10.1 有限样本空间与随机事件
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：随机试验......................................................................2
考点二：样本点和样本空间.......................................................... 2
考点三：事件的分类................................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：事件类型的判断............................................................. 2
题型二：样本点与样本空间.......................................................... 4
题型三：复杂事件的概率解释....................................................... 8
模块三：综合巩固....................................................................... 10
10.1 有限样本空间与随机事件
模块一：基础知识
考点一：随机试验
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E 表
示．
2.随机试验的特点
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
考点二：样本点和样本空间
我们把随机试验E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E 的样本空间
（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集
的情况．如果一个随机试验有n 个可能结果
1
2
,
,
,
n
，则称样本空间
1
2
,
,
,
n
为有限样本空间．
考点三：事件的分类
1.随机事件：
①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．
②随机事件一般用大写字母A ，B ，C ，…表示．
③在每次试验中，当且仅当A 中某个样本点出现时，称为事件A 发生．
2.必然事件：
作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们
称为必然事件．
3.不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．
模块二：题型分类
题型一：事件类型的判断
1.对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称为（
）
A．样本空间
B．必然事件
C．不可能事件
D．随机事件
【答案】C
【详解】解：对掷一粒骰子的试验，出现的点数分别为：1，2，3，4，5，6，
所以在掷一枚骰子的试验中，出现零点是不可能事件，
故选：C．
2.给出下列事件：
①函数
log
0
1
a
y
x
a
在定义域内为增函数；
②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利；
③一所学校共有998名学生，有3名学生的生日相同；
④若集合A 、B 、C 满足A
B
，B
C
，则A
C
；
⑤在标准大气压下，河流在20 C
o
时结冰；
⑥从1、3、9中任选两数相加，其和为偶数.
其中属于随机事件的是
，属于必然事件的是
，属于不可能事件的是
（填序号）.
【答案】
②③
④⑥
①⑤
【解析】①中函数
log
0
1
a
y
x
a
在定义域为减函数，说法不正确，故为不可能事件；
②中可能张怡宁胜利也可能小学生胜利，故为随机事件；
③中，因为998
3 365
，所以，有可能有3名学生的生日相同，也有可能没有3名学生的生日相同，故
为随机事件；
④中，根据集合的包含关系，④中说法正确，故为必然事件；
⑤中的说法不正确，故为不可能事件；
⑥中任意两奇数和均为偶数，说法正确，故为必然事件.
故答案为：②③；④⑥；①⑤.
3.（多选）在25 件同类产品中，有2 件次品，从中任取5 件产品，其中是随机事件的是（
）
A．5 件都是正品
B．至少有1 件次品
C．有3 件次品
D．至少有3 件正品
【答案】AB
【详解】在25 件同类产品中，有2 件次品，从中任取5 件产品，“5 件都是正品”、“至少有1 件次品”，都
是随机事件，A、B 正确，
在25 件同类产品中，有2 件次品，所以不可能取出3 件次品，
则“有3 件次品”不是随机事件，是不可能事件，C 错误；
在25 件同类产品中，有2 件次品，从中取5 件，则“至少有3 件正品”为必然事件，不是随机事件，D 错
误.
故选：AB
4.以下事件是随机事件的是（
）
A．标准大气压下，水加热到100 C
，必会沸腾B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为ab D．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为ab 是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．
故选：B．
5.如图，由A，B 两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（
）
A．A 灯亮，B 灯不亮
B．A 灯不亮，B 灯亮
C．A，B 两盏灯均亮
D．A，B 两盏灯均不亮
【答案】C
【解析】由A，B 两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B 两盏灯均亮.
故选：C.
6.一个不透明的袋子中装有5 个黑球和3 个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4 个
球，则下列事件是必然事件的是（
）
A．摸出的4 个球中至少有一个是白球
B．摸出的4 个球中至少有一个是黑球
C．摸出的4 个球中至少有两个是黑球
D．摸出的4 个球中至少有两个是白球
【答案】B
【详解】因为袋中有大小、质地完全相同的5 个黑球和3 个白球，
所以从中任取4 个球共有：3 白1 黑，2 白2 黑，1 白3 黑，4 黑四种情况.
故事件“摸出的4 个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A 错误；
事件“摸出的4 个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B 正确；
事件“摸出的4 个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C 错误；
事件“摸出的4 个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D 错误.
故选：B.
题型二：样本点与样本空间
1.写出下列试验的样本空间：
(1)连续抛掷一枚硬币2 次，观察正面、反面出现的情况；
(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果；
(3)连续抛掷一枚骰子2 次，观察2 次掷出的点数之和；
(4)设袋中装有4 个白球和6 个黑球，从中不放回地逐个取出，直至白球全取出，记录取球的次数．
【答案】(1){ ( 正面，正面) ，( 正面，反面)，( 反面，正面)，( 反面，反面) }
；
(2)答案见解析；
(3){2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}；
(4){4,5,6,7,8,9,10}．
【解析】（1）第一次硬币向上面与第二次硬币向上的面构成一个样本点，样本空间为：
{ ( 正面，正面) ，( 正面，反面)，( 反面，正面) ，( 反面，反面) }
（2）四个同学的一个排列构成一个样本点，样本空间为：
{ 甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，
乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁
乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙}；
（3）第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点，样本空间为：
{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}；
（4）白球全部取出，至少取4 次，最多取10 次，样本空间为：{4,5,6,7,8,9,10}．
2.试验
2
E ：连续抛掷一枚硬币3 次，观察正面、反面出现的情况．设事件A 表示随机事件“第一次出现正
面”，事件B 表示随机事件“3 次出现同一面”，事件C 表示随机事件“至少出现一次正面”，试用样本点表示
事件A，B，C．
【解析】试验
2
E 的所有可能结果共有8 种，下面用字母H 表示出现正面，
字母T 表示出现反面，则试验
2
E 的样本空间可以记为
2
{(
,
,
),(
,
, ),(
, ,
),(
, , ),
H H H
H H T
H T H
H T T
( ,
,
),( ,
, ),( , ,
),( , , )}
T H H
T H T
T T H
T T T
.
因为事件A 表示随机事件“第一次出现正面”，
所以满足要求的样本点共有4 个：(
,
,
)
H H H ，(
,
, )
H H T ，(
, ,
)
H T H ，(
, , )
H T T ．
因此，事件
{(
,
,
),(
,
,
),(
, ,
),(
, ,
)}.
A
H H H
H H T
H T H
H T T
事件B 表示随机事件“3 次出现同一面”，
所以满足要求的样本点共有2 个：(
,
,
)
H H H ，( , , )
T T T .
因此，事件
{(
,
,
),( , ,
)}
B
H H H
T T T
．
事件C 表示随机事件“至少出现一次正面”，
所以满足要求的样本点共有7 个：(
,
,
)
H H H ，(
,
, )
H H T ，(
, ,
)
H T H ，(
, , )
H T T ，( ,
,
)
T H H ，( ,
, )
T H T ，( , ,
)
T T H ．
因此，事件
{(
,
,
),(
,
,
),(
, ,
),(
, ,
),( ,
,
),( ,
,
),( , ,
)}
C
H H H
H H T
H T H
H T T
T H H
T H T
T T H
．
3.甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布），用
,x y 表示结果，其中x 表示甲出的拳，y 表示乙出的拳.
(1)写出样本空间；
(2)用集合表示事件“甲赢”；
(3)用集合表示事件“平局”.
【解析】（1）＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，
(布，布)}．
（2）记“甲赢”为事件A，则A {(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
（3）记“平局”为事件B，则B {(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
4.做投掷2 枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x 表示第一枚骰子出现的点数，y 表示第2 枚骰
子出现的点数．写出：
(1)试验的样本空间Ω；
(2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点；
(3)事件“出现点数相等”包含的样本点；
(4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)
(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)
【解析】（1）试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
（2）“出现点数之和大于8”包含以下10 个样本点：
(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
（3）“出现点数相等”包含以下6 个样本点：
(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).
（4）“出现点数之和等于7”包含以下6 个样本点：
(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).
5.从两名男生（记为
1
B 和
2
B ）和两名女生（记为
1
G 和
2
G ）这四人中依次选取两名学生．
(1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间；
(2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）有放回简单随机抽样时，样本空间为：
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
Ω
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
B B
B B
B G
B G
B B
B B
B G
B G
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
G B
G B
G G
G G
G
B
G
B
G G
G G
,共16 个样本点.
（2）不放回简单随机抽样时，样本空间为：
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
Ω
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
B B
B G
B G
B B
B G
B G
G B
G B
G G
2
1
2
2
2
1
,
,
,
,
,
G
B
G
B
G G
,共12 个样本点.
6.从1，2，3，4 这4 个数中，任取2 个数求和，那么“这2 个数的和大于4”为事件A，“这2 个数的和为偶
数”为事件B，则A＋B 和AB 包含的样本点数分别为（
）
A．1；6
B．4；2
C．5；1
D．6；1
【答案】C
【分析】先求出试验E 的样本空间，事件A＋B 和AB 中所含的样本点，即可求出答案.
【详解】试验E 的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}．
其中事件A 中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4 个；
事件B 中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2 个．
所以事件A＋B 中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5 个；
事件AB 中所含的样本点为（2，4），共1 个．
故选：C．
题型三：复杂事件的概率解释
1.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（
）
A．本市明天将有70%的地区降雨
B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【解题思路】根据概率的意义,可判断各选项.
【解答过程】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和
降水时间无关,所以A,B 错误.
降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D 错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C 正确.
故选:C.
2.已知某厂生产的某批产品的合格率为90%，现从该批次产品中抽出100 件产品检查，则下列说法正确的
是（
）
A．合格产品少于90 件
B．合格产品多于90 件
C．合格产品正好是90 件
D．合格产品可能是90 件
【答案】D
【分析】根据概率的定义与性质，直接可求解.
【详解】某厂生产的某批产品的合格率为90%，现从该批次产品中抽出100 件产品检查，
在A 中，合格产品可能不少于90 件，故A 错误；
在B 中，合格产品可能不多于90 件，故B 错误；
在C 中，合格产品可能不是90 件，故C 错误；
在D 中，合格产品可能是90 件，故D 正确．
故选D．
【点睛】本题考查概率的定义与性质的应用，考查理解辨析能力，属于基础题.
3.三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩
护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（
）
A．动力学方程的知识
B．概率与统计的知识
C．气象预报模型的知识
D．迷信求助于神灵
【解题思路】应用丰富的气象观测经验，预报天气，属于经验预报法，可知诸葛亮应用的是概率与统计的
知识.
【解答过程】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，
属于气象业务实践中的经验预报法，利用的是概率与统计的知识.
并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识.
故选：B.
4.下列说法正确的是
A．某厂一批产品的次品率为1
10 ，则任意抽取其中10 件产品一定会发现一件次品
B．掷一枚硬币，连续出现5 次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9 个病人都没有治愈，第10 个人就一定能治愈
D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下
雨
【答案】B
【详解】试题分析：根据事件的频率的概念和事件概率的含义判断正误即可．
详解：
A.产品的次品率是通过大量的产品通过实验得到的数据，题目中的产品个数很少，故不正确；
B.掷硬币正面或反面朝上的概率是通过大量实验得到的准确的值，和实验次数无关，故正确；
C.解释同A 选项，也不正确；
D．事件的概率是大量实验后得到的结果，是准确的值，和实验次数无关，但是D 选项的说法体现的不是
概率的概念，故不正确．
点睛：这个题目考查的是事件的概率的概念和事件频率的概念，这两个值都是通过大量的实验得到的数据，
频率和实验次数有关系，概率和实验的次数无关．
5.某种彩票的中奖概率为
1
100000，则以下理解正确的是（
）
A．购买这种彩票100000 张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票100000 张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1 张，一定不能中奖
D．购买这种彩票100000 张，至少能中奖一次
【解题思路】
根据随机事件概率的定义逐个分析判断即可.
【解答过程】购买这种彩票100000 张，相当于做100000 次试验，因为每次试验的结果都是随机的，
所以每张彩票可能中奖，也可能不中奖，
对于ABD，购买这种彩票100000 张，可能没有一张中奖，所以AD 错误，B 正确
对于C，购买这种彩票1 张，有可能中奖，所以C 错误，
故选：B.
6.老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（
）
A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂
B．老师在讲的10 道题中，李峰能听懂8 道
C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%
D．以上解释都不对
【解题思路】根据概率的意义，反映一件事情发生的可能性.
【解答过程】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.
故选：C.
模块三：综合巩固
1.下列现象中，随机现象有哪些？
（1）某射手射击一次，射中10 环；
（2）同时掷两颗骰子，都出现6 点；
（3）某人购买福利彩票未中奖；
（4）若x 为实数，则
2
1
1
x .
【答案】（1）（2）（3）
【详解】某射手射击一次，射中10 环是随机事件；
同时掷两枚骰子，都出现6 点是随机事件；
某人购买福利彩票未中奖是随机事件；
若x 为实数，则
2
1
1
x 是必然事件．
2.在12 件同类产品中，有10 件正品和2 件次品，从中任意抽出3 件．其中为必然事件的是（
）．
A．3 件都是正品
B．至少有1 件是次品
C．3 件都是次品
D．至少有1 件是正品
【答案】D
【详解】12 件同类产品中，有10 件正品和2 件次品，从中任意抽出3 件，次品的个数可能为0,1,2 ，正品
的个数分别为3,2,1，因此只有“至少有1 件正品”一定会发生，它是必然事件，ABC 三个选项中的事件都有
可能不发生．
故选：D．
3.在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随
机取出2 个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2 或4 的事件包含的样本点个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】取出小球标注的数字之差的绝对值为2 或4 的事件包含的样本点为(1,3),(2,4),(3,5),(1,5) ，
所以取出小球标注的数字之差的绝对值为2 或4 的事件包含的样本点个数为4.
故选：C
4.动手完成本节中的试验
1
E ，
2
E ，
5
E ，
6
E 各20 次，并将20 次试验结果记录在下面的表格中．
1
E ：抛掷
一枚硬币1 次，观察正面、反面出现的情况；
2
E ：连续抛掷一枚硬币3 次，观察正面、反面出现的情况；
5
E ：连续抛掷一枚骰子2 次，观察每次掷出的点数；
6
E ：袋中有白球3 个(编号为1，2，3)、黑球2 个(编
号为1，2)，这5 个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况;
随机试验
试验结果
1
E
2
E
5
E
6
E
【解析】随
机试验
试验结果
1
E
正面11 次，反面9 次
2
E
（正，反，正）出现4 次；（正，正，正）出现2 次；
（正，反，反）出现3 次；（正，正，反）出现3 次；
（反，反，正）出现2 次；（反，正，正）出现2 次；
（反，正，反）出现3 次；（反，反，反）出现1 次.
5
E
1,3 , 1,2 , 2,3 , 3,4 , 2,5 , 3,3 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 2,4 ,
2,5 , 2,6 , 3,2 , 3,5 , 4,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6 , 2,3 , 2,2
6
E
（白1 白2）（白1 黑2）（白1 黑1）（黑1 黑2）
（白3 黑2）（白2 黑2）（黑1 黑2）（白1 黑2）
（白1 黑2）（白3 黑2）（白2 黑2）（白1 黑2）
（白1 黑2）（白1 黑1）（白3 黑1）（白3 黑2）
（白1 黑2）（白2 黑2）（白3 黑1）（白2 黑2）
5.下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其
和大于1；④长分别为3 厘米，5 厘米，9 厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】①、②为随机事件；
④为不可能事件，③是必然事件，③④均为确定事件.
故选：B
6.下列事件中，随机事件的个数是（
）个．
①某人购买福利彩票一注，中奖500万元；②三角形的内角和为180；
③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】对于事件①，某人购买福利彩票一注，中奖500万元，该事件为随机事件；
对于事件②，三角形的内角和为180，该事件为必然事件；
对于事件③，地球上，没有空气和水，人类可以生存下去，该事件为不可能事件；
对于事件④，同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上，该事件为随机事件.
因此，随机事件的个数为2 .
故选：B.
7.气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，对于这句话的理解，下列说法正确的是（
）
A．本市明天将有30%的地区降水
B．本市明天将有30%的时间降水
C．本市明天有可能降水
D．本市明天肯定不降水
【解题思路】气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性为30%,
逐一分析每个选项，得出答案.
【解答过程】气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性为30%,
故A、B、D 均不正确，
故选C.
8.根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到中学给近视学生配
送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600 人，则眼镜商应带滴眼液的瓶数为（
）
A．600
B．787
C．不少于473
D．不多于473
【解题思路】根据近视率估计有多少人得了近视即可得解；
【解答过程】解：依题意，该市在校中学生的近视率约为78.7%.
故600 人中大约有���× ��. �% ≈���
故眼镜商应带滴眼液的瓶数应不少于473 瓶
故选：C.
