北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
版》
专题五 万有引力与航天
【专题检测】
A组
一、选择题
1.(2019辽宁大连模拟)2017年8月28日,中科院南极天文中心的巡天望远镜观测到一个由双中子星构成的孤立双星系
统产生的引力波。该双星系统以引力波的形式向外辐射能量,使得圆周运动的周期T极其缓慢地减小,双星的质量m
1
与m 均不变,则下列关于该双星系统变化的说法正确的是 ( )
2
A.双星的间距逐渐增大
B.双星间的万有引力逐渐增大
C.双星的线速度逐渐增大
D.双星系统的引力势能逐渐增大
答案 BC 万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得 Gm 1 m 2=m 1 ( 2π )2r 1 =m 2 ( 2π )2r 2 =m 1 v 1 2 =m 2 v 2 2 ,其中r 1 +r 2 =L,解得
L2 T T r r
1 2
周期T=√ 4π2L3 ,周期减小,则双星的间距L减小,万有引力增大,万有引力对双星做正功,双星系统引力势能减小,
G(m +m )
1 2
v=
√ Gm2
,v=
√ Gm2
,双星的间距L减小,双星各自的线速度增大,故B、C正确,A、D错误。
1 2 2 1
(m +m )L (m +m )L
1 2 1 2
2.(2019重庆江津模拟)北斗导航已经应用于多种手机,如图所示,导航系统的一颗卫星原来在较低的椭圆轨道Ⅱ上飞行,
到达A点时转移到圆轨道Ⅰ上。若圆轨道Ⅰ离地球表面的高度为h,椭圆轨道Ⅱ近地点离地球表面的高度为h。地球
1 2
表面的重力加速度为g,地球半径为R,则下列说法正确的是( )
A.卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
B.卫星在轨道Ⅰ上的运行速率v=√ gR2
R+
ℎ
1
C.若卫星在圆轨道Ⅰ上运行的周期是T 1 ,则卫星在轨道Ⅱ上的周期T 2 =T 1
√(
ℎ 1
+
ℎ 2
+2R)3
8(R+
ℎ
)3
1
D.若卫星沿轨道Ⅱ运行到A点的速度大小为v ,则“卫星”运行到B点的速度v
=√R+
ℎ v
A B 1 A
R+
ℎ
2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
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答案 ABC 卫星从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ要在A点加速,则卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能,选项A
正确;卫星在轨道Ⅰ上,G Mm =m v2 ,又 GMm =mg,解得v=√ gR2 ,选项B正确;根据开普勒第三定律可得
(R+ ℎ 1 )2 R+ ℎ 1 R2 R+ ℎ 1
2R+
ℎ
+
ℎ
(R+ ℎ 1 )3 = ( 2 1 2)3 ,解得T 2 =T 1 √( ℎ 1 + ℎ 2 +2R)3 ,选项C正确;根据开普勒第二定律得
T
1
2
T2
8(R+
ℎ 1
)3
2
v (h+R)=v (h+R),解得v =ℎ
+R
v ,选项D错误。
A 1 B 2 B 1 A
ℎ
+R
2
3.(2020湖北八校一联)中国志愿者王跃参与人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的试验“火星-500”。假设
将来人类一艘飞船从火星返回地球时,经历如图所示的变轨过程,则下列说法不正确的是 ( )
A.飞船在轨道Ⅱ上运动时,在P点的速度大于在Q点的速度
B.飞船在轨道Ⅰ上运动时,在P点的速度大于在轨道Ⅱ上运动时在P点的速度
C.飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D.若轨道Ⅰ贴近火星表面,测出飞船在轨道Ⅰ上运动的周期,就可以推知火星的密度
答案 B 在轨道Ⅱ上,由Q点到P点,万有引力做正功,根据动能定理知,速度增大,则在P点的速度大于在Q点的速
度,故A正确;飞船在轨道Ⅰ上的P点进入轨道Ⅱ,要做离心运动,需加速,可知在轨道Ⅱ上时在P点的速度大于在轨道Ⅰ
上时在P点的速度,故B错误;在不同轨道上的P点,由于所受的万有引力相等,根据牛顿第二定律知,加速度大小相等,故
M
Mm 4π2 4π2R3 M 3π
C正确;设火星的半径为R,根据G =mR 得火星的质量M= ,则火星的密度ρ= =4πR3= ,故D
R2 T2 GT2 V GT2
3
正确。
4.(2020江苏四市联合一模)(多选)如图所示,L为地月拉格朗日点,该点位于地球和月球连线的延长线上,处于此处的某
卫星无须动力维持即可与月球一起同步绕地球做圆周运动。已知该卫星与月球中心、地球中心的距离分别为r、r,
1 2
月球公转周期为T,引力常量为G。则 ( )
A.该卫星的周期大于地球同步卫星的周期
B.该卫星的加速度小于月球公转的加速度
C.根据题述条件,不能求出月球的质量
D.根据题述条件,可以求出地球的质量北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
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答案 AD 处于拉格朗日点的卫星的周期与月球公转的周期相同,故A正确;该卫星与月球角速度相等,根据a=ω2r,
该卫星的轨道半径大,所以该卫星的加速度就大,故B错误;设月球的质量为M ,地球的质量为M,卫星的质量为m,对月
月
球有G
M M
月 =M 月
4π2
(r 2 -r 1 ),对卫星有G
Mm
+G
M
月
m =m4π2
r 2 ,联立可以解出M和M 月 ,故C错误,D正确。
(r -r )2 T2 r2 r2 T2
2 1 2 1
二、非选择题
5.(2019辽宁省实验中学、大连八中、东北育才等五校联考,16)阅读资料,并根据资料中有关信息回答问题。
(1)以下是地球和太阳的有关数据
平均半径 R =6.371×106 m R =110R
地 日 地
质量 M M =333 000M
地 日 地
平均密度 ρ ρ =ρ /4
地 日 地
自转周期 1天 赤道附近26天,两极附近大于30天
(2)已知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v=7.9 km/s,引力常量G=6.67×10-11 m3·kg-1·s-2,光速c=3×108 m·s-1,
地球表面的重力加速度取10 m/s2;
(3)大约200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球,直径为太阳250倍的发光星体由于其引
力作用不允许任何光线离开它,其逃逸速度大于真空中的光速(逃逸速度为第一宇宙速度的√2倍),这一奇怪的星体就叫
做黑洞。
在下列问题中,把星体(包括黑洞)看作是一个质量分布均匀的球体。(①②的计算结果用科学计数法表达,且保留一
位有效数字;③的推导结论用字母表达)
①试估算地球的质量;
②试估算太阳表面的重力加速度;
③已知某星体演变为黑洞时的质量为M,求该星体演变为黑洞时的临界半径R。
2GM
答案 ①6×1024 kg ②3×102 m/s2 ③
c2
解析 ①物体绕地球表面做匀速圆周运动时有
GM
地
m
=m
v2
R2 R
地 地
R v2
解得M = 地 =6×1024 kg
地 G
GM m
②在地球表面 地 =mg 地
R2
地
GM
解得g 地 = 地
R2
地
GM
同理在太阳表面g 日 = 日
R2
日
g 日 = M 日 R2 地g 地 ≈3×102 m/s2
M R2
地 日
③在星体表面有GMm=mv2
1
R2
R北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
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该星体演变为黑洞时的逃逸速度v=c=√2v
2 1
2GM
解得R=
c2
温馨提示 本题考查了万有引力定律及圆周运动向心力公式的直接应用,要注意任何物体(包括光子)都不能脱离黑洞
的束缚,那么黑洞表面脱离的速度应大于光速。
B组
一、选择题
1.若“嫦娥五号”卫星在距月球表面H处的环月轨道Ⅰ上做匀速圆周运动,其运行的周期为T;随后“嫦娥五号”在该
轨道上某点采取措施,使卫星降至椭圆轨道Ⅱ上,如图所示。若近月点接近月球表面,而H等于月球半径,忽略月球自转
及地球对卫星的影响,则“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上的运行周期为 ( )
3 √3 3√3 √3
A. T B. T C. T D. T
4 8 8 4
答案 C 在轨道Ⅰ上,轨道半径r=R+H=2H,在轨道Ⅱ上,半长轴为a=2R+H=3H,根据开普勒第三定律知 (2H)3
2 2 T2
3
=
( H)3
,解得T=3√3T,故C正确。
2 1
8
T2
1
2.(2020湖北武汉起点考试)2020年7月15日5时48分,在月球背面的“嫦娥四号”着陆器被顺利唤醒,标志着“嫦
娥”携手“玉兔”进入第20月昼工作期,不断创造着新的纪录。探测器要经过多次变轨,最终降落到月球表面上。如
图所示,轨道Ⅰ为圆形轨道,其半径为R;轨道Ⅱ为椭圆轨道,半长轴为a,半短轴为b。如果把探测器与月球的连线扫过的
面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率,则探测器绕月球运动过程中在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上扫过的面积速率之
比是(已知椭圆的面积S=πab) ( )
√ab √R
A. B.
R a
√aR √bR
C. D.
b a北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
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答案 C 设探测器在轨道Ⅰ上运动的周期为T,在轨道Ⅱ上运动的周期为T,则在轨道Ⅰ上扫过的面积速率为:
πR2
,
1 2
T
1
πR2
在轨道Ⅱ上扫过的面积速率为πab,由开普勒第三定律可知R3 =a3 ,由以上三式联立解得 T 1 =R2 · T 2 =R2 ·√ a3=
T
2
T
1
2 T
2
2 πab ab T
1
ab R3
T
2
√aR
,故C正确。
b
二、非选择题
3.(2019北京东城期末,19)如图,圆轨道Ⅲ为地球同步卫星轨道,发射同步卫星的过程可以简化为以下模型:先让飞船进
入一个近地圆轨道Ⅰ(离地高度可忽略不计),经过轨道上P点时点火加速,进入椭圆形转移轨道Ⅱ,该椭圆轨道Ⅱ的近地
点为圆轨道Ⅰ上的P点,远地点为圆轨道Ⅲ上的Q点,到达远地点Q时再次点火加速,进入轨道Ⅲ。
已知引力常量为G,地球质量为M,地球半径为R,飞船质量为m,同步卫星轨道距地面高度为h。
GMm
当飞船距离地心的距离为r时,地球与飞船组成的系统的引力势能为E=- (取无穷远处的引力势能为零),忽
p
r
略地球自转和喷气后飞船质量的变化,问:
(1)在近地轨道Ⅰ上运行时,飞船的动能是多少?
(2)若飞船在转移轨道Ⅱ上运动过程中,只有引力做功,引力势能和动能相互转化。已知飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行
时,经过P点时的速率为v,则经过Q点时的速率v 为多大?
1 2
(3)若在近地圆轨道Ⅰ上运行时,飞船上的发射装置短暂工作,将小探测器射出,并使它能脱离地球引力范围(即探测
器可以到达离地心无穷远处),则探测器离开飞船时的速度v(相对于地心)至少是多少?(探测器离开地球的过程中只有
3
引力做功,动能转化为引力势能)
GMm √ 2GM 2GM √2GM
答案 (1) (2) v2+ - (3)
2R 1 R+ ℎ R R
解析 (1)在近地轨道Ⅰ(离地高度忽略不计)上运行时,飞船在万有引力作用下做匀速圆周运动
Mm v2
有:G =m
R2 R
1 GMm
则飞船的动能为E= mv2=
k
2 2R
(2)飞船在转移轨道Ⅱ上运动过程中,只有引力做功,引力势能和动能相互转化。由能量守恒定律可知动能的减少
量等于引力势能的增加量,1m
v2
-1m
v2
=-GMm-(
-
GMm)
2 1 2 2 R+ ℎ R
√ 2GM 2GM
飞船在椭圆轨道上运行,经过P点时速率为v,则经过Q点时速率为v= v2+ -
1 2 1 R+ ℎ R
(3)若在近地圆轨道Ⅰ上运行时,飞船上的发射装置短暂工作,将小探测器射出,并使它能脱离地球引力范围(即探测
器可以到达离地心无穷远处),动能全部用来克服引力做功,转化为引力势能。北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
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Mm' 1
则:G = m'v2
R 2 3
√2GM
则探测器离开飞船时的速度(相对于地心)至少是v= 。
3
R
