4.1 数列的概念
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：数列的概念................................................................... 2
考点二：数列的分类................................................................... 2
考点三：数列的通项公式............................................................. 2
考点四：数列的递推公式............................................................. 3
考点五：数列的性质................................................................... 3
考点六：数列的前n 项和Sn .........................................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：数列的概念及分类.......................................................... 3
题型二：根据规律求数列中的某项..................................................4
题型三：判断或写出数列中的项.................................................... 5
题型四：利用递推关系求数列的项或通项.........................................6
题型五：数列的单调性的判断及其应用............................................8
题型六：求数列中的最大(小)项.....................................................9
题型七：数列的周期性问题.......................................................... 9
题型八：根据数列的前n 项和Sn 求an ........................................ 10
模块三：综合巩固....................................................................... 11
4.1 数列的概念
模块一：基础知识
考点一：数列的概念
1.数列的概念
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个
位置上的数叫做这个数列的第1 项,常用符号
1a 表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2 项,用
2a 表
示……第n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项,用
na 表示.其中第1 项也叫做首项.
数列的一般形式是
1a ,
2a ,…,
na ,…,简记为{
}
na
.
2.数列与函数的关系
由于数列{
}
na
中的每一项
na 与它的序号n 有下面的对应关系：
所以数列{
}
na
是从正整数集N （或它的有限子集{1，2，…，n }）到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，
对应的函数值是数列的第n 项
na ，记为
( )
na
f n
.
也就是说，当自变量从1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值
(1)
f
，
(2)
f
，…，
( )
f n ，…就是数列{
}
na
.
另一方面，对于函数
( )
y
f x
，如果
( )
f n （n
N
）有意义，那么
(1)
f
，
(2)
f
，…，
( )
f n ，…构成
了一个数列{ ( )}
f n
.
考点二：数列的分类
考点三：数列的通项公式
如果数列{
}
na
的第n 项
n
a 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个
数列的通项公式.
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间
的大小关
系
递增数列
1
n
n
a
a
其中n
N
递减数列
1
n
n
a
a
常数列
1
n
n
a
a
考点四：数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公
式.
考点五：数列的性质
1、数列的单调性
若数列{
}
na
满足对一切正整数n ，都有
1
n
n
a
a
（或者
1
n
n
a
a
），则称数列{
}
na
为递增数列（递减数
列）；
①求数列{
}
na
中最大项方法：当
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
时，则
n
a 是数列最大项；
②求数列{
}
na
中最小项方法：当
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
时，则
n
a 是数列最小项；
2、数列的周期性
一般地，若数列{
}
na
满足存在正整数T 使得
n T
n
a
a
对一切正整数n 都成立，则称数列{
}
na
为周期数列，
T 叫做数列{
}
na
的周期.
考点六：数列的前n 项和Sn
1、数列前n 项和的概念
我们把数列{
}
na
从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列{
}
na
的前n 项和，记作
n
S ，即
1
2
n
n
S
a
a
a
2、数列前n 项和
n
S 与通项
na 的关系
当
1
n
时，
1
1
S
a
当
2
n
时，
1
1
2
1
n
n
S
a
a
a
①,
1
2
1
n
n
n
S
a
a
a
a
②
用
1
1
2
1
1
2
1
(
)
(
)
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
a
a
a
a
化简得：
1
n
n
n
a
S
S
所以：
1
1
1
2
n
n
n
a
n
a
S
S
n
模块二：题型分类
题型一：数列的概念及分类
1．下列结论中，正确的是（
）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1,2,3,
, }
n
）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(
)
A．－1，－2，－3，－4，…
B．－1，－1
2 ，－1
3 ，－1
4 ，…
C．－1，－2，－4，－8，…
D．1，
2 ，
3 ，
4 ，…，10
3.已知
*
1
6
5
N
n
n
a
a
n
，则数列
na
是（
）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不确定
4.下列叙述不正确的是（
）
A．1，3，5，7 与7，5，3，1 是相同的数列
B．1，3，1，3，…是常数列
C．数列0，1，2，3，…的通项公式为
na
n
D．数列
2
1
n
是递增数列
5.（多选）列结论正确的是（
）
A．数列1，2，3 与3，2，1 是两个不同的数列．
B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．
C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．
D．若数列
na
的前n 项和为
n
S ，则对任意
N
n
，都有
1
1
n
n
n
a
S
S
.
6.下列说法中正确的是（
）
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，1
，2
与2
，1
，0，1 是相同的数列
C．数列
1
n
n
的第k 项为
1
1
k
D．数列0，2，4，6，可记为
2n
7.已知函数
1
( )
f x
x
x
，设
( )
na
f n
n
N
，则下列说法中错误
．．的是（
）
A．
na
是无穷数列
B．
na
是递增数列
C．
na
不是常数列
D．
na
中有最大项
题型二：根据规律求数列中的某项
1．数列
4 9 16
1,
,
,
,
3 5
7 的第8 项是（
）
A．64
15
B．32
13
C．64
13
D．32
15
2.根据下列数列的前4 项，写出它的一个通项公式：
(1)0，1，0，1，…；
(2)7，77，777，7777，…；
(3) 1
2 ，1
6 ，1
12 ，1
20 ，…；
(4)
2
2
1
2
，
23
1
3
，
2
4
1
4
，
25
1
5
，…．
3.观察下面各数列，试着找出它的一个通项公式：
(1)2，4，2，4，…；
(2)9，99，999，9999，…：
(3) 1
2 ，
3
4
，7
8 ，15
16
，…．
4.数列{an}：1，
5
8
，
7
15 ，
9
24
，…，的一个通项公式是（
）
A．
1
2
2
1
( 1)n
n
n
a
n
n
n
N
B．
1
3
2
1
( 1)
3
n
n
n
a
n
n
n
N
C．
1
2
2
1
( 1)
2
n
n
n
a
n
n
n
N
D．
1
2
2
1
( 1)
2
n
n
n
a
n
n
n
N
5.写出下面各数列的一个通项公式：
(1) 2 ，4 ，6，8 ，……
(2)1，
1
2
，1
3 ，
1
4
，……
题型三：判断或写出数列中的项
1．若
1
1
n
n
a
a
n
，
1
1
a 则
10
a
（
）
A．55
B．56
C．45
D．46
2.已知数列
na
的通项公式为
2
1
3
n
n
n
a
，
2
79 3 是否是该数列中的项？若是，是第几项？
3.已知无穷数列1 2
，2 3
，3 4
，…，
1
n n
，…．
(1)求这个数列的第10 项和第31 项．
(2) 420 是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
(3)证明：60 不是这个数列中的项．
4.在数列
na
中，
1
2
a
，
17
66
a
，通项公式
na
pn
q
，其中p，q 为常数，
0
p
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)88 是否是数列
na
中的项？
题型四：利用递推关系求数列的项或通项
1.已知数列
na
满足
1
1
1
1,
(
2)
n
n
a
a
a
n n
，则
5a =（
）
A．7
5
B．17
12
C．47
30
D．51
40
2．已知数列
na
满足
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，且
1
3
a
，则
2023
a
（
）
A．3
B．1
2
C．-2
D．4
3
3.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多-斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引
入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列
na
为“斐波那契数列”且满足：
*
1
2
3,
N
n
n
n
a
a
a
n
n
，则
4
8
a
a
（
）
A．12
B．16
C．24
D．39
4.下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个
数是（
）
A．
1
n n
B．
1
2
n n
C．
1
2
n n
D．
1
n n
5.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9 个圆环，解开九连环共需要256 步，解下
或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以
将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为
*
9,
N
na
n
n
，已
知
1
2
1,
1
a
a
，按规则有
*
1
2
2
1
3,
N
n
n
n
a
a
a
n
n
，则解下第5 个圆环最少需要移动的次数为（
）
A．4
B．7
C．16
D．31
6.如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第
1 条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1 条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2 条“雪花
曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n 条“雪花曲线”有
n
a 条边.
（1）写出
1
2
a
a
，
的值.
（2）求出数列
na
的递推公式.
7.数列
na
满足
1
2019
a
，且对
*
n
N ，恒有
3
2n
n
n
a
a
，则
7a （
）
A．2021
B．2023
C．2035
D．2037
8.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1 代“勾
股树”，重复图二的作法，得到图三为第2 代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代
“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（
）
A．2
1
n ；n
B．2
1
n ；
1
n
C．
1
2
1
n
；n
D．
1
2
1
n
；
1
n
题型五：数列的单调性的判断及其应用
1．已知
*
1
6
5
N
n
n
a
a
n
，则数列
na
是（
）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不确定
2.判断下列数列
na
的单调性：
(1)
7
na
n
；
(2)
7
2n
na
；
(3)
2
lg
1
na
n
；
(4)
2
2
1
1
n
n
a
n
．
3.已知
na
n
n
，则“0
2
”是“数列
na
是递增数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条
C．充要条件件
D．既不充分又不必要条件
4.数列
na
的通项公式为
2
na
n
kn
，那么“
1
k ”是“
na
为递增数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5.（多选）下列数列
na
是单调递增数列的有（
）
A．
2
3
1
na
n
n
B．
1
2
n
na
C．
2
na
n
n
D．
ln
1
n
n
a
n
6.已知函数
1
( )
x
f x
x
，设数列
na
的通项公式为
( )
na
f n
，其中
*
N
n
；
(1)求证：0
1
n
a
；
(2)判断
na
是递增数列还是递减数列，并说明理由.
题型六：求数列中的最大(小)项
1.已知数列
na
的通项公式为
2
8
5
na
n
n
．
(1)写出这个数列的前5 项．
(2)这个数列有没有最小的项？如果有，是第几项？
2.已知数列
na
的通项公式为
1
2
15
n
n
a
，其最大项和最小项的值分别为（
）
A．1，
1
7
B．0，
1
7
C．1
7 ，
1
7
D．1，
1
11
3.已知数列
na
的通项公式为
*
2
2023
N
n
na
n n
，则当
na 最小时，n （
）
A．9
B．10
C．11
D．12
4.已知数列
na
的通项公式为
3
2
n
n
n
a
，试判断数列
na
的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项．
5.已知
98
99
n
n
a
n
，求该数列前30 项中的最大项和最小项．
6.已知数列
na
的通项公式为
2
2
15
1
na
n
n
，画出该数列的图象，并判断该数列是否有最大项，若有，
指出第几项最大；若没有，试说明理由．
题型七：数列的周期性问题
1.数列
na
满足
1
1
1
1
,
2
n
n
a
a
a
，则
2024
a
.
2.若数列
na
满足，
1
2
a ，
1
1
1
n
n
n
a
a
a
，则
2023
a
（
）
A．
1
2
B．－2
C．3
D．
1
3
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，设
1
1
2
a
，
1
1
n
n
n
a a
a
，则
2024
S
（
）
A．
1
2
B．3
2
C．2021
2
D．1012
4.数列
na
满足
1
2
1
4
2
n
n
n
a
a
a
，且
1
1
a ，则数列
na
的前2024 项的和
2024
S
（
）
A．
253
6
B．
253
8
C．
1771
6
D．1771
8
5.数列
na
满足
1
1
2
,0
2
1
2
1,
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，若
1
2
5
a
，则
2023
a
等于（
）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
6.已知数列
na
中，
1
2
2
1
1,
3,
n
n
n
a
a
a
a
a
，则
2022
a
．
题型八：根据数列的前n 项和Sn求an
1.若数列
na
的前n 项和为
2
2
3
1
n
S
n
n
，则
na
.
2.已知数列
na
的前n 项和
3
2
n
n
S
（n为正整数），则此数列的通项公式
na
.
3.已知
n
S 是数列
na
的前n 项和，且满足
2
*
2
2(
,
1)
n
S
n
n
n
n
N
，则数列
na
的通项公式
na
.
4.已知数列
nb
满足
1
2
3n
n
b
b
b
n
L
，则数列
nb
的通项公式为
.
5.已知数列
na
的前n 项和
2
14
2
n
S
n
n
，则数列
na
的通项公式为
.
6.已知数列
na
的前n 项和
2
*
3
2
n
S
n
n
n
N
，则数列
na
的通项公式为
．
模块三：综合巩固
1．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是（
）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
2．若数列
na
的通项公式为
4
5
na
n
，则关于此数列的图像叙述不正确的是（
）
A．此数列不能用图像表示
B．此数列的图像仅在第一象限
C．此数列的图像为直线
4
5
y
x
D．此数列的图像为直线
4
5
y
x
上满足
*
N
x
的一系列孤立的点
3.数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（
）
A．
1
3
4
n
na
n
B．
1
3
1
n
na
n
C．
1
1
3
4
n
na
n
D．
1
1
3
1
n
na
n
4.已知数列
na
满足
1
1
1
n
n
a
a
，若
1
2
a
，则
2023
a
（
）
A．2
B．1
C．
1
2
D．2
5.记
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
2,
5
5
4,
5
n
n n
S
n
n
，则
6a （
）
A．1
B．5
C．7
D．9
6.设数列
na
满足
1
2
3
2
1
n
a
a
n
a
n
，则
4a （
）
A．7
B．1
5
C．1
7
D．1
8
7.在数列2
7 ，3
11，4
15 ，5
19 ，…，
1
4
3
n
n
，…中，10
39 是它的（
）
A．第8 项
B．第9 项
C．第10 项
D．第11 项
8．(多选)下列说法正确的是（
）
A．数列4，7，3，4 的首项是4
B．数列
na
中，若
1
3
a
，则从第2 项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，…是无穷数列
D．a，-3，-1，1，b，5，7，9，11 能构成数列
9.已知数列{
}
na
满足
2n
na
kn
，若{
}
na
为递增数列，则k 的取值范围是（
）
A．( 2,
)
B．(2,
)
C．(
, 2)
D．(
,2)
10.（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（
）
A．
3
1
2
n
na
B．
1
3
1
2
n
na
C．
3
cos π
2
n
n
a
D．
2
1
3
sin
π
2
2
n
n
a
11.已知数列
na
满足：
6
(3
)
3,
7
,
7
n
n
a n
n
a
a
n
（
N
n
），且数列
na
是递增数列，则实数a 的可能取值
是（
）
A．2
B．9
4
C．11
4
D．3
12．已知数列
na
满足
2
6
n
n
a
n
，n 为正整数，则该数列的最大值是（
）
A．1
2
B．1
5
C．1
6
D．5
31
13．已知数列
na
的通项公式是
3
4
2
n
n
a
n
，则
na
（
）
A．不是单调数列
B．是递减数列
C．是递增数列
D．是常数列
14．给出下列数列：①2010～2017 年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，
147，163，180；②无穷多个
3 构成数列
3 ，
3 ，
3 ，
3 ，…；③－2 的1 次幂，2 次幂，3 次幂，
4 次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….
其中，有穷数列是
，无穷数列是
，递增数列是
，常数列是
，摆动数列
是
．
15.数列
na
中，
2
11
na
n
n n
N
，则此数列最大项的值是
.
16.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生
原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的
世界数学史上第一道数列题，其前10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则第11 项是
17．根据下列条件，写出数列
na
的前5 项：
（1）
2
1
na
n
；
（2）
1
2
(
)
1
1
n
na
n
；
（3）
1
1
2
a
，
1
4
1(
2)
n
n
a
a
n
；
（4）
1
1
4
a
，
1
1
1
(
2)
n
n
a
n
a
.
18．观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：
（1）（
），4 ，9，（
），25 ，（
），49 ；
（2）1，
2
1
3 ，（
），
2
1
7 ，
2
1
9 ，（
），
2
1
13 ；
（3）1，
2 ，（
），2 ，5 ，（
），
7 ；
（4）1
2 ，1
6 ，（
），1
20 ，1
30 ，（
）.
19．已知数列
na
的第1 项是1，第2 项是2，以后各项由
1
2
2
n
n
n
a
a
a
n
给出.
（1）写出这个数列的前5 项；
（2）利用数列
na
，通过公式
1
n
n
n
a
b
a
构造一个新的数列
nb
，试写出数列
nb
的前5 项.
20．（1）已知数列{an}满足：
1
1
1,
2
1
n
n
n
n
a
a
a
n
N
a
，求{an}的通项公式；
（2）在数列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.
