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14 小题＋1 大题(数列)——节选自南京市调研
一、单选题(每小题5 分，共40 分)
1.已知i 为虚数单位，则(2＋i)(2－i)＝( )
A.5
B.－1
C.1
D.7
答案 D
解析 (2＋i)(2－i)＝4－3i2＝4＋3＝7.故选D.
2.已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|y＝lg(－x2＋2x)}，则A∩B＝( )
A.{0，1，2}
B.{1}
C.{0}
D.(0，2)
答案 B
解析 由－x2＋2x>0，得x(x－2)<0，解得0<x<2，∴B＝(0，2)，∴A∩B＝{1}，
故选B.
3.已知x>0，y>0，则x＋y≥2 是xy≥1 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 B
解析 当x＝，y＝时，满足x>0，y>0，x＋y＝2，但xy＝<1，故充分性不成立；
若x>0，y>0，xy≥1，则x＋y≥2≥2，当且仅当x＝y＝1 时两个等号同时成立，
故必要性成立.综上，可知x＋y≥2 是xy≥1 的必要不充分条件，故选B.
4.下列函数中是偶函数的是( )
A.y＝ex＋e－x
B.y＝ex－e－x
C.y＝
D.y＝(ex＋e－x)(ex－e－x)
答案 A
解析 令f(x)＝ex＋e－x，则f(－x)＝f(x)，且f(x)的定义域为R，故y＝ex＋e－x是偶
函数，A 正确；
令g(x)＝ex－e－x，则g(－x)＝－g(x)，且g(x)的定义域为R，故y＝ex－e－x是奇函
数，B 错误；
函数y＝是由一个偶函数除以一个奇函数得到的，则其为奇函数，故C 错误；
函数y＝(ex＋e－x)(ex－e－x)是由一个偶函数乘以一个奇函数得到的，则其为奇函数，
故D 错误.
5.从4 位男同学、5 位女同学中选出3 位同学，男女生都要有的选法有( )
A.140 种
B.44 种
C.70 种
D.252 种
答案 C
解析 选出的3 位同学中男女生都要有的反面是全男或全女，故共有选法为C－
C－C＝70 种.
6.已知反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线，其两条渐近线分别为x 轴和y 轴，
两条渐近线的夹角为，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y＝±x，由
此可求得其离心率为.已知函数y＝x＋的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y
＝x 和y 轴，则该双曲线的离心率是( )
A.
B.2
C.
D.
答案 C
解析 如图，
在第一象限内，函数y＝x＋的图象位于直线y＝x 的上方.
直线y＝x 的倾斜角为，y 轴的倾斜角为.
设双曲线y＝x＋两条渐近线的夹角为α，则α＝－＝.
将双曲线y＝x＋绕其对称中心顺时针旋转，所得双曲线的焦点在x 轴上，
则旋转后的双曲线的渐近线较小的倾斜角为.
设旋转后双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，离心率为e，
则＝＝＝tan ＝，
解得e＝.故选C.
7.已知直线l 与椭圆＋＝1 在第二象限交于A，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于点
M，N，若|AM|＝|BN|，则l 的倾斜角是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图，
设点A 更靠近点M，直线l：y＝kx＋b(k>0，b>0)，代入椭圆方程得＋＝1，即x2
＋x＋＝0，则Δ＝－4××>0，得9k2＋3>b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
易得M，∵|AM|＝|BN|，
∴AB 的中点也是MN 的中点，
故＝，解得k＝，
故直线l 的倾斜角为.故选A.
8.平面向量a，b，c 满足|a|＝|b|＝a·b＝2，|a＋b＋c|＝1，则(a＋c)·(b＋c)的最小
值是( )
A.－3
B.3－2
C.4－2
D.－2
答案 B
解析 由题意不妨取a＝(2，0)，b＝(1，)，设c＝(x，y)，则|a＋b＋c|＝＝1，即
(x＋3)2＋(y＋)2＝1，可知点(x，y)是圆心为(－3，－)，半径为1 的圆上一点.
(a＋c)·(b＋c)＝(x＋2)(x＋1)＋y(y＋)＝＋－1，
可知(a＋c)·(b＋c)的意义为点(x，y)到点的距离的平方减去1.
如图，记A(－3，－)，B，
连接AB，则|AB|＝＝，
所以(a＋c)·(b＋c)≥(－1)2－1＝3－2，故选B.
二、多选题(每小题6 分，共18 分)
9.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，
满分100 分，规定：评分不低于80 分的为“高度满意”，评分低于60 分的为
“不满意”.经统计发现甲村的评分X 和乙村的评分Y 都近似服从正态分布，其
中X～N(70，σ)，Y～N(75，σ)，0<σ1<σ2，则( )
A.X 对应的正态曲线比Y 对应的正态曲线更扁平
B.甲村评分的平均分低于乙村评分的平均分
C.甲村的高度满意率与不满意率相等
D.乙的高度满意率比不满意率大
答案 BCD
解析 标准差σ 越大，则数据越分散，曲线越扁平，由0<σ1<σ2知Y 对应的正态
曲线比X 对应的正态曲线更扁平，故A 错误；
甲村评分的平均分为70 分，乙村评分的平均分为75 分，显然B 正确；
∵(80，0)与(60，0)关于直线X＝70 对称，
∴P(X≥80)＝P(Y<60)，故C 正确；
∵(80，0)与(70，0)关于直线Y＝75 对称，
∴P(Y≥80)＝P(Y<70)>P(Y<60)，故D 正确.
10.设M，N，P 为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象上三点，其中A>0，ω>0，|φ|<，已
知M，N 是函数f(x)的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M，N 之间的最
高点，若MP2＋2MN·NP＝0，△MNP 的面积是，M 点的坐标是，则( )
A.A＝
B.ω＝
C.φ＝
D.函数f(x)在M，N 间的图象上存在点Q，使得QM·QN<0
答案 BCD
解析 记f(x)的最小正周期为T.
如图，显然MN＝，MP＝，NP＝，
∴MP2＋2MN·NP＝＋A2－＝0，
∴A2＝，A＝.
∵△MNP 的面积是，
∴××A＝，即AT＝4，
联立得
解得A＝，T＝4，故A 错误；
由T＝4＝，得ω＝，故B 正确；
由M，得sin＝0，
解得φ＝，故C 正确；
易得|MN|＝2，N，P，MN 的中点为，故以MN 为直径的圆在点P 的下方，作出
以MN 为直径的圆，记以MN 为直径的圆与f(x)的图象有交点Q1，Q2，故当点Q
位于f(x)图象上的曲线段MQ1或曲线段Q2N 上时，有∠MQN>，从而f(x)在M，N
间的图象上存在点Q，使得QM·QN<0，故D 正确.
11.在四棱锥P－ABCD 中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD＝CD＝2，四棱锥P
－ABCD 的外接球为球O，则( )
A.AB⊥BC
B.VP－ABCD>2VP－ACD
C.VP－ABCD＝2VO－ABCD
D.点O 不可能在平面PBC 内
答案 AC
解析 如图，∵四棱锥P－ABCD 有外接球，
∴底面ABCD 必四点共面，又AD⊥CD，∴AC 为底面圆的直径，∴AB⊥BC.
故A 正确；
四棱锥P－ABCD 与三棱锥P－ACD 的高相同，都等于PD 的长，四棱锥P－
ABCD 的底面四边形ABCD 的面积等于S△ACD＋S△ABC.设AB＝m，BC＝n，由对A
的分析知m2＋n2＝AC2＝AD2＋DC2＝8，∴8＝m2＋n2≥2mn，当且仅当m＝n＝2
时取等号，∴mn≤4，S△ABC＝mn≤2＝S△ACD，
∴S 四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC≤2S△ACD，
∴VP－ABCD≤2VP－ACD，故B 错误；
设AC 的中点为O1，则O1是四边形ABCD 外接圆的圆心.连接OO1，则OO1⊥平
面ABCD，又PD⊥平面ABCD，∴OO1∥PD.
设PD 的中点为O2，连接OO2，DO1，则四边形OO2DO1 是矩形，从而OO1＝
O2D＝PD，
∴VP－ABCD＝2VO－ABCD，故C 正确；
连接BO1，当四边形ABCD 为正方形时，OO1是△BPD 的中位线，∴O 为PB 中点，
即O 可以在平面PBC 内，故D 错误.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.满足f(xy)＝f(x)＋f(y)的函数f(x)可以为f(x)＝________.(写出一个即可)
答案 ln|x|(答案不唯一)
解析 由f(xy)＝f(x)＋f(y)联想到对数的运算法则，即对数运算将积化为和，故填
对数函数都是正确的.如f(x)＝ln |x|；f(x)＝logax(a>0 且a≠1)；f(x)＝loga|x|(a>0 且
a≠1)；f(x)＝kloga|x|(a>0 且a≠1，k∈R)；等等.
13.tan －＝________.
答案 －2
解析 原式＝－＝＝＝－2.
14.若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋an＋1＋an＋2＝n2(n∈N*)，则a100＝________.
答案 3 268
解析 ∵an＋an＋1＋an＋2＝n2，∴an＋1＋an＋2＋an＋3＝(n＋1)2，二式相减得an＋3－an＝
2n＋1，∴a4－a1＝2×1＋1，a7－a4＝2×4＋1，…，a97－a94＝2×94＋1，a100－a97
＝2×97＋1，累加得a100＝a1＋(2×1＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×94＋1)＋(2×97
＋1)＝2×(1＋4＋…＋94＋97)＋34＝(1＋97)×33＋34＝3 268.
四、解答题(本题共13 分；考查方向：数列)
15.设数列{an}的前n 项和为Sn，an＋Sn＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足anbn＝cos ，求{bn}的前50 项和T50.
解 (1)由an＋Sn＝1，得an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，
两式相减得an－an－1＋an＝0(n≥2)，
即an＝an－1(n≥2)，
当n＝1 时，2a1＝1，
得a1＝≠0，
所以＝(n≥2)，
故{an}是首项为，公比为的等比数列.
故an＝.
(2)由(1)得bn＝2ncos ，
所以T50＝－22＋24－26＋28－…－250
＝
＝－(1＋425).
