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8.2 立体图形的直观图
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：空间几何体的直观图的概念...............................................2
考点二：立体图形的直观图的画法..................................................2
考点三：直观图与原图多边形面积之间的关系...................................2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：斜二测画法的辨析.......................................................... 2
题型二：斜二测画法画平面直观图..................................................4
题型三：画空间几何体的直观图.................................................... 4
题型四：由直观图还原几何图形.................................................... 4
题型五：斜二测画法中长度的计算..................................................6
题型六：平面图形的面积与其直观图的面积的关系............................. 7
模块三：综合巩固.........................................................................9
8.2 立体图形的直观图
模块一：基础知识
考点一：空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有
立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。
考点二：立体图形的直观图的画法
1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
（1）“斜”：在已知图形的���平面内与�轴垂直的线段，在直观图中均与�'轴承45°或135°
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于�'轴或�'轴的线段长度不变；
平行于�'轴的长度变成原来的一半，
2、平面图形直观图的画法及要求
第一步建系：在已知图中取互相垂直的�轴和�轴，两轴相交于�点，
画直观图时，把他们弧长对应的�'轴和�'轴，两轴相交于�'，
且使∠�'�'�' = 45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；
第二步平行不变：已知图形中平行与�轴和�轴的线段，
在直观图中分别画出平行与�'轴或�'轴的线段；
第三步长度规则：已知图形中平行于�轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
平行于�轴的线段，长度变为原来的一半，
3、空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x 轴、y 轴都垂直的z 轴，直观图中与之对应的是z′轴；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
（3）已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
4、直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与�轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变。
“三不变”：（1）平行性不改变；（2）与�轴和�轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变。
考点三：直观图与原图多边形面积之间的关系
若一个多边形的面积为�原，它的直观图的面积为�直，则有�直=
2
4 �原，�原= 2 2�直
举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为�，高为ℎ，
则其面积为�直=
1
2 �ℎ，
在直观图中，�' = �，ℎ' =
1
2 ℎ���45° =
2
4 ℎ，
在直观图中，�直=
1
2 �'ℎ' =
1
2 ∙�∙
2
4 ℎ=
2
4 �原
模块二：题型分类
题型一：斜二测画法的辨析
1.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的
直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是（
）
A．①②
B．①
C．③④
D．①②③④
2.关于斜二测画法，下列说法错误的是（
）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
3.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（
）
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90的角的直观图会变为45的角
C．与y 轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
4.（多选）下列说法中正确的有（
）
A．画直观图时与x 轴、y 轴对应的x轴、y轴之间的夹角应为45或135
B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
5.（多选）画水平放置的圆的直观图时，下列说法中正确的有（
）
A．每条直径的大小都发生了改变
B．必有两条直径相等
C．每条直径都比实际的短
D．直观图的面积比原图形的面积小
6.对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（
）
A．原来平行的边仍然平行
B．原来垂直的边仍然垂直
C．原来是三角形仍然是三角形
D．原来是平行四边形的可能是矩形
7.若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x O y
平面上，则圆柱的高应画成（
）
A．平行于z轴且大小为10cm
B．平行于z轴且大小为5cm
C．与z轴成45且大小为10cm
D．与z轴成45且大小为5cm
8.下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是（
）
A．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
1
2
C．画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同
9.（多选）下列说法中正确的有（
）
A．画直观图时与x 轴、y 轴对应的x轴、y轴之间的夹角应为45或135
B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10.（多选）对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（
）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
题型二：斜二测画法画平面直观图
1．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为5cm 的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
2．画水平放置的正五边形和菱形的直观图．
3．用斜二测画法画出图中四边形OBCD 的直观图．
4．用斜二测法画出如图边长为2 的等边三角形的直观图，并求直观图面积．
5.一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1 的等腰梯形．求原四边形的面积．
题型三：画空间几何体的直观图
1．画长、宽、高分别为4cm ，3cm ，2cm 的长方体的直观图．
2．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观
图．
3．画出底面边长为4cm、高为5cm 的正四棱锥的直观图.
4.画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3 的正六边形，高为5．
题型四：由直观图还原几何图形
1.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1 的正方形，则原图形的形状是（
）
A．
B．
C．
D．
2.如图，A B C
是ABC
的直观图，其中
1
B O
C O
，
3
2
A O
，那么ABC
是一个（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．无法确定
3.如图所示，矩形O A B C
是水平放置一个平面图形的直观图，其中
3
O A
，
1
O C
，则原图形是（
）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
4.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是（
）
A．
B．
C．
D．
5.如图，
A O B
是用斜二测画法画出的
AOB
直观图，则
AOB
是（
）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．无法判断
6.如图，A B C
是水平放置的ABC
的斜二测直观图，其中
2
O C
O A
O B
，则下列结论正确的是（
）
A．ABC
是等腰直角三角形
B．ABC
是锐角三角形
C．ABC
是钝角三角形
D．ABC
是等边三角形
7.如图，A B C
是斜二测画法画出的水平放置的ABC
的直观图，D¢ 是B C
的中点，且
A D // y 轴，
B C // x 轴，
2
A D
，
2
B C
，那么（
）
A．AD 的长度大于AC 的长度
B．BC 的长度等于AD 的长度
C．ABC
的面积为4
D．ABC
的面积为2
题型五：斜二测画法中长度的计算
1.某几何体底面的四边形OABC 直观图为如图矩形
1
1
1
1
O A B C ，其中
1
1
6
O A
，
1
1
2
O C
，则该几何体底面对
角线AC 的实际长度为（
）
A．6
B．4 6
C．4 2
D．2 10
2.如图，水平放置的矩形ABCO，在直角坐标系下点B 的坐标为(2,1) ，则用斜二测画法画出的矩形的直观
图中，顶点B到x轴的距离为（
）
A．
2
4
B．
1
2
C．1
D．2
3.已知水平放置的ABC
的直观图如图所示，
3
AC
，
2
B C
，则边AB 上的中线的实际长度为（
）
A．5
B．13
C．5
2
D．
13
2
4．如图，
O A B
△
是水平放置的OAB
的直观图，
6,
2
AO
B O
，则线段AB 的长度为（
）
A．2 10
B．4 10
C．2 13
D．4 13
5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A B C D
是边长为2 的菱形，且
2
O D
，则原平面图形的周
长为（
）
A．4 2
4
B．4 6
4
C．8 2
D．8
6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C
，且
/ /
O A
B C
，
2
4
2
O A
B C
A B
，
，则该平面图形的高为（
）
A．2 2
B．2
C．4 2
D．
2
题型六：平面图形的面积与其直观图的面积的关系
1.如图，
A B C
是水平放置的斜二测直观图，其中
2
A B
，
3
B C
，则原图形
ABC
的面积是
_____________．
2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2
的正方形，则原平面图形的面积为（
）
A．
2
B．4 2
C．8
D．8 2
3.在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC 如图所示．已知O 为坐标原点，
2 2,0
A
，
2 2,2
B
，
0,6
C
．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形O A B C
的面积为（
）
A．4
B．4 2
C．8
D．8 2
4.如图，平行四边形O A B C
是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
4
O A
，
2
O C
，
30
A O C
，
则原图形的面积是（
）
A．4
B．4 2
C．8 2
D．16
5．如图所示的是一个四边形用斜二测法画出的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底边长都为2 的等腰
梯形，则原四边形的面积为（
）
A．6
2 6
B．8
4 2
C．12
4 2
2 6
D．16
4 2
4 6
模块三：综合巩固
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（
）
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形在直观图中仍然是正方形
D．平行的线段在直观图中仍然平行
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（
）
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
3．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（
）
A．矩形的直观图一定是矩形
B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C．平行四边形的直观图一定是平行四边形
D．菱形的直观图一定是菱形
4．（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（
）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．一个角的直观图仍是一个角
D．相等的角在直观图中仍然相等
5．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）
①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变；
②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的1
2 ；
③画与直角坐标系xOy 对应的x O y
时，
x O y
必须是45；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
6.利用斜二测画法画出边长为3cm 的正方形的直观图，正确的是图中的(
)
A．
B．
C．
D．
7.画出如图所示的水平放置的正方形的直观图（画在原图上）．
8.画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
9.下列空间图形画法错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
10.用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影
是正六边形的中心O（尺寸自定）．
11．画底面半径为1cm，母线长为3cm 的圆柱的直观图。
12.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（
）
A．2 2
B．2
C．
2
D．
2
4
13.水平放置的ABC
的斜二测直观图如图所示，已知
4
B C
，
3
AC
，
/ /
B C
y 轴，则ABC
中BC 边
上的中线的长度为（
）
A．5
B．5
2
C．
73
D．
73
2
14.如图，这是一个平面图形的直观图，则它的实际形状（四边形ABCD）为（
）
A．平行四边形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
15.如图，A B C
是水平放置的ABC
的斜二测直观图，其中
2
O C
O A
O B
，则下列结论正确的是
（
）
A．ABC
是等腰直角三角形
B．ABC
是锐角三角形
C．ABC
是钝角三角形
D．ABC
是等边三角形
16.如图所示，梯形
1
1
1
1
D
C
B
A
是一平面图形ABCD的直观图．若
1
1
A D
O x
，
1
1
1
1
//
A B
C D ，
1
1
1
1
2
2
3
A B
C D
，
1
1
1
1
A D
O D
．试画出原四边形．
17.一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（
）
A．正三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
18．如图所示，A B C
是ABC
的直观图，其中A C
A B
，那么ABC
是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
19．水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图是直角梯形A B C D
，如图所示．其中
1
B C
A B
，则原
平面图形的面积为（
）
A．3 2
8
B．3 2
4
C．3 2
D．6 2
20．如图所示，A B C
是水平放置的ABC
的斜二测直观图，其中
2
2
O C
O A
O B
，则以下说法正
确的是（
）
A．ABC
是钝角三角形
B．ABC
的面积是A B C
的面积的2 倍
C．ABC
是等腰直角三角形
D．ABC
的周长是4
4 2
21．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是（
）
A．梯形的直观图仍旧是梯形
B．若ABC
的直观图是边长为2 的等边三角形，那么ABC
的面积为
6
C．ABC
的直观图如图所示，A B
在x轴
2
A B
，B C
与x轴垂直，且
2
B C
，则ABC
的面积为4
D．菱形的直观图可以是正方形
