北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
§10.2 双曲线
— 五年高考 —
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.(2020浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3√4-x2
图象上的点,则|OP|= ( )
√22 4√10
A. B. C.√7 D.√10
2 5
答案 D
x2 y2
2.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为 - =1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)
a2 b2
的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为 (
)
x2 y2 y2
A. - =1 B.x2- =1
4 4 4
x2
C. -y2=1 D.x2-y2=1
4
答案 D
x2 y2
3.(2019课标Ⅲ文,10,5分)已知F是双曲线C: - =1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.
4 5
若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为 ( )
3 5 7 9
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 B
以下为教师用书专用(1—10)
x2 y2
1.(2018天津理,7,5分)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的
a2 b2
直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 和d,且
1 2
d+d=6,则双曲线的方程为 ( )
1 2
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x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
4 12 12 4
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
3 9 9 3
答案 C 本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.
x2 y2
∵双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为2,
a2 b2
b2
∴e2=1+ =4,
a2
b2
∴ =3,即b2=3a2,
a2
∴c2=a2+b2=4a2,
由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),
b2
∵ =3,∴渐近线方程为y=±√3x,
a2
|2√3a-3a| 2√3-3
则点A与点B到直线√3x-y=0的距离分别为d= = a,d=
1 2 2 2
|2√3a+3a| 2√3+3 2√3-3 2√3+3
= a,又∵d+d=6,∴ a+ a=6,解得a=√3,∴b2=9.∴双曲线
2 2 1 2 2 2
x2 y2
的方程为 - =1,故选C.
3 9
解题关键 利用离心率的大小得出渐近线方程并表示出点A与点B的坐标是求解本题的关
键.
方法归纳 求双曲线标准方程的方法
(1)定义法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出a,b的值,即可求得方程.
(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条
件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方程.
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x2 y2 √5
2.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= x,且与椭
a2 b2 2
x2 y2
圆 + =1有公共焦点,则C的方程为 ( )
12 3
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
8 10 4 5 5 4 4 3
答案 B 本题考查双曲线的方程.
x2 y2 x2 y2 x2
由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 - =k(k>0),即 - =1,∵双曲线与椭圆 +
4 5 4k 5k 12
y2 x2 y2
=1有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为 - =1.故选B.
3 4 5
x2 y2 x2 y2
一题多解 ∵椭圆 + =1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆 + =1有公共焦点,
12 3 12 3
√5 b √5
∴a2+b2=(±3)2=9①,∵双曲线的一条渐近线为y= x,∴ = ②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双
2 a 2
x2 y2
曲线C的方程为 - =1.
4 5
y2
3.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂
3
直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为 ( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 2
答案 D 本题考查双曲线的几何性质.
易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.
∵PF⊥x轴,
∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),
∴|AP|=1,AP⊥PF,
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1 3
∴S = ×3×1= .故选D.
△APF 2 2
4.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是 ( )
y2 x2 y2 x2
A.x2- =1 B. -y2=1 C. -x2=1 D.y2- =1
4 4 4 4
答案 C 由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故排除D.故选C.
x2 y2
5.(2014天津理,5,5分)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲
a2 b2
线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2 3x2 3 y2 3x2 3 y2
A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
5 20 20 5 25 100 100 25
b
答案 A 由题意得 =2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为
a
x2 y2
- =1.
5 20
x2 y2
6.(2014江西文,9,5分)过双曲线C: - =1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于
a2 b2
点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方
程为 ( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
4 12 7 9 8 8 12 4
b
答案 A 由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y= x,因此可设点A
a
的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,
c
得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a= =2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲
2
x2 y2
线的方程为 - =1,故选A.
4 12
评析 本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运
算求解能力和逻辑推理能力.
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x2 y2
7.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程 - =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为
m2+n 3m2-n
4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,√3)
C.(0,3) D.(0,√3)
答案 A 解法一:由题意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c为半焦距,∴2c=2×2|m|=4,∴|m|
x2 y2
=1,∵方程 - =1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,
m2+n 3m2-n
∴-m2<n<3m2,∴-1<n<3.故选A.
解法二:∵原方程表示双曲线,且焦距为4,
{
m2+n>0,
∴
3m2-n>0,
①
m2+n+3m2-n=4,
{
m2+n<0,
或
3m2-n<0,
②
-(3m2-n)-(m2+n)=4,
由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.
知识拓展 对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则
m·n<0.
x2 y2
8.(2016天津,6,5分)已知双曲线 - =1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的
4 b2
圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为
( )
x2 3 y2 x2 4 y2
A. - =1 B. - =1
4 4 4 3
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
4 4 4 12
答案 D 设A(x,y),不妨令其在第一象限,
0 0
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{x2+ y2=22,
0 0
由题意得
b
y = x ,
0 2 0
可得 = 16 , =b2× 16 = 4b2 ,
x2 y2
0 4+b2 0 4 4+b2 4+b2
结合2x·2y=2b,可得b2=12.
0 0
x2 y2
所以双曲线的方程为 - =1.故选D.
4 12
y2
9.(2015课标Ⅰ文,16,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6√6
8
).当△APF周长最小时,该三角形的面积为 .
答案 12√6
解析 由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及
已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|
+2=17,即当A、P、F'三点共线时,△APF的周长最小.
x y
{ 0 + 0 =1,
-3 6√6
设P点坐标为(x
0
,y
0
),y
0
>0,由 得y2+6
√6
y
0
-96=0,所以y
0
=2 √6或y
0
=-8 √6(舍去).
y2 0
x2- 0=1
0 8
1 1
所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S= ×6×6√6- ×6×2√6=12√6.
2 2
1
10.(2015课标Ⅱ文,15,5分)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=± x,则该双曲线的标准
2
方程为 .
x2
答案 -y2=1
4
解析 根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,√3),所
x2
以42-4×(√3)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为 -y2=1.
4
考点2 双曲线的几何性质
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1.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的两条
a2 b2
渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
2.(2020课标Ⅲ理,11,5分)设双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,离心率为
1 2
a2 b2
√5.P是C上一点,且FP⊥FP.若△PFF 的面积为4,则a= ( )
1 2 1 2
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 A
y2
3.(2020课标Ⅰ文,11,5分)设F,F 是双曲线C:x2- =1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上
1 2
3
且|OP|=2,则△PFF 的面积为 ( )
1 2
7 5
A. B.3 C. D.2
2 2
答案 B
4.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的
a2 b2
离心率为 ( )
1 1
A.2sin 40° B.2cos 40° C. D.
sin50° cos50°
答案 D
x2 y2
5.(2019课标Ⅲ理,10,5分)双曲线C: - =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐
4 2
标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为 ( )
3√2 3√2
A. B. C.2√2 D.3√2
4 2
答案 A
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6.(2021新高考Ⅱ,13,5分)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线
a2 b2
方程为 .
答案 y=±√3x
x2
7.(2021全国乙理,13,5分)已知双曲线C: -y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0,则C的焦距
m
为 .
答案 4
解题指导 根据题设,由双曲线方程写出其渐近线方程,再结合题设列出关于m的方程,求解
出m,再求出焦距.
8.(2020江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2 -y2=1(a>0)的一条渐近线方程为
a2 5
√5
y= x,则该双曲线的离心率是 .
2
3
答案
2
9.(2020课标Ⅰ理,15,5分)已知F为双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B
a2 b2
为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 .
答案 2
x2 y2
10.(2020北京,12,5分)已知双曲线C: - =1,则C的右焦点的坐标为 ;C的焦点到其
6 3
渐近线的距离是 .
答案 (3,0);√3
11.(2019课标Ⅰ理,16,5分)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F、F,过F
1 2 1
a2 b2
的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若 = , · =0,则C的离心率为
⃗F A ⃗AB⃗F B ⃗F B
1 1 2
.
答案 2
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12.(2018北京理,14,5分)已知椭圆M:x2 +y2
=1(a>b>0),双曲线N:
x2 -y2
=1.若双曲线N的两条
a2 b2 m2 n2
渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离
心率为 ;双曲线N的离心率为 .
答案 √3-1;2
13.(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F(-√17,0),F(√17,0),点M满足|
1 2
MF |-|MF |=2.记M的轨迹为C.
1 2
(1)求C的方程;
1
(2)设点T在直线x= 上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|
2
TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解题指导 (1)先判断出M的轨迹C为双曲线的右支,并设出双曲线的标准方程,然后结合双
曲线的定义,利用待定系数法确定其标准方程;(2)设出T点坐标和直线AB的方程,然后联立方
程并利用根与系数的关系表示|TA|·|TB|,同理得到|TP|·|TQ|,结合|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|得到结果.
以下为教师用书专用(1—22)
1.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的
a2 b2
离心率为 ( )
1 1
A.2sin 40° B.2cos 40° C. D.
sin50° cos50°
答案 D 本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的
运算求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算.
由双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)可知渐近线方程为y=±bx,
a2 b2 a
b
由题意知- =tan 130°,
a
又tan 130°=-tan 50°,
b
∴ =tan 50°,
a
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∴双曲线的离心率e=c=√ b2 = =√ sin250°=√ 1 = 1
1+ √1+tan250° 1+
a a2 cos250° cos250° cos50°
,故选D.
方法总结
求双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的离心率的常见方法:
a2 b2
(1)定义法:e=2c=c;(2)公式法:e=√ b2 = (θ为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用
1+ √1+tan2θ
2a a a2
c
题中条件得出关于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2转化为关于a,c的方程,最后利用e= 转化为关
a
于e的方程,从而得出离心率e.
2.(2019北京文,5,5分)已知双曲线x2 -y2=1(a>0)的离心率是 ,则a= ( )
√5
a2
1
A.√6 B.4 C.2 D.
2
答案 D 本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查
的核心素养为数学运算.
由题意得e=c= ,又a2+b2=c2,∴b2 =c2-a2 =e2-1=4,
√5
a a2 a2
1 1
∵b2=1,∴a2= .∵a>0,∴a= .
4 2
易错警示 把双曲线的离心率错认为e=√ b2 而出错.
1-
a2
x2
3.(2018浙江,2,4分)双曲线 -y2=1的焦点坐标是 ( )
3
A.(-√2,0),(√2,0) B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-√2),(0,√2) D.(0,-2),(0,2)
答案 B 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.
∵a2=3,b2=1,∴c= =2.又∵焦点在x轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).
√a2+b2
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易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点
(1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误;
(2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.
x2
4.(2015课标Ⅰ理,5,5分)已知M(x,y)是双曲线C: -y2=1上的一点,F,F 是C的两个焦点.若
0 0 1 2
2
· <0,则y 的取值范围是 ( )
⃗M F ⃗M F 0
1 2
A.( √3 √3) B.( √3 √3)
- , - ,
3 3 6 6
C.( 2√2 2√2) D.( 2√3 2√3)
- , - ,
3 3 3 3
答案 A 若 · =0,则点M在以原点为圆心,半焦距c= 为半径的圆上,则
⃗M F ⃗M F √3
1 2
{x2+ y2=3,
0 0 1 1
x2 解得y2= .可知:⃗M F ·⃗M F <0⇒点M在圆x2+y2=3的内部⇒y2< ⇒y 0 ∈
0- y2=1, 0 3 1 2 0 3
2 0
( √3 √3).故选A.
- ,
3 3
5.(2015课标Ⅱ理,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,
且顶角为120°,则E的离心率为 ( )
A.√5 B.2 C.√3 D.√2
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答案 D
设双曲线E的标准方程为x2 -y2
=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一
a2 b2
象限内,则易得M(2a, a),又M点在双曲线E上,于是(2a)2 -(√3a)2 =1,解得b2=a2,∴e=
√3
a2 b2
√ b2 = .
1+ √2
a2
6.(2015湖南文,6,5分)若双曲线x2 -y2
=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为
a2 b2
( )
√7 5 4 5
A. B. C. D.
3 4 3 3
答案 D 双曲线x2 -y2 =1的两条渐近线方程为y=±bx,则点(3,-4)在直线y=-bx上,即-4=-
a2 b2 a a
3b,所以4a=3b,即b=4,所以e=√ b2 =5.故选D.
1+
a a 3 a2 3
7.(2015重庆文,9,5分)设双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A,A,过F
1 2
a2 b2
作AA 的垂线与双曲线交于B,C两点.若AB⊥AC,则该双曲线的渐近线的斜率为 ( )
1 2 1 2
1 √2
A.± B.± C.±1 D.±√2
2 2
答案 C 不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点
的坐标分别为(
b2
),(
b2
),又A,A 的坐标分别为(-a,0),(a,0),
c, c,- 1 2
a a
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所以 =(
b2
), =(
b2
),
⃗A B c+a, ⃗A C c-a,-
1 a 2 a
因为AB⊥AC,所以 · =0,
1 2 ⃗A B ⃗A C
1 2
b2 b2
即(c+a)(c-a)- · =0,
a a
即c2-a2-b4 =0,所以b2-b4
=0,
a2 a2
故b2 =1,即b=1,又双曲线的渐近线的斜率为±b,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.
a2 a a
8.(2014课标Ⅰ理,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐
近线的距离为 ( )
A.√3 B.3 C.√3m D.3m
x2 y2
答案 A 由题意知,双曲线的标准方程为 - =1,其中a2=3m,b2=3,故c=√a2+b2=
3m 3
1
√3m+3,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(√3m+3,0).其中一条渐近线的方程为y= x,即
√m
x- y=0,由点到直线的距离公式可得d=
|√3·√m+1|
= ,故选A.
√m √3
√1+(-√m)2
评析 本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查考生对知识
的灵活运用能力和运算求解能力.
9.(2014课标Ⅰ文,4,5分)已知双曲线x2 -y2=1(a>0)的离心率为2,则a= ( )
a2 3
√6 √5
A.2 B. C. D.1
2 2
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答案 D
由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此c2 =a2+3=4,又a>0,所以a=1,故选
a2 a2
D.
10.(2013课标Ⅰ理,4,5分)已知双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的离心率为√5,则C的渐近线方程
a2 b2 2
为 ( )
1 1 1
A.y=± x B.y=± x C.y=± x D.y=±x
4 3 2
b √5 1 1
答案 C ∵ =√e2-1= -1= ,∴C的渐近线方程为y=± x.故选C.
a 4 2 2
11.(2011课标全国理,7,5分)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C
交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )
A.√2 B.√3 C.2 D.3
答案 B
不妨设双曲线C为x2 -y2
=1(a>0,b>0),并设l过F(c,0)且垂直于x轴,则易求得|AB|
2
a2 b2
2b2
= ,
a
∴2b2 =2×2a,b2=2a2,∴离心率e=c=√ b2 = ,故选B.
1+ √3
a a a2
12.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F,F
是双曲线E:x2 -y2
=1的左,右焦点,点M在E上,MF 与x轴
1 2 1
a2 b2
1
垂直,sin∠MF F= ,则E的离心率为 ( )
2 1
3
3
A.√2 B. C.√3 D.2
2
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答案 A 解法一:不妨设M在第二象限,由MF ⊥x轴,可得M( b2 ),∴|MF |=b2.由
1 -c, 1
a a
1
b2 b2
sin∠MF F=
1
,可得cos∠MF F=
√
1-
(1) 2
=
2√2
,又tan∠MF F=
|M F
1
|
= a ,∴ a =
3
2 1 3 2 1 3 3 2 1 |F F | 2√2
1 2 2c 2c
3
√2 √2 √2
,∴b2= ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2- ac=0⇒e2- e-1=0,∴e=√2.故选A.
2 2 2
解法二:不妨设M在第二象限,由MF ⊥x轴,得M( b2 ),∴|MF |=b2 ,由双曲线的定义可得|
1 -c, 1
a a
b2
MF |=2a+|MF |=2a+
b2
,又sin∠MF F=
|M F
1
|
=
a
=
1
⇒a2=b2⇒a=b,∴e=
√
1+
(b) 2
=√2
2 1 a 2 1 |M F | b2 3 a
2 2a+
a
.故选A.
13.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C : x2 +y2=1(m>1)与双曲线C :x2 -y2=1(n>0)的焦点重合,e,e 分
1 2 1 2
m2 n2
别为C ,C 的离心率,则 ( )
1 2
A.m>n且ee>1 B.m>n且ee<1
1 2 1 2
C.m<n且ee>1 D.m<n且ee<1
1 2 1 2
答案 A 在椭圆中,a=m,c= ,e=√m2-1.在双曲线中,a=n,c= ,e=√n2+1.因
1 1 √m2-1 1 2 2 √n2+1 2
m n
为c=c,所以n2=m2-2.从而 · =(m2-1)(n2+1)=(m2-1)2 ,令t=m2-1,则t>1, · =
1 2 e2 e2 e2 e2
1 2 m2·n2 m2·(m2-2) 1 2
t2
>1,即ee>1.结合图形易知m>n,故选A.
1 2
t2-1
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思路分析 根据焦点重合可得m2与n2之间的关系,进而建立 关于m的解析式,然后判定
e2e2
1 2
范围即可.
x2
14.(2018上海,2,4分)双曲线 -y2=1的渐近线方程为 .
4
1
答案 y=± x
2
解析 本题主要考查双曲线的渐近线方程.
x2
解法一:由双曲线 -y2=1知a2=4,b2=1,
4
1
∴a=2,b=1,∴该双曲线的渐近线方程为y=± x.
2
x2 x2
解法二:令双曲线 -y2=1中的“1”为“0”,即可得到双曲线的渐近线方程,即 -y2=0,∴该双
4 4
1
曲线的渐近线方程为y=± x.
2
15.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到
a2 b2
√3
一条渐近线的距离为 c,则其离心率的值是 .
2
答案 2
解析 本题考查双曲线的性质.
双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为 |bc| =√3c,∴b=
√b2+(-a)2 2
√3 3 c
c,∴b2= c2,又b2=c2-a2,∴c2=4a2,∴e= =2.
2 4 a
16.(2017课标Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半
a2 b2
径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为
.
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2√3
答案
3
解析 本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.
b
不妨设点M、N在渐近线y= x上,如图,△AMN为等边三角形,且|AM|=b,
a
b √3 b
则A点到渐近线y= x的距离为 b,又将y= x变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近
a 2 a
线bx-ay=0的距离d= |ba| =|ab|,所以|ab|=√3b,即a=√3,
√a2+b2 c c 2 c 2
c 2√3
所以双曲线离心率e= = .
a 3
17.(2017课标Ⅲ文,14,5分)双曲线x2 -y2=1(a>0)的一条渐近线方程为y=3x,则a= .
a2 9 5
答案 5
3 3
解析 由题意可得 = ,所以a=5.
a 5
y2
18.(2017北京理,9,5分)若双曲线x2- =1的离心率为√3,则实数m= .
m
答案 2
解析 本题考查双曲线的性质.
由题意知,a2=1,b2=m.
∵e=c=√ b2 =√ m= ,∴m=2.
1+ 1+ √3
a a2 1
19.(2016山东理,13,5分)已知双曲线E:x2 -y2
=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,
a2 b2
AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
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答案 2
2b2 4b2
解析 由已知得|AB|=|CD|= ,|BC|=|AD|=|FF|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以 =6c,又b2=c2-
1 2
a a
1
a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=- (舍去).
2
评析 本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2构造关于离心率e的方程
是求解的关键.
20.(2016北京理,13,5分)双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在
a2 b2
的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= .
答案 2
解析 由OA、OC所在直线为渐近线,且OA⊥OC,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为
等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2√2,根
据c2=2a2可得a=2.
评析 本题考查等轴双曲线及其性质.
21.(2015北京理,10,5分)已知双曲线x2 -y2=1(a>0)的一条渐近线为 x+y=0,则a= .
√3
a2
√3
答案
3
解析 由双曲线x2 -y2=1(a>0)知其渐近线方程为y=±1x,又因为a>0,所以1= ,解得a=√3.
√3
a2 a a 3
22.(2014浙江理,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分
a2 b2
别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .
√5
答案
2
{x-3 y+m=0,
解析 由 得A( am bm ),
b ,
y= x 3b-a 3b-a
a
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由
{x-3 y+m=0,
得B( am bm ),则线段AB的中点为M( a2m 3b2m ).由
b - , ,
y=- x 3b+a 3b+a 9b2-a2 9b2-a2
a
5 √5
题意得PM⊥AB,∴k =-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2= ,∴e= .
PM
4 2
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.(2020山东百师联盟测试五,5)已知圆C :(x-4)2+y2=25,圆C :(x+4)2+y2=1,动圆M与C ,C 都外
1 2 1 2
切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1(x<0) B. - =1(x>0)
4 12 4 12
x2 y2 x2 y2
C. - =1(x<0) D. - =1(x>0)
3 5 3 5
答案 A
x2 y2
2.(2020广东湛江网络教学测试(二),5)椭圆 + =1的两焦点分别为F,F,以椭圆短轴的两
1 2
6 4
端点为焦点,|FF|为虚轴长的双曲线方程为 ( )
1 2
A.x2-y2=2 B.y2-x2=2 C.x2-y2=√2 D.y2-x2=√2
答案 B
3.(2021河北衡水中学全国高三第二次联考,6)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的焦点F(c,0)到
a2 b2
√3
渐近线的距离为 c,且点(2,√3)在双曲线上,则双曲线的方程为 ( )
2
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
9 3 12 3
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
3 12 3 9
答案 D
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考点2 双曲线的几何性质
1.(2020湖南长沙明德中学月考,10)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F,F,M
1 2
a2 b2
1
为双曲线上一点,若cos∠FMF = ,|MF |=2|MF |,则此双曲线的渐近线方程为 ( )
1 2 1 2
4
√3
A.y=±√3x B.y=± x
3
C.y=±x D.y=±2x
答案 A
2.(多选题)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x±2y=0,则以该组直线为渐近线的双曲线
有 ( )
A.x2-4y2=1 B.4y2-x2=1
y2 x2
C.x2- =1 D. -y2=1
4 4
答案 ABD
3.(2021山东济南十一学校联考,6)椭圆与双曲线共焦点F,F,它们的交点P对两公共焦点
1 2
F,F 的张角为∠FPF=2θ,椭圆与双曲线的离心率分别为e,e,则 ( )
1 2 1 2 1 2
A.cos2θ+sin2θ=1 B.sin2θ+cos2θ=1
e2 e2 e2 e2
1 2 1 2
C.
e2
+
e2
=1 D.
e2
+
e2
=1
1 2 1 2
cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ
答案 B
x2 y2
4.(2021辽宁沈阳市郊联体一模,7)设F,F 是双曲线C: - =1的两个焦点,O为坐标原点,点
1 2
4 8
P在C的左支上,且
⃗OF ·⃗OP+ ⃗F P·⃗OP=2
,则△PFF 的面积为( )
1 1 √3 1 2
|⃗OP| |⃗OP|
A.8 B.8√3 C.4 D.4√3
答案 A
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5.(2019广东佛山二模,11)已知F为双曲线C:x2 -y2
=1(a>b>0)的右焦点,A,B是双曲线C的一
a2 b2
条渐近线上关于原点对称的两点,AF⊥BF,且AF的中点在双曲线C上,则C的离心率为( )
√3+1 √5+1
A.√5-1 B. C. D.√3+1
2 2
答案 A
6.(2021河北二轮复习联考(一),6)已知双曲线C:x2-y2
=1(b>0)的离心率为e,若e∈( , ),
√5√10
2 b2
则C的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为 ( )
A.(1,3√2) B.(√2,+∞)
C.(2√2,3√2) D.(√2,3√2)
答案 C
B组 综合应用题组
时间 : 70 分钟 分值 : 85 分
一、单项选择题(每小题5分,共35分)
1.(2021百校大联考(六),8)若双曲线x2 -y2 =1的离心率等于√10,则该双曲线的渐近线方程为
a2 b2 3
( )
1 1
A.y=±3x B.y=± x C.y=± x D.y=±2x
2 3
答案 C
x2 y2
2.(2021湘豫名校4月联考,10)已知双曲线C: - =1的右焦点为F,过原点O的直线与双曲
16 9
线C交于A,B两点,且∠AFB=60°,则△OBF的面积为 ( )
9 9√3 3 3√3
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 D
x2 y2
3.(2020河北衡水中学七调,4)已知双曲线C: - =1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的
12 4
直线与C的两条渐近线的交点分别为P,Q,若△POQ为直角三角形,则|PQ|= ( )
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A.2 B.4 C.6 D.8
答案 C
4.(2021广东肇庆二模,8)已知F,F
分别为双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O为坐标
1 2
a2 b2
原点,在双曲线C上存在点M,使得2|OM|=|FF|,设△FMF 的面积为S.若16S=(|MF |+|MF |)2,
1 2 1 2 1 2
则该双曲线的离心率为 ( )
√6 √3 3
A. B. C. D.√3
2 2 2
答案 A
5.(2019湖南岳阳二模,11)如图,设双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,若
a2 b2
双曲线及其渐近线上各存在一点Q,P,使得四边形OPFQ为矩形,则其离心率为 ( )
A.√3 B.2 C.√5 D.√6
答案 A
6.(2021辽宁沈阳二模,8)已知点F,F
分别是双曲线C:x2-y2
=1(b>0)的左,右焦点,O为坐标原
1 2
b2
点,点P在双曲线C的右支上,且满足|FF|=2|OP|,tan∠PFF≥5,则双曲线C的离心率的取值范
1 2 2 1
围为 ( )
A.( √17] B.( √26] C.(1, ] D.(1, ]
1, 1, √5 √2
3 4
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答案 B
7.(2021江苏南通如皋二模,7)在平面直角坐标系xOy中,点F,F
分别是双曲线C:x2 -y2
1 2
a2 b2
b
=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F 且与直线l:y=- x垂直的直线交C的右支于点M,设直线l上
1
a
一点N(N在第二象限)满足FN⊥FN,且( + )· =0,则双曲线C的离心率为 (
1 2 ⃗F N ⃗F M ⃗MN
1 2
)
A.√5 B.√3
C.√2+1 D.2
答案 A
二、多项选择题(每小题5分,共15分)
8.(2020全国统一模拟五,12)设F、F
为双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过左焦点
1 2
a2 b2
√15
F 且斜率为 的直线l与C在第一象限相交于一点P,则下列说法正确的是 ( )
1
7
7
A.直线l倾斜角的余弦值为
8
4
B.若|FP|=|FF|,则C的离心率e=
1 1 2
3
C.若|PF|=|FF|,则C的离心率e=2
2 1 2
D.△PFF 不可能是等边三角形
1 2
答案 AD
x2 y2
9.(2021山东烟台一模,10)已知双曲线C: - =1(m∈R)的一条渐近线方程为4x-3y=0,则
m m+7
( )
A.(√7,0)为C的一个焦点
5
B.双曲线C的离心率为
3
C.过点(5,0)作直线与C交于A,B两点,则满足|AB|=15的直线有且只有两条
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16
D.设A,B,M为C上三点且A,B关于原点对称,则MA,MB斜率存在时其乘积为
9
答案 BD
10.(2021广东梅州一模,10)下列关于圆锥曲线的命题中,正确的是 ( )
A.设A、B为两个定点,k为非零常数,|⃗PA|-|⃗PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线
1
B.过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若⃗OP= (⃗OA+⃗OB),则动点P的轨迹为
2
椭圆
C.方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
x2 y2 x2
D.双曲线 - =1与椭圆 +y2=1有相同的焦点
25 9 35
答案 CD
三、填空题(每小题5分,共20分)
11.(2020山东潍坊模拟,15)双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F、F,直线y= b
1 2 √3
a2 b2
与C的右支相交于点P,若|PF|=2|PF|,则双曲线C的离心率为 ;若该双曲线的焦点到其
1 2
渐近线的距离是√5,则双曲线的方程为 .
3 x2 y2
答案 ; - =1
2 4 5
12.(2021广东广州一模,15)已知圆(x-1)2+y2=4与双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线相
a2 b2
交于四个点,按顺时针排列依次记为M,N,P,Q,且|MN|=2|PQ|,则C的离心率为 .
2√6
答案
3
13.(2021湖南永州二模,15)已知O为坐标原点,双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的离心率为3√5,
a2 b2 5
从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为√5,则双曲线C的方程
为 .
x2 y2
答案 - =1
5 4
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x2 y2
14.(2021山东日照一模,16)已知F,F 分别为双曲线C: - =1的左,右焦点,E为双曲线C的
1 2
4 12
右顶点,过F 的直线与双曲线C的右支交于A,B两点(其中点A在第一象限),设M,N分别为
2
△AFF,△BFF 的内心,则|ME|-|NE|的取值范围是 .
1 2 1 2
答案 ( 4√3 4√3)
- ,
3 3
四、解答题(共15分)
15.(2021湖南岳阳一模,21)已知双曲线C:x2 -y2 =1的离心率为√5,点P(4, )在C上.
√3
a2 b2 2
(1)求双曲线C的方程;
(2)设过点(1,0)的直线l与双曲线C交于M,N两点,问在x轴上是否存在定点Q,使得⃗QM·⃗QN
为常数?若存在,求出Q点坐标及此常数的值;若不存在,说明理由.
16 3
{ - =1,
a2 b2
解析 (1)由题意得, 解得a2=4,b2=1.
c √5
= ,
a 2
a2+b2=c2,
x2
∴双曲线C的方程为 -y2=1.
4
(2)假设存在定点Q.设定点Q(t,0),
{x2
当直线斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+1,联立 - y2=1,得(m2-4)y2+2my-3=0.
4
x=my+1,
∴m2-4≠0,且Δ=4m2+12(m2-4)>0,解得m2>3且m2≠4.
设M(x,y),N(x,y),
1 1 2 2
2m 3
∴y+y=- ,yy=- ,
1 2 m2-4 1 2 m2-4
∴x+x=m(y+y)+2=- 2m2 +2=-8 ,
1 2 1 2
m2-4 m2-4
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版》
xx=(my+1)(my+1)=m2yy+m(y+y)+1=- 3m2 - 2m2 +1=-4m2+4=-4- 20 .
1 2 1 2 1 2 1 2
m2-4 m2-4 m2-4 m2-4
⃗QM·⃗QN=(x-t,y)·(x-t,y)=(x-t)(x-t)+yy=xx-t(x+x)+t2+yy
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
20 8 3 8t-23
=-4- +t· - +t2=-4+t2+ ,
m2-4 m2-4 m2-4 m2-4
由⃗QM·⃗QN为常数,
23
得8t-23=0,即t= ,
8
273
此时⃗QM·⃗QN= .
64
273
当直线l斜率为0时,⃗QM·⃗QN= .
64
∴在x轴上存在定点Q(23 ),使得 · 为常数.
,0 ⃗QM ⃗QN
8
方法总结 过x轴上某一定点的直线方程的设法问题,常设其横截距式直线方程,需要针对其
斜率是不是0进行分类讨论,若设其纵截距式直线方程,则需要针对其斜率是否存在进行分类
讨论.
— 一年原创 —
x2 y2
1.(2021 5·3原创题)已知双曲线 - =1,集合A={x|x2-2x-8<0,x∈Z},若m,n∈A,则焦点在x轴
m n
上的双曲线条数是 ( )
A.9 B.8 C.6 D.12
答案 A
2.(2021 5·3原创题)已知A,A 是椭圆C :x2+y2=1和双曲线C :x2-y2 =1(b>0)的左,右顶点,M,N
1 2 1 2
4 4 b2
分别为椭圆和双曲线上不同于A,A 的动点,且O,M,N三点共线,若直线AM,AM,AN,AN的斜
1 2 1 2 1 2
率之和为0,则C 的渐近线方程是 ( )
2
1 2 3
A.y=±2x B.y=± x C.y=± x D.y=± x
2 3 2
答案 B
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版》
3.(2021
5·3原创题)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的离心率为2,左、右焦点分别是F、F.
1 2
a2 b2
过F 的直线l分别交C的两条渐近线于A,B两点(A与B不重合),且满足 ·( + )=0,
1 ⃗AB ⃗AF ⃗BF
2 2
则直线l的斜率k= .
√15
答案 ±
5
4.(2021
5·3原创题)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C
a2 b2
过点(2√2,1).
(1)求双曲线C的方程;
(2)如图,设直线l与双曲线C的右支相切于P点(P点不与右顶点重合),且l分别交双曲线C的
两条渐近线于M、N两点,O为坐标原点.问:△MON的面积是不是定值?如果是,请求出该定值;
如果不是,请说明理由.
b 1
{ = ,
解析 (1)由题意得 a 2 解得{a2=4,
8 1 b2=1,
- =1,
a2 b2
x2
所以双曲线C的方程为 -y2=1.
4
(2)由于直线l与双曲线C的右支相切于P点(P点不与右顶点重合),因此直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=kx+m,
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版》
{y=kx+m,
由 消去y得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0,
x2
- y2=1
4
由题意得Δ=64k2m2-4(4k2-1)(4m2+4)=0,
整理得4k2=m2+1,①
设l与x轴交于点D,则|OD|=|m|,
k
S =S +S =1|OD|×|y -y |=|m|·|k|·|x -x |,
△OMN △MOD △NOD M N M N
2 2k
1
双曲线的两条渐近线方程为y=± x,
2
{ 1
联立 y= x, ⇒M( 2m m ),
2 ,
1-2k 1-2k
y=kx+m
{ 1
联立 y=- x, ⇒N( -2m m ),
2 ,
2k+1 2k+1
y=kx+m
则S =|m|·|k|·| 2m 2m |=|m|·|k|·| 4m |=1·|m|·|k|·|4m|=2(定值).
△MON +
2k 1-2k 1+2k 2k 1-4k2 2 k -m2
所以△MON的面积为定值2.
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