点(1,2),则双曲线的
-
a2 b2
离心率为( )
A.√2B.√3C.2D.√5
答案 D 因为双曲线C的渐近线经过点(1,2),所以
b c √ b2 .故选D.
=2,所以离心率e= = 1+ =√5
a a a2
x2 y2
16.(2022丰台一模,8)已知F是双曲线C: - =1的一个焦点,点M在双曲线C的一条
4 8
渐近线上,O为坐标原点.若|OM|=|MF|,则△OMF的面积为( )
3 3√2
A. B. C.3√2 D.6
2 2
答案 C 不妨设F为双曲线C的左焦点,点M(x ,y )在渐近线y=-
0 0
,则
√2x上,易得a=2,b=2√2,c=2√3,又|OM|=|MF|,所以x0=-√3,y0=√6
1
△OMF的面积为 ×2√3×√6=3√2.故选C.
2
17.(2022门头沟一模,9)已知双曲线C:x2 y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 、F ,过
- 1 2
a2 b2
π
F
1
作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线右支于M,若∠F
1
MF
2
= ,则C的渐近线方程为( )
4
A.y=±√3xB.y=±√2x
C.y=±2x D.y=±√5x
答案 B 如图所示,设MF
1
与圆相切于点N,连接ON,过F
2
作F
2
P⊥F
1
M,垂足为P,
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故|PF |=2|ON|=2a,|PF |= =2b,
2 1 √|F F |2-|PF |2=√4c2-4a2
1 2 2
π
又∠F
1
MF
2
= ,则|MP|=|PF
2
|=2a,
4
则|MF |=|PF |+|MP|=2b+2a,|MF |=√2|PF2|=2√2a,
1 1 2
由双曲线的定义得|MF |-|MF |=2a+2b-2√2a=2a,
1 2
即b=√2a,
b
故渐近线方程为y=± x=±√2x,故选B.
a
18.(2022昌平二模,5)已知双曲线C:
x2 y2
- =1(a>0,b>0)的焦距为4,其右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为√2
a2 b2
,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±√3xC.y=±√2x D.y=±x
答案 D 由2c=4,得c=2,设双曲线C的一条渐近线方程为y=
b bc
x,即bx-ay=0,所以右焦点到这条渐近线的距离d= =b=√2,又∵a2=c2-b2=4-2=2,所以a=√2
a √b2+a2
,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,故选D.
19.(2022西城一模,5)若双曲线
x2 y2 ,则双曲线的方程为(
- =1(a>0,b>0)的焦点F(3,0)到其渐近线的距离为√5
a2 b2
)
x2 y2 x2 y2
A. - =1B. - =1
4 5 5 4
x2 y2 x2 y2
C. - =1D. - =1
3 6 6 3
答案 A 不妨取双曲线
x2 y2 b |3b| .
- =1的一条渐近线为y= x,即bx-ay=0.所以 =√5
a2 b2 a √a2+b2
又c= =3,所以a2=4,b2=5,
√a2+b2
x2 y2
所以双曲线的方程为 - =1.故选A.
4 5
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20.(2022丰台二模,10)已知双曲线C:
x2 y2
- =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2.以线段A1A2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M,且点M在第一象限,A2M与另一条渐近线平行.若|F1M|=√21
a2 b2
,则△MA
2
F
2
的面积是( )
3√3 7√3 3√3 7√3
A. B. C. D.
2 2 4 4
答案 C 由题意知A (-a,0),A (a,0),F (-c,0),F (c,0),则以线段A A 为直径的圆的方程为
1 2 1 2 1 2
x2+y2=a2,
{
a2
{
a2
{x2+ y2=a2, x= , x=- ,
联立 c c
b 解得 或
y= x, ab ab
a y= y=- ,
c c
又因为点M在第一象限,所以M(a2 ab),
,
c c
b
因为A M与直线y=- x平行,
2
a
ab
c b b b
所以 =- ,即 =- ,
a2 a a-c a
-a
c
所以c=2a,则b2=c2-a2=3a2,
因为|F
1
M|= √ (a2
+c
) 2
+
(ab) 2
=√21
,
c c
所以 √ (5a2 ) 2 (b) 2 ,
+ =√21
2a 2
25a2 b2 25a2 3a2
即 + = + =21,
4 4 4 4
所以a2=3,则c2=12,b2=9,
所以M(√3 3) ,0),
, ,A2(√3,0),F2(2√3
2 2
1 3 3√3
所以S = ×(2√3-√3)× = .故选C.
△MA 2 F 2 2 2 4
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21.(2022天一顶尖计划联考(三),11)已知双曲线C:x2 y2
=1(a>0)的左、右焦点分别为
-
a2 3a2
F ,F ,过C的左顶点A作一条与渐近线平行的直线与y轴相交于点B,点M为线段AB上
1 2
一个动点,当 ·
⃗M F
1
n
⃗M F 分别取得最小值和最大值时,点M的纵坐标分别记为m,n,则 =( )
2 m
4 3
A. B. C.3 D.4
3 2
答案 D 由题意知双曲线C的一条渐近线的斜率为
√3a
=√3,因此不妨设直线AB的方程为y=√3(x+a).
a
设M(t, a)(-a≤t≤0),易知F (-c,0),F (c,0)(c>0),则 a),
√3t+√3 1 2 ⃗M F =(-c-t,-√3t-√3
1
a),
⃗M F =(c-t,-√3t-√3
2
则 · =t2-c2+3(t+a)2
⃗M F ⃗M F
1 2
=t2-4a2+3(t+a)2=4t2+6at-a2=4( 3 ) 2 13a2.
t+ a -
4 4
由于-a≤t≤0,故当t=-3a时, · ( 3 ) √3a;
⃗M F ⃗M F 取得最小值,此时m=√3× - a +√3a=
4 1 2 4 4
n √3a
⃗M F 取得最大值,此时n=√3a.则 =
当t=0时,⃗M F · 2 m √3a=4.
1
4
22.(2022河西一模,8)已知双曲线C:x2 y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F ,F ,c是双曲
- 1 2
a2 b2
线C的半焦距,点A是圆O:x2+y2=c2上一点,线段F A交双曲线C的右支于点B,|F A|=a,
2 2
=3 ,则双曲线C的离心率为( )
⃗F A ⃗F B
2 2
√6 3√3 3√6
A. B. C. D.√6
2 2 2
答案 A ∵|F A|=a, =3 ,
2 ⃗F A ⃗F B
2 2
a 2
∴|⃗F A|=3|⃗F B|,则|⃗F B|= ,|BA|= a,
2 2 2 3 3
7
又|⃗F B|-|⃗F B|=2a,∴|⃗F B|= a.
1 2 1 3
∵F
1
、F
2
是圆O的直径,∴∠F
1
AF
2
=90°,
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又|F 1 F 2 |=2c,∴|F 1 A|2=|F 1 B|2-|AB|2=|F 1 F 2 |2-|AF 2 |2,即(7 a ) 2 -
3
(2 ) 2 c2 3,
a =(2c)2-a2,化简得 =
3 a2 2
c √6
∴e= = .
a 2
23.(2022和平一模,8)已知双曲线
y2 x2
- =1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(√3,2),且双曲线的一个焦点在抛物线x2=4√7
a2 b2
y的准线上,则双曲线的方程为( )
y2 x2 x2 y2
A. - =1B. - =1
21 28 28 21
x2 y2 y2 x2
C. - =1D. - =1
4 3 4 3
a 2
答案 D 由题意得, = ①,
b √3
∵双曲线的一个焦点在抛物线x2=4√7 y的准线y=-√7上,∴c=√7,∴a2+b2=c2=7②,
由①②得a=2,b=√3,
y2 x2
∴双曲线的方程为 - =1.故选D.
4 3
24.(2022天津市实验中学自主模拟一,8)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的
直线l,若直线l与抛物线在第一象限的交点为A,并且点A也在双曲线x2 y2
-
a2 b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线上,则双曲线的离心率为( )
√21 2√3
A. B.√13C. D.√5
3 3
答案 A 焦点F的坐标为
(p ) ( p) (3p ) x2 y2 b b 3p √ b2 √21
,0 ,所以直线l的方程为y=√3 x- , 联立直线方程与抛物线方程可得直线l与抛物线在第一象限的交点A ,√3p ,点A也在双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线上,即在直线y= x上,则√3p= × ,则有e= 1+ =
2 2 2 a2 b2 a a 2 a2 3
故选A.
25.(2022河北一模,8)已知双曲线C:x2 y2 2√3,O为坐标
- =1(a>0,b>0)的离心率为
a2 b2 3
原点,过右焦点F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为M,N,且△OMN为直角三
3√3
角形,若△OMN的面积为 ,则双曲线C的方程为( )
2
x2 y2 x2 y2
A. - =1B. - =1
12 4 6 2
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x2 x2 y2
C. - y2=1D. - =1
3 2 6
c 2√3 b √3
答案 C 由e= = ,可得 = ,设M在第一象限,所以
a 3 a 3
∠MOF=30°,∠MON=2∠MOF=60°,
根据对称性,不妨设∠OMN=90°,
√3
所以|MF|= |OM|,|ON|=2|OM|,
3
1 3√3
因为S = |OM|·|ON|·sin 60°= ,
△OMN 2 2
√3
所以|OM|2=3,即|OM|=√3,所以|MF|= ×√3=1,
3
而焦点F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d=MF=
bc ,
=b,所以b=1,所以a=√3b=√3
√a2+b2
x2
所以双曲线C的方程为 -y2=1.
3
二、填空题
26.(2022成都二诊,16)已知F 为双曲线
2
x2 y2 1
- =1(a>0,b>0)的右焦点,经过F2作直线l与双曲线的一条渐近线垂直,垂足为A,直线l与双曲线的另一条渐近线相交于点B.若|AF2|=
a2 b2 3
|BF |,则双曲线的离心率为 .
2
√6
答案 或√3
2
1
解析 (1)如图1,当⃗AF = ⃗F B时,
2 3 2
图1
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由题意得F (c,0),双曲线的渐近线方程为y=±
2
b b b
x,若A为直线F2A与直线y= x的交点,B为直线F2A与直线y=- x的交
a a a
点,则
a a b a2 b a2c
k =- ,所以直线F2A的方程为y=- (x-c),与y= x联立可得x A= ,直线F2A的方程与y=- x联立可得xB=
F 2 A b b a c a a2-b2
由3 =
⃗AF
2
( a2 ) a2c 3 √6
⃗F B,得3 c- = -c,结合b2=c2-a2,整理,得2c4-5a2c2+3a4=0,即2e4-5e2+3=0,解得e2= 或e2=1(舍去),所以e=
2 c a2-b2 2 2
.
1
(2)如图2,当⃗F A= ⃗F B时,
2 3 2
图2
同(1)可得x =a2 a2c .由3 = (a2 ) a2c -c,结合b2=c2-a2,整
A ,xB= ⃗F A ⃗F B,得3 -c =
c a2-b2 2 2 c a2-b2
理,得c4-4a2c2+3a4=0,
即e4-4e2+3=0,解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=√3.
√6
综上,双曲线的离心率为 或√3.
2
27.(2022皖北协作体3月联考,15)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x2 y2
-
a2 b2
=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,若该双曲线上存在点P,使得直线PA,PB的斜率之
和为1,则该双曲线离心率的取值范围为 .
答案 ( √5)
1,
2
y y
解析 易知A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则 + =1,所以2xy=x2-a2,
x+a x-a
又x2 y2 a2y2 a2y2
,
- =1,所以x2-a2= ,即2xy=
a2 b2 b2 b2
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所以y=2b2
x,
a2
即 直线 y=
2b2 2b2 b c
x与双曲线有公共点,所以 < ,即a>2b,所以a2>4b2=4(c2-a2),所以e=
a2 a2 a a
∈( √5).
1,
2
一年创新
(2022朝阳一模,9)如图1,北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的
冷却塔交相辉映,实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2,冷却塔的外形是双曲线的一
部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为16 m,上口半径为17 m,下口半径为28.5
m,高为70 m.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系,设|OA|
=16,|DC|=17,|EB|=28.5,|DE|=70,则双曲线的方程近似为( )
参考数据:28.52 ≈3.17,28.52 ≈2.81,172
≈1.13
162 172 162
图1
图2
图3
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A. x2 y2 x2 y2 =1
- =1B. -
162 382 162 482
C. x2 y2 x2 y2 =1
- =1D. -
172 382 172 482
答案 A
根据题意,设双曲线的标准方程为x2 y2
=1(a>0,b>0),因为|OA|=16,所以a=16,
-
a2 b2
设|DO|=y ,则C(17,y ),B(28.5,y
-70)在双曲线x2 y2
=1(a>0,b>0)上,
0 0 0 -
a2 b2
所以172 y2 28.52 (y -70)2
=1,
- 0=1, - 0
162 b2 162 b2
因为28.52 ≈3.17,172
≈1.13,
162 162
所以
y2
0≈0.13,
(y
0
-70)2
≈2.17,
b2 b2
y2
所以 0 ≈0.06,解得y 0 ≈13.8,
(y -70)2
0
所以b2≈ y2 13.82 ≈382.
0 =
0.13 0.13
故双曲线的方程近似为
x2 y2
=1.故选A.
-
162 382
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