5.1 导数的概念及其意义
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：物体的平均速度与瞬时速度...............................................2
考点二：导数的平均变化率.......................................................... 2
考点三：函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率.................................. 2
考点四：导数的几何意义............................................................. 3
考点五：求曲线“在”与“过”某点的切线......................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求平均速度与平均变化率..................................................3
题型二：瞬时速度与瞬时变化率.................................................... 6
题型三：导数定义中极限的简单计算...............................................8
题型四：曲线在某点处的切线斜率或倾斜角.................................... 10
题型五：求曲线“在”某点的切线方程..........................................12
题型六：求曲线“过”某点的切线方程..........................................13
题型七：导数几何意义的理解及运用.............................................15
模块三：综合巩固....................................................................... 18
5.1 导数的概念及其意义
模块一：基础知识
考点一：物体的平均速度与瞬时速度
1、平均速度
设物体的运动规律是
s
s t
，则物体在0t 到0t
t
这段时间内的平均速度为
0
0
s t
t
s t
s
t
t
2、瞬时速度
（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；
（2）一般地，当t
无限趋近于0 时，
s
t
无限趋近于某一个常数v ，我们就说当t
趋近于0 时，
s
t
的
极限就是v ，这时v 就是物体在
0
t
t
时的瞬时速度，
即瞬时速度
0
0
0
0
lim
lim
t
t
s t
t
s t
s
v
t
t
考点二：导数的平均变化率
函数
( )
y
f x
从
1x 到
2x 的平均变化率
1、定义式：
2
1
2
1
(
)
(
)
f x
f x
y
x
x
x
2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
3、意义：刻画函数值在区间
1
2
,
x x
上变化的快慢．
4、平均变化率的几何意义：
设
1
1
( ,
( ))
A x
f x
，
2
2
(
,
(
))
B x
f x
是曲线
( )
y
f x
上任意不同的两点，
函数
( )
y
f x
的平均变化率
2
1
1
1
2
1
(
)
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f x
x
f x
y
x
x
x
x
为割线AB 的斜率，如图．
【注意】Δx 是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx 可以为正，
也可以为负．
5、求平均变化率的步骤：
第一步：先计算函数值的改变量
2
1
(
)
y
f x
f
x
；
第二步：再计算自变量的改变量
2
1
x
x
x
；
第三步：求平均变化率
2
1
2
1
(
)
(
)
f x
f x
y
x
x
x
；
考点三：函数y=f(x)在x＝x0 处的瞬时变化率
1、瞬时变化率的定义
定义式
0
0
0
0
(
)
(
)
lim
lim
x
x
f x
x
f x
y
x
x
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0 时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
【注意】
（1）“
x
无限趋近于0”的含义
x
趋于0 的距离要多近有多近，即
0
x
可以小于给定的任意小的正
数，且始终
0
x
.
（2）“函数
( )
y
f x
在
0
x
x
的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
“函数
( )
y
f x
在
0
x
x
处的导数”是一个数值，是针对
0x 而言的，与给定的函数及
0x 的位置有关，
而与
x
无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函
数，依赖于函数本身，而与x ，x
无关．
2、瞬时变化率的变形形式
lim
∆�→0
��0+∆�−�(�0)
∆�
= lim
∆�→0
��0−∆�−��0
−∆�
= lim
∆�→0
��0+�∆�−�(�0)
�∆�
= lim
∆�→0
��0+∆�−�(�0−∆�)
2∆�
= �'(�0)
考点四：导数的几何意义
1、切线的定义：当
x
趋于零时，点B 将沿着曲线
( )
y
f x
趋于点A，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直
线l，直线l 和曲线
( )
y
f x
在点A 处“相切”，称直线l 为曲线
( )
y
f x
在点A 处的切线．
2、导数的几何意义
函数
( )
y
f x
在
0x 处的导数，是曲线
( )
y
f x
在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
考点五：求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
0
0
,
x
f
x
处切线的斜率
0
(
)
f
x
第二步（写方程）：用点斜式
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为
0
0
,
Q x
f x
；
第二步：求出函数
( )
y
f x
在点
0x 处的导数
0
(
)
f
x
；
第三步：利用Q 在曲线上和
0
(
)
PQ
f
x
k
，解出
0x 及
0
(
)
f
x
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
．
模块二：题型分类
题型一：求平均速度与平均变化率
1.若函数
2
( )
f x
x
x
，则函数
( )
f x 从=
1
x 到
3
x 的平均变化率为（
）
A．6
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解析】因为
2
( )
f x
x
x
，所以
2
( 1)
( 1)
1
0
f
，
2
(3)
3
3
12
f
，87418458 马老师原创
故函数
( )
f x 从=
1
x 到
3
x 的平均变化率为
(3)
( 1)
12
0
3
3
( 1)
4
y
f
f
x
，故选：B.
2.在曲线
2
1
f x
x
的图象上取一点
1,2 及邻近一点
1 Δ 2
Δ
x
y
，
，则Δ
Δ
y
x 为（
）
A．
1
Δ
2
Δ
x
x
B．2
C．Δ
2
x
D．
1
Δ
2
Δ
x
x
【答案】C
【解析】由题可得
2
1
1
2
2
x
x
x
x
y
.故选：C．
3.函数
3
f x
x
在区间
1,1
上的平均变化率为（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由函数的平均变化率的公式，可得
1
1
1
1
1
1
1
2
f
f
y
x
.故选：C.
4.函数
3
( )
ln
f x
x
x
在区间[1,e]上的平均变化率是（
）
A．
3e
2
1
e
B．
3e
2
e
1
C．
3e
2
e
1
D．
3e
2
e
1
【答案】B
【解析】因为
3
( )
ln
f x
x
x
，所以
3
3
3
(e)
e
ln e
e
1,
(1)
1
ln1
1
f
f
，
所以
3
( )
ln
f x
x
x
在区间[1,e]上的平均变化率
3
3
(e)
(1)
e
1 1
e
2
e 1
e 1
e 1
f
f
.故选：B
5.函数
2
2
1
f x
x
在区间
1,1 Δx
上的平均变化率
y
x
等于（
）
A．4
B．4
2Δx
C．
2
4
2(Δ )x
D．4x
【答案】B
【解析】由已知
2
2
(1
)
(1)
2(1
)
1 (2 1
1)
4
2
y
f
x
f
x
x
x
x
x
,故选：B．
6.某物体沿直线运动，其位移s（单位：m ）与时间t（单位：s ）之间的关系为
2
1
4
s t
t
t
，则在1
4
t
这段时间内，该物体的平均速度为（
）
A．2m/s
B．9 m/s
4
C．11 m/s
4
D．3m/s
【答案】B
【详解】由位移s 与时间t 之间的关系为
2
1
4
s t
t
t
，
根据平均变化率的计算公式，可得在1
4
t
这段时间内，该物体的平均速度为：
4
1
9 m/s
4 1
4
s
s
v
故选：B.
7.某物体做自由落体运动，其运动方程为
2
1
2
s t
gt
，其中t 为下落的时间（单位：s），g 为重力加速度，
大小为9.8m/s2．求它在时间段
1,3 内的平均速度．
【答案】19.6m/s
【详解】物体在时间段
1,3 内的平均速度为：
3
1
9
2
19.6
3 1
4
s
s
g
g
g
（m/s），
即它在时间段
1,3 内的平均速度19.6m/s.
8.某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y 与时间t 的函数图象如图.记该车在时间段
1
2
,t t
，
2
3
,
t t
，
3
4
,
t t
，
1
4
,
t t
上的平均速度的大小分别为
1v ，
2v ，
3v ，
4v ，则平均速度最小的是（
）
A．
1v
B．
2v
C．
3v
D．
4v
【答案】C
【详解】由题意知，汽车在时间
1
2
,t t
，
2
3
,
t t
，
3
4
,
t t
，
1
4
,
t t
上的平均速度的大小分别为
1v ，2v ，3v ，4v ，
设路程y 与时间t 的函数关系为
( )
y
f t
，
则
2
1
1
2
1
( )
( )
f t
f t
v
t
t
，即为经过点
1
1
2
2
( ,
( )),( ,
( ))
t
f t
t
f t
的直线的斜率
1k ，
同理
2v 为经过点
2
2
3
3
( ,
( )),( ,
( ))
t
f t
t
f t
的直线的斜率
2k ，
3v 为经过点
3
3
4
4
( ,
( )),( ,
( ))
t
f t
t
f t
的直线的斜率
3k ，
4v 为经过点
1
1
4
4
( ,
( )),( ,
( ))
t
f t
t
f t
的直线的斜率
4k ，如图，
由图可知，
3k 最小，即
3v 最小.
故选：C.
题型二：瞬时速度与瞬时变化率
1.质点M 按规律s＝2t
2＋3t 做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M 在t＝2 s
时的瞬时速度是（
）
A．2 m/s
B．6 m/s
C．4 m/s
D．11 m/s
【答案】D
【解析】质点M 在t＝2 s 时位移的平均变化率为S
t
＝
2
2
2 2
3 2
2 2
3 2
t
t
t
＝11＋2
Δt，
当Δt 无限趋近于0 时，S
t
无限趋近于11 m/s.故选：D.
2.在高台跳水运动中，st 时运动员相对于水面的高度( 单位：m ）是
2
4.9
6.5
10
h t
t
t
，则
运动员在
1s
t
时的瞬时速度为（
）
A．3.3m / s
B．8.2m / s
C．3.3m / s
D．1.6m / s
【答案】A
【解析】运动员在
1s
t
时的瞬时速度即为
1
h
，令
y
h t
，
根据导数的定义
1
1
h
t
h
y
t
t
2
4.9(1
)
6.5 1
10
4.9
6.5 10
t
t
t
4.9
3.3
t
，
所以
0
0
1
lim
lim
4.9
3.3
3.3
t
t
y
h
t
t
，
故运动员在
1s
t
时的瞬时速度为3.3m / s
.故选：A．
3.某物体沿直线运动，其位移s （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为
2
1
4
s t
t
t
，
则在1
4
t
这段时间内，该物体的平均速度为（
）
A．2m/s
B．9 m/s
4
C．11m/s
4
D．3m/s
【答案】B
【解析】由位移s 与时间t 之间的关系为
2
1
4
s t
t
t
，
根据平均变化率的计算公式，可得在1
4
t
这段时间内，
该物体的平均速度为：
4
1
9 m/s
4 1
4
s
s
v
故选：B.
4.2020 年12 月1 日22 时57 分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1800m处开始实施动力下降，
7500 牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1800m/s降为零.12 分钟后，
探测器成功在月球预选地着陆，记探测器与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速
度的平均变化率为a ，则（
）
A．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/ s
2
a
B．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/s
2
a
C．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/s
2
a
D．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/s
2
a
【答案】C
【解析】探测器与月球表面的距离逐渐减小，则
0
1800
5 m/s
12
60
2
v
，
探测器的速度逐渐减小，则
2
0 1800
5 m/s
12 60
2
a
,故选：C
5.有一机器人的运动方程为
2
s t
t
t
，(t 是时间，s是位移)，则该机器人在时刻
3
t 时的瞬
时速度为（
）
A．7
B．14
C．21
D．28
【答案】A
【解析】该机器人在时刻
3
t 时的瞬时速度为
2
0
0
0
(3
)
(3
)
9
3
(3
)
(3)
lim
lim
lim 7
7
t
t
t
t
t
s
t
s
t
t
t
故选：A
6.在高台跳水运动中，st 时运动员相对于水面的高度( 单位：m ）是
2
4.9
6.5
10
h t
t
t
，则运动员在
1s
t
时的瞬时速度为（
）
A．3.3m / s
B．8.2m / s
C．3.3m / s
D．1.6m / s
【答案】A
【详解】运动员在
1s
t
时的瞬时速度即为
1
h
，令
y
h t
，
根据导数的定义，
1
1
h
t
h
y
t
t
2
4.9(1
)
6.5 1
10
4.9
6.5 10
t
t
t
4.9
3.3
t
，
所以
0
0
1
lim
lim
4.9
3.3
3.3
t
t
y
h
t
t
，
故运动员在
1s
t
时的瞬时速度为3.3m / s
.故选：A．
7.设某质点的位移S（单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系是
2
S t
t
，则质点在第1s时的
瞬时速度等于（
）
A．2m/s
B．1m/s
C．1m/s
D．2m/s
【答案】D
【解析】质点在第1s时的瞬时速度为
2
0
0
0
1
1
1
1
lim
lim
lim
2
2m/s
t
t
t
S
t
S
t
t
t
t
.故
选：D.
8.某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系
2
10
5
s
t
t
.
（1）当
20
t
，
0.1
t
时，求s
与
s
t
的值；
（2）求当
20
t
时的瞬时速度.
【答案】（1）
21.05
s
，
210.5
s
t
;（2）210 m/s
【解析】（1）
2
2
20
20
10
20
5 20
10
20
5 20
s
s
t
s
t
t
2
10
200
5
1
20
0.05
21.05
t
t
t
21.05
210.5
0.1
s
t
;
（2）由（1）可知
2
10
200
5
210
5
s
t
t
t
t
t
t
，
当Δt 趋于0 时，
s
t
趋于210，
所以赛车在
20
t
时的瞬时速度为210 m/s.
9.函数
2
( )
f x
x
在区间
0,2 上的平均变化率等于x
m
时的瞬时变化率，则m （
）
A．1
2
B．1
C．2
D．3
2
【答案】B
【详解】函数
2
( )
f x
x
在区间
0,2 上的平均变化率等于
(2)
(0)
4
0
2
2
0
2
0
f
f
，
2
( )
f x
x
在x
m
时的瞬时变化率为
0
0
(
)
( )
lim
lim (
2 )
2
△
△
△
△
△
x
x
f m
x
f m
x
m
m
x
，
所以2
2m
，解得
1
m .
故选：B
题型三：导数定义中极限的简单计算
1.若函数
f x 在
1
x 处的导数为2，则
0
(1
)
(1)
lim
2
x
f
x
f
x
（
）
A．2
B．1
C．
1
2
D．4
【答案】B
【解析】根据导数的定义可得，函数
f x 在
1
x 处的导数为2，
则
0
0
(1
)
(1)
1
(1
)
(1)
1
lim
lim
2
1
2
2
2
x
x
f
x
f
f
x
f
x
x
.故选：B
2.已知
f x 在
1
x 处的导数为2，则
0
1
1
lim
h
f
h
f
h
（
）
A．2
B．6
C．
1
2
D．1
3
【答案】A
【解析】
0
1
1
1
lim
2
x
f
x
f
f
x
Q
，
0
1
1
lim
2
h
f
h
f
h
.故选：A
3.已知
2
1
f
，则
0
(2
2
)
(2)
lim
x
f
x
f
x
（
）
A．1
B．2
C．1
D．2
【答案】D
【解析】
0
0
(2
2
)
(2)
(2
2
)
(2)
lim
2 lim
2
(2)
2
2
x
x
f
x
f
f
x
f
f
x
x
.故选：D
4.函数
f x 在R 上可导，若
2
3
f
，则
0
2
3
2
lim
x
f
x
f
x
x
（
）
A．12
B．9
C．6
D．3
【答案】A
【解析】
Δ
0
Δ
0
2
3Δ
2
Δ
2
3Δ
2
Δ
lim
4
lim
4
2
12
Δ
4Δ
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
．故选：A
5.已知
2
f
x
，则
0
2Δ
lim
Δ
x
f x
f x
x
x
（
）
A．－4
B．－1
C．1
D．4
【答案】A
【解析】因为
2
f
x
，则
0
Δ
lim
2
Δ
x
f x
x
f x
x
，
所以
0
0
2Δ
2Δ
lim
2 lim
4
Δ
2Δ
x
x
f x
f x
x
f x
x
f x
x
x
.故选：A.
6.已知函数
f x 的导函数是
f
x
，若
0
2
f
x
，则
0
0
0
1
(
)
(
)
2
lim
x
f x
x
f x
x
（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【解析】因为
0
2
f
x
所以
0
0
0
0
0
Δ
0
Δ
0
1
1
(
Δ )
(
)
(
Δ )
(
)
1
1
2
2
lim
lim
(
)
1
1
Δ
2
2
Δ
2
x
x
f x
x
f x
f x
x
f x
f
x
x
x
故选：B
7.若函数
y
f x
在
0
x
x
处可导，则
0
0
0
lim
h
f x
h
f x
h
h
（
）
A．
0
f
x
B．
0
2 f
x
C．
0
2 f
x
D．0
【答案】C
【解析】由题意知，函数
y
f x
在
0
x
x
处可导，
所以
0
0
0
0
0
0
0
lim
lim
h
h
f x
h
f x
f x
f x
h
f
x
h
h
，
又由
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
lim
lim
lim
2
h
h
h
f x
h
f x
h
f x
h
f x
f x
f x
h
f
x
h
h
h
.故选：C.
8.若
f x 在
0x 处可导，则
0
f
x
可以等于（
）．
A．
0
0
0
lim
x
f x
f x
x
x
B．
0
0
0
lim
x
f x
x
f x
x
x
C．
0
0
0
2
lim
x
f x
x
f x
x
x
D．
0
0
0
2
lim
x
f x
x
f x
x
x
【答案】A
【解析】由导数定义
0
0
0
0
= lim
x
f x
x
f x
x
x
f
，
对于A，
0
0
0
0
0
0
0
0
0
= lim
lim
x
x
f x
f x
x
f x
f x
x
f
x
x
x
x
x
，A 满足；
对于B，
0
0
0
0
0
0
0
0
0
lim
lim
2
=
x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
x
x
x
x
x
x
f
，
0
0
0
0
1
=
lim
2
x
f
f
x
x
f x
x
x
x
，B 不满足；
对于C，
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
lim
= l
=
im
2
3
x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
x
x
x
x
x
f
x
，
0
0
0
0
2
1 lim
3
=
x
f x
x
f x
f
x
x
x
，C 不满足；
对于D，
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
lim
lim
2
3
=
x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
x
x
x
x
x
x
f
，
0
0
0
0
1
3
2
=
lim
x
f x
x
f x
x
x
f
x
，D 不满足.故选：A.
题型四：曲线在某点处的切线斜率或倾斜角
1.已知函数
1
f x
x
x
，则该函数在
1
x 处的切线斜率为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】因为
1
1
1
1
1
1
1
1
f
x
f
x
x
，
1
1 1
1
x
x
x
x
x
，
所以斜率
0
1
1
lim
x
f
x
f
k
x
，
0
1
lim 1
1 1
2
1
x
x
．
故选：C
2.函数
2
1
y
x
在
1
x 处的导数为
．
【答案】2
【解析】导数的定义可知函数
2
1
y
x
在
1
x 处的导数为：
0
2(1
) 1 (2 1 1)
lim
x
x
x
=
0
lim 2
2
x
.
3.函数
2
1
5
f x
x
x
在
2
x 处的导数值为
．
【答案】15
4
【解析】
2
2
2
1
1
2
2
2
5
2
5
4
2
2
4
2
x
f
x
f
x
x
x
x
x
，
所以
2
2
1
4
4
2
f
x
f
x
x
x
，
当
0
x
时，
1
15
4
4
2
4
x
x
．
故函数
f x 在
2
x 处的导数值为15
4 ．
4.曲线
3
3
y
x
x
在点
2,2 处的切线斜率是（
）
A．9
B．6
C．3
D．1
【答案】A
【解析】∵
3
2
3
3
2
3 2
2
6
9
6
y
x
x
x
x
x
，
∴
2
9
6
y
x
x
x
，
∴
2
0
0
lim
9
lim 9
6
x
x
y
x
x
x
，
由导数的几何意义可知，曲线
3
3
y
x
x
在点
2,2 处的B0 切线斜率是9；故选：A
5.点P 在曲线
3
1
2
3
4
y
x
x
上移动，设点P 处切线的倾斜角为，则角的范围是（
）
A．2π ,π
3
B．
π
2π
0,
,π
2
3
C．[0,π)
D．
π
π
,0
,π
2
2
【答案】B
【详解】解：由
3
1
2
3
4
y
x
x
，可得
2
6
3
y
x
，
所以
3,
y
，即
tan
3,
k
，
当
tan
3,0
时，
2π ,π
3
，当
tan
0,
时，
π
0, 2
，
所以角的范围是
π
2π
0,
,π
2
3
.
故选：B.
6.设
f
x 为可导函数，且满足
0
2
2
lim
1
2
h
f
f
h
h
，则曲线
y
f x
在点
2
2
f,
处的切线的斜率是
（
）
A．.2
B．2
C．
1
2
D．1
【答案】B
【详解】分析：化简
0
2
2
lim
1
2
h
f
f
h
h
得到
(2)
f
，即得切A4 线的斜率.
详解：∵
0
2
2
lim
1
2
h
f
f
h
h
，
∴
1
2
0
2
2
lim
1
h
f
f
h
h
，
∴1
(2)
1
2 f
，
∴
(2)
2
f
k
，
故曲线
y
f x
在点
2,
2
f
处的切线的斜率是-2，
故选B.
7.已知函数
2
ln
f x
ax
x
满足
0
(1)
(1
2
)
lim
2
3
x
f
f
x
x
，则曲线
y
f x
在点1
1
,
2
2
f
处的切线斜率
为
．
【答案】3
【详解】由
0
(1)
(1
2
)
lim
2
3
x
f
f
x
x
，可得
0
(1
2
)
(1)
lim
3
2
x
f
x
f
x
．
因为
1
( )
2
f
x
ax
x
，所以
(1)
2
1
3
f
a
，即
1
a ，则
2
( )
ln
f x
x
x
，
所以
1
( )
2
f
x
x
x
，
1
3
2
f
．
故答案为：3.
题型五：求曲线“在”某点的切线方程
1.曲线
1
y
x
在点
1,1
P
处的切线方程为
．
【答案】
2
0
x
y
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
【解析】设
1
f x
x
，
因
0
0
0
0
0
0
0
2
Δ
0
Δ
0
Δ
0
0
0
0
1
1
Δ
(
Δ )
(
)
Δ
1
(
)
lim
lim
lim
Δ
Δ
Δ
Δ
x
x
x
x
x
x
f x
x
f x
x
x
x
f
x
x
x
x
x x
x
x
，
所以曲线
1
y
x
在点
1,1
P
处的切线方程的斜率为
(1)
1
k
f
，
所以曲线
1
y
x
在点
1,1
P
处的切线方60 程为：
1
1
y
x
，
化简可得：
2
0
x
y
.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
2.已知函数
4
( )
(2
3)
f x
x
m
的图象经过坐标原点，则曲线
( )
y
f x
在点( 1
，
( 1))
f
处的切线方程是
_________________________
．
【解答】解：
(0)
81
0
f
m
，
81
m
，
( 1)
80
f
，
3
( )
8(2
3)
f
x
x
，
( 1)
8
f
，13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
所求切线方程为
80
8(
1)
y
x
，即
8
72
y
x
．
故答案为：
8
72
y
x
．
3.曲线
( )
3
x
x
f x
e
，在点(0,3) 处的切线方程为
________________________
．
【解答】解：由
( )
3
x
x
f x
e
，
则
1
( )
x
x
f
x
e
，
所以
(0)
1
f
，
所以在点(0,3) 处的切线方程为
3
y
x
，
即
3
0
x
y
，
故答案为：
3
0
x
y
．
4.求函数
1
f x
x
在
2
x 处的切线方程．
【答案】
4
4
0
x
y
【解析】因为
1
f x
x
，所以
1
2
2
f
，
而
1
1
2
2
2
2
2 2
x
y
f
x
f
x
x
，则
1
2 2
y
x
x
，
所以
f x 在
2
x 处的斜率为
0
0
1
1
lim
lim 2 2
4
x
x
y
x
x
，
所以
f x 在
2
x 处的切线方程为
1
1
2
2
4
y
x
，即
4
4
0
x
y
.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
5.曲线
2
2
y
x
x
在点(
)
1, 1
-
处的切线方程为
.
【答案】3
2
0
x
y
【解析】切线的斜率为
2
2
0
0
2 1
1
2 1
1
lim
lim
x
x
x
x
y
x
x
2
0
0
3
2
lim
lim
3
2
3
x
x
x
x
x
x
，
所以切线方程为
1
3
1 ,3
2
0
y
x
x
y
.
题型六：求曲线“过”某点的切线方程
1.函数
( )
x
x
x
f x
3
2
3
＝
的图象上过原点的切线方程．
【答案】x
y
0
＝或x
y
5
4
0
＝
【详解】设切点坐标为(
)
0
0
,
x
y
，则
x
x
y
x
3
0
0
0
2
0
3
＝
，87418458 马老师原创
∵
(
)
y
f x
x
f x
0
0
＝
(
)
(
)
(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
3
2
0
0
0
0
0
0
3
＝
-3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
3
2
2
0
0
0
3
3
6
3
＝
，
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
y
x
x
x
x
x
x
x
2
2
0
0
0
3
3
6
1
3
,87418458 马老师原
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137创
l
.
im
x
y
f
x
x
x
x
2
0
0
0
0
6
1
3
所以切线方程为
(
)
(
) (
)
·
y
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
0
0
0
0
0
0
3
3
6
1
＝
．
因为切线过原点，
所以
3
2
3
2
0
0
0
0
0
0
3
3
6
x
x
x
x
x
x
，即
3
2
0
0
2
3
0
x
x
，
解得
0
0
x
或
0
3
2
x
，
所以切线方程为x
y
0
＝或x
y
5
4
0
＝.
2.曲线
2
1
y
f x
x
过点
1,0
P
的切线方程是____________．
【答案】
2
2 2
2
2 2
y
x
或
2
2 2
2
2 2
y
x
【解析】设切点为
2
,
1
Q a a
，则
2
2
1
1
2
a
x
a
f a
x
f a
a
x
x
x
，
当
0
x
时，
2a
x
趋于2a，所以所求切线的斜率为2a，
故
2
1
0
2
1
a
a
a
，解得
1
2
a
，
所以所求的切线方程为
2
2 2
2
2 2
y
x
或
2
2 2
2
2 2
y
x
．
故答案为：
2
2 2
2
2 2
y
x
或
2
2 2
2
2 2
y
x
.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
3.试求过点
(1, 3)
P
且与曲线
2
y
x
=
相切的直线的斜率．
【答案】2
或6
【解析】设切点坐标为
0
0
,
x
y
，则有
2
0
0
y
x
．
因为
2
2
0
0
(
)
lim
lim
2
x
x
y
x
x
x
y
x
x
x
，所以
0
2
k
x
．
切线方程为
0
0
0
2
y
y
x
x
x
，将点(1, 3)
代入，得
0
2
2
0
0
3
2
2
x
x
x
，
所以
2
0
0
2
3
0
x
x
，得
0
1
x 或
0
3
x
．
当
0
1
x 时，
2
k ；当
0
3
x
时，
6
k
．
所以所求直线的斜率为2
或6．
4.曲线
1
y
f
x
x
在点P 处的切线与直线
1
4
y
x
垂直，则点P 的坐标为______．
【答案】1 ,2
2
或
1 , 2
2
【解析】易知曲线在点P 处的切线的斜率为4
，设
0
0
1
,
P x
x
，
因为
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
f x
x
f x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
，
当
0
x
时，
0
0
2
0
1
f x
x
f x
x
x
，
所以
0
2
0
1
1
=
4
2
x
x
，则点P 的坐标为1 ,2
2
或
1 , 2
2
．
故答案为：1 ,2
2
或
1 , 2
2
.
5.已知曲线
3
:
2
S y
x
x
．
（1）求曲线S 在点
(1,1)
A
处的切线方程；
（2）求过点
(2,0)
B
并与曲线S 相切的直线方程．
【解答】解：（1）
3
2
2
3
2
y
x
x
y
x
当
1
x 时，
1
y
点
(1,1)
A
处的切线方程为：
1
( 1)(
1)
y
x
即：
2
0
x
y
（2）设切点坐标为
3
( ,2
)
m
m
m
则直线斜率
3
2
2
m
m
k
m
，
而
2
2
3
y
m
，
整理得到：
3
2
3
2
0
m
m
3
2
2
2(
1)
0
m
m
m
2(
1)
2(
1)(
1)
0
m m
m
m
2
(
1)(
2
2)
0
m
m
m
解得
1
1
m ，
2
1
3
m
，
3
1
3
m
当
1
m 时：
2
2
3
1
k
m
，直线方程为
(
2)
2
y
x
x
；
当
1
3
m
时，
2
2
3
10
6 3
k
m
，直线方程为
( 10
6 3)(
2)
y
x
当
1
3
m
时，
2
2
3
10
6 3
k
m
，直线方程为
( 10
6 3)(
2)
y
x
题型七：导数几何意义的理解及运用
1.函数
( )
f x 的图象如图所示，则下列关系正确的是(
)
A．0
f
（2）
f
（3）
f
（3）
f
（2）
B．0
f
（2）
f
（3）
f
（2）
f
（3）
C．0
f
（3）
f
（3）
f
（2）
f
（2）
D．0
f
（3）
f
（2）
f
（3）
f
（2）
【解答】解：由
2函数
( )
f x 的图象可知
8：
当
0
x时，
( )
f x 单调递增，且当
0
x
时，
(0)
0
f
，
f
（2），f （3），f （3）
f
（2）
0
，
由此可知
( )
0
f
x
，87418458 马老师原创
直线的斜率逐渐减小，
( )
f
x
单调递减，
f
（2）
f
（3），
( )
f x
为凸函数，
f
（3）
f
（2）
f
（2），
0
f
（3）
f
（3）
f
（2）
f
（2），87418458 马老师原创
故选：C ．
2.已知函数
( )
f x 的图象如图所示，则下列结论正确的是(
)
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
A．0
f
（3）
f
（2）
f
（1）
B．f （1）
f
（2）
f
（3）
0
C．0
f
（1）
f
（2）
f
（3）
D．f （3）
f
（2）
f
（1）
0
【解答】解：由图可得，函数一直单调递增，且递增速度越来越慢，
故0
f
（3）
f
（2）
f
（1）．
故选：A ．
3.
( )
y
f x
的图象如图所示，下列数值的排序正确的是(
)
A．0
f
（2）
f
（3）
f
（3）
f
（2）B．0
f
（3）
f
（3）
f
（2）
f
（2）
C．0
f
（3）
f
（2）
f
（3）
f
（2）D．0
f
（3）
f
（2）
f
（3）
f
（2）
【解答】解：设
(2
A
，f （2）) ，
(3
B
，f （3）) 为
( )
y
f x
的图象上两点，
则f （3）为函数
( )
f x 在
3
x
3B 处切线的斜率，
f （2）为函数
( )
f x 在
2
x
处切线的斜率，
(3)
(2)
(3)
(2)
3
2
AB
f
f
k
f
f
，
函数
( )
f x 为增函数，但增加的越来越慢，
则0
f
（3）
f
（3）
f
（2）
f
（2）．
故选：B ．
4.）函数
f x 的图像如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
0
1
1
f
a
f
a
f a
f a
B．
0
1
1
f
a
f a
f a
f
a
C．
0
1
1
f
a
f
a
f a
f a
D．
0
1
1
f a
f a
f
a
f
a
【答案】B
【解析】
f
a
，
1
f
a
分别为曲线
f x 在
,
1
x
a x
a
处的切线的斜率，
由题图可知
0
1
f
a
f
a
，
而
1
1
1
f a
f a
f a
f a
a
a
表示
,a f a
与
1,
1
a
f a
两点连线的斜率，
且在
f
a
与
1
f
a
之间．∴
0
1
1
f
a
f a
f a
f
a
．故选:B.
5.函数
y
f x
的图象如图所示，
f
x
是函数
f x 的导函数，则下列大小关系正确的是
（
）
A．
2
4
4
2
2
2
f
f
f
f
B．
2
2
4
2
2
4
f
f
f
f
C．
2
4
2
2
4
2
f
f
f
f
D．
4
2
2
4
2
2
f
f
f
f
【答案】B
【解析】由图象可知
f x 在
0 +
，
上单调递增，
1
AB
2
k
k
k
，
故
4
2
2
4
4
2
f
f
f
f
，即
2
2
4
2
2
4
f
f
f
f
．故选：B．
模块三：综合巩固
1.曲线
3
1
y
x
在点
,2
a
处的切线方程为（
）
A．
3
3
y
x
B．
3
1
y
x
C．
3
1
y
x
D．
3
3
y
x
【答案】B
【详解】因为
3
1
2
a
，所以
1
a ，即切点坐标为
1,2 ，由
2
'
3
f
x
x
，所以
' 1
3
f
，所以
3
1
y
x
在
点
1,2 处的切线方程为
2
3
1
y
x
，即
3
1
y
x
.
故选：B
2.设函数
2
f x
x
，则
0
1
1
lim
x
f
x
f
x
（
）
A．4
B．2
C．2
D．4
【答案】C
【详解】
2
2
0
0
0
0
1
1
1
1
2
lim
lim
lim
lim
2
2
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
.
故选：C.
3.函数
( )
2
1
f x
x
在区间
1,5
上的平均变化率为（
）
A．11
5
B．
11
5
-
C．2
D．2
【答案】C
【详解】函数
2
1
f x
x
在区间
1,5
上的平均变化率为
(5)
(1)
11 3
2
5 1
4
f
f
.
故选：C
4.定义在R 上的函数
y
f x
在区间
2,2
0
x
x
内的平均变化率为
2
2
1
y
x
x
x
，其中
2
2
y
f
x
f
，则函数
f
x 在
2
x
处的导数
2
f
（
）
A．1
B．1
C．3
D．9
【答案】B
【详解】由导数的定义可得
2
0
0
2
2
2
lim
lim
2
1
1
x
x
f
x
f
f
x
x
x
，
故选：B.
5.函数
y
f x
的图象如图所示，
f
x
是函数
f
x 的导函数，则下列大小关系正确的是（
）
A．
2
4
4
2
2
2
f
f
f
f
B．
2
2
4
2
2
4
f
f
f
f
C．
2
4
2
2
4
2
f
f
f
f
D．
4
2
2
4
2
2
f
f
f
f
【答案】B
【详解】由图象可知
f
x 在
0 +
，
上单调递增，
1
AB
2
k
k
k
，
故
4
2
2
4
4
2
f
f
f
f
，即
2
2
4
2
2
4
f
f
f
f
．
故选：B．
6.若函数
( )
y
f x
在
2
x
处的瞬时变化率为
0
lim
x
y
x
，且
(2
)
(2)
4
y
f
x
f
x
x
x
，则
(2)
f
（
）
A．2
B．4
C．2
x
D．4
x
【答案】B
【详解】根据导数的定义可知，
Δ
0
Δ
0
2
Δ
2
2
lim
lim 4 Δ
4
Δ
x
x
f
x
f
f
x
x
.
故选：B
7.已知抛物线
2
3
y
x
x
在
0
2
x
处的增量为
0.1
x
，则
y
x
的值为（
）
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
【答案】B
【详解】因为
2
3
y
f x
x
x
，
则
2
2
(2
0.1)
(2)
3 2.1 2.1
(3 2
2 )
0.11
y
f
f
，
所以
0.11
1.1
0.1
y
x
.
故选：B.
8.函数
2
( )
2
f x
x
x
在
2
x
附近的平均变化率是（
）
A．7
B．7
x
C．7
2 x
D．
2
7
2(
)x
【答案】C
【详解】令
( )
y
f x
，
因为
2
2
2
(
)
( )
2(
)
(
)
(2
)
2(
)
4
y
f x
x
f x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
，
所以
2
4
1
y
x
x
x
，
则在
2
x
附近的平均变化率是2
4 2 1
7
2
x
x
，
故选：C.
9.(多选)设函数
( )
y
f x
，当自变量x 由
0x 变化到
0x
x
时，下列说法正确的是（
）
A．x
可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量
y
为
0
0
(
)
(
)
f x
x
f x
C．函数
( )
f x 在
0
0
[
,
]
x x
x
上的平均变化率为
0
(
)
f x
x
D．函数
( )
f x 在
0
0
[
,
]
x x
x
上的平均变化率
0
0
(
)
(
)
f x
x
f x
x
【答案】ABD
【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，
函数值的改变量
y
为
0
0
(
)
(
)
f x
x
f x
，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D
正确；
故选：ABD
10.（多选）在高台跳水运动中，st 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是
2
4.9
6.5
10
h t
t
t
，判断
下列说法正确的是（
）
A．运动员在
1
t s 时的瞬时速度是3.3m / s
B．运动员在
1
t s 时的瞬时速度是3.3m /
s
C．运动员在
1
t s 附近以3.3m / s 的速度上升
D．运动员在
1
t s 附近以3.3m / s 的速度下降
【答案】BD
【详解】由已知，(1)
4.9
6.5 10
11.6
h
，
1s
t
的瞬时速度为
2
0
0
0
4.9(1
)
6.5(1
) 10 11.6
lim
lim
lim( 4.9
3.3)
3.3
t
t
t
h
t
t
t
t
t
，
因此该运动员在
1
s
t
附近以3.3
/
m s的速度下降，
故选：BD．
11.已知函数
f x 满足
1
0
f
x
，
2
0
f
x
，则在
1
x 和
2
x 附近符合条件的
f x 的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
1
0
f
x
，
2
0
f
x
，可知
f x 的图象在
1
x 处切线的斜率为正，在
2
x 处切线的斜率为负，
选项A：
f x 的图象在
1
x 和
2
x 处切线的斜率都为负；
选项B：
f x 的图象在
1
x 处切线的斜率为负，在
2
x 处切线的斜率为正；
选项C：
f x 的图象在
1
x 处切线的斜率为零，在
2
x 处切线的斜率为正；
选项D：
f x 的图象在
1
x 处切线的斜率为正，在
2
x 处切线的斜率为负；故选：D
12.计算抛物线
2 4
3
y
x
x
上任一点
,
P u v 处的切线的斜率，并求过点(
)
3,0 的切线方程.
【答案】2
4
u
；2
6
0
x
y
.
【解析】因为点
,
P u v 在抛物线
2 4
3
y
x
x
上，所以
2
4
3
v
u
u
，
由导数的定义，知
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
y
f
x
x
x
2
2
0
0
4
3
4
3
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
0
0
2
4
2
4
2
4
，
由导数几何意义，知所以抛物线在点
,
P u v 处的切线的斜率为
2
4
k
f
u
u
，
所以抛物线在
,
P u v 的切线方程为
2
4
y
v
u
x
u
，
又(
)
3,0 在切线
2
4
y
v
u
x
u
上，则
0
2
4
3
v
u
u
即
2
4
3
0
2
4
3
u
u
u
u
，
于是
2
6
9
0
u
u
，解得
3
u
，此时切点为(
)
3,0 .
斜率为
3
2 3
4
2
k
f
，
所以过点(
)
3,0 的切线方程为
0
2
3
y
x
即2
6
0
x
y
.
13.设
0
(
)
f
x
为函数
f x 在
0x 处的导数，则满足
1
2
3
f
f
f
的函数
f x 的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】结合图象根据导数的几何意义可得：
对于A：由图可得
1
2
3
f
f
f
，故A 错误；
对于B：由图可得
2
1
3
f
f
f
，故B 错误；
对于C：由图可得
1
2
3
f
f
f
，故C 错误；
对于D：由图可得
1
2
3
f
f
f
，故D 正确；故选：D
14.若
f
x 为可导函数，且
0
1 2
1
lim
1
2
x
f
x
f
x
，则过曲线
y
f x
上点
1,
1
f
处的切线斜率
为
．
【答案】1
【详解】因为
0
1 2
1
lim
1
2
x
f
x
f
x
，
故
(
)
( )
( )
lim
x
f
x
f
k
f
x
0
1 2
1
1
1
2
.
故答案为：1
15.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均
变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若
f
x 在
,a b 上满足以下条件：①在
,a b 上
图象连续，②在
,a b 内导数存在，则在
,a b 内至少存在一点c ，使得
f b
f a
f
c
b
a
（
f
x
为
f
x 的导函数）．则函数
1
ex
f
x
x
在
0,1 上这样的c 点的个数为
【答案】1
【详解】由函数
1
ex
f
x
x
，则
1
(
1)ex
f
x
x
，
根据题意知，存在点
0,1
c
，使得
1
0
1
1 0
f
f
f
c
，即
1
(1
)e
1
c
c
，
所以
1
1
e
,
0,1
1
c
c
c
，
作出函数
1
ec
y
和
1
1
y
c
的图象，如图所示，
由图象可知，函数
1
ec
y
和
1
1
y
c
的图象只有一个交点，
所以
1
1
e
,
0,1
1
c
c
c
只有一个解，即函数
1
ex
f
x
x
在
0,1 上c 点的个数为1个.
故答案为：1.
16.某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单
位：min）的函数，表示为
c
c t
．下表给出了
c t 的一些函数值：
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
/
g/mL
c t
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
0.41
(1)求服药后30min 内，30min 到40min，80min 到90min 这3 段时间内，血液中药物质量浓度的平均变化
率；
(2)讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3 段时间中，药物质量浓度变化最快的时
间段．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【详解】
（1）解：服药后30min 内血液中药物质量浓度的平均变化率为：
0.98
0.84
0.00467
g/mL min
30
，
服药后30min 到40min 内血液中药物质量浓度的平均变化率为：
1 0.98
0.002
g/mL min
40
30
，
服药后80min 到90min 内血液中药物质量浓度的平均变化率为：
0.63
0.79
0.016
g/mL min
90
80
；
（2）用平均变化率的绝对值
c
t
的大小刻画药物质量浓度变化的快慢，
当
0
c
t
时，血液中的药物质量浓度增加；当
0
c
t
时，血液中的药物质量浓度减小，
因为
0.016
0.00467
0.002
，
所以80min 到90min 这段时间内血液中的药物质量浓度变化最快.
17.对一名工人的研究表明，工作t h 后生产出的产品量Q（单位：t）可以近似表示为
3
2
15
12
Q
Q t
t
t
t
，
该工人每天工作8h．
(1)求当t 从2h 变到4h，该工人生产的产品量Q 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求
2
Q
，
4
Q
，并解释它们的实际意义．
【答案】(1)74，意义见解析；
(2)
2
60
Q
,
4
84
Q
，意义见解析.
【详解】（1）由题意可知：
4
2
64
240
48
8
60
24
74
4
2
2
Q
Q
，
它表示该工人在2h 到4h 时间段内，平均每小时生产产品为74；
（2）由题意可得
2
3
30
12
Q t
t
t
，
所以
2
12
60 12
60,
4
48 120 12
84
Q
Q
，
2
60
Q
表示在2h 时刻，工人的生产速度为每小时产量60，
B0-A4-60-28-3B-3D
4
84
Q
表示在4h 时刻，工人的生产速度为每小时产量84.
B0-A4-60-28-3B-3D
18.充满气的气球近似为球体．在给气球充气时，我们都知道，开始充气时气球膨胀较快，随后膨胀速度逐
渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积
的平均变化率．
【答案】答案见解析
【详解】设气球的半径为r ，体积为V ，则
3
4 π
3
V
r
，所以
1
3
3
4π
V
r
．
例如，当0.5
1
V
时，半径r 的平均变化率
1
1
3
3
1
0.5
1
3
1.5
0.26
1 0.5
0.5
4 π
4π
r
r
．
当1
1.5
V
时，半径r 的平均变化率
1
1
3
3
1.5
1
1
4.5
3
0.18
1.5 1
0.5
4 π
4π
r
r
．
由以上两个结果可以看出，气球体积由0.5 增至1，再由1 增至1.5，二者都增大了0.5，但r 的平均变化
率却由0.26 变成0.18，712359830，变小了．也就是说，随着气球体积的逐渐增大，马老师它的半径的平均变
化率逐渐变小．
19.已知函数
3
( )
f x
x
．
(1)求函数
( )
f x 的导函数；
(2)过点
2 ,0
3
P
作函数
( )
f x 的图象的切线，求切线方程．
【答案】(1)
2
( )
3
f
x
x
；
(2)
0
y
或
3
2
y
x
．
【详解】（1）
(
)
( )
y
f x
x
f x
x
x
3
3
(
)
x
x
x
x
3
3
3
3
(
)
(
)
x
x x x
x
x
x
x
3
3
(
)
(
)
x x x
x
x
x
2
3 (
)
(
)
x x
x
x
，
当
0
x
时，
2
3
y
x
x
，
所以函数
( )
f x 的导3D 函数为
2
( )
3
f
x
x
．
（2）设切点为
3
0
0
,
Q x x
，则由（1），可得切线的斜率
2
0
0
3
k
f
x
x
，
则切线方程为
3
2
0
0
0
3
y
x
x
x
x
，即
2
3
0
0
3
2
y
x x
x
．
因为切线过点
2 ,0
3
P
，所以
2
3
0
0
2
2
0
x
x
，解得
0
0
x
或
0
1
x ，
从而切线方程为
0
y
或
3
2
y
x
