2.1 直线的倾斜角与斜率
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：直线倾斜角的定义.......................................................... 2
考点二：直线的斜率................................................................... 2
考点三：过两点的直线的斜率公式..................................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：直线的倾斜角与斜率定义..................................................3
题型二：倾斜角与斜率................................................................ 5
题型三：两点与斜率................................................................... 5
题型四：直线方向向量与斜率....................................................... 6
题型五：斜率与倾斜角概念辨析.................................................... 6
题型六：斜率与倾斜角的变化关系..................................................7
题型七：直线与线段相交求斜率范围...............................................8
题型八：共线问题......................................................................9
题型九：倾斜角与斜率求参数....................................................... 9
题型十：斜率公式的几何意义应用................................................10
模块三：综合巩固....................................................................... 10
2.1 直线的倾斜角与斜率
模块一：基础知识
考点一：直线倾斜角的定义
1.倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴称为基准，x 轴的正向与l 向上的方向之间所产生的
角叫做直线l 的倾斜角．【13723366289】
2.倾斜角的范围：
当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为
0
180
，具体如下：
倾斜角
0
0
90
90
90
180
直线图示
3.对倾斜角的理解
（1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②x 轴正向；③小于180的角．
（2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
（3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．
（4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直
线的位置．
考点二：直线的斜率
1.斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（
90
）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表
示，即
tan
k
．
2.倾斜角与斜率的关系
直线的情况
平行于x 轴
由左向右上升
垂直于x 轴
由左向右下降
的大小
0
0
90
90
90
180
k 的取值范围
0
k
0
k
不存在
0
k
k 的增减性
—
k 随的增大而增大
—
k 随的增大而减增大
3.倾斜角与斜率的区别和联系
（1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率；
（2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角
可以互相转化．因此，确定一条不垂直于x 轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可．
考点三：过两点的直线的斜率公式
1.斜率公式：如果直线经过两点
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
（
1
2
x
x
），那么可得到如下斜率公式：
2
1
2
1
y
y
k
x
x
．
2.对斜率公式的理解
（1）当
1
2
x
x
时，直线与x 轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研
究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况．
（2）直线的斜率公式中k 的值与
1P ，
2P 两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其
斜率均不变．
（3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，
如果分子式
2
1
y
y
，分母必须是
2
1
x
x
；如果分子是
1
2
y
y
，分母必须是
1
2
x
x
，即
2
1
1
2
2
1
1
2
y
y
y
y
k
x
x
x
x
．
（4）当
1
2
y
y
时，斜率
0
k
，直线的倾斜角
0
，直线与x 轴重合或者平行。【13723366289】
3.直线的斜率与方向向量的关系
我们知道直线
1
2
PP 上的向量
1 2
PP
以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线
1
2
PP 的方向向量
1 2
PP
的
坐标为
2
1
2
1
(
,
)
x
x y
y
．当直线
1 2
PP 与x 轴不垂直时，此时向量
1
2
2
1
1
PP
x
x
也是直线
1
2
PP 的方向向量，且
它的坐标
2
1
2
1
2
1
1
(
,
)
x
x y
y
x
x
，即
2
1
2
1
(1,
)
(1, )
y
y
k
x
x
，其中k 是直线
1 2
PP 的斜率．因此，若直线l 的
斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为( , )
x y ，则斜率为
y
k
x
．
模块二：题型分类
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
1.直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．
0,π
B．
π
π
0,
, π
2
2
C．
0,2π
D．
0,π
2．图中�能表示直线�的倾斜角的是（
）
A．①④
B．①②
C．①③
D．②④
3．已知直线�1的倾斜角�1 = 15°，直线�1与�2的交点为�，直线�1和�2向上的方向之间所成的角为120°，如
图所示，求直线�2的倾斜角.
4．已知�−2,0 ，�−5,3 ，则直线��的倾斜角为（
）
A．
π
4
B．
π
3
C．
2π
3
D．
3π
4
5．直线�经过�4,2 3 , �3,
3 两点，则�的倾斜角是（
）
A．−
π
6
B．
π
6
C．
π
3
D．
π
2
6．已知直线�的方程为�= �+ 1，则直线�的倾斜角为（
）
A．45°
B．90°
C．120°
D．135°
7.直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是（
）
A．0
90
B．90
180
C．90
180
D．0
180
8.(多选)设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，
那么l1 的倾斜角可能为(
)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．α－45°
9.已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为________．
10.已知直线l1 的倾斜角α1＝15°，直线l1 与l2 的交点为A，直线l1 和l2 向上的方向所成的角为120°，如图，
则直线l2 的倾斜角为________．
题型二：倾斜角与斜率
1.若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为________．
2.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为60，则该直线的斜率为
.
3.直线
3
3
y
x
的倾斜角等于（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
4.直线
3
10086
y
x
的倾斜角为
.
5.直线
12
y
x
的倾斜角是（
）
A．π
4
B．π
2
C．3π
4
D．π
3
6.已知直线
3
2
y
a
x
的倾斜角为30，则
a
（
）
A．2 3
B．4 3
3
C．2 3
3
D．0
7.已知直线l 的方程为
3
3
3
3
y
x
m
，则直线l 的倾斜角为（
）
A．π
6
B．π
3
C．5π
6
D．不确定
题型三：两点与斜率
1.直线l 经过
4,2 3 ,
3, 3
A
B
两点，则l 的倾斜角是（
）
A．
π
6
B．π
6
C．π
3
D．π
2
2.已知直线l 经过两点
2,6
M
，
4, 2
N
，则它的斜率为
．
3.若直线经过
1,0 ,
4,3
A
B
两点，则直线AB 的倾斜角为（
）
A．30
B．45
C．60
D．120
4.已知直线l 的倾斜角为π
3 ，且直线经过
( 2, 3)
P
，
(
,0)
Q
m
两点，则实数m 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
5.求经过两点
2 ,1
A
m
，
,2
B m
mR 的直线l 的斜率．
题型四：直线方向向量与斜率
1．已知( −3,
3)是直线�的一个方向向量，则直线�的倾斜角为（
）【13723366289】
A．
π
6
B．
π
3
C．
2π
3
D．
5π
6
2．已知直线�的一个方向向量为4, −4 ，则直线�的倾斜角�=
．【13723366289】
3.经过(0,4), ( 1,3)
A
B
两点的直线的方向向量(1, )
k ，则k （
）
A．1
B．0
C．1
D．2
题型五：斜率与倾斜角概念辨析
1.下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是（
）
A．任意一条直线都有斜率
B．倾斜角的范围为
0,π
C．倾斜角为0 的直线只有一条，即x 轴
D．若直线的倾斜角为，则sin
(0,1)
2.在下列四个命题中，正确的是（
）
A．若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为
B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan
C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
D．直线的倾斜角的取值范围是
0,π
3.（多选）已知直线的倾斜角为，斜率为k ，则下列命题正确的有（
）
A．k 存在则一定存在
B．存在则k 一定存在
C．有些直线不存在，但存在k
D．有些直线不存在k ，但存在
4.（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（
）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为tan
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0或90
题型六：斜率与倾斜角的变化关系
1．直线的斜率
（1）当倾斜角�≠
π
2时，定义tan�为直线l 的斜率，常用字母k 表示，即
；当�=
π
2，即直线l 与x
轴垂直时，我们说直线l 的斜率不存在．倾斜角不是
π
2的直线都有斜率，其取值范围是−∞, + ∞．
（2）直线上任意两点��1, �1 、��2, �2 ，当�1 ≠�2时，�=
；当�1 = �2时，斜率k
．
（3）事实上，�= tan�即正切函数在0,π 上的图像受正切函数定义域的限制，�= tan�在0,π 上的图像不
连续，从而�= tan�在0,
π
2 及
π
2 ,π 上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求
得斜率k 的范围，再取并集即可．
（4）斜率k 和倾斜角θ之间的关系
θ
0
0 < �
< π
2
π
2
π
2 < �
< π
k
2．已知两条直线�1，�2的斜率分别为�1，�2，倾斜角分别为�，�.若�<
π
2 < �，则下列关系正确的是（
）
A．0 < �1 < �2
B．�1 < �2 < 0
C．�1 < 0 < �2
D．�2 < 0 < �1
3．已知直线�的倾斜角为�，并且0° ≤�< 120°，直线�的斜率�的范围是（
）
A．−
3 < �≤0
B．�>−
3
C．�≥0 或�<−
3
D．�≥0 或�<−
3
3
4.如图，已知直线1
2
3
, ,
l l l 的斜率分别为
1
2
3
,
,
k k k ，则（
）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
3
1
2
k
k
k
C．
3
2
1
k
k
k
D．
1
3
2
k
k
k
5.直线1l ，2l ，3l ，4l 的图象如图所示，则斜率最小的直线是（
）
A．1l
B．2l
C．3l
D．4l
6.设直线l 的方程为
cos
1
y
x
，则直线l 的倾斜角的范围是（
）
A．[0, ]
B．
π
0, 4
C．π 3π
,
4
4
D．
π
3π
0,
,π
4
4
7.直线
3sin
2
y
x
的倾斜角的取值范围是
．
8.直线
2
2
1
1
1
1
y
x
a
a
的倾斜角的取值范围是（
）
A．
π
0, 4
B．3π ,π
4
C．π π
,
4 2
D．
π 3π
,
2
4
9.若直线m 的斜率
, 1
1, 3
k
，则直线m 的倾斜角的取值范围是
．
10.直线
2
1
1
0(
R)
x
a
y
a
的倾斜角的取值范围是（
）
A．
π
0, 4
B．3π ,π
4
C．π π
,
4 2
D．
π 3π
,
2
4
题型七：直线与线段相交求斜率范围
1.设点
(4, 3),
( 2, 2)
A
B
，直线l 过点
(1,1)
P
且与线段AB 相交，则直线l 的斜率
k 的取值范围是（
）
A．
1
k 或
4
k
B．
1
k 或
4
3
k
C．4
1
k
D．
4
1
3
k
2.已知点
1,1
A
、
1,2
B
、
0, 1
C
，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范
围是（
）
A．
2,3
B．
2,0
0,3
C．
, 2
3,
D．以上都不对
3.已知点
(2,1)
A
，
( 2,2)
B
，若直线l 过点
4
1
(
,
)
5
5
P
，且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围
是
．
4.已知两点
3,2
A
，
2,1
B
，过点
0, 1
P
的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值
范围为（
）
A．
, 1
1,
B．[ 1,1]
C．
1
,
1,
5
D．
1,1
5
5.若点
2, 3
3, 2
A
B
,
，直线l 过点
1,1
P
且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（
）
A．
3
4
,
,
4
3
B．
4
3
,
3
4
C．
4
3
,
,
3
4
D．3 4
,
4 3
题型八：共线问题
1.若三点
2,3
A
，
3, 2
B
，
1 ,
2
C
m
共线，则m
.
2.已知
0 3
1 2 ,
3,
A
B
C
m
, ,
,
三点共线，则实数m 的值为
．
3.已知
2
A a
( ，)，
(51)
B ，，
4 2
C
a
(
，)三点在同一条直线上，求a 的值．
题型九：倾斜角与斜率求参数
1.已知直线l 的倾斜角为π
3 ，且直线经过
( 2, 3)
P
，
(
,0)
Q
m
两点，则实数m 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
2.若经过
1,3
A m
，
,1
B m
m
两点的直线的倾斜角是π
4 ，则m （
）
A．3
B．0
C．1
D．3
3.已知坐标平面内两个不同的点
1(1,1)
P
，
2
2
2(
,
3
3)
P a a
a
（a R ），若直线
1
2
PP 的倾斜角是钝角，则a 的
取值范围是
4.若过点P(1－a，1＋a)与Q(4，2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m 的取值范围是
．
5.若三点
2,2
A
，
,0
B a
，
0,
C
b ，（
0
ab
）共线，则1
1
a
b
的值等于
.
6.已知
1,2 ,
3,2
A
B
，若直线AP 与直线BP 的斜率分别为2 和2
，则P 点的坐标为
．
7.若过
2
2
2,2
3
A m
m
、
2
3
,2
B
m
m
m
，两点的直线倾斜角为45，则m
．
题型十：斜率公式的几何意义应用
1.已知实数x、y 满足方程
1
3
2
y
x
，当0
4
x
时，则
1
2
y
x
的取值范围是
．
2.已知正ABC
的顶点
1,1
A
，
1,3
B
，顶点C 在第一象限，若点
,
P x y 是ABC
内部及其边界上一点，
则
1
y
x 的最大值为（
）
A．1
2
B．3
2
C．2
3
D．3 3
3
2
3.已知函数
ln
1
f x
x
.则
2
3
1 ,
,
2
3
f
f
f
的大小关系为（）
A．
2
3
1
2
3
f
f
f
B．
3
2
1
3
2
f
f
f
C．
3
2
1
3
2
f
f
f
D．
2
3
1
2
3
f
f
f
4.已知实数x、y 满足方程
2
6
0
x
y
，当0
4
x
时，则
1
2
y
x
的取值范围是
．
5.点
1
1
,
M x y
在函数
ex
y
的图象上，当
1
0,1
x
，则
1
1
1
1
y
x
的取值范围为
.
模块三：综合巩固
1.图中能表示直线l 的倾斜角的是（
）这个题重复出现了
A．①④
B．①②
C．①③
D．②④
2.经过两点
2,
,
,4
A
m
B
m
的直线l 的倾斜角为135，则m 的值为（
）
A．-2
B．1
C．3
D．4
3.（多选）下列命题中，正确的是（
）
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为30
C．倾斜角为0的直线有无数条
D．若直线的倾斜角为，则sin
(0,1)
4.若
1,2
A
，
3,
B
m ，
7,
2
C
m
三点共线，则实数m 的值为（
）
A．2
B．2
C．3
D．3
5.（多选）下列说法中正确的是（
）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若
1, 3
A
，
1,3
B
，则直线AB 的倾斜角为90
C．若直线过点
1,2 ，且它的倾斜角为45，则这条直线必过点
3,4
D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan
6.如图所示，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为
1k ，
2k ，
3k 的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
3
1
2
k
k
k
C．
2
1
3
k
k
k
D．
2
3
1
k
k
k
7.已知直线1l 的倾斜角是，直线2l 的倾斜角是，1
2
l
l
，则（
）
A．
90
B．
90
C．
90
D．
180
8.直线:l
2
1
3
3
y
x
的一个方向向量为（
）
A．
2, 3
B．
3,2
C．
2,3
D．
3,2
9.若直线l 的斜率为k ，且
2
3
k
，则直线l 的倾斜角为（
）
A．30或150
B．60或120
C．45或135
D．90或180
10.已知点
2, 1
A
，
3,
B
m ，若
3
1, 3 1
3
m
，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（）
A．
π
5π
0,
, π
3
6
B．
π
5π
0,
,π
6
6
C．
π
5π
0,
,π
3
3
D．π π
5π
,
,π
3 2
6
11.“直线
1
2
1
y
k
x
k
经过第一、二、四象限”是“
1
1
2
k
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
12.若直线:
3
l y
kx
与直线
2
2
3
y
x
的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．π π
,
6 3
B．π π
,
6 2
C．π π
,
3 2
D．π π
,
3 2
13.（多选）在下列四个命题中，错误的有（
）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角
B．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为90
C．直线的倾斜角的取值范围是
0,π
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
14.（多选）已知直线1
2
3
l
l
l
，，的倾斜角分别为
1
2
3
，
，
，斜率分别是
1
2
3
k
k
k
，，
，若
1
2
3
，则
1
2
3
k
k
k
，，
的大小关系可能是（
）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
3
2
1
k
k
k
C．
3
1
2
k
k
k
D．
2
3
1
k
k
k
15.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 上的一点向右平移1 个单位长度，再向下平移3 个单位长度后，
仍在该直线l 上，则直线l 的斜率为
．
16.已知某直线的倾斜角
]
π 3π
,
4
[
4
，则该直线的斜率k 的范围为
．
17.已知点
( 1,3), (3,2)
A
B
，过点
3 1
,
2 2
P
的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围为
，
直线l 的斜率的取值范围为
．【13723366289】
18.（1）设坐标平面内三点
( ,
3), (2,
1),
( 1,4)
A m
m
B
m
C
，若直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3 倍，
求实数m 的值；【13723366289】
（2）已知直线l1 的方向向量为
2,1
n
，直线l2 的倾斜角是直线l1 倾斜角的2 倍，求直线l2 的斜率.
19.已知坐标平面内两点
3,3
5 ,
2
1,1
M m
m
N
m
.【13723366289】
(1)当直线MN 的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m 的取值范围；
(2)若直线MN 的方向向量为
1, 2023
a
，求m 的值.
20.已知坐标平面内三点
1,1
A
，
1,1
B
，
2, 3
1
C
.
(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；
(2)若D 为ABC
的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率的取值范围.【13723366289】
21.已知
2,3
A
，
4,1
B
，
0, 3
C
．
(1)求直线AB 和AC 的斜率；
(2)若点D 在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．【13723366289】
