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2023届高考数学三轮冲刺卷：平面向量和与差的坐标运算
一、选择题（共20小题；）
1. 已知 ⃗a +⃗a +⋯+⃗a =0⃗，且 ⃗a =(3,4)，则 ⃗a +⃗a +⋯+⃗a 的坐标为 ()
1 2 n n 1 2 n−1
A. (4,3) B. (−4,−3) C. (−3,−4) D. (−3,4)
2. 已知 ⃗AB=(3,1)，向量 ⃗AC=(−4,−3)，则向量 ⃗BC= ()
A. (−7,−4) B. (7,4) C. (−1,4) D. (1,4)
3. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(1,2)，B(2,−3)，C(−3,1)，则顶点 D 的坐标为 ()
A. (6,−2) B. (−2,−4) C. (−4,6) D. 以上都不对
4. 已知点 A(−1,1)，B(0,2)，若向量 ⃗AC=(−2,3)，则向量 ⃗BC= ()
A. (3,−2) B. (2,−2) C. (−3,−2) D. (−3,2)
5. 已知 ⃗a=(1,1)，⃗b=(2,−1)，则满足 (⃗a+⃗b)∥⃗c 且 ∣⃗a−⃗b∣=∣⃗c∣ 的 ⃗c 个数是 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个
6. 已知向量 ⃗a=(−1,2)，⃗b=(0,1)，则 ⃗a−2⃗b 的坐标为 ()
A. (−1,1) B. (−1,0) C. (−1,4) D. (−2,3)
1 2
7. 设 D， E 分 别 为 △ABC 边 AB， BC 上 的 点 ， AD= AB， BE= BC． 若
2 3
⃗DE=λ ⃗AB+λ ⃗AC(λ ,λ 为实数)，则 λ +λ 的值为 ()
1 2 1 2 1 2
1 1 2 4
A. B. C. D.
4 2 3 5
8. 已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量 ⃗BC=(−7,−4)，则向量 ⃗AC= ()
A. (10,7) B. (10,5) C. (−4,−3) D. (−4,−1)
9. 已知向量 ⃗a=(1,2)，⃗b=(1,m)．若 ⃗a+⃗b=(2,−1)，则 m 的值为 ()
A. −4 B. −3 C. 3 D. 4
10. 已知作用在点 A(1,1) 的三个力 ⃗F =(3,4)，⃗F =(2,−5)，⃗F =(3,1)，则合力 ⃗F=⃗F +⃗F +⃗F
1 2 3 1 2 3
的终点坐标是 ()
A. (8,0) B. (9,1) C. (−1,9) D. (3,1)
11. 已知向量 ⃗a=(4,2)，⃗b=(6,m)，若 ⃗a−⃗b=(−2,−1)，则 m 的值为 ()
A. −4 B. −3 C. 3 D. 4
12. 若向量 ⃗a=(2,3)，⃗b=(−1,2)，则 ⃗a−⃗b 的坐标为 ()
A. (1,5) B. (1,1) C. (3,1) D. (3,5)
13. 已知平面向量 ⃗a=(x,1)，⃗b=(−x,x2)，则向量 ⃗a+⃗b ()
A. 平行于 x 轴 B. 平行于第一、三象限的角平分线
C. 平行于 y 轴 D. 平行于第二、四象限的角平分线14. 已知向量 ⃗a=(1,2)，2⃗a+⃗b=(3,2)，则 ⃗b= ()
A. (1,2) B. (1,−2) C. (5,6) D. (2,0)
1
15. 已知向量 ⃗OM=(3,−2)，⃗ON=(−5,−1)，则 ⃗MN 等于 ()
2
( 1) ( 1)
A. (8,1) B. (−8,1) C. 4,− D. −4,
2 2
1
16. 已知 ⃗OM=(3,−2)，⃗ON=(−5,−1)，则 ⃗MN 等于 ()
2
( 1) ( 1)
A. (8,−1) B. (−8,1) C. 4,− D. −4,
2 2
17. 直线 y=m(m>0) 与 y=∣log x∣(a>0且a≠1) 的图象交于 A,B 两点，分别过点 A,B
a
k
作垂直于 x 轴的直线交 y= (k>0) 的图象于 C,D 两点，则直线 CD 的斜率 ()
x
A. 与 m 有关 B. 与 a 有关 C. 等于 −1 D. 与 k 有关
18. 若 ⃗AB=(2,4)，⃗AC=(1,3)，则 ⃗BC= ()
A. (1,1) B. (−1,−1) C. (3,7) D. (−3,−7)
19. 已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量 ⃗AC=(−4,−3)，则向量 ⃗BC= ()
A. (−7,−4) B. (7,4) C. (−1,4) D. (1,4)
20. 已知直角坐标系中点 A(0,1)，向量 ⃗AB=(−4,−3)，⃗BC=(−7,−4)，则点 C 的坐标为 ()
A. (11,8) B. (3,2) C. (−11,−6) D. (−3,0)
二、填空题（共5小题；）
21. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，三点的坐标为 A(1,4)，B(3,7)，C(5,8)，则点 D 的坐标
是 ．
22. 已知平面上三点 A(2,−4)，B(0,6)，C(−8,10)，则 ⃗AC+⃗BC 的坐标是 ．
23. 已知 {⃗a,⃗b} 是平面向量的一组基底，若 ⃗m=x⃗a+ y⃗b，则称有序实数对 (x,y) 为向量 ⃗m 在基
底 {⃗a,⃗b} 下的坐标．给定一个平面向量 ⃗p，已知 ⃗p 在基底 {⃗a,⃗b} 下的坐标为 (1,2)，那么
⃗p 在基底 {⃗a−⃗b,⃗a+⃗b} 下的坐标为 ．
(3 7) ( π π)
24. 已 知 A , ， B(1,4)， 且 ⃗AB=(sinα,cosβ)， α,β∈ − , ， 则 α+β=
2 2 2 2
．
25. 已知点 A(4,0)，抛物线 C：x2=8 y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线和它的准线分别交于点
M 和 N，则 ∣FM∣:∣MN∣= ．
三、解答题（共5小题；）26. 已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若 ⃗AP=⃗AB+λ⃗AC（λ∈R），则当 λ 为何值时，点
P 在第三象限?
27. 已知平面上三点的坐标分别为 A(−2,1)，B(−1,3)，C(3,4)，求点 D 的坐标，使这四点构成
平行四边形的四个顶点．
28. 已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(3,4)，⃗OP=⃗OA+t⃗AB，t∈R．
（1）若点 P 在第二象限，求 t 的取值范围；
（2）四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由．
29. 在平面直角从标系 xOy 中，设 A(1,2)，B(4,5)，⃗OP=m⃗OA+⃗AB (m∈R)．
（1）求使得点 P 在函数 y=x2+x−3 的图象上的 m 的值．
（2）以 O，A，B，P 为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能，求出相应的 m 的值；若
不能，请说明理由．
30. 已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(−1,4)．
（1）求证：AB⊥AD；
（2）要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 两条对角线所成的锐角的
余弦值．答案
1. C 【解析】⃗a +⃗a +⋯+⃗a =−⃗a =(−3,−4)．
1 2 n−1 n
2. A
3. C
4. D 【解析】⃗AB=(1,1)，⃗AC=(−2,3)，
所以 ⃗BC=⃗AC−⃗AB=(−3,2)．
5. B
6. B
7. B 【解析】解法一：用坐标法
解法二：⃗AE=⃗AD+⃗DE= 1 ⃗AB+λ ⃗AB+λ ⃗AC+ (1 +λ )⃗AB+λ ⃗AC，
2 1 2 2 1 2
又因为 B，C，E 三点共线，
1 1
所以 λ +λ + =1，即 λ +λ = ．
1 2 2 1 2 2
8. C
9. B 【解析】因为 ⃗a=(1,2)，⃗b=(1,m)，⃗a+⃗b=(2,2+m)=(2,−1)，
所以 2+m=−1，m=−3．
10. B
【解析】因为 ⃗F=(8,0)，
所以终点坐标是 (8,0)+(1,1)=(9,1)．
11. C 【解析】因为 ⃗a−⃗b=(−2,2−m)=(−2,−1)，
所以 m=3．
12. C
13. C 【解析】平面向量 ⃗a=(x,1)，⃗b=(−x,x2)，则向量 ⃗a+⃗b=(0,x2+1)．
14. B 【解析】⃗a=(1,2)，2⃗a+⃗b=(3,2)，
则
⃗b= (2⃗a+⃗b)−2⃗a
= (3,2)−2(1,2)
= (3,2)−(2,4) ．
= (3−2,2−4)
= (1,−2)
15. D
16. D
17. D
18. B
19. A 【解析】由已知点 A(0,1)，B(3,2)，得到 ⃗AB=(3,1)，向量 ⃗AC=(−4,−3)，
则向量 ⃗BC=⃗AC−⃗AB=(−7,−4)；20. C
21. (3,5)
22. (−18,18)
⃗AC+⃗BC =(−8−2,10−(−4))+(−8−0,10−6)
【解析】
¿ =(−18,18).
( 1 3)
23. − ,
2 2
【解析】由 ⃗p 在基底 {⃗a,⃗b} 下的坐标为 (1,2)，得 ⃗p=⃗a+2⃗b．
设 ⃗p 在基底 {⃗a−⃗b,⃗a+⃗b} 下的坐标为 (m,n)，
则 ⃗p=m(⃗a−⃗b)+n(⃗a+⃗b)，
所以 ⃗p=(m+n)⃗a+(n−m)⃗b，
1
{m=− ,
{m+n=1, 2
所以 解得
n−m=2, 3
n= ,
2
( 1 3)
所以 ⃗p 在基底 {⃗a−⃗b,⃗a+⃗b} 下的坐标为 − , ．
2 2
π π
24. 或 −
6 2
25. 1:√5
【解析】如图所示，
由抛物线定义知 ∣MF∣=∣MH∣，
所以 ∣FM∣:∣MN∣=∣MH∣:∣MN∣．
∣MH∣ ∣OF∣ 2 1
由于 △MHN∽△FOA，则 = = = ，
∣HN∣ ∣OA∣ 4 2
则 ∣MH∣:∣MN∣=1:√5，即 ∣FM∣:∣MN∣=1:√5．
26. 设 P(x,y)，则 ⃗AP=(x,y)−(2,3)=(x−2,y−3)．
又因为 ⃗AP=⃗AB+λ⃗AC=(3+5λ,1+7λ)，{x−2=3+5λ, {x=5+5λ,
所以 (x−2,y−3)=(3+5λ,1+7λ)，即 所以
y−3=1+7λ, y=4+7λ.
{x=5+5λ<0,
因为点 P 在第三象限，所以 所以 λ<−1．
y=4+7λ<0.
27. 设 D(x,y)，当平行四边形为 ABCD 时，
由 ⃗AB=(1,2)，⃗DC=(3−x,4−y)，且 ⃗AB=⃗DC，得 D(2,2)．
当平行四边形为 ACDB 时，由 ⃗AB=(1,2)，⃗DC=(x−3,y−4)，
且 ⃗AB=⃗DC，得 D(4,6)．
当平行四边形为 ACBD 时，由 ⃗AC=(5,3)，⃗DB=(−1−x,3−y)，
且 ⃗AC=⃗DB，得 D(−6,0)．
故 D 点坐标为 (2,2) 或 (4,6) 或 (−6,0)．
28. （1） ⃗OP=⃗OA+t⃗AB=(1,2)+t(2,2)=(2t+1,2t+2)，
{2t+1<0,
由题意得
2t+2>0,
1
解得 −10，∣⃗AC∣=2√5，∣⃗BD∣=2√5，
设 ⃗AC 与 ⃗BD 的夹角为 θ，
⃗AC⋅⃗BD 16 4
则 cosθ= = = >0．
∣⃗AC∣∣⃗BD∣ 20 5
4
所以矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为 ．
5
