文档文本内容
抖音：老余数学
二
复
六大核心
轮
习
专题
一
专题
三角函数、解三角形和平面向量
第一讲 三角恒等变换
1.（2024•北京海淀一模）在平面直角坐标系
中，角
以
为始边，终边在第三象限.则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2024•杭州模拟）已知
，则
．
3．（2024•沧州二模）
A．
B．
C．
D．
4.．（2024•新高考Ⅱ卷）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，
则
．
5.（2024•阜阳一模）已知
，则
，
.
6．（2024•南通模拟）某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为
和
的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最小值为
A．
B．
C．
D．
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【精选练习】
1．（2024•东莞三模）已知
，则
A．
B．
C．
D．
2．（2024•安庆模拟）函数
的最大值是
A．1
B．
C．
D．
3．（2024•九江二模）已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
4．（2024•江苏模拟）若
，
，
成等比数列，则
A．
B．
C．
D．
5．（2024•河北模拟）
的值为
A．1
B．
C．
D．2
6．（2024•重庆模拟）已知
为锐角三角形，且
，则下列结论中正确的是
A．
B．
C．
D．
的最小值为4
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第二讲 三角函数的图像与性质
1．（2024•张家口三模）已知函数
，则下列说法正确的是
A．函数
的一个周期为
B．函数
的图象关于点
对称
C．将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，若函数
为偶函数，
则
的最小值为
D．若
，其中
为锐角，则
的值为
2．（2024•河南模拟）函数
的部分图象如图所示，图象与
轴的交
点为
，与
轴的交点为
，最高点
，且满足
．则下列说法正确的是
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A．
（5）
B．函数
在
上单调递减
C．若
，则
的最小值是1
D．把
的图象向左平移1 个单位长度，得到
的图象
3．（2024•武汉二调）如图，在函数
的部分图象中，若
，则点
的纵坐标为
A．
B．
C．
D．
4.（2024•唐山一模）已知函数
的最小正周期为
，则
A．
在
单调递增
B．
是
的一个对称中心
C．
在
的值域为
，
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D．
是
的一条对称轴
5（2024•合肥二模）已知函数
，则
A．函数
在
上单调递减
B．函数
为奇函数
C．当
时，函数
恰有两个零点
D．设数列
是首项为
，公差为
的等差数列，则
【精选练习】
1.（多选题）（2024•贵州一模）已知函数
，若函数
图象的相邻两个
对称中心之间的距离为
，
为函数
图象的一条对称轴，则（ ）
A．
B．
C．点
是函数
图象的对称中心
D．将函数
的图象向左平移
个单位长度后所得函数的图象关于
轴对称
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2．（2024•烟台二模）已知函数
，则
A．
是奇函数
B．
的最小正周期为
C．
的最小值为
D．
在
上单调递增
3．（2024•蚌埠模拟）已知函数
的部分图象如图所示，且阴影部分
的面积为
，则
A．函数
的最小正周期为
B．点
为曲线
的一个对称中心
C．直线
为曲线
的一条对称轴
D．函数
在区间
上单调递增
4．（2024•安
模
）
庆
拟已知函数
，则
A．函数
的最小正周期为
B．函数
在
上单调递增
C．函数
的最大值为
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D．若方程
在
，
上有且仅有8 个不同的实根，则
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第三讲 解三角形
1．（2024•桂林三模）在
中，
，
，
，则
A．
B．
C．
的面积为
D．
外接圆的直径是
2.（2024•山东模拟）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，则
．
3.．（2024•广州二模）在梯形
中，
，则
A．
B．
C．
D．
4．（2024•南京二模）在平面四边形
中，
，
，
，
，则四
边形
的面积为 ．
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5．（2024•苏州模拟）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
．
（1）求证：
；
（2）若点
在边
上，且
，
，
，求
的面积．
6 ．（2024• 石家庄模拟）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，设向量
，
，
（A）
，
，
．
（1）求函数
（A）的最大值；
（2）若
（A）
，
，求
的面积．
7．（2024•内蒙古模拟）已知
是
内一点，
，
，
，
．
（1）若
，
，求
；
（2）若
，求
．
8.（2024•银川二模）如图，在山脚
测得山顶
的仰角为
，沿倾斜角为
的斜坡向上走
米到
，在
出测得山顶
得仰角为
，
(1)若
，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
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(2)求证;山高
【精选练习】
1 ．（2024• 泸州模拟）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
，下列结论正确的是
A．
B．若
，
，则
有两解
C．当
时，
为直角三角形
D．若
为锐角三角形，则
的取值范围是
2 ．（2024• 南昌一模）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边
，
交
于点
．
（1）求
；
（2）求
．
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3．（2024•临沂一模）在同一平面上有相距14 公里的
，
两座炮台，
在
的正东方．某次演习时，
向西偏北
方向发射炮弹，
则向东偏北
方向发射炮弹，其中
为锐角，观测回报两炮弹皆命中18 公
里外的同一目标，接着
改向向西偏北
方向发射炮弹，弹着点为18 公里外的点
，则
炮台与弹着点
的距离为
A．7 公里
B．8 公里
C．9 公里
D．10 公里
4.（2024•广东二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将
小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
，之后将小镜子前移
，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为
，
已知人的眼睛距离地面的高度为
，则钟楼的高度大约是（ ）
A．
B．
C．
D．
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微专题1 w 的取值范围问题
1．（2024•蚌埠模拟）已知函数
在区间
上单调递增，则
的值可以是
A．
B．1
C．
D．
2．（2024•信阳模
）
拟已知函数
，则
A．若
，
，则将函数
的图象向右平移
个单位后关于
轴对称
B．若
，函数
在
上有最小值，无最大值，且
，则
C．若直线
为函数
图象的一条对称轴，
为函数
图象的一个对称中心，且
在
上单调递减，则
的最大值为
D．若
在
上至少有2 个解，至多有3 个解，则
3.（2024•贵州一模）已知函数
（
），
，下述五个结论：
①若
，且
在
有且仅有5 个零点，则
在
有且仅有3 个极大值点；
②若
，且
在
有且仅有4 个零点，则
在
有且仅有3 个极小值点；
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③若
，且
在
有且仅有5 个零点，则
在
上单调递增；
④若
，且
在
有且仅有4 个零点，则
的范围是
；
⑤若
的图象关于
对称，
为它的一个零点，且在
上单调，则
的最大值为11.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．②③④
B．①③⑤
C．②④⑤
D．①③④
【精选练习】
1．（2024•许昌模拟）在
中，
，
的最大值为
．若函数
在区间
上单调递增，则
的最大值为 ．
2．（2024•江门模拟）已知函数
，则下列结论
正确的是
A．若
相邻两条对称轴的距离为
，则
B．当
，
时，
的值域为
C．当
时，
的图象向左平移
个单位长度得到函数解析式为
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D．若
在区间
上有且仅有两个零点，则
3．（2024•宁波模拟）已知函数
，
A．若
，则
是最小正周期为
的偶函数
B．若
，
为
的一个零点，则
必为
的一个极大值点
C．若
是
的一条对称轴，则
的最小值为
D．若
在
上单调，则
的最大值为
4．（2024•济宁一模）已知函数
，则下列说法中正确的是
A．若
和
为函数
图象的两条相邻的对称轴，则
B．若
，则函数
在
上的值域为
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最小
值为5
D．若函数
在
上恰有一个零点，则
5．（2024•烟台一模）若函数
在
，
上佮有5 个零点，且在
上单
调递增，则正实数
的取值范围为 ．
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微专题2 爪型三角形研究
1．（2024•合肥一中月考）直角三角形
中，
是斜边
上一点，且满足
，点
，
在过
点
的直线上，若
，则下列结论正确的是
A．
为常数
B．
，
的值可以为：
C．
的最小值为3
D．
的最小值为
2．（2024•厦门一模）如图，
与
的面积之比为2，点
是区域
内任意一点（含边界），
且
，则
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（2024•浙江模拟）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，边
上的中线、高线、
角平分线长分别是
，
，
，则下列结论中错误的是
A．
B．
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C．
D．
4 ．（2024• 聊城三模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．
（1）求
；
（2）若
在边
上，且
，求
的周长．
5．（2024•盐城模拟）在△
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，且
．
（1）求角
的大小；
（2）若点
在边
上，
平分
，
，求
长的最大值．
6．（2024•佛山一模）已知
中，
，
边上的高与
边上的中线相等，则
．
【精选练习】
1．（2024•厦门模拟）已知等边
的边长为4，点
，
满足
，
，
与
交于
点
，则
A．
B．
C．
D．
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2．（2024•深圳模拟）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
．若
，内角
的平
分线交
于点
，
，
，以下结论正确的是
A．
B．
C．
D．
的面积为
3．（2024•龙岩模拟）在
中，
，
，
，
为
上一点，
为
的
角平分线，则
．
4．（2024•浙江二模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，
边上的
高等于
，则
的面积是 ，
．
5 ．（2024• 北京东城区模拟）在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，已知
．
（1）求角
的大小；
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若
，
，点
是
边上的一点，且_____．求线段
的长．
①
是
的高；②
是
的中线；③
是
的角平分线．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
6 ．（2024• 临沂二模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，已知
．
（1）求
；
（2）若点
在线段
上，且
，求
的最大值．
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微专题3 解三角形最值范围问题
1．（2019•新课标Ⅲ）
的内角
、
、
的对边分别为
，
，
．已知
．
（1）求
；
（2）若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
2 ．（2024• 合肥二模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
，
，则
面积的最大值为
A．
B．
C．
D．
3．（2024•武汉模拟）在三角形
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
且满足
，
，则
面积取最大值时，
A．
B．
C．
D．
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【精选练习】
1．（2024•唐山二模）锐角
中，
，
边上的高为4，则
面积的取值范围为 ．
2．（2024•台州模拟）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
．若
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．3
3．（2024•安徽模拟）设锐角
的三个内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
，
，
则
周长的取值范围为
A．
B．
C．
，
D．
，
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4．（2024•厦门模拟）记锐角
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
．若
，则
的取值范围是 ．
5．（2024•潍坊二模）在
中，角
，
，
所对边分别为
，
，
，其外接圆半径为1，
，则
的面积为 ；当
取得最大值时，则
．
6．（2024•深圳模拟）在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且满足
．则
下列结论正确的有
A．
B．
C．
的取值范围为
D．
的取值范围为
7．（2024•黄冈模拟）已知
中，
，
，
所对的边分别为
，
，
，且满足
，
则
面积的最大值为 ．
8．（2024•邢台二模）在
中，
，点
与点
分别在直线
的两侧，且
，
，则
的长度的最大值是 ．
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微专题4 数量积五种方法
1．（2024•韶关二模）已知平面向量
，
，
均为单位向量，且
，则向量
与
的夹角为 ，
的最小值为 ．
2．（2024•常州模拟）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，
在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，
已知
，
为弧
上的点且
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
3．（2024•上饶一模）在平行四边形
中，
，
，点
，
分别是
，
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的中点，则
．
4．（2024•浙江模
）
拟如图，在正方形
中，已知
，
为
的中点，若
为正方形内（含边
界）任意一点，则
的取值范围是 ．
5．（2024•武汉模拟）点
是边长为1 的正六边形
边上的动点，则
的最大值为
A．2
B．
C．3
D．
6．（2016•浙江）已知向量
，
，
，
，若对任意单位向量
，均有
，则
的最大值是 ．
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【精
】
选练习
1. （2024•泉州模拟）已知点
是
所在平面内一点，下列命题正确的是
A．若
，则点
是
的重心
B．若点
是
的外心，则
C．若
，则点
是
的垂心
D．若点
是
的垂心，则
2．（2024•云南模拟）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，且
为边
上的高，
为边
上的中线，则
的值为
A．2
B．
C．6
D．
3．（2024•山西模拟）正六边形瓷砖是一种常见的装饰材料，被广泛应用于室内和室外的墙壁、地面和装
饰品的制作．正六边形瓷砖的设计能够形成美观的六边形花纹，增加空间的层次感和艺术感．如图是一块
正六边形瓷砖
，它的边长为1，点
是
内部（包括边界）的动点，则下列说法正确的是
A．
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B．
C．若
为
的中点，
在
上的投影向量为
D．
的最大值为
4 ．（2024• 厦门模拟）已知
，
，
．若点
是
所在平面内一点，且
，则
的最大值为
A．13
B．
C．
D．
5．（2024•大庆模拟）如图，
是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角
形，若
，
，点
为线段
上的动点，则
的最大值为
A．
B．
C．6
D．10
6．（2024•浙江模拟）已知点
是边长为1 的正十二边形
边上任意一点，则
的最小值
为
A．
B．
C．
D．
