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第 6 讲 素养提升之圆锥曲线新情境、新考法专项冲刺
目录
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
角度2：关注经济发展
角度3：聚焦科技前沿
角度4：结合生产实践
角度5：渗透数学文化
角度6：强调五育并举
二、新考法
角度1：以高观点为背景
角度2：以给定定义、热点信息为背景
角度3：考查开放、探究精神
角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
角度5：相近学科融合
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
1．（2022·黑龙江·哈九中高二阶段练习） 年 月 日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂降重开幕，为了增强主席台的亮度，且为了避免主席台就坐人员面对强光的不适，灯光设计人员
巧妙地通过双曲线镜面反射出发散光线达到了预期的效果.如图，从双曲线右焦点 ，发出的光线的反射光
线的反向延长线经过左焦点 .已知双曲线的离心率为 ，则当 与 恰好相等时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 离心率 ， ；
，则根据双曲线定义知： ，
.
故选：A.
2．（2022·江苏南通·高二阶段练习）2022年6月5日，我国三名航天员乘坐神舟十四号载入飞船成功升
空．预计三名航天员在太空工作6个月，在轨期间将进行多个科学实验，任务完成后，乘返回舱返回地
面．某自然科学博物馆为了青少年参观学习的需要，仿制了一个返回舱，如图所示，若仿制的返回舱的内
腔轴截面曲线C近似由半椭圆： 和弧： 组成，曲线C内接一各边
与坐标轴分别平行的矩形，满足水平方向矩形的边长为6，若由这个矩形绕y轴旋转，形成圆柱作为返回
时载物及航天员座椅的空间，则这个空间的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意矩形在第一象限顶点为 ，则 ，
代入椭圆方程得 ， （负值舍去），
代入圆方程得 ， （正值舍去），
所以矩形平行 轴的边长为 ，
所以圆柱的底面半径为3，高为 ，体积为 ．
故选：B．
角度2：关注经济发展
1．（2022·河北·邯郸冀南新区育华实验学校高二期中）图1展示的是某电厂的冷却塔，已知该冷却塔的轴
截面是中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一部分（图2），该冷却塔上口的直径是塔身最窄处直
径的2倍，且塔身最窄处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径．则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设双曲线的方程为 ，
如图：由题意可知： ， ，
又因为塔身最高处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径，所以点 ，
将点 代入曲线方程 ，解得： ，所以该双曲线的离心率 ，
故选：B.
2．（2022·广东·高三阶段练习）某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线C：
的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为 ， ，为了运输方便，计划在海岸
线上建设一个港口，则港口到两油气井距离之和的最小值为___________．
【答案】25
【详解】由双曲线C： ；可知 ，
故该双曲线的两个焦点分别为 和 ，
则 恰好为双曲线C的右焦点，设 为双曲线C的左焦点，
连接 与双曲线C右支交于点P，则点P即为港口所在位置．
由双曲线的定义可得， ，即 ，
则 ．
当且仅当Q，P，E三点共线时，等号成立，
此时港口到两油气井的距离之和最小，因为 ， ，
所以 ，此时 ．
故答案为：25．
角度3：聚焦科技前沿
1．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用
直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位
于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划
建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底
的直径为 ，楼顶直径为 ，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：以地标建筑的最细处所在直线为 轴，双曲线的虚轴为 轴，建立平面直角坐标系如图所
示.
由题意可得： ， ，
设 ，双曲线的方程是 ，
则 ，解得 ，
所以双曲线的方程是： ，
将点 代入得 ，
解得 ，
所以该地标建筑的高为： .
故选： .
2．（2022·辽宁实验中学高二期中）曲线四叶玫瑰线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿
叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后
自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．以下曲线方程能表达该图象的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图象知曲线关于两坐标轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形，
换成 时，D选项方程变为 ，与原方程不相同，D错；
换成 时，B选项方程变为 ，与原方程不相同，B错；
C选项方程变为 ，与原方程不相同，C错；
只有A中 代替 ， 代替 或同时用 代替 ， 代替 ，方程均不变，满足题意．
故选：A．
3．（2022·河南·新密市第一高级中学高二阶段练习）航天器的轨道有很多种，其中的“地球同步转移轨
道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点，若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上
离地球表面最远的点）与地球表面的距离为 ，近地点与地球表面的距离为 ，设地球的半径为 ，试用
， ， 表示出地球同步转移轨道的短轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设椭圆的长半轴为 ，短半轴为 ，半焦距为 ，
则由题意可知： ， ，
故短半轴长为 ，
所以短轴长为 .
故选：B.
角度4：结合生产实践
1．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）香港科技大学“逸夫演艺中心”鸟瞰图如图1所
示，最上面两层类似于离心率相同的两个椭圆，我们把离心率相同的两个椭圆叫做“相似椭圆”.如图2所
示，在“相似椭圆” 中，由外层椭圆 的下顶点 和右顶点 分别向内层椭圆 引切线 ，
且两切线斜率之积等于 ，则该组“相似椭圆”的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设内层椭圆 的方程为 ，
因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆 可设成 ，
设切线 的方程为 ，与 联立，得 ，
又 ，所以 .
设切线 的方程为 ，与 联立，得 ，
又 ，所以 .又 ，
所以 ，因此 .
故选：D.
2．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的
钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆
长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心
率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设内层椭圆方程为 （ ），因为内、外层椭圆离心率相同，
所以外层椭圆方程可设成 （ ），
设切线 方程为 ，与 联立得，
，
由 ，
化简得： ，
设切线 方程为 ，
同理可求得 ，
所以 ，
，
所以 ，因此 .
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2，已
知该卫星接收天线的口径 米，深度 米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，
建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设抛物线方程为 ，
依题意 ，代入 得 ，
所以抛物线方程为 .
故选：A
4．（2022·河北·石家庄二中高二阶段练习）某公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三
角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距8km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的
倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】以点A，B，C分别表示甲、乙、丙三地，以线段AB的中点O为原点，线段AB所在直线为x
轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（－4，0），B（4，0），设点C（x，y），
则 ，即 ，
整理可得 ，
∴点C的轨迹是以点（8，0）为圆心， 为半径的圆，
∴ ．
故选：B.角度5：渗透数学文化
1．（2022·广东·兴宁市沐彬中学高二期中）油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有1000多年.以手工削
制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取
材于天然，是中国古人智慧的结晶.在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场
地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面
上形成了一个椭圆形的影子，此时阳光照射方向与地面的夹角为75°，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦
点位置，则该椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设， 为伞面直径， 为其投影，如下图示：
由题意， 且 ， ， 为左焦点， 为椭圆长轴长，
所以 ， ，而 ，所以 ，
所以 .
故选：C
2．（2022·陕西·西安市第三中学高二期中）青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿､用器等，青铜
是红铜与其它化学元素（锡､锦､铅､磷等）的合金.其铜锈呈青绿色，故名青铜.青铜器以其独特的器形，精
美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平.图中所示为觚，饮酒器，长身，
侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面.已知，该曲面高15
寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸.最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，该酒杯可近似看成双曲线模型，建立直角坐标系，并作出双曲线如下：设 均和
轴垂直.则 ， ，设双曲线的方程为： ，根据 双
曲线经过 ，可知 ，设 的纵坐标分别为 ，结合图像可知 ，由 可
得： ， ，解得 ，根据 可知， ，解得 ，于
是 .
故选：B3．（2022·四川·成都铁路中学高二阶段练习（理））如图1是一水平放置的青花瓷．它的颈部（图2）外
形上下对称，可看成是双曲线（图3）的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径是瓶口
直径的 ，颈部的高是瓶口直径的1.5倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图3设双曲线的方程为 ，
由双曲线的性质可知，颈部最小直径为实轴长 ，则瓶口直径为 ，
又颈部的高是瓶口直径的 倍，则高为 ，故双曲线上一点的坐标为 ，
代入方程得 ，解得 ，则双曲线的渐近线方程为 .
故选：C.
4．（2022·山西运城·高二阶段练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而
也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色
阴影区域在 轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线 ： .给出以下命题：
①当 时，若直线 截黑色阴影区域所得两部分面积记为 ， （ ），则 ；
②当 时，直线 与黑色阴影区域有1个公共点；
③当 时，直线 与黑色阴影区域有2个公共点.
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，
所以大圆的面积为 ，小圆的面积为 ．
对于①，当 时，直线 的方程为 ．
此时直线 将黑色阴影区域的面积分为两部分，
， ，
所以 ，故①正确．对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为
当 时，直线 的方程为 ，
即 ，小圆圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 与该半圆弧相切，如图2所示，
所以直线 与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．
对于③，当 时，如图3所示，
直线 与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，
当 时，直线 与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．
综上所述，①②正确．
故选：A．
5．（多选）（2022·福建·厦门双十中学高二期中）下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金
杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线
的右支与直线 围成的曲边四边形 绕y轴旋转一周得到的几
何体，若该金杯主体部分的上口外直径为 ，下底外直径为 ，双曲线C的左右顶点为 ，则（ ）
A．双曲线C的方程为
B．双曲线 与双曲线C有相同的渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．双曲线C上存在无数个点，使它与 两点的连线的斜率之积为3
【答案】ABD
【详解】由题意可得 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以双曲线方程为 ，所以A正确，
双曲线 的渐近线方程为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，所以B正确，
由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所
以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，所以C错误，
由题意得 ，设 为双曲线上任意一点，则 ， ，
所以 ，
所以双曲线C上存在无数个点，使它与 两点的连线的斜率之积为3，所以D正确，
故选：ABD
角度6：强调五育并举
1．（2022·浙江金华第一中学高二阶段练习）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标
均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；③曲线C关于x轴对称．其中，所有
正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【详解】根据题意，曲线 ，用 替换曲线方程中的 ，方程不变，所以曲线
关于 轴对称，
对于①，当 时， 即为 ，可得 ，
所以曲线经过点 ， ， ， ，再根据对称性可知，曲线还经过点 ， ，故曲线
恰好经过6个整点，①正确；
对于②，由上可知，当 时， ，即曲线 右侧部分的点到原点的距离都不超过 ，再根据对
称性可知，曲线 上的所有点到原点的距离都不超过 ，②正确；
对于③，曲线 ，用 替换曲线方程中的 ，方程改变，所以曲线 不关于 轴对
称，③错误．
正确结论的序号是：①②．
故选：C
2．（2022·江西·南昌二中高二阶段练习）劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，
具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时
代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设
计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．
现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，
以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】以B为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
记BM⊥OC且垂足为M，AD⊥y轴且垂足为D，
设抛物线方程为 ，
由题意可知： ， ， ，所以 ，
所以 ，代入抛物线方程可得 ，所以 ，
所以抛物线方程为 ，
又因为 在抛物线上，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，所以OA的高度为 ，
故选：B．
3．（2022·四川·广安二中高二期中（理））美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.
素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习索描的重要一步.
某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，
原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切
面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是一个底角为60°的直角梯
形，设圆柱半径 ，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示．．
从而 ．
因此在椭圆中长轴长 ，所以
短轴长 ，所以 ，
，所以 ，则 .
故选：A．
4．（2022·辽宁省康平县高级中学高二期中）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山
水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭
圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为 、 、 ，设图（1）、
（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 、 、 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为椭圆的离心率 ，
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大，
因为 ，
所以 .
故选：B.
5．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高二期中）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的 ，五
眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、
第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB
近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘
的距离约为（ ）
A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm
【答案】B
【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直
角坐标系，则 ， ，
所以 ，
利用点斜式方程可得到直线 ： ，整理为 ，
所以原点O到直线 距离为 ，
故选:B
6．（多选）（2022·湖北省鄂州高中高三期末）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可
以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显
示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可
以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线 ： 是双
纽线，则下列结论正确的是（ ）A．曲线 的图象关于原点对称
B．曲线 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3
D．若直线 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为
【答案】ACD
【详解】把 代入 得 ，
所以曲线 的图象关于原点对称，故A正确；
令 解得 ，或 ，即曲线经过 ，
结合图象， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
因此结合图象曲线 只能经过3个整点， ，故B错误；
可得 ，
所以曲线 上任意一点到坐标原点 的距离 ，即都不超过3，
故 C正确；
直线 与曲线 一定有公共点 ，
若直线 与曲线 只有一个交点，
所以 ，整理得 无解，
即 ，解得 ，故D正确.
故选：ACD.
二、新考法
角度1：以高观点为背景
1．（2022·辽宁·高二阶段练习）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的
地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点
，定义两点间“距离”为 ，则平面内与 轴上两个不同的定点
的“距离”之和等于定值（大于 ）的点的轨迹可以是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，横坐标在 、 之外的区域，不能出现与 轴垂直的线段，
否则该线段上的点与 、 的“距离”之和不会是定值；
横坐标在 、 之内的区域，则必须与 轴平行，否则该线段上的点与 、 的“距离”之和不会是定
值.
故选：A.
2．（2022·湖北·高二阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位
于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若 满足 ，顶点 ，
，且其“欧拉线”与圆M： 相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆M上的点到原点的最大距离为
B．圆M上不存在三个点到直线 的距离为
C．若点 在圆M上，则 的最小值是
D．若圆M与圆 有公共点，则
【答案】D
【详解】对于A，由题意可得 的欧拉线即为 的垂直平分线，
因为 ， ，
所以 的中点坐标为 ， ，
所以线段 的垂直平分线方程为 ，即 ，
因为“欧拉线”与圆M： 相切，
所以 ，所以圆M： ，
所以圆M上的点到原点的最大距离为 ，所以A错误；对于B，因为圆心 到直线 的距离为 ，而圆的半径为 ，
所以圆M上存在三个点到直线 的距离为 ，所以B错误；
对于C， 表示圆上的点 与定点 连线的斜率，
设过 与圆相切的直线方程为 ，即 ，则
，解得 ，
所以 的最小值为 ，所以C错误，
对于D，圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆M： 的圆心为 ，半径为 ，
所以要使圆M与圆 有公共点，则只要圆心距的范围为 ，
所以 ，解得 ，所以D正确，
故选：D.
3．（2022·江西省丰城中学高三阶段练习（理））在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆
O的切线，R为切点，QCD为割线，则 ．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点
，点P是圆 上的任意一点，过点 作直线BT垂直AP于点T，则 的
最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】连接 ，在 中，因为 是 的中点，
所以 ，平方得 ，
将 代入可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
在 ， ，
所以 ，
当且仅当 即 时，取等号,
故选：A
4．（多选）（2022·浙江·元济高级中学高二期中）1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规
律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系
中，设定点 ， ，其中 ，动点 满足 （ 且 为常数），化
简可得曲线 ： ，则（ ）
A．原点 在曲线 的内部
B．曲线 既是中心对称图形，又是轴对称图形
C．若 ，则 的最大值为
D．若 ，则存在点 ，使得
【答案】BCD
【详解】对于A，将 代入方程，得 ，所以当 时，原点 在曲线 上，所以A错误，
对于B，以 代 ，得 ，得 ，所以曲线关于 轴对
称，代 ，得 ，得 ，所以曲线关于 轴对称，
以 代 ， 代 ，得 ，得 ，所以曲线关于原
点对称，所以曲线 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B正确，
对于C，当 时，由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，所以C正确，
对于D，若存在点 ，使得 ，则 ，因为 ，所以
，所以 ，
所以由 ，得 ，所以 ，所以 ，反之也成立，所
以当 ，则存在点 ，使得 ，所以D正确，
故选：BCD
角度2：以给定定义、热点信息为背景
1．（2022·辽宁·兴城市高级中学高二阶段练习）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧
几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比
是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当 时，轨迹为椭圆：当 时，轨迹为抛物线：当 时，
轨迹为双曲线.现有方程 表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 即 ，
可得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
可得动点 到顶点 的距离和到定直线 的距离之比为常数 ，
由双曲线的定义可得 ，解得 ，故选：A
2．（2022·重庆一中高三期中）几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族.点 是椭圆
族 上任意一点，如图所示，椭圆族T的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点 ；③过
定点 ，则 的最大值是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【详解】如图所示
设点 所在椭圆的另一焦点为 ，则
.
故选：A.
3．（2022·北京市第五十七中学高三阶段练习）十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证
明，方程 表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质.若从椭圆上任意一点
（异于 两点）向长轴 引垂线，垂足为 ，记 ，则（ ）
A．方程 表示的椭圆的焦点落在 轴上
B．
C． 的值与 点在椭圆上的位置有关D．M越来越小，椭圆越来越扁
【答案】D
【详解】解：对于A，由题得 ，
当 时， ，所以椭圆的焦点在 轴上；
当 时， ，所以椭圆的焦点在 轴上，故A错误；
对于C，设 ，不妨设椭圆的长轴在 轴上，则 ，
，
所以 （常数），
所以 的值与 点在椭圆上的位置无关，故C错误；
对于B，由方程 方得 ，
所以 是椭圆的短轴长与长轴长的比值的平方，即 ，
所以离心率 ，
同理可得椭圆的长轴在 轴上时结论一致，
所以 ，故B错误；
对于D，M越来越小，椭圆的离心率越大，椭圆越来越扁，故D正确.
故选：D.
4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由
十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系
内，对于任意两点 、 ，定义它们之间的“欧几里得距离”
，“曼哈顿距离”为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 为线段 上任意一点，则 为定值
B．对于平面上任意一点 ，若 ，则动点 的轨迹长度为
C．对于平面上任意三点 、 、 ，都有
D．若 、 为椭圆 上的两个动点，则 最大值为
【答案】AC【详解】对于A选项，设点 为线段 上任意一点，
则 ，A对；
对于B选项，设点 ，则 ，
当 ， 时，则 ；当 ， 时，则 ；
当 ， 时，则 ；当 ， 时，则 .
作出点 的轨迹如下图所示：
由图可知，点 的轨迹是边长为 的正方形，故动点 的轨迹长度为 ，B错；
对于C选项，设点 、 、 ，
由绝对值三角不等式可得 ，
同理可得 ，
所以， ，即 ，C对；
对于D选项，设点 、 ，
不妨设 ， ，
则
，其中 为锐角，且 ，
取 ， ，等号成立，D错.
故选：AC.
角度3：考查开放、探究精神
1．（2022·广东·高二阶段练习）法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，
他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆
外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以 为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆 的蒙日圆
为 ，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆
C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．M到C的右焦点的距离的最大值为
C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为 ， ，则
D． 面积的最大值为
【答案】D
【详解】A.因为椭圆 的蒙日圆为 ，根据蒙日圆的定义， ，得
，所以椭圆 ， ， ，则 ，所以椭圆的离心率 ，故A正确；
B.点 是圆 上的动点，椭圆的右焦点 ，则 的最大值是 ，故B正确；
C.根据蒙日圆的定义可知 ，则 为圆 的直径, 与椭圆交于两点 ，点 关于原点对
称，设 ， ， ，
，故C正确；
D.因为 为圆的直径， ，当点 到直线 的距离为 时， 的面积最大，此时最大
值是 ，故D错误.
故选：D
2．（2022·湖北·高二阶段练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与 所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个
椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，
使它们分别位于 的上方和下方，并且与圆柱面和 均相切.给出下列三个结论：①两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．②③ C．①② D．①③
【答案】C
【详解】如图：
在椭圆上任意一点P作平行于 的直线，与球 交于F点，与球 交于E点，
则 ， 是过点P作球 的两条公切线， ，同理 ，
，是定值，所以 是椭圆的焦点；①正确；
由以上的推导可知： ， ，
平面 ， 是直角三角形， ，即 ，
，②正确；就是平面 与轴线 的夹角 ，在 中，椭圆的离心率 ，
由余弦函数的性质可知当锐角 变大时， 变小，③错误；
故选：C.
角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
1．（2022·福建省永春第一中学高二期中）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几
何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为
该椭圆的蒙日圆.若椭圆 ： 的蒙日圆为 ： ，过C上的动点M作 的两
条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交 于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B． 面积的最大值为
C． 到 的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在 上，将直线DA，DB的斜率分别记为 ， ，则
【答案】B
【详解】依题意，过椭圆 的上顶点作y轴的垂线，过椭圆 的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交
点在圆C上，
所以 ，得 ，所以椭圆 的离心率 ，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且 ，所以PQ为圆C的直径，所以 ，
所以 面积的最大值为 ，故B不正确；
设 ， 的左焦点为 ，连接MF，
因为 ，所以
，
又 ，所以 ，
则M到 的左焦点的距离的最小值为 ，故C正确；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设 ， ，则 ， ， ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，故D正
确
故选：B.
2．（2022·北京市陈经纶中学高二期中）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，
，若离心率 ，则称椭圆 为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的个数是
（ ）
①在黄金椭圆 中， ；
②在黄金椭圆 中，若上顶点、右顶点分别为 ， ，则 ；
③在黄金椭圆 中，以 ， ， ， 为顶点的菱形 的内切圆过焦点 ，
．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对①，因为 ，所以 ，则
，故①正确；
对②，因为在 中， ，由①知， ，
所以 ，
即 ，故②正确；
对③，由题可知以 为顶点的菱形 的内切圆是以原点为圆心，设圆心
的半径为 ，
所以 ，
代入离心率得到 ，所以圆过焦点 ，故③正确．
故选：D．3．（多选）（2022·河北·模拟预测）星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应
用， 便是它的一种表达式，下列有关说法正确的是（ ）
A．星形线关于 对称 B．星形线图象围成的面积小于2
C．星形线上的点到 轴，y轴距离乘积的最大值为 D．星形线上的点到原点距离的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A，把方程 中的 与 互换，方程不变，所以星形线关于 对称，故A正确；
对于B，曲线 所围成的区域面积为2，而 ，
即星形线图象围成的区域在曲线 所围成的区域内部，
∴星形线图象围成的面积小于2，故B正确；
对于C，由 ，得 ，当且仅当 时等号成立，即星形
线上的点到 轴， 轴距离乘积的最大值为 ，故C错误；
对于D ，
，当且仅当 时取等号，
即星形线上的点到原点距离的最小值为 ，故D正确.
故选：ABD.
角度5：相近学科融合
1．（2022·福建·高二期中）弓琴，是弓琴弹拨弦鸣乐器（如下左图）.历史悠久，形制原始，.它脱胎于古
代的猎弓，也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对
善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.古代传说将“琴”的创始归于伏羲，也正由于他是以渔猎为生的部落氏族首领.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”. 常用于民歌或舞蹈
伴奏.流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，
其正视图即为一椭圆面，它有多条弦， 拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，现有某专业乐器研究人员
对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.如下右图，是一弓琴琴腔下部分的正视图.若按对称建
立如图所示坐标系， 恰为左焦点， 均匀对称分布在上半个椭圆弧上( 在 上
的投影把线段 八等分)， 为琴弦，记 ，数列 前n项和为 ，椭圆方
程为 ，且 ，则 的最小值为_____
【答案】
【详解】设 ，得 ， 为等差数列，
= ，
由题意 的横坐标把 八等分,所以 , ，
又 ，所以 ，故
，
当且仅当 时取等号.
故答案为： ．
2．（2022·四川·绵阳中学高三阶段练习）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基
础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为
打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，
已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉
部（最细处）的直径为______cm．【答案】
【详解】
由已知，以最细处所在的直线为 轴，其垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，
设双曲线方程为 ，
由已知可得， ，且 ，
所以 ，所以双曲线方程为 ，
底直径为6cm，所以双曲线过点 ，
下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点 ，代入双曲线方程得：
，解得： ，
所以喉部（最细处）的直径为 cm.
故答案为： .
