7.2复数的几何意义（原卷版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_复数知识点题型分类PDF

7.2 复数的几何意义
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：复平面.........................................................................2
考点二：复数的几何意义（与点对应）............................................2
考点三：复数的几何意义（与向量对应）.........................................2
考点四：复数的模......................................................................2
考点五：共轭复数......................................................................2
考点六：复数的模的几何意义....................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：复数的坐标表示............................................................. 3
题型二：复数的向量表示............................................................. 4
题型三：判断复数对应点所在的象限...............................................4
题型四：实轴、虚轴上对应的复数..................................................5
题型五：复数的模的计算............................................................. 6
题型六：复数的模的几何意义....................................................... 7
题型七：根据复数的模求参数....................................................... 8
题型八：共轭复数......................................................................9
题型九：复数与三角函数、集合的综合问题.................................... 10
模块三：综合巩固....................................................................... 10
7.2 复数的几何意义
模块一：基础知识
考点一：复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi
有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)
平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z 的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi 可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系
来
表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.
考点二：复数的几何意义（与点对应）
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C 中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi
复平面内的
点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
考点三：复数的几何意义（与向量对应）
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z 表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量
由点Z 唯一确定；反过来，点
Z(相对于原点来说)也可以由向量
唯一确定.
因此，复数集C 中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0 与零向量对应)，即复数
z=a+bi
平面向量
，这是复数的另一种几何意义.
考点四：复数的模
向量
的模r 叫做复数z=a+bi 的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi 是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a 的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=
(r
0,r∈R).
考点五：共轭复数
1.定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z 的共轭复数用
表示，即若z=a+bi，则
=a-bi.特别地，实数a 的共轭复数仍是a
本身.
2.共轭复数几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
3.共轭复数的性质
①
=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=
z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
考点六：复数的模的几何意义
1.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi 在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
2.复数z 在复平面内对应的点为Z，r 表示一个大于0 的常数，则满足条件|z|=r 的点Z 组成的集合是以原点
为圆心，r 为半径的圆，|z|<r 表示圆的内部，|z|>r 表示圆的外部.
模块二：题型分类
题型一：复数的坐标表示
1．在复平面内作出表示下列复数的点：
(1) 1
2i

；
(2)
2
2 i
2
2

；
(3)3i ；
(4)5．
2．求实数m 的值或取值范围，使得复数


2
2
2
1 i
z
m
m
m





分别满足：
(1)z 是实数；
(2)z 是纯虚数；
(3)z 在复平面中对应的点位于第三象限.
3．复数
1
2
,
z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若
1
3
2i
z 

，i 为虚数单位，则
2z （
）
A．3
2i

B．3
2i

C．3
2i

D．2
3i

4．当1
2
m


时，复数
1
(
2)i
m
m


在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.若复数



3
i
2
i
z
m




，其中2
1
3
m

，则复数z 在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6.四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，
,
,
A B C 三点对应的复数分别是1
3i

，2
i
，3
i
，则点D 对
应的复数为
．
7.复平面上给定四个点
,
,
,
O A B C 可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为
0
Oz 
，
1 i
Az ，
3
2i
Cz 

，则
Bz 
．
题型二：复数的向量表示
1.向量��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2, −3 对应的复数为（
）
A．2 −3i
B．2 + 3i
C．3 + 2i
D．−3 −2i
2．在复平面内，复数1
2i

，3
4i

对应的向量分别是OA
，OB
，其中O是坐标原点，则向量AB
对应的
复数为
．
3．在复平面内，O是原点，向量OZ

对应的复数是1
i
，将OZ

绕点O按逆时针方向旋转π
4 ，则所得向量
对应的复数为（
）
A．
2

B．
2i

C．1

D．i

4.已知复数�1 = 1 −i, �2 =−1 + 2i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点分别为�, �，将向量��Ԧ
ሬሬሬሬ绕着点�
（�为复平面内的原点）逆时针旋转90∘得到向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ对应的复数为（
）
A．−1 + 2i
B．2i
C．3i
D．1 −2i
5.在复平面内，�是原点，向量��Ԧ
ሬሬሬሬ对应的复数为5 + 3i，��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ关于�轴对称，则点�对应的复数是（
）
A．5 −3i
B．−5 −3i
C．5 + 3i
D．−5 + 3i
题型三：判断复数对应点所在的象限
1．复数
3 i
z 
在复平面上对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．复平面上表示复数1 i
的点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．当1
2
m


时，复数
1
(
2)i
m
m


在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4.复数


2sin
icos
z




R 对应的点在第四象限，则角是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
5.已知复数


2
6
2
3 i
z
m
m
m





，若在复平面内z 对应的点在第二象限，则m 的取值范围为
．
6.在复平面内，复数



cos1 sin1
sin2
cos2 i,(i
z 



为虚数单位)的共轭复数对应的点在第
象
限.
7．欧拉公式
ie
cos
isin
x
x
x


（i 为虚数单位）将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数
函数的关系．当
π
x 
时，
iπ
e
1
0

.根据欧拉公式可知，
4i
e 对应的点在复平面内位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
题型四：实轴、虚轴上对应的复数
1．实轴上的点

2,0 表示实数
；虚轴上的点

0, 1

表示纯虚数
.
2．已知P 是复平面内表示复数


i
,
a
b a b

R 的点，若复数
i
a
b

是虚数，则点P（
）
A．在虚轴上
B．不在虚轴上
C．在实轴上
D．不在实轴上
3.若复数



2
2
2
3
2 i
z
m
m
m
m






在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m 的取值集合
为
.
4.已知复数




2
2
2
3
4
3 i
R
z
m
m
m
m
m







在复平面上对应的点为Z，
(1)求点Z 在实轴上时，实数m 的取值；
(2)求点Z 在虚轴上时，实数m 的取值；
(3)求点Z 在第一象限时，实数m 的取值范围.
5.已知m
R

，复数


2
2
2
1 i
z
m
m
m





在复平面内对应的点Z .
(1)点Z 位于第二象限，求m 的取值范围；
(2)复数z 是纯虚数，求m 的值.
6.若复数



2
2
2
2 i
z
a
a
a
a





对应的点在虚轴上，求实数a 应满足的条件．
7.求实数m 的值或取值范围，使得复数


2
2
2
1 i
z
m
m
m





分别满足：
(1)z 是实数；
(2)z 是纯虚数；
(3)z 在复平面中对应的点位于第三象限.
8.已知复数



2
2
1
2 i
z
m
m
m





，mR .
(1)若z 是实数，求m 的值；
(2)若z 是纯虚数，求m 的值；
(3)若z 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围.
题型五：复数的模的计算
1.已知复数�= 1 + 2i（i 为虚数单位），则|�| =（
）
A．1
B．4
C．3
D．5
2.设复数z 在复平面内对应的点为0, �，若�= 2，则a=（
）
A．2i
B．2i
C．±2
D．±
2
3.已知在复平面内复数z 对应的点的坐标为−3,4 ，则�=（
）
A．3
B．4
C．5
D．4 2
4.在复平面内，复数�= 2 −�i(�∈�)对应的点位于第四象限，且|�| = 4，则�=（
）
A．−2 3
B．4 3
C．2
D．2 3
5．i 为虚数单位，若
2
3i
4i
z 

，则z （
）
A．5
B．7
C．9
D．25
6．已知a R ，若


1
1 i
z
a
a



为纯虚数，则
1
z 
（
）
A．
2
B．5
C．2 2
D．10
7.已知




3
1 i
z
m
m
m
R





在复平面内对应的点在第四象限，则复数z 的模的取值范围是（
）
A．

2 2,4

B．

2,4
C．

2 2,4
D．

2,4
8.若



2
i
1
2i
4
3i
a
b





，其中a，
R
b
，i 是虚数单位，则
i
a
b

（
）
A．2
B．5
C．3
D．5
9．已知复数z 满足
i
1 i
z 

，z 在复平面内对应的点为

,x y ，则（
）
A．
2
2
(
1)
2
x
y



B．
2
2
(
1)
2
x
y



C．
2
2
(
1)
2
x
y



D．
2
2
(
1)
2
x
y



10.（多选）已知复数


2
1
i
z
a
a



，i 为虚数单位，a
R

，则下列正确的为（
）
A．若z 是实数，则
1
a 
B．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上
C．
3
2
z 
D．若
2
1
z
z

，则
1
a 
题型六：复数的模的几何意义
1．复数z 满足
1
z ，且在复平面内z 对应的点为Z，则复平面内点Z 的轨迹是（
）.
A．点
B．圆
C．线段
D．圆环
2．已知
C
z
，在复平面内z 对应的点为Z ，则满足
1
z 的点Z 的集合对应的图形为
.
3．设z
C

，则满足1
3
z


的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（
）
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
4．复数z 满足关系式：
2
2
7
3
0
z
z



，则复数在复平面内对应点的轨迹是（
）
A．两条直线
B．一条直线和一个圆
C．两个圆
D．一个圆
5.已知复数�满足|�+ 2 −2i| = 2，且复数�在复平面内的对应点为�．
(1)确定点�的集合构成图形的形状；
(2)求|�−1 + 2i|的最大值和最小值．
6.已知复数�1 = 2 + i, �2 = �+ �2 + 3�−3 i；
(1)若�1 = �2，求实数�, �的值；
(2)若复数�= �+ �i �, �∈R ，且满足�−�1 = 1，求复数�在复平面内所对应的点�, �到−2，4 的距离
的最大值.
7．求证：复平面内分别与复数
1
1
z ，
2
i
z ，
3
cos10
isin10
z 

，
4
2
2 i
2
2
z 

对应的四点
1
Z 、
2
Z 、
3
Z 、
4
Z 共圆．
8.若�= �+ �i �, �∈�，i 为虚数单位，在复平面内�所对应的点为�，且�+ 2 −2i = 1，
（1）求满足上述条件的点�的集合是什么图形并且求该图形的方程；
（2）�−2 −2i 的最小值．
9.设复数�= �+ �i，�0 = �0 + �0i，记复数�与�0分别对应复平面内的点��, �和�0 �0, �0 .
（1）根据复数及其运算的几何意义，求�和�0两点间的距离；
（2）已知�−�0 = �（�为正实数）表示动点�的集合是以点�0为圆心，�为半径的圆.那么满足条件1 ≤|�−
1 + i | ≤3 的点�的集合是什么图形？并求出该图形的面积.
题型七：根据复数的模求参数
1．已知复数


i
z
a
b
a
b




为纯虚数（,a bR ，i 是虚数单位），且
2
z 
，则（
）
A．
1
a 且
1
b 
B．
1
a 且
1
b = -
C．
1
a 或
1
b = -
D．
1
b 或
1
b = -
2.设复数


π
cos
2 sin
i
2
z











（i 为虚数单位）且
π ,0
2







，若
1
z ，则tan2
．
3.已知复数



4 i
z
a
a
a



R （i 为虚数单位），若
2 2
z 
，则实数a 的值为（
）
A．2

B．0
C．1
D．2
4.已知复数z 满足
3
4i
1
z 
，当z 的虚部取最大值时，z （
）
A．3
3i

B．3
3i

C．3
5i

D．3 5i

5.已知是实系数一元二次方程
2
2
(2
1)
1
0
x
m
x
m



的一个虚数根，且|
|
5

，若向量
(2
1,3
)
a
m
m




，则向量| |a

的取值范围为
6.已知复数
3
i(
0)
z
a a



的模为5，则

a
.
7.设复数



cos
2
sin
i
z
a
a






(i 为虚数单位)，若对任意实数，
2
z 
，则实数a 的取值范围为（
）
A．
5
1, 5







B．

1,1

C．

0,2
D．
5
5
,
5
5







8.已知复数



2
2
6
2 i(
)
z
m
m
m
m
m






R 在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；
(2)求|
|
z 的最小值及此时实数m 的值.
题型八：共轭复数
1．若复数
3
2i
z 

，则z 的共轭复数z （
）
A．3
2i

B．3
2i

C．2
3i

D．3
2i

2．已知,
R
a b
，i 是虚数单位，若
2i
a 
与1
ib

互为共轭复数，则a
b

（
）
A．1
B．1

C．3
D．3

3.在复平面内，�对应的点的坐标是(1,
3)，则�的共轭复数�ത=（
）
A．1 +
3i
B．1 −
3i
C．−1 +
3i
D．−1 −
3i
4.在▱����中，点�, �, �分别对应复数4 + i, 3 + 4i, 3 −5i，则点�对应复数的共轭复数是（
）
A．2 −3i
B．4 + 8i
C．4 −8i
D．1 + 4i
5.若i 为虚数单位，则复数
3
2
2
3
z
i
i


的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6.设复数
3
4i
z 

，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在第（
）
A．一象限
B．二象限
C．三象限
D．四象限
7.（多选）已知复数
4
3i
z 

，则下列命题中正确的为（
）
A．|
| 5
z 
B．
4
3i
z 

C．z 的虚部为3i

D．z 在复平面上对应点在第二象限
题型九：复数与三角函数、集合的综合问题
1.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：




cos
isin
cos
isin
n
n
r
r
n
n











．根据复数乘方公式，复数
2023
π
π
2 cos
isin
5
5














在复平面内对应
的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.在复平面内，O 是原点，向量OA
对应的复数


2
1z
4
i
m
m



，

mR .
(1)若点A 位于第四象限，求m 的取值范围；
(2)若点A 关于实轴的对称点为点B，求向量AB
对应的复数；
(3)若


2z
2cos
4sin
i






，且
1
2
z
z

，求的取值范围.
3.在复平面上，设点A 、B 对应的复数分别为2i

、
π
π
cos
isin
3
3
t
t














，当t 由π
6 连续变到π
2 时，向量AB

所扫过的图形区域的面积是（
）
A．
3
4
B．π
6
C．π
4
D．
3
π
4
12

4.已知复数



2sin
cos
sin
2cos
i
z








，其中


0,



.
(1)当


时，z 表示实数；当


时，z 表示纯虚数.求


tan 


的值.
(2)复数z 的长度记作|
|
z ，求|
|
z 的最大值.
模块三：综合巩固
1．若a，bR ，i 是虚数单位，且


2 i
1 i
b
a


，则a
b

的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.设
3
2i
z 
，则在复平面内z 对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.已知复数
2
3 i
(1
i) (
)
z
a
a



R 在复平面内对应的点在实轴上，则z 的值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．15
4
4.若复数


1
i
z
a
a



在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是（
）
A．

1,
B．

,0


C．

0,1 D．



,0
1,



5.已知
2
3i
z 

（i 虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部为（
）
A．2
B．i
C．3
D．3i
6.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（
）
A．正数
B．负数
C．实部不为零的虚数D．纯虚数
7．已知复数z 的实部和虚部均为自然数，在复平面内z 对应的点为Z，那么满足2
3
z


的点Z 的个数为
（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
8.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是

1,
3

，则z 的共轭复数z （
）
A．1
3i

B．1
3i

C．1
3i

D．1
3i

9.已知




1 i
3 i
z
m




在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是（
）
A．

3,1

B．

1,3

C．

1,
D．

, 3

10.在复平面内，O是原点，向量OZ

对应的复数是1
i
，将OZ

绕点O按逆时针方向旋转π
4 ，则所得向量
对应的复数为（
）
A．
2

B．
2i

C．1

D．i

11.（多选）复数
1
2
z
i

，i 是虚数单位，则以下结论正确的是（
）
A．
5
z 
B．
1
i
z 
C．z 的虚部为2
D．z 在复平面内对应点位于第一象限
12.（多选）若复数



2
2
3
1 i
z
m
m
m
m




R ，则下列说法正确的是（
）
A．若z 为实数，则
1
m 
B．若z 为纯虚数，则
3
m 
或1

C．z 在复平面内对应的点不可能在第二象限
D．z 在复平面内对应的点不可能在第三象限
13.若
1
2i
2
z 

（i 为虚数单位），则z 
．
14.写出一个模为5 的非纯虚数
．
15.设复数


2
2
2
7
6 i
z
a
a
a
a






，其中
R
a 
.
(1)若z 是纯虚数，求a 的值；
(2) z 所对应的点在复平面的第四象限内，求a 的取值范围.
16.设复数



2
1
4
5 i
z
m
m
m





和复平面内的点Z 对应，若点Z 的位置满足下列要求，分别求实数m
的取值范围，并写出你的求解思路：
(1)不在实轴上；
(2)在虚轴上；
(3)在实轴下方（不包括实轴）；
(4)在虚轴右侧（不包括虚轴）；
(5)第三象限．
17.已知复平面内的
,
A B 对应的复数分别是
2
1
sin
i
z


，
2
2
cos
co 2
i
s
 
z




，其中
(0,π)

，设AB
对应
的复数是z .
(1)求复数z ；
(2)若复数z 对应的点P 在直线
1
2
y
x

上，求的值.
18.已知mR ，复数


2
2
6
11
24 i
z
m
m
m
m






（i 是虚数单位）.
(1)若z 是纯虚数，求m 的值；
(2)若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.
19.已知复数
i
z
a
b


，,a bR ．
(1)若
2
2
a
m
m



，
2
2
3
b
m
m



，mR , z 对应的点在第四象限，求m 的范围．
(2)若
1
1
z 
，求a
b

的最大值．
20．已知复数
1
1 cos
isin
z




，
2
1 sin
icos
z




，且两复数的模的平方和不小于2，求的取值范
围.
21．平行四边形OABC 的顶点O、A 、C 对应的复数分别为0 、3
2i

、2
4i

．
（1）求点B 对应的复数：
（2）在OAB

中，求OB 边上的高h．