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4.1 几何图形
注意：
几何图形 (1)常见的立体图形有两种分类方法：
1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称
为几何图形．
2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形
(1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面
内，这样的图形就是立体图形，如长方体，
圆柱，圆锥，球等.
(2)平面图形：有些几何图形(如线段、角、
三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它
们是平面图形．
(2) 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段
所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边
形、五边形、六边形等．
（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既
有区别又有联系．
题型1：平面图形和立体图形
1.下面的四个几何图形中，表示平面图形的是（ ）
A． B．
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【变式1-1】下列四个几何体中，是四棱锥的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】用一个平面去截下列立体图形，截面可以得到三角形的立体图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
从不同方向看
从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面
看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视
图．
题型2：不同方向看物体
2.如图1是用5个相同的小立方块搭成的几何体，若由图1变化至图2，则从正面、上面、左面看到的
形状图发生变化的是（ ）
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司A．从正面看到的形状图
B．从左面看到的形状图
C．从上面看到的形状图
D．从上面、左面看到的形状图
【变式2-1】如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，若这个几何体最
多由m个小正方体组成，最少由n个小正方体组成，则m+n＝（ ）
A．14 B．16 C．17 D．18
【变式2-2】一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正
方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体从正面看到的形状为（ ）
A． B． C． D．
题型3：求从不同方向看物体得到的图形面积
3.10个棱长为acm的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是多少？
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司【变式3-1】把19个边长为2cm的正方体重叠起来，作成如图那样的立体图形，求这个立体图形的表
面积．
【变式3-2】如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）这个几何体由 个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方
体只有一个面是黄色，有 个正方体只有两个面是黄色，有 个正方体
只有三个面是黄色．
（3）这个几何体喷漆的面积为 cm2．
简单立体图形的展开图
有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图
形称为相应立体图形的展开图．
注意：
(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面
图．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司题型4：立体图形的展开图
4.如图所示的平面图形分别都是由哪种几何体展开形成的？
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ；
【变式4-1】如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由
三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边
长与直角记号判断，此展开图为何？（ ）
A. B. C. D.
【变式4-2】下图是长方体的表面展开图，将它折叠成一个长方体.
（1）哪几个点与点 N 重合？
（2）若 AE=CM=12cm ， ¿=2cm ， KL=4cm ，求这个长方体的表面积和体积.
题型5：正方体的表面展开图
5.下列不是正方体侧面展开图的是（ ）
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C． D．
【变式5-1】一枚六个面分别标有1﹣6个点的骰子，将它抛掷三次得到不同的结果，看到的情形如图所
示，则图中写有“？”一面上的点数是（ ）
A．6 B．2 C．3 D．1
【变式5-2】如图是一个正方体的展开图，折成正方体后相对面上的两个数之和都相等，求yx的值.
点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面
有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成
点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动
成面，面动成体.
题型6：点、线、面、体
6.第一行的平面图形绕虚线旋转一周能得到第二行的一个几何体，请用线连接起来．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司【变式6-1】如图，由图1的正方体切去一角，分别可以得到图2-图5的几何体，请仔细观察，完成下
题：
（1）填表：
顶点数a 棱数b 面数c
图1 8 12 6
图2
图3
图4
图5
（2）若顶点数，棱数，面数分别用a，b，c表示，请你猜测a，b，c之间满足怎样的数量关系?请
直接写出你的结论.
【变式6-2】如图，有一个立方体，它的表面涂满了红色，在它每个面上切两刀，得到27个小立方
体，而且凡是切面都是白色．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司问：
（1）小立方体中三面红的有几块？两面红的呢？一面红的呢？没有红色的面呢？
（2）如果每面切三刀，情况又怎样呢？
（3）每面切n刀呢？
题型7：有关立体图形的探究题
7.【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？ （填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为2dm的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几
何体．
①请计算出这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形
状不变，最多可以再添加 个正方体纸盒．
【变式7-1】综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃
圾的无盖纸盒.
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体
形纸盒？
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？
（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，
折成无盖长方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高以及底面积，当
小正方形边长为4cm时，求纸盒的容积.
【变式7-2】如图所示，将类似于下面的图形称做平面图，其顶点数、边数与区域数之间存在某种关
系．观察各图和表中对应的部分数值．探究规律并作答．
图 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5）
顶点数V 4 5 6 8
区域数F 3 4 5 6
边数E 6 8 9 15
（1）数一数每个图中的顶点数，边数，这些边围出的区域数，完成上面的表格；
（2）根据表中数值，猜想平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系，直接写出你的结论；
（3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，则这个平面图的边数为 ．
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1．如图，是一个正方体的平面展开图，叠成正方体后，在正方体中写有“母”字的对面的字是（
）
A．祖 B．国 C．岁 D．万
2．如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．三棱锥 C．圆锥 D．三棱柱
3．下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司4．图1是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，
这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．信 B．国 C．友 D．善
5．下列图形是正方体表面积展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，按给定的点和边，一共可以数出（ ）个多边形？
A．24 B．30 C．36 D．40
二、填空题
7．直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句：①点A在直线BC上；②直线AB经过点
C；③直线AB，BC，CA两两相交；④点B是直线AB，BC，CA的公共点，正确的有 （只
填写序号）．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司8．如图，图形沿虚线旋转一周，所围成的几何体是 ．
9．如图所示是一种棱长分别是2cm，3cm，4cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长
方体，如果用6块积木来搭，那么搭成的大长方体的表面积最小是 cm2 ．
10．流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为 ．
三、作图题
11．如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的.
（1）填空：这个几何体由 个小正方体组成；
（2）画出它的三个视图.
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12．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．小明、小刚、小红三人从不同
的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问这个正方体各个面上的数字对面各是什么数字？
13．如图所示的正方体被竖直截取了一部分，求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积等于底面积
乘高）
五、综合题
14．观察如图所示的直四棱柱．
（1）它有几个面？几个底面？底面与侧面分别是什么图形？
（2）侧面的个数与底面多边形的边数有什么关系？
（3）若底面的周长为20cm，侧棱长为8cm，则它的侧面积为多少？
15．如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看长方形的高为 9cm ，从上面看三角形的边长都为 5cm ，求这个几何体的侧面
积．
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