2.6 圆的方程
模块一：基础知识.........................................................................3
考点一：圆的定义......................................................................3
考点二：圆的标准方程................................................................ 3
考点三：圆的一般方程................................................................ 4
考点四：点与圆的位置关系.......................................................... 4
考点五：圆上的点到定点的最大、最小距离......................................5
考点六：轨迹与轨迹方程............................................................. 5
模块二：题型分类.........................................................................6
题型一：圆的标准方程................................................................ 6
题型二：圆的一般方程.............................................................. 12
题型三：二元二次曲线与圆的关系................................................16
题型四：圆的一般方程与标准方程转化..........................................18
题型五：点与圆的位置关系........................................................ 19
题型六：圆过定点问题.............................................................. 22
题型七：定点到圆上点的最值（范围）..........................................24
题型八：圆的轨迹问题.............................................................. 28
题型九：圆的对称问题.............................................................. 34
题型十：与圆有关的实际问题......................................................36
模块三：综合巩固....................................................................... 37
2.6 圆的方程
模块一：基础知识
考点一：圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．
如图，在平面直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为( , )
a b ，半径为r ，
( , )
M x y 为圆上任意一点，⊙A
就是集合
P
M MA
r
．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径．
考点二：圆的标准方程
1.圆的标准方程：我们把
2
2
2
x
a
y
b
r 称为圆心为
,
A a b ，半径长为r 的圆的标准方程．
【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：
圆心位置和半径．
（2）圆的标准方程的右端
2
0
r
，当方程右端小于或等于0 时，对应方程不是圆的标准方程．
2.圆的标准方程的推导过程
（1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为A 是定点，设
,
A a b ，
半径为r ，且设圆上任意一点M 的坐标为( , )
x y ．
（2）写点集：根据定义，圆就是集合
P
M MA
r
．
（3）列方程：由两点间的距离公式得
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
．
（4）化简方程：将上式两边平方得
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
．
3.几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程的标准形式
圆心在原点
2
2
2
0
r
x
y
r
圆过原点
2
2
2
2
2
2
0
x
a
y
b
a
b
a
b
圆心在x 轴
2
2
2
0
x
a
y
r
r
圆心在y 轴
2
2
2
0
x
y
b
r
r
圆心在x 轴上且过原点
2
2
2
0
x
a
y
a
a
圆心在y 轴上且过原点
2
2
2
0
x
y
b
b
b
圆与x 轴相切
2
2
2
0
y
b
b
b
x
a
圆与y 轴相切
2
2
2
0
y
b
a
a
x
a
圆与两坐标轴都相切
2
2
2
0
y
b
a
a
b
x
a
考点三：圆的一般方程
1.圆的一般方程：当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
叫做圆的一般方程．
其中
,
2
2
D
E
为圆心，
2
2
1
4
2
D
E
F
为半径．
2.圆的一般方程的形式特点
（1）
2
2
,
x
y 项的系数相同且不等于0（
2x 和
2y 的系数如果是不为1 的非零常数，只需在方程两边同时除
以这个常数即可）；
（2）不含xy 项；
（3）
2
2
4
0
D
E
F
．
3.一般方程与标准方程关系：
对方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
的左边配方，并将常数移项到右边，得
2
2
2
2
4
2
2
4
D
E
D
E
F
x
y
，根据圆的标准方程可知：
（1）当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程只有实数解
,
2
2
D
E
x
y
.它表示一个点
,
2
2
D
E
．
（2）当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当
2
2
4
0
D
E
F
时，可以看出方程表示以
,
2
2
D
E
为圆心，
2
2
1
4
2 D
E
F
为半径的圆．
考点四：点与圆的位置关系
1.几何法：点
0
0
,
M x
y
，圆心
,
A a b ，圆的半径r ，设M 与点A 间的距离MA
d
，
d
r
点M 在圆A 外；
d
r
点M 在圆A 内；
d
r
点M 在圆A 上．
2.代数法：将点
0
0
,
M x
y
直接代入圆的标准方程
2
2
2
x
a
y
b
r 进行判断，即
若点
0
0
,
M x
y
在圆外，则
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r ；
若点
0
0
,
M x
y
在圆内，则
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r
；
若点
0
0
,
M x
y
在圆上，则
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r
．
3.圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点
0
0
,
M x
y
，和圆的一般方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
（
2
2
4
0
D
E
F
）则
位置关系
代数关系
点M 在圆A 上
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
点M 在圆A 内
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
点M 在圆A 外
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
考点五：圆上的点到定点的最大、最小距离
设圆心A 到定点C 的距离为d ，圆的半径为r ，圆上的动点为点P ．
（1）若点C 在圆外时，
max
PC
d
r
，
min
PC
d
r
；
（2）若点C 在圆上时，
max
2
PC
r
，
min
0
PC
；
（2）若点C 在圆内时，
max
PC
d
r
，
min
PC
r
d
．
综上：
max
PC
d
r
，
min
PC
d
r
．
考点六：轨迹与轨迹方程
1.轨迹方程和轨迹的定义
已知平面上一动点
( , )
M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标( , )
x y 满足的关系式。轨迹是指点在运动
变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.
2.“轨迹”与“轨迹方程”有区别：
（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；
（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．
3.坐标法求轨迹方程的步骤
（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；
（2）设点：用( , )
x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；
（3）列式：列出关于.x y 的方程；
（4）化简：把方程化为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
模块二：题型分类
题型一：圆的标准方程
1.已知圆的圆心在( 3,4)
，半径为5，则它的方程为（
）
A．
2
2
3
4
5
x
y
B．
2
2
3
4
25
x
y
C．
2
2
(
3)
(
4)
25
x
y
D．
2
2
3
4
5
x
y
【答案】C
【解析】因为圆心为( 3,4)
，半径为5，所以圆的标准方程为
2
2
(
3)
(
4)
25
x
y
，故选：C
2.以
1
2
，
为圆心，
2 为半径的圆的方程是（
）
A．
2
2
1
2
2
x
y
+
B．
2
2
1
2
2
x
y
C．
2
2
1
2
2
x
y
D．
2
2
1
2
2
x
y
【答案】A
【分析】根据圆的标准方程写出答案
【详解】根据圆的标准方程可写出
2
2
1
2
2
x
y
+
，
故选：A.
3.圆心在y 轴上，半径为2 ，且过点
2,4 的圆的方程为（
）．
A．
2
2
1
1
x
y
B．
2
2
2
4
x
y
C．
2
2
2
4
4
x
y
D．
2
2
4
4
x
y
【答案】D
【分析】设圆心为
0,b ，则圆的方程为
2
2
4
x
y
b
，再根据圆过点
2,4 ，求出b 的值，即可得解.
【详解】依题意设圆心为
0,b ，则圆的方程为
2
2
4
x
y
b
，
又
2
2
2
4
4
b
，解得
4
b
，所以圆的方程为
2
2
4
4
x
y
.
故选：D
4.已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为
4,1
，
2,3 ，则圆C 的方程是
.
【答案】
2
2
1
2
10
x
y
【解析】根据题意，
4
2
1
3
1,
2
2
2
C
C
x
y
，即圆心坐标为
1,2
；
则圆C 的半径
2
2
1 2
2
3
10
r
，
故所求圆的方程为：
2
2
1
2
10
x
y
.
故答案为：
2
2
1
2
10
x
y
.
5.在平面直角坐标系xOy 中，已知
1 0,2
P
、
2 4,4
P
两点，若圆M 以
1
2
PP 为直径，则圆M 的标准方程为（
）
A．
2
2
2
3
5
x
y
B．
2
2
2
3
5
x
y
C．
2
2
1
4
5
x
y
D．
2
2
1
4
5
x
y
【答案】A
【解析】由题意可知，圆心M 的横坐标为0
4
2
2
，纵坐标为2
4
3
2
，即点
2,3
M
，
圆M 的半径为
2
2
1
2
0
3
2
5
MP
，
因此，圆M 的标准方程为
2
2
2
3
5
x
y
.
故选：A.
6.已知圆M 过点
0,0 ,
2,0 ,
2, 2
O
A
B
，则圆M 的标准方程是（
）
A．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
B．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
C．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
D．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
【答案】A
【分析】由题意可得圆心
1, 1
M
，半径
2
r
，即可得圆M 的标准方程.
【详解】由
0,0 ,
2,0
O
A
在圆M 上，故圆心在直线
1
x 上，
由
2,0 ,
2, 2
A
B
在圆M 上，故圆心在直线
1
y 上，
即圆心
1, 1
M
，半径
2
2
1
1
2
r
，
故方程为
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
.
故选：A.
7.已知
0,5 ,
0,1 ,
3,4
A
B
C
，则ABC
外接圆的半径为（
）
A．5
B．2
C．10
D．5
【答案】A
【分析】求AB 和BC 的垂直平分线方程，然后解方程组可得圆心，然后可解.
【详解】依题意可得，线段AB 的垂直平分线方程为
3
y ，
又BC 的中点为3 5
,
2 2
，直线BC 的斜率
4 1
1
3
0
BC
k
，
所以线段BC 的垂直平分线斜率为
1
k ，得方程为
5
3
2
2
y
x
，即
4
0
x
y
，
解方程组
3
4
0
y
x
y
得
1
3
x
y
，即圆心坐标为
1,3 ，
所以半径
2
2
1 0
3 1
5
r
．
故选：A
8.已知
4,0
A
，
1, 3
B
，圆M 经过A，B 两点，且圆的周长被x 轴平分，则圆M 的标准方程为（
）
A．
2
2
5
3
3
2
2
x
y
B．
2
2
2
4
x
y
C．
2
2
4
x
y
D．
2
2
1
4
x
y
【答案】B
【分析】求出线段AB 的中垂线，求得与x 轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程.
【详解】由题意，
0
3
3
4 1
3
AB
k
，AB 中点为5
3
,
2
2
，
所以线段AB 的中垂线为
3
5
3
2
2
y
x
，令
0
y
得
2
x
，
所以
2,0
M
，半径
2
r
，所以圆M 的标准方程为
2
2
2
4
x
y
．
故选：B.
9.已知圆C 的圆心在直线2x－y－7＝0 上，且圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的标准
方程为（
）
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
【答案】B
【解析】设圆心
( ,2
7)
C a
a
，因为|
| |
|
AC
BC
r
，所以
2
2
2
2
(2
3)
(2
5)
a
a
a
a
，
解得
2
a
，则半径为
2
2
2
1
5
r
，圆心
(2, 3)
C
.
即圆C 的标准方程为
2
2
(
2)
(
3)
5
x
y
.
故选：B
10.求经过点( 2,0),( 2,2)
且圆心在直线:
0
l x
y
上的圆的标准方程为
.
【答案】
2
2
1
1
2
x
y
【解析】若经过点
2,0
，
2,2
，则圆心在直线
1
y 上，
又在直线l：
0
x
y
上，令
1
y ，则= 1
x ，
故圆心坐标为
1,1
，半径为
2
2
1 2
1 0
2
r
，
故所求圆的标准方程为
2
2
1
1
2
x
y
.
故答案为：
2
2
1
1
2
x
y
.
11.若圆C 经过点
(2,5)
A
，
(4,3)
B
，且圆心在直线
7
: 2
0
x
y
l
上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
(
3)
(
6)
2
x
y
B．
2
2
(
2)
(
3)
4
x
y
C．
2
2
(
2)
(
3)
8
x
y
D．
2
2
(
3)
(
6)
10
x
y
【答案】B
【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得.
【详解】设该圆方程为
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
，
则圆心为
,a b ，有2
7
0
a
b
，
将点
(2,5)
A
，
(4,3)
B
代入，
有
2
2
2
2
2
2
2
5
2
7
4
3
2
7
a
a
r
a
a
r
，化简得
2
2
2
2
5
12
8
5
24
32
a
a
r
a
a
r
，
两式相减得12
24
0
a
，即有
2
a
，则
7
2
3
b
a
，
2
2
5
12
8
4
r
a
a
，
故该圆方程为
2
2
(
2)
(
3)
4
x
y
.
故选：B.
12.设圆C 的圆心M 在y 轴上，且圆C 与x 轴相切于原点O，若
4
OM
，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
(
4)
4
x
y
B．
2
2
(
4)
16
x
y
C．
2
2
(
4)
16
x
y
D．
2
2
(
4)
16
x
y
或
2
2
(
4)
16
x
y
【答案】D
【解析】因为圆C 的圆心M 在y 轴上，且圆C 与x 轴相切于原点O，
4
OM
，
所以圆心坐标为(0, 4)
，半径
4
r
，
所以圆C 的方程为
2
2
(
4)
16
x
y
，
故选：D.
13.关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于5 的奇数都是三个素数之和，如7
2
2
3
，17
3
7
7
.若从2,3,7
中任取2 个不同的素数,a b 组成点
,
a b ，其中a
b
，且组成的所有点都在圆E 上，则圆E 的标准方程为（
）
A．
2
2
5
2
4
2
x
y
B．
2
2
5
2
16
2
x
y
C．
2
2
5
5
17
2
x
y
D．
2
2
5
17
5
2
4
x
y
【答案】D
【解析】由题意知：
,
a b 所有可能的结果为：
2,3
A
，
2,7
B
，
3,7
C
，
= 0,4
AB
，
1,0
BC
，
=0
AB BC
，则AB
BC
，
圆E 的圆心为AC 中点
5 ,5
2
E
，半径
2
2
1
1
17
=
=
3
2
+ 7
3
=
2
2
2
r
AC
，
圆E 的标准方程为：
2
2
5
17
+
5
=
2
4
x
y
.
故选：D.
14.已知圆C 的圆心为
,t t
，且圆C 与y 轴的交点分别为
0,4 ,
0, 2
A
B
，则圆C 的标准方程
为（
）
A．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
B．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
C．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
D．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
【答案】B
【解析】因为圆C 与y 轴的交点分别为
0,4 ,
0, 2
A
B
，所以圆心在直线
1
y 上，即有
1
t ，圆心
1,1
C
，
1
9
10
r
AC
，所以圆C 的标准方程为
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
．
故选：B．
15.已知圆C 的圆心在直线y
x
上，且与y 轴相切于点
0,5 ，则圆C 的标准方程是（
）
A．
2
2
5
5
25
x
y
B．
2
2
5
5
25
x
y
C．
2
2
5
5
5
x
y
D．
2
2
5
5
5
x
y
【答案】B
【解析】设圆心C 的坐标为
,a a ，由于圆C 与y 轴相切于点
0,5
A
，则AC
y
轴，可得
5
a
，
所以，圆心C 的坐标为
5,5 ，则圆C 的半径为
5
AC
，
因此，圆C 的标准方程为
2
2
5
5
25
x
y
.
故选：B.
16.已知圆C 的圆心C 在直线y
x
上，且与x 轴正半轴相切，点C 与坐标原点O的距离为
2 ，则圆C 的标
准方程为（
）
A．
2
2
1
1
1
x
y
B．
2
2
1
1
2
x
y
C．
2
2
1
1
1
x
y
D．
2
2
1
1
2
x
y
【答案】C
【解析】由已知设圆心
,
C a a ，半径r，再根据已知得
2
2
2
CO
a
a
，从而求出圆心和半径，进而
得到圆的标准方程.因为圆心C 在y
x
上，设圆心
,
C a a ，半径r
又点C 与坐标原点O的距离为
2 ，
2
2
2
CO
a
a
，解得：
1
a
又圆C 与x 轴正半轴相切，可知：
1
a ，
1
r
所以圆C 的标准方程为
2
2
1
1
1
x
y
.
故选：C.
17.已知半径为3 的圆C 的圆心与点
2,1
P
关于直线
1
0
x
y
对称，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
(
1)
(
1)
9
x
y
B．
2
2
(
1)
(
1)
81
x
y
C．
2
2
(
1)
9
x
y
D．
2
2
9
x
y
【答案】C
【解析】设圆心坐标
,
C a b ，由圆心C 与点P 关于直线
1
y
x
对称，
得到直线CP 与
1
y
x
垂直，
结合
1
y
x
的斜率为1，得直线CP 的斜率为1
，
所以1
1
2
b
a
，化简得
1
0
a
b
①
再由CP 的中点在直线
1
y
x
上，1
2 1
2
2
b
a
，化简得
1
0
a
b
②
联立①②，可得
0,
1
a
b
，
所以圆心C 的坐标为
0, 1
，
所以半径为3 的圆C 的标准方程为
2
2
(
1)
9
x
y
.
故选：C
题型二：圆的一般方程
1.已知
0,2
A
，
10
B ,
，
3,0
C
，则过A，B，C 三点圆的一般方程
．
【答案】
2
2
4
7
3
0
2
x
y
x
y
【解析】设圆的一般方程为
2
2+
0
x
y
Dx
Ey
F
，
由题意得
4
2
0
1
+
0
9+3
0
E
F
D F
D
F
，
解得
4
D ，
7
2
E
，
3
F
．
圆的一般方程是
2
2
4
7
3
0
2
x
y
x
y
．
故答案为：
2
2
4
7
3
0
2
x
y
x
y
．
2.过三点(0,0),(4,0),(4,2)的圆的方程为
．
【答案】
2
2
4
2
0
x
y
x
y
(或者写成
2
2
2
1
5
x
y
)
【分析】待定系数法求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
将(0,0),(4,0),(4,2)代入得，
0
16
4
0
16
4
4
2
0
F
D
F
D
E
F
，解得
4
2
0
D
E
F
，
故圆的方程为
2
2
4
2
0
x
y
x
y
.
故答案为：
2
2
4
2
0
x
y
x
y
3.已知点
0,5
A
，
1, 2
B
，
3, 4
C
，
2,
D
a 四点共圆，则
a
.
【答案】1
【分析】设出圆的一般方程，带入A ，B ，C 坐标，求出圆的方程，再带入点
2,
D
a 求出答案.
【详解】设过A ，B ，C 的圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
2
2
4
0
D
E
F
，
则
25
5
0
5
2
0
25
3
4
0
E
F
D
E
F
D
E
F
，
解得
6
2
15
D
E
F
，
所以过A ，B ，C 的圆的方程为
2
2
6
2
15
0
x
y
x
y
，
又点D 在此圆上，
所以
2
4
12
2
15
0
a
a
，
即
2
2
1
0
a
a
，
所以
1
a ，
故答案为：1
4.在平面直角坐标系中，过
2,4 ,
2,6 ,
1, 3 ,
2, 4
A
B
C
D
四点的圆的方程为
.
【答案】
2
2
4
2
20
0
x
y
x
y
【解析】设圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
将点
,
,
A C D 的坐标分别代入可得，
20
2
4
0
10
3
0
20
2
4
0
D
E
F
D
E
F
D
E
F
，解得
4
2
20
D
E
F
则可得圆的方程为
2
2
4
2
20
0
x
y
x
y
故答案为:
2
2
4
2
20
0
x
y
x
y
5.已知圆C 经过点
1,1
和点
1,3
B
，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
2
2
x
y
B．
2
2
2
10
x
y
C．
2
2
2
2
x
y
D．
2
2
2
10
x
y
【答案】C
【解析】设圆C 的方程为
2
2
+ =0
x
y
Dx
Ey F
，则圆心
,
2
2
D
E
，
则有
1 1
0
0
2
1 9
3
0
D
E
F
D
D
E
F
，解之得
0
4
2
D
E
F
,
则有圆C 的方程为
2
2
4 +2=0
x
y
y
，即
2
2
2
2
x
y
故选：C
6.过直线2
1
0
x
y
和圆
2
2
2
15
0
x
y
x
的交点且过原点的圆的方程是
．
【答案】
2
2
28
15
0
x
y
x
y
【分析】
先将所求圆的方程设为
2
2
2
15
(2
1)
0
x
y
x
x
y
，再根据所求圆过原点，将
0,0 代入方程解出，即
可得到圆的方程.
【详解】设所求圆的方程为
2
2
2
15
(2
1)
0
x
y
x
x
y
，
因为过直线2
1
0
x
y
和圆
2
2
2
15
0
x
y
x
的交点的圆过原点，
所以可得15
0
，解得
15
，
将
15
代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：
2
2
28
15
0
x
y
x
y
．
故答案为：
2
2
28
15
0
x
y
x
y
.
7.经过点
1,1
P
以及圆
2
2
4
0
x
y
与
2
2
4
4
12
0
x
y
x
y
交点的圆的方程为
．
【答案】
2
2
2
0
x
y
x
y
【解析】联立
2
2
2
2
4
0
4
4
12
0
x
y
x
y
x
y
，整理得
2
y
x
，
代入
2
2
4
0
x
y
，得
2
2
0
x
x
，解得
0
x
或
2
x ，
则圆
2
2
4
0
x
y
与
2
2
4
4
12
0
x
y
x
y
交点坐标为(0,2),( 2,0)
，
设经过点
1,1
P
以及(0,2),( 2,0)
的圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
,
则
2
0
4
2
0
4
2
0
D
E
F
E
F
D
F
，解得
1
1
2
D
E
F
，
故经过点
1,1
P
以及圆
2
2
4
0
x
y
与
2
2
4
4
12
0
x
y
x
y
交点的圆的方程为
2
2
2
0
x
y
x
y
，
故答案为：
2
2
2
0
x
y
x
y
8.已知在ABC
中，AB 边所在直线的方程为
3
6
0
x
y
，AC 边所在直线的方程为
2
0
x
y
，AC 边上
的中线所在直线的方程为
2
0
x
y
．
(1)求C 点的坐标；
(2)求ABC
的外接圆方程．
【答案】(1)
4,2 ；(2)
2
2
3
10
0
x
y
x
y
．
【解析】（1）由
3
6
0
2
0
x
y
x
y
，得
0
2
x
y
，
所以A 点的坐标为
0, 2
，
由
2
0
2
0
x
y
x
y
，得
2
0
x
y
，即边AC 的中点为
2,0
M
，
所以C 与A 关于点M 对称，
设
0
0
,
C x
y
，则
0
0
0
2
2
2
0
2
x
y
，得
0
0
4
2
x
y
，所以C 点的坐标为
4,2 ．
（2）由
3
6
0
2
0
x
y
x
y
，得
3
1
x
y
，故B 点的坐标为
3, 1
，
设ABC
的外接圆方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，且
2
2
4
0
D
E
F
，
则
10
3
0
4
2
0
20
4
2
0
D
E
F
E
F
D
E
F
，得
1
3
10
D
E
F
，
则所求圆的方程为
2
2
3
10
0
x
y
x
y
．
题型三：二元二次曲线与圆的关系
1.若方程
2
2
2
1
0
R
x
y
mx
y
m
表示半径为1 的圆，则m （
）
A．1
B．2
C．1
或1
D．2
或2
【答案】D
【分析】利用题给条件列出关于m 的方程，解之即可求得m 的值.
【详解】由方程
2
2
2
1
0
R
x
y
mx
y
m
表示半径为1 的圆，
可得
2
2
1
2
4 1
1
2
m
，解之得
2
m ，
故选：D
2.若方程
2
2
0
x
y
x
y
m
表示圆，则实数m 的取值范围是
.
【答案】
1
, 2
【解析】由题可知：
2
2
1
1
1
4
0
2
m
m
所以
1
2
m
,
故答案为：
1
, 2
3.已知直线l ：
2
1
0
x
y
经过圆C ：
2
2
2
3
0
x
y
Dx
y
的圆心，则D =（
）
A．6
B．2
C．2
D．6
【答案】A
【分析】由圆的普通方程找出圆心代入直线方程中即可.
【详解】因为圆C ：
2
2
2
3
0
x
y
Dx
y
的为：
,1
2
D
，
直线l ：
2
1
0
x
y
经过圆心，
所以有
2 1 1
0
6
2
D
D
，
此时圆的方程为
2
2
6
2
3
0
x
y
x
y
，
2
2
6
2
12
52
0
，符合题意，
故选：A.
4.曲线
2
2
2
6
0
x
y
x
y
所围成平面区域的面积为
．
【答案】10π
【解析】由
2
2
2
6
0
x
y
x
y
得
2
2
(
1)
(
3)
10
x
y
，
则曲线表示的是以(1,3)为圆心，10 为半径的圆，
所以曲线所围成平面区域的面积为：
2
π
10
10π
，
故答案为：10π ．
5.若
3
2, 1,0,
,1
4
a
，则方程
2
2
2
2
2
1
0
x
y
ax
ay
a
a
表示的圆的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】若方程
2
2
2
2
2
1
0
x
y
ax
ay
a
a
表示圆，
则
2
2
2
2
2
4 2
1
3
4
4
0
3
2
2
0
a
a
a
a
a
a
a
a
，解得
2
2
3
a
，
又
3
2, 1,0,
,1
4
a
，所以
1
a 或
0
a
，
即程
2
2
2
2
2
1
0
x
y
ax
ay
a
a
表示的圆的个数为2 .故选：B
6.方程
2
2
4
2
5
0
x
y
mx
y
m
表示圆的充要条件是（
）
A．1
1
4
m
B．
1
m
C．
1
4
m
D．
1
4
m
或
1
m
【答案】D
【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为
2
4
0
D
E
F
，代入运算求解即可.
【详解】由题意可得：
2
4
4
20
0
m
m
，解得
1
4
m
或
1
m
，
所以方程
2
2
4
2
5
0
x
y
mx
y
m
表示圆的充要条件是
1
4
m
或
1
m
.
故选：D.
7.若
2
2
2
2
2
0
x
m
m y
mx
m
表示圆，则实数m 的值为
.
【答案】2
【解析】因为
2
2
2
2
2
0
x
m
m y
mx
m
表示圆，所以
2
2
m
m
，
解得
1
m 或
2
m ，
当
1
m 时方程
2
2
2
2
2
1
0
x
y
x
，即
2
2
1
1
2
4
x
y
，不表示任何图形，故舍去；
当
2
m 时方程
2
2
2
2
4
2
0
x
y
x
，即
2
2
1
2
x
y
，表示以
1,0 为圆心，
2 为半径的圆，符合题
意；
故答案为：2
8.若方程
2
2
5
3
0
2
x
y
kx
y
k
表示圆，则k 的取值范围是
．
【答案】
,1
9,
【解析】由方程
2
2
5
3
0
2
x
y
kx
y
k
表示圆，则满足
2
2
5
3
4
0
2
k
k
，
整理得
2
10
9
0
k
k
，解得
1
k 或
9
k
，
即实数k 的取值范围是
,1
9,
.
故答案为：
,1
9,
.
9.已知关于x，y 的二元二次方程
2
2
2
4
2
3
2 1 4
16
9
0
x
y
t
x
t
y
t
，当t 为
时，方程表
示的圆的半径最大．
【答案】3
7
【解析】
2
2
2
4
2
3
2 1 4
16
9
0
x
y
t
x
t
y
t
即
2
2
2
2
2
2
2
4
3
1
4
3
1
4
16
9
7
6
1
x
t
y
t
t
t
t
t
t
，
2
7
6
1
0
t
t
，解得
1
1
7
t
，
设圆的半径为r，则
2
2
2
3
16
7
6
1
7
7
7
t
t
t
r
，
所以当
3
1,1
7
7
t
时，
2
max
16
7
r
，所以max
4 7
7
r
．
故答案为：3
7 ．
题型四：圆的一般方程与标准方程转化
1.圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
的圆心和半径分别为（
）
A．
1,2 ,3
B．
1,2 ,3
C．
1, 2 ,2
D．
1, 2 ,3
【答案】D
【分析】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可.
【详解】由
2
2
2
2
2
4
4
0
1
2
9
x
y
x
y
x
y
，所以圆心和半径分别为
1, 2 ,3
.
故选：D
2.圆
2
2
:
8
2
8
0
C x
y
x
y
的面积为
．
【答案】9π
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的半径，由此可得圆的面积.
【详解】圆的方程可化为
2
2
4
1
9
x
y
，所以圆的半径
9
3
r
，则圆的面积为
2
π
9π
r
.
故答案为：9π .
3.已知圆
2
2
2
4
0
x
y
x
ay
的半径为3，则a 的值为
.
【答案】4
【分析】首先将圆的一般方程，写成标准方程，再利用半径为3，即可求解.
【详解】圆的一般方程写成标准方程为
2
2
2
1
5
2
4
a
a
x
y
，
由圆的半径为3可知，
2
5
9
4
a
，得
4
a .
故答案为：4
4.已知圆C 的方程为
2
2
2
2
2 3
3
0
x
y
ax
ay
a
，则圆C 的半径为
.
【答案】a
【分析】将一般式转化为标准式即可求解半径.
【详解】由
2
2
2
2
2 3
3
0
x
y
ax
ay
a
可得
2
2
2
3
x
a
y
a
a
，
所以半径为a ，
故答案为：a
题型五：点与圆的位置关系
1．已知圆C 的方程为
2
2
(
1)
(
3)
12
x
y
，则点
(1,6)
A
在（
）
A．圆内
B．圆上
C．圆外
D．不确定
【答案】C
【分析】根据该点到圆心的距离与圆的半径进行比较即可.
【详解】圆心为
1,3
，半径为12
2 3
，
因为
2
2
(1 1)
(6
3)
13
2 3
，
所以
(1,6)
A
在圆外，
故选：C
2.（多选）已知
1 4,9
P
，
2 6,3
P
两点，以线段
1
2
PP 为直径的圆为圆P，则（
）
A．
6,9
M
在圆P 上
B．
3,3
N
在圆P 内
C．
5,3
Q
在圆P 内
D．
2,7
R
在圆P 外
【答案】AC
【解析】以线段
1
2
PP 为直径的圆的圆心坐标为
5,6
P
，半径
1
10
r
PP
，
易知
10
MP
r
，
13
NP
r
，
3
QP
r
，
10
RP
r
，
所以M
R
、
点在圆P 上，点N 在圆P 外，点Q 在圆P 内．故选：AC．
3.点
( ,3)
P m
与圆
2
2
2
1
2
x
y
的位置关系为（
）
A．点在圆外
B．点在圆内
C．点在圆上
D．与m 的值无关
【答案】A
【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果.
【详解】
2
2
2
2
3 1
2
4
2
m
m
，
,3
P m
在圆
2
2
2
1
2
x
y
外，
故选：A.
4.点
( ,10)
P a
与圆
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
的位置关系是（
）
A．在圆外
B．在圆上
C．在圆内
D．与a 的值有关
【答案】A
【解析】圆
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
的圆心
(1,1)
C
，半径
2
r
，
因为
2
2
2
(
1)
(10 1)
(
1)
81
2
PC
a
a
，
所以点
( ,10)
P a
在圆外，
故选：A
5.若点
2,1
A
在圆
2
2
2
2
5
0
x
y
mx
y
（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（
）
A．
,2
B．
2,
C．
, 2
D．
2,
【答案】C
【分析】由点A 在圆外代入圆的方程可得
2
m
，再由圆的一般方程中
2
2
4
0
D
E
F
可得
2
m ，最后
求交集即可.
【详解】由题意知
2
2
2
1
4
2
5
0
m
，
故
2
m
，
又由圆的一般方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
可得
2
2
4
0
D
E
F
，即
2
2
( 2 )
( 2)
4 5
0
m
，
即
2
m 或
2
m
，
所以实数m 的范围为
2
m .
故选：C.
6.对于圆C ：
2
2
4
1
0
x
y
x
，下列说法正确的为（
）
A．点
1, 1
A
圆C 的内部
B．圆C 的圆心为
2,0
C．圆C 的半径为3
D．圆C 与直线
3
y 相切
【答案】A
【解析】对于A，将点
1, 1
A
代入圆C 中，得
2
21
1
4 1 1
1
0
，所以点
1, 1
A
圆C 的内部，
故A 正确；
对于B，C，由
2
2
4
1
0
x
y
x
，得
2
2
2
3
x
y
，所以圆C 的圆心为
2,0 ，半径为
3
r
，故B，
C 错误；
对于D，由圆心
2,0
C
到直线
3
y 的距离为
3
0
3
d
，所以3
3
，即d
r
> ，所以圆C 与直线
3
y 相
离，故D 错误.
故选：A.
7.若点
,3
A a
在圆
2
2
:
1
5
C x
y
外，则实数a 的取值范围是（
）
A．
, 1
B．
,1
C．
, 1
1,
D．
1,1
【答案】C
【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆
2
2
:
1
5
C x
y
的圆心
0,1
C
，半径
5
r
，
若点
,3
A a
在圆C 外，则
2
2
2
0
3 1
4
5
AC
a
a
，
解得
1
a 或
1
a ，所以实数a 的取值范围是
, 1
1,
.
故选：C.
8.若点
1,
1
a
a
在圆
2
2
2
4
0
x
y
ay
的内部，则a 的取值范围是（
）.
A．
1
a
B．0
1
a
C．
1
1
5
a
D．
1
a
【答案】D
【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.
【详解】由题可知，半径
2
4
r
a
=
+
，所以a R ，把点
1,
1
a
a
代入方程，
则
2
2
1
1
2
1
4
0
a
a
a a
，解得
1
a
，所以故a 的取值范围是
1
a
.
故选：D
9.已知点
1, 2
P
在圆C：
2
2
2
4
1
0
x
y
kx
y
k
的外部，则k 的取值范围是（
）
A．2
1
k
B．1
2
k
C．
2
k
D．2< <2
k
【答案】B
【解析】由
2
2
2
4
1
0
x
y
kx
y
k
，得
2
2
2
3
2
3
2
4
k
x
y
k
，
则
2
3
3
0
4 k
，解得：2< <2
k
①，
又∵点
1, 2
P
在圆C 的外部，
∴
2
1
4
8
1
0
k
k
，即
2
2
0
k
k
，解得
2
k 或
1
k ②，
由①②得1
2
k
，
故选：B．
题型六：圆过定点问题
1.圆
2
2
:
2
5
0
C x
y
ax
ay
恒过的定点为（
）
A．
2,1 , 2, 1
B．
1, 2 , 2,1
C．
1, 2 , 1,2
D．
2, 1 , 2,1
【答案】D
【解析】圆
2
2
:
2
5
0
C x
y
ax
ay
的方程化为
2
2
2
5
0
a x
y
x
y
，
由
2
2
2
0
5
0
x
y
x
y
得
2
1
x
y
或
2
1
x
y
，
故圆C 恒过定点
2, 1 , 2,1
．故选：D．
2.对任意实数m ，圆
2
2
2
4
6
2
0
x
y
mx
my
m
恒过定点，则其坐标为
.
【答案】
1,1 、1 7
,
5 5
【解析】由
2
2
2
4
6
2
0
x
y
mx
my
m
由得
2
2
2
2
3
2
0
m x
y
x
y
，故
2
2
2
3
0
2
0
x
y
x
y
，解得
1
1
x
y
或
1
5
7
5
x
y
.
故填：
1,1 、1 7
,
5 5
.
3.圆
2
2
2
0
x
y
mx
y
m
恒过的定点是
.
【答案】
1,1
【解析】圆方程化为
2
2
1
2
0
m x
x
y
y
，
由
2
2
1
0,
2
0,
x
x
y
y
解得
1,
1.
x
y
故圆恒过
1,1 点.
故答案为：
1,1
4.对任意实数m ，圆
2
2
3
6
9
2
0
x
y
mx
my
m
恒过定点，则定点坐标为
．
【答案】
1,1 或1 7
,
5 5
【解析】
2
2
3
6
9
2
0
x
y
mx
my
m
，即
2
2
2
(3
6
9)
0
x
y
x
y
m
，
令
2
2
2
0
3
6
9
0
x
y
x
y
，解得
1
x ，
1
y ，或
1
5
x
，
7
5
y
，
所以定点的坐标是
1,1 或1 7
,
5 5
．
故答案为：
1,1 或1 7
,
5 5
.
5.点
,
P x y 是直线2
5
0
x
y
上任意一点，O是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（
）
A．
0,0 和
1,1
B．
0,0 和
2,2
C．
0,0 和
1,2
D．
0,0 和
2,1
【答案】D
【解析】设点
,5
2
P t
t
，则线段OP 的中点为
5
2
,
2
2
t
t
M
，
圆M 的半径为
2
2
2
5
2
5
20
25
4
2
t
t
t
t
OM
，
所以，以OP 为直径为圆的方程为
2
2
2
5
2
5
20
25
2
2
4
t
t
t
t
x
y
，
即
2
2
2
5
0
x
y
tx
t
y
，即
2
2
5
2
0
x
y
y
t
y
x
，
由
2
2
2
0
5
0
y
x
x
y
y
，解得
0
0
x
y
或
2
1
x
y
，
因此，以OP 为直径的圆经过定点坐标为
0,0 、
2,1 .故选：D.
6.已知方程
2
2
2
2(
2)
2
0
x
y
ax
a
y
表示圆，其中a R ，且a≠1，则不论a 取不为1 的任何实数，上
述圆恒过的定点的坐标是
.
【答案】11
（，）
【解析】由已知得
2
2
4
2
2 (
)
0
x
y
y
a y
x
，它表示过圆
2
2
4
2
0
x
y
y
与直线
0
y
x
交点的圆.
由
2
2
4
2
0
0
x
y
y
y
x
，解得
1,
1,
x
y
即定点坐标为11
（，）.
故答案为11
（，）
题型七：定点到圆上点的最值（范围）
1.已知半径为2 的圆经过点
3,4 ，则其圆心到原点的距离的最大值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【解析】设圆心到原点的距离为d ，则
2
2
max
3
0
4
0
2
7
d
，故选：D
2.若点
,
P x y 是圆C :
2
2
8
6
16
0
x
y
x
y
上一点,则
2
2
x
y
的最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.
【详解】圆C :
2
2
8
6
16
0
x
y
x
y
可化为
2
2
4
3
9.
x
y
2
2
x
y
表示点
,
P x y 到点
0,0
O
的距离的平方,
因为
2
2
4
3
5
CO
，
所以
2
2
x
y
的最小值为
2
(5
4
3)
.
故选：B.
3.已知圆C 的半径为1，以点(3, )
b 为圆心，若圆C 上的点到原点的距离的最大值为7，则实数b 的值是（
）
A．3 3
B．2 10
C．5
D．4
【答案】A
【分析】设P 为圆上的点，则
1
OP
OC
，从而求出OC 的最大值，进而确定b 的值.
【详解】设P 为圆上的点，则
1
7
OP
OC
6
OC
.
因为
2
2
3
36
b
2
27
b
3 3
b
.
故选：A
4.直线:
2
2
0(
R)
l kx
y
k
k
过定点Q，若P 为圆
2
2
:(
2)
(
3)
4
C
x
y
上任意一点，则|
|
PQ 的最大值为
（
）
A．1
B．3
C．4
D．2
【答案】B
【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点
2,2
Q
与圆
2
2
:(
2)
(
3)
4
C
x
y
的圆心之间的
距离加半径求解
【详解】由:
2
2
0(
R)
l kx
y
k
k
，得
2
2
y
k x
，
所以直线过定点
2,2
Q
，
由
2
2
:(
2)
(
3)
4
C
x
y
，知圆心坐标
2,3 ，半径为2，
所以Q 到圆心的距离为
2
2
2
2
2
3
1
2
d
，则Q 在圆内，
则|
|
PQ 的最大值为
2
3
d
，
故选：B
5.若实数x
y
，满足
2
2
1
x
y
，则
2
2
3
4
x
y
的最大值是（
）
A．5
B．6
C．25
D．36
【答案】D
【解析】因为
2
2
1
x
y
表示圆心为
0,0 ，半径为1的圆，
则
2
2
3
4
x
y
表示圆上的点到点
3,4 的距离的平方，
所以
2
2
3
4
x
y
的最大值为
2
2
2
3
0
4
0
1
36
.故选：D
6.已知P 为圆
2
2
(
3)
(
4)
4
x
y
上一点，Q 为圆
2
2
1
x
y
上一点，则点Q 到点P 的距离的最大值
为
.
【答案】8
【解析】圆
2
2
3
4
4
x
y
的圆心为
3,4
A
，半径1
2
r
，
圆
2
2
1
x
y
的圆心为
0,0
B
，半径2
1
r ，
所以
1
2
9 16
2 1
8
PQ
AB
r
r
，
当且仅当, , ,
A B P Q共线，且
,
A B 在,
P Q 中间时取等号，
所以点Q 到点P 的距离的最大值为8 .
7.已知圆C :
2
2
1
2
4
x
y
，点
2,0
A
，
2,0
B
.设P 是圆C 上的动点，令
2
2
d
PA
PB
，则d 的
最小值为
．
【答案】26
8 5
【解析】由已知
1,2
C
，
2
r
，
设
0
0
,
P x
y
，
2
2
0
0
2
PA
x
y
，
2
2
0
0
2
PB
x
y
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
2
8
d
PA
PB
x
y
x
y
x
y
，
因为
2
2
0
0
OP
x
y
，所以当OP 取得最小值时，d 取得最小值，
由OP 的最小值为
2
2
1
2
2
5
2
OC
r
，
所以d 的最小值为
2
2
5
2
8
26
8 5
.
故答案为：26
8 5
.
8.若实数,x y 满足
2
2
1
x
y
，则
2
2
(
1)
(
1)
x
y
的最大值是
．
【答案】
2
1
/1
2
【分析】利用两点间距离几何意义求解最值.
【详解】设点
( , )
P x y ，由实数,x y 满足
2
2
1
x
y
可得：
点P 在以原点为圆心，以1为半径的圆上，
设点
(1,1)
A
，则
2
2
(
1)
(
1)
x
y
的几何意义为动点P 到定点
(1,1)
A
的距离AP ，
由
2
2
1
1
2
1
，则点A 在圆
2
2
1
x
y
外，
结合图形可知，
max
1
2
1
AP
OA
.
2
2
(
1)
(
1)
x
y
的最大值是
2
1
.
故答案为：
2
1
.
9.若点
,
P x y 在圆
2
2
4
1
0
x
y
y
上，则
2
2
(
1)
x
y
的最小值为
.
【答案】8
2 15
【分析】利用
2
2
(
1)
x
y
表示点( , )
x y 与点(1,0) 的距离的平方，求出圆心(0,2) 与点(1,0) 的距离为5 ，可求
得最小距离，继而可求得所求.
【详解】因为
2
2
4
1
0
x
y
y
，化为
2
2
(
2)
3
x
y
，
圆心为(0,2) ，半径为
3 ，
又
2
2
(
1)
x
y
表示点( , )
x y 与点(1,0) 的距离的平方，
圆心(0,2) 与点(1,0) 的距离为5 ，
所以点( , )
x y 与点(1,0) 的距离的最小值为5
3
，
故
2
2
(
1)
x
y
的最小值为
2
( 5
3)
8
2 15
，
故答案为：8
2 15
.
10.已知点P 为圆
2
2
1
x
y
上一点，记d 为点P 到直线
2
0
x
my
的距离.当m 变化时，d 的最大值
为
.
【答案】3
【分析】根据直线方程，求得该直线的定点，利用点到过定点直线以及点到圆上点距离的性质，可得答案.
【详解】由直线方程
2
0
x
my
，则该直线过定点
2,0 ，
易知圆
2
2
1
x
y
上任意定点到该直线的最大距离就是该点到
2,0 的距离，
由圆的方程
2
2
1
x
y
，则其圆心为
0,0 ，半径为1，
点
2,0 到圆
2
2
1
x
y
上点的最大距离为2 1
3
.
故答案为：3.
题型八：圆的轨迹问题
1.已知点
(
)
1,0
A
，
4,0
B
，若点P 满足
1
2
PA
PB
，则P 的轨迹方程为
．
【答案】
2
2
4
x
y
【分析】设出点P 坐标，由题意计算即可得.
【详解】设
,
P x y ，由
1
2
PA
PB
，故
2
2
2
2
1
1
4
4
x
y
x
y
，
化简得：
2
2
4
x
y
，故P 的轨迹方程为
2
2
4
x
y
.
故答案为：
2
2
4
x
y
2.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方
程．
解
设点M 的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)．由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是线段AB 的中点，
所以x＝x0＋4
2
，y＝y0＋3
2
.
于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3.①
因为点A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，
即(x0＋1)2＋y20＝4.②
把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
整理，得x－3
2 2＋y－3
2 2＝1.
这就是点M 的轨迹方程，它表示以
3
2，3
2 为圆心，半径为1 的圆．
3.已知点
(2,0)
B
和点
(2,4)
C
，直角ABC
以BC 为斜边，求直角顶点A 的轨迹方程
.
【答案】
2
2
(
2)
(
2)
4(
2)
x
y
x
【解析】方法一：设点
,
A x y ，
(2,0)
B
，
(2,4)
C
，
2
,
AB
x
y
，
2
,4
AC
x
y
，
由题意可知：
90
A
，
0
AB AC
，
2
2
4
0
x
x
y
y
，整理得：
2
2
2
4
0
x
y
y
，
, ,
A B C
三点不共线，
(2,0)
B
，
(2,4)
C
，应去除.
直角顶点A 的轨迹方程为：
2
2
(
2)
(
2)
4(
2)
x
y
x
.
方法二：设BC 中点为
2,2
D
，则DB
DC
DA
，即A 在以D 为圆心，
1
2
2 BC
为半径的圆上(不能和B、C 重合)，
故A 的轨迹方程为
2
2
(
2)
(
2)
4(
2)
x
y
x
.
4.已知
1,1
A
、
2,0
B
两定点．若动点M 满足
2
MA MB
，求动点M 的轨迹方程．
【解析】设
,
M x y ，则
1
,1
,
2
,
MA
x
y
MB
x
y
，
由
2
MA MB
，
得
1
2
1
2
x
x
y
y
，即
2
2
3
0
x
y
x
y
，
所以动点M 的轨迹方程为
2
2
3
0
x
y
x
y
．
5.点A(2,0)是圆x2＋y2＝4 上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．
解
(1)设线段AP 的中点M(x，y)，
由中点坐标公式，得点P 的坐标为(2x－2,2y)．
∵点P 在圆x2＋y2＝4 上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ 的中点N(x，y)，
在Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|.
设O 为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ 的中点N 的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
6.已知两点
( 5,0)
A
，
(5,0)
B
，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3 倍，则点P 的轨迹方程
是
．
【答案】
2
2
25
25
0
2
x
y
x
【解析】设
,
P x y ，由题意可得
2
2
2
2
5
3
5
x
y
x
y
，
化简可得
2
2
2
2
25
50
0
x
y
x
，即
2
2
25
25
0
2
x
y
x
.
故答案为：
2
2
25
25
0
2
x
y
x
.
7.（多选）已知A ，B 是平面内两个定点，且|
| 6
AB
，则满足下列条件的动点P 的轨迹为圆的是（
）
A．|
|
|
| 6
PA
PB
B．
1
PA PB
C．|
| 2|
|
PA
PB
D．
2
2
|
|
|
|
18
PA
PB
【答案】BC
【解析】对于A，|
|
|
| 6 |
|
PA
PB
AB
，显然P 的轨迹是线段AB ，故A 错误；
以AB 中点O为原点，建立平面直角坐标系，设
( 3,0)
A
,
(3,0)
B
，设
( , )
P x y ，
则
(
3, )
P
x
y
A
，
(
3, )
P
x
y
B
，
对于B，已知
1
PA PB
，则
2
2
8
x
y
，所以，点P 的轨迹是圆，故B 正确；
对于C，由两点间距离公式得
2
2
3
PA
x
y
，
2
2
3
PB
x
y
，
代入|
| 2|
|
PA
PB
中化简得
2
2
x
x
y
，即
2
2
5
16
x
y
，故P 的轨迹是圆，故C 正确；
对于D，代入
2
2
|
|
|
|
18
PA
PB
中化简得
2
2
0
x
y
，
显然P 的轨迹是一个点，故D 错误.故选：BC
8.已知点
(6,0)
A
，O 为坐标原点，若动点
( , )
P x y 满足2 OP
PA
．
(1)试求动点P 的轨迹方程；
(2)过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．
【答案】(1)
2
2
(
2)
16
x
y
；(2)
2
2
(
1)
1
4
16
x
y
.
【解析】（1）由动点
( , )
P x y 满足2 OP
PA
，得
2
2
2
2
2
(
6)
x
y
x
y
，化简得
2
2
4
12
0
x
y
x
，
所以动点P 的轨迹方程是
2
2
(
2)
16
x
y
.
（2）设点
0
0
(
,
)
M x y
，由PQ
y
轴于点Q ，且M 是PQ中点，得
0
0
(2
,
)
P
x
y
，即
0
0
2
x
x
y
y
，
由（1）知，
2
2
(
2)
16
x
y
，
因此
2
2
0
0
(2
2)
16
x
y
，整理得
2
2
0
0
(
1)
1
4
16
x
y
.
所以点M 的轨迹方程是
2
2
(
1)
1
4
16
x
y
.
9.已知圆
2
2
:
3
C x
y
，直线l 过点
2,0
A
.
(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的斜率；
(2)线段AB 的端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
【解析】（1）已知C 的圆心是
0,0
O
，半径是
3 ，
设直线斜率为,
k
则直线方程是
2
y
k x
，即
2
0
kx
y
k
，
则圆心到直线距离为
2
2
3
1
k
k
，
解得直线的斜率
3
k
.
（2）设点
0
0
,
,
,
M x y
B x x
则，
由点M 是AB 的中点得，
0
0
2
2
,
0
2
x
x
y
y
所以
0
0
2
2
2
x
x
y
y
①
因为B 在圆C 上运动，所以
2
2
0
0
:
3
C x
y
②
①代入②得，
2
2
(2
2)
(2 )
3,
x
y
化简得点M 的轨迹方程是
2
2
3
(
1)
4
x
y
.
10.由动点P 向圆
2
2
1
x
y
引两条切线PA ，PB ，切点分别为A，B，
π
3
APB
，求动点P 的轨迹方程.
【解析】设点P 的坐标为( , )
x y ，则
2
2
PO
x
y
，
π
π
,
3
6
APB
APO
，
2
2
2
2,
2
PO
OB
x
y
，即
2
2
4
x
y
.
所以动点P 的轨迹方程为
2
2
4
x
y
.
11.已知两定点
1
1,0
P
和
2 3,0
P
，求到点
1P 和
2P 的距离的平方和是16 的点的轨迹方程.
【解析】设点
( , )
P x y 到点
1P 和
2P 的距离的平方和等于16，
则
2
2
2
2
1
3
16
x
y
x
y
，整理得：
2
2
2
3
0
x
y
x
.
所以到点
1P 和
2P 的距离的平方和是16 的点的轨迹方程为
2
2
2
3
0
x
y
x
.
12.从定点
3, 5
A
向圆
2
2
:
6
6
14
0
C x
y
x
y
任意引一割线交圆于P，Q 两点，求弦PQ 的中点M 的
轨迹方程.
【解析】设所求轨迹上任一点
( , )
M x y ，
圆C 的方程可化为
2
2
(
3)
(
3)
4,
x
y
则圆心坐标为
3,3
C
，
2
2
3
3
5
3
10
AC
，
因为CM
AM
，所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆（在圆C 内部的部分），
因为AC 的中点坐标为
0, 1
，
所以点M 的轨迹方程为
2
2
(
1)
25
x
y
（在圆C 内部的部分）．
13.已知一曲线是与两个定点
0,0
O
，
3,0
A
的距离之比为1
2 的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出该
曲线.
【解析】设点
( , )
P x y 为曲线上任意一点，
因为曲线是与两个定点
0,0
O
，
3,0
A
的距离之比为1
2 的点的轨迹，
所以
2
2
2
2
(
0)
(
0)
1
2
(
3)
(
0)
x
y
x
y
，
所以
2
2
2
2
1
(
3)
4
x
y
x
y
，化简得
2
2
2
3
0
x
y
x
，
即所求曲线方程为
2
2
(
1)
4
x
y
，
14. ABC
的顶点B，C 的坐标分别是
3, 1
，
2,1 ，顶点A 在圆
2
2
4
8
16
0
x
y
x
y
上运动，求ABC
的重心G 的轨迹方程.
【解析】设ABC
的重心G 的坐标是
,x y ，点A 的坐标是
0
0
,
x
y
.
已知点B，C 的坐标分别是
3, 1
，
2,1 ，
则ABC
的重心G 的坐标满足
0
3
2
3
x
x
，
0
1
1
3
y
y
.
因此有
0
3
1
x
x
，
0
3
y
y
.①
因为点A 在圆
2
2
4
8
16
0
x
y
x
y
上运动，
所以点A 的坐标
0
0
,
x
y
满足方程
2
2
4
8
16
0
x
y
x
y
，
即满足方程
2
2
2
4
4
x
y
.②
将①代入②，得
2
2
3
1
2
3
4
4
x
y
.
即所求轨迹方程为
2
2
4
4
1
3
9
x
y
.
15.已知直线
2
1
0
x
y
与圆
2
2
:
4
2
0
C x
y
x
y
a
交于A，B 两点，CA
CB
.
(1)求实数a 的值；
(2)若点P 在圆C 上运动，O 为坐标原点，动点M 满足
2
OP
CM
，求动点M 的轨迹方程.
【解析】（1）圆
2
2
:
4
2
0
C x
y
x
y
a
，即
2
2
2
1
5
x
y
a
，
5
0
a
，
则圆心
(2, 1)
C
，半径
5
r
a
，记d 为圆心C 到直线AB 的距离，
由CA
CB
，得
2
2
d
r
，而
2
2 1
5
5
d
，因此
5
5
2
2
a
，
所以
5
a
.
（2）设
0
0
(
,
)
P x
y
，
( , )
M x y ，由
2
OP
CM
，得
0
0
(
,
)
2(
2,
1)
x
y
x
y
，解得
0
0
2
4
2
2
x
x
y
y
，
由点P 在圆C 上，得
2
2
0
0
2
1
10
x
y
，于是
2
2
2
6
2
3
10
x
y
，
所以动点M 的轨迹方程为
2
2
3
5
(
3)
(
)
2
2
x
y
.
题型九：圆的对称问题
1.已知圆M ：
2
2
1
1
x
y
与圆N ：(
)
(
)
2
2
2
3
1
x
y
-
+
-
= 关于直线l 对称，则l 的方程为（
）
A．
2
1
0
x
y
B．
2
1
0
x
y
C．
2
3
0
x
y
D．2
3
0
x
y
【答案】C
【解析】由题意得
0, 1
M
，
2,3
N
，则MN 的中点的坐标为
1,1 ，
直线MN 的斜率
3 1
2
2
0
MN
k
.
由圆M 与圆N 关于l 对称，得l 的斜率
1
1
2
l
MN
k
k
.
因为MN 的中点在l 上，所以
1
1
1
2
y
x
，即
2
3
0
x
y
.故选：C.
2.圆
2
2
: (
2)
(
1)
1
M
x
y
与圆N 关于直线
0
x
y
对称，则圆N 的方程为（
）
A．
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
B．
2
2
(
2)
(
1)
1
x
y
C．
2
2
(
2)
(
1)
1
x
y
D．
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
【答案】D
【解析】圆
2
2
: (
2)
(
1)
1
M
x
y
的圆心为
2,1 ，半径为1，
2,1 关于直线
0
x
y
的对称点是
1,2 ，
所以圆N 的圆心是
1,2 ，半径是1，
所以圆N 的方程为
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
.故选：D
3.圆
2
2
:
1
1
2
C
x
y
关于直线:
1
l y
x
对称后的方程为（
）
A．
2
2
2
2
x
y
B．
2
2
2
2
x
y
C．
2
2
2
2
x
y
D．
2
2
1
2
x
y
【答案】A
【解析】因为圆
2
2
:
1
1
2
C
x
y
，所以圆C 的圆心为
1,1 ，半径为
2
r
，
设点
1,1 关于直线:
1
l y
x
对称的点为
0
0
,
x
y
，
所以
0
0
0
0
1
1
1
2
2
1 1
1
1
y
x
y
x
，解得：
0
0
2
0
x
y
，
所以所求圆的圆心为
2,0 ，半径为
2
r
,
故所求圆的方程为：
2
2
2
2
x
y
.故选：A.
4.若曲线
2
2
1
2
4
x
y
上相异两点P、Q 关于直线
2
0
kx
y
对称，则k 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】若曲线
2
2
1
2
4
x
y
上相异两点P、Q 关于直线
2
0
kx
y
对称，
则圆心
1,2 在直线
2
0
kx
y
上，故代入解得
4
k
，故选：D．
5.已知圆
2
2
1
2
4
x
y
关于直线
1
0
ax
by
（
0
a
，
0
b
）对称，则1
2
a
b
的最小值为（
）
A．5
2
B．9
C．4
D．8
【答案】B
【解析】圆
2
2
1
2
4
x
y
的圆心为
1, 2
，依题意，点
1, 2
在直线
1
0
ax
by
上，
因此
2
1
0
a
b
，即
2
1
0,
0
a
b
a
b
，
∴
1
2
1
2
2
2
2
2
2
5
5
2
9
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，
当且仅当2
2
b
a
a
b
，即
1
3
a
b
时取“=”，
所以1
2
a
b
的最小值为9.故选：B.
题型十：与圆有关的实际问题
1.赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的
古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023
年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，
该圆拱桥的圆拱跨度为16m，拱高为4m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽10m，水面以上高3m ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.( 3
1.732)
【答案】(1)
2
2
(
6)
100
x
y
；(2)可以从桥下通过，理由见解析
【解析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
因为该拱圆过
(
)
8 0
A ，，
(8 0)
B ，，
4
(0 )
C ，，
所以
64
8
0
64
8
0
16
4
0
D
F
D
F
E
F
，解得
0
12
64
D
E
F
．
所以拱圆的一般方程为
2
2
12
64
0
x
y
y
，
即
2
2
(
6)
100
x
y
．
（2）当
5
x
时，
2
2
5
(
6)
100
y
，得
5 3
6
2.66m
3m
y
所以该景区游船可以从桥下通过．
2.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2 米时，水面宽12 米，则当水面下降1 米后，水面宽为（
）
A．19 米
B．
51米
C．2 19 米
D．2 51 米
【答案】D
【解析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直线为y 轴，建立直角坐标系，
设圆心为C ，水面所在弦的端点为
,
A B ，则由已知可得
(6, 2)
A
，
再设圆的半径为r ，则圆心
(0,
)
C
r
，即圆的方程为
2
2
2
(
)
x
y
r
r
，
将点A 代入圆的方程，可得
10
r
，即圆的方程为
2
2
(
10)
100
x
y
，
当水面下降1 米后，可得
0
0
(
, 3)(
0)
A x
x
，
代入圆的方程，可得
0
51
x
，
所以当水面下降1 米后，水面宽度为2 51 米.故选：D.
3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度
20
AB
米，拱高
4
OP
米，建适时每间隔4 米需要用
一根支柱支撑，则支柱
2
2
A P 的高度为
米．（精确到0.01 米，参考数据：
33
5.744
）
【答案】3.86
【解析】由题意，以O为原点，AB 为x 轴，OP 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
0,4
P
，
10,0
B
，
设圆心坐标是
0,b ，圆的半径是r，则圆的方程是
2
2
2
x
y
b
r
.
因为P，B 两点都在圆上，则有
2
2
2
2
2
2
0
4
10
0
b
r
b
r
，解得
2
2
14.5
10.5
r
b
，
所以圆的方程是
2
2
2
10.5
14.5
x
y
；
将点
2P 的横坐标
2
x 代入圆的方程，得
2
2
2
2
10.5
14.5
y
，
即
2
2
10.5
14.5
2
y
，其中
2P 的纵坐标
0
y
，
所以
2
2
5
14.5
2
10.5
33
10.5
14.36 10.5
3.86 m
2
y
.
即支柱
2
2
A P 的高度约为3.86m.
故答案为：3.86.
模块三：综合巩固
1.圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
的圆心和半径分别为（
）
A．
1,2 ,3
B．
1,2 ,3
C．
1, 2 ,2
D．
1, 2 ,3
【答案】D
【解析】由
2
2
2
2
2
4
4
0
1
2
9
x
y
x
y
x
y
，所以圆心和半径分别为
1, 2 ,3
.故选：D
2.在平面直角坐标系中，圆心为
1,0 ，半径为2 的圆的方程是（
）
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
2
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
4
x
y
【答案】C
【解析】由题意可得方程为
2
2
1
4
x
y
.故选：C.
3.过三点
4, 2 ,
1, 1 ,
14
A
B
C
,
的圆的一般方程为（
）
A．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
B．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
C．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
D．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
【答案】D
【解析】设圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，将A，B，C 三点的坐标代入方程，
整理可得
2
4
17
4
2
20
D
E
F
D
E
F
D
E
F
，解得
7
3
2
D
E
F
，
故所求的圆的一般方程为
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
，故选：D．
4.已知圆M 经过点
0,2
0,4
,
，且圆心M 在直线2
1
0
x
y
上，则圆M 的面积为（
）
A．2π
B．
5π
C．4π
D．5π
【答案】D
【解析】由圆M 经过点
0,2 和
0,4 ，可知圆心M 在直线
3
y 上，
又圆心M 在直线2
1
0
x
y
上，
所以M 的坐标为
2,3 ，半径
2
2
0
2
2
3
5
r
，
所以圆M 的面积为5π ．故选：D．
5.若点
2,1
A
在圆
2
2
2
2
5
0
x
y
mx
y
（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（
）
A．
,2
B．
2,
C．
, 2
D．
2,
【答案】C
【解析】由题意知
2
2
2
1
4
2
5
0
m
，故
2
m
，
又由圆的一般方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
可得
2
2
4
0
D
E
F
，即
2
2
( 2 )
( 2)
4 5
0
m
，即
2
m 或
2
m
，
所以实数m 的范围为
2
m .故选：C.
6.已知半径为2 的圆经过点
3,4 ，则其圆心到原点的距离最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由题意知半径为2 的圆经过点
3,4 ，设该圆圆心为P，
故该圆的圆心的轨迹为以
3,4 为圆心，2 为半径的圆，
当坐标原点、圆心P 以及点
3,4 三点共线且圆心P 在坐标原点和
3,4 之间时，圆心到原点的距
离最小，
最小值为
2
2
3
4
2
3
，故选：C
7.“
4
k
”是“方程
2
2
(
2)
5
0
x
y
kx
k
y
表示圆的方程”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】若
2
2
2
5
0
x
y
kx
k
y
表示圆，则
2
2
2
4 5
0
k
k
，解得
2
k 或
4
k
，
4
k
可以推出
2
2
2
5
0
x
y
kx
k
y
表示圆，满足充分性，
2
2
2
5
0
x
y
kx
k
y
表示圆不能推出
4
k
，不满足必要性，
所以
4
k
是
2
2
2
5
0
x
y
kx
k
y
表示圆的充分不必要条件.故选：A.
8.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点
2, 1
；乙：该圆的圆心为
2, 3
；
丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点
5,1 ．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】A
【解析】若乙、丙同学的结论正确，则该圆的方程为
2
2
(
2)
(
3)
25
x
y
，
当
5
x
，
1
y 时，
2
2
(5
2)
(1 3)
25
成立，此时丁的结论正确，
当
2
x ，
1
y 时，
2
2
( 2
2)
( 1 3)
25
不成立，此时甲的结论错误.
故选：A.
9.已知圆
2
2
2
2
4
5
9
0
x
y
ax
ay
a
上所有点都在第二象限，则a 的取值范围（
）
A．
, 3
B．
, 3
C．
3
3,
2
D．
3
3,
2
【答案】A
【解析】由
2
2
2
2
2
2
4
5
9
0
2
9
x
y
ax
ay
a
x
a
y
a
，
所以圆心坐标
, 2
a
a
，半径为3，
因为圆
2
2
2
2
4
5
9
0
x
y
ax
ay
a
上所有点都在第二象限，
所以
0
2
0
3
3
2
3
a
a
a
a
a
，故选：A
10.两定点A，B 的距离为3，动点M 满足
2
MA
MB
，则M 点的轨迹长为（
）
A．4π
B．2 3π
C．2 2π
D．2π
【答案】A
【解析】以点A 为坐标原点，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，如图，
则
0,0 ,
(3,0)
A
B
，设点
( , )
M x y ，
由
2
MA
MB
，得
2
2
2
2
2 (
3)
x
y
x
y
，化简并整理得：
2
2
(
4)
4
x
y
，
于是得点M 的轨迹是以点(4,0) 为圆心，2 为半径的圆，其周长为4π ，
所以M 点的轨迹长为4π .
故选：A.
11.方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
表示的曲线是以
2,3
为圆心，4 为半径的圆，则
,
,
D E F 的值分别为（
）
A．4, 6,3
B．4,6,3
C．4,6, 3
D．4, 6, 3
【答案】D
【解析】以
2,3
为圆心，4 为半径的圆的标准方程为
2
2
2
3
16
x
y
，
即
2
2
4
6
3
0
x
y
x
y
，所以
4,
6,
3
D
E
F
.
故选：D
12.阿波罗尼斯（公元前262 年~公元前190 年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大
数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平
面上两点A，B，则所有满足
PA
PB
（
0
，且
1
）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异
定点
(1,0)
P
，
( 1,0)
Q
，动点M 满足
2
MP
MQ
，记M 的轨迹为C，则轨迹C 围成图形的面积是（
）
A．2π
B．4π
C．8π
D．16π
【答案】C
【解析】设
( , )
M x y ，由点
(1,0)
P
，
( 1,0)
Q
，动点M 满足
2
MP
MQ
，
得
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
MP
MQ
x
y
x
y
，
则
2
2
2
2
6
1
0
3
8
x
x
y
x
y
，
所以轨迹C 围成的图形为圆，其半径平方
2
8
r
，
所以圆的面积为8π .故选：C
13.已知圆O：
2
2
1
x
y
和点
1 ,0
2
P
，点
2,1
B
，M 为圆O 上的动点，则2 MP
MB
的最小值为（
）
A．15
B．1
10
C．17
D．3
2
【答案】C
【解析】取
2,0
F
，连接
,
MF MO ，
则
1,
2
MO
OF
，又
1
2
OP
，
所以
1
2
MO
OP
OF
MO
，
又
MOP
FOM
，故
MOP
△
∽
FOM
△
，
故
1
2
MP
MO
OP
MF
OF
MO
，从而
2
MF
MP
，
所以2 MP
MB
MF
MB
，
当
,
,
F M B 三点共线时，2 MP
MB
MF
MB
取得最小值，
最小值为
2
2
2
2
1 0
17
FB
.
故选：C
14.已知点
( ,
1),
R
P t t
t
，点O是坐标原点，点Q 是圆
2
2
(
3)
(
1)
1
x
y
上的动点，则PQ
PO
的最大
值为（
）
A．2
B．5
2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】令点
( , )
P x y ，则
1
x
t
y
t
，于是
1
y
x
，即点P 的轨迹是直线:
1
0
l x
y
，
圆
2
2
(
3)
(
1)
1
x
y
的圆心
(3, 1)
C
，半径
1
r ，而点Q 在圆C 上，则
max
|
|
PQ
PC
r
，
因此
max
max
(
)
(
)
PQ
PO
r
PC
PO
，令点C 关于直线l 对称点
( , )
C a b
，PC
PC
，
则有
1
1
3
3
1 1
0
2
2
b
a
a
b
，解得
0,
2
a
b
，即
(0,2)
C
，
因此
2
PC
PO
PC
PO
OC
，当且仅当点
,
,
P O C共线，且点O在线段PC上时取等号，
直线OC方程为
0
x
，由
0
1
x
y
x
，解得
0
1
x
y
，即直线
0
x
与直线l 交于点
(0, 1)
P
，
所以当点P 与P重合时，
max
(
)
2
PC
PO
，
max
(
)
1 2
3
PQ
PO
.
故选：C
15.点
1,0
P
，点Q 是圆
2
2
4
x
y
上的一个动点，则线段PQ的中点M 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
1
2
x
y
B．
2
2
1
4
2
x
y
C．
2
2
1
1
2
x
y
D．
2
2
1
4
2
x
y
【答案】A
【解析】设点M 的坐标为
,
M x y ，因为M 点是线段PQ的中点，
可得
2
1,2
Q
x
y
，点Q 在圆上，
则
2
2
(2
1)
(2 )
4
x
y
，即
2
2
1
1
2
x
y
.
故选：A.
16.若圆
2
2
2
1
0
x
y
ax
y
与圆
2
2
1
x
y
关于直线
1
y
x
对称，且过点C（－a，a）的圆P 与y 轴相
切，则圆心P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
2
8
0
y
x
y
B．
2
2
2
8
0
y
x
y
C．
2
4
4
8
0
y
x
y
D．
2
4
4
8
0
y
x
y
【答案】C
【解析】设圆
2
2
1
x
y
的圆心
0,0 关于直线y＝x－1 的对称点是
,
A m n ，
则由题意可得
0
0
1
2
2
0
1
0
m
n
n
m
，计算可得
,1
1
m
n
，
由题知它是圆
2
2
2
1
0
x
y
ax
y
的圆心，所以a＝2.
设点P 的坐标为（x，y），则有
2
2
2
2
x
y
x
，化简得
2
4
4
8
0
y
x
y
.
故选：C
17.(多选)已知圆C 经过点
0,0
A
、
2,0
B
，ABC
为直角三角形，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
1
1
4
x
y
B．
2
2
1
1
2
x
y
C．
2
2
1
1
2
x
y
D．
2
2
1
2
5
x
y
【答案】BC
【解析】设圆心
,
C a b ，由题意可知，CA
CB
，即
2
2
2
2
2
a
b
a
b
，解得
1
a ，
因为ABC
为直角三角形，则
ACB
为直角三角形，则
2
2
2
AC
BC
AB
，
即
2
2
2
2
2
4
a
b
a
b
，解得
1
b ，则圆C 的半径为
2
2
2
CA
a
b
，
圆心为
1, 1
C
，因此，圆C 的方程为
2
2
1
1
2
x
y
或
2
2
1
1
2
x
y
，故选：BC.
18.(多选)若有一组圆
k
C ：
2
2
4
R
x
k
y
k
k
，下列命题正确的是（
）
A．所有圆
k
C 的半径均为2
B．所有的圆
k
C 的圆心恒在直线y
x
上
C．当
2
k
时，点
3,0 在圆
k
C 上
D．经过点
2,2 的圆
k
C 有且只有一个
【答案】AB
【解析】选项A:
2
2
4
R
x
k
y
k
k
，
2
r
，故选项正确；
选项B:根据
2
2
4
R
x
k
y
k
k
可得，圆心为
,k k ，在y
x
，故选项正确；
选项C:当
2
k
时，
2
2
2
2
4
x
y
，
3,0 代入不满足方程，故选项错误；
选项D:代入
2,2 得：
2
2
2
2
4,
k
k
即
2
2
2,
2
2,
k
k
有两个解，故选项错误；故
选：AB.
19.(多选)若
2,1 ，
4,2 ，
3,4 ，
1,m 四点共圆，则m 的值为（
）
A．2
B．
2
1
2
C．
2
1
2
D．3
【答案】AD
【解析】根据题意可设圆方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
将点
2,1 ，
4,2 ，
3,4 代入可得
4 1
2
0
16
4
4
2
0
9 16
3
4
0
D
E
F
D
E
F
D
E
F
，解得
5
5
10
D
E
F
；
即圆方程为
2
2
5
5
10
0
x
y
x
y
，
又点
1,m 在圆上，所以
2
1
5
5
10
0
m
m
，
整理得
2
5
6
0
m
m
，解得
2
m
或
3
m
.故选：AD
20.(多选)已知曲线
2
2
2
:
2
4
0
C ax
ay
x
a y
，下列结论正确的是（
）
A．当
0
a
时，曲线C 是一条直线
B．当
0
a
时，曲线C 是一个圆
C．当曲线C 是圆时，它的面积的最小值为2π
D．当曲线C 是面积为5π 的圆时，
1
a
【答案】AB
【解析】对于A 选项，当
0
a
时，曲线C 的方程为
0
x
，此时，曲线C 是一条直线，A 对；
对于B 选项，当
0
a
时，曲线C 的方程可化为
2
2
2
4
0
x
y
x
ay
a
，
因为
2
2
2
2
2
4
16
16
0
a
a
a
a
，此时，曲线C 是一个圆，B 对；
对于C 选项，当曲线C 是圆时，其半径为
2
2
2
2
2
2
4
16
1
1
4
2 4
2
2
a
a
r
a
a
a
a
，
当且仅当
2
2
1
4a
a
时，即当
2
2
a
时，等号成立，即r 的最小值为2 ，
因此，当曲线C 是圆时，它的面积的最小值为
2
π
2
4π
，C 错；
对于D 选项，当曲线C 是面积为5π 的圆时，其半径为
2
2
1
4
5
r
a
a
，
即
2
2
1
4
5
a
a
，解得
1
a 或
1
2
a
，D 错.故选：AB.
21.(多选)已知方程
2
2
4
8
2
0
x
y
x
y
a
，则下列说法正确的是（
）
A．当
10
a
时，表示圆心为(2, 4)
的圆
B．当
10
a
时，表示圆心为(2, 4)
的圆
C．当
0
a
时，表示的圆的半径为2 5
D．当
8
a
时，表示的圆与y 轴相切
【答案】BCD
【解析】由题意，方程
2
2
4
8
2
0
x
y
x
y
a
，可化为
2
2
2
4
20
2
x
y
a
，
可圆的圆心坐标为(2, 4)
，
A 中，当
10
a
时，此时半径为20
2
0
a
，所以A 错误；
B 中，当
10
a
时，此时半径大于20
2
0
a
，表示圆心为(2, 4)
的圆，所以B 正确；
C 中，当
0
a
时，表示的圆的半径为
2 5
r
，所以C 正确；
D 中，当
8
a
时，可得20
2
4
a
，方程表示的圆半径为
2
r
，
又圆心坐标为
2, 4
，所以圆心到y 轴的距离等于半径，所以圆与y 轴相切，所以D 正确．
故选：BCD.
22.(多选)已知直线l ：
1
2
1
3
3
0
R
x
y
，圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
a
，下列说
法正确的是（
）
A．圆C 的圆心为
2, 1
C
，半径r
a
B．直线l 与圆相交且平分圆C 的面积与周长
C．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则
0
D．若直线l 的倾斜角为π
2 ，则
1
【答案】BD
【解析】
1 2
1
3 3
0
3
2
3
0
x
y
x
y
x
y
3
0
2
2
3
0
1
x
y
x
x
y
y
，直线l 过定点
2,1 .
A：由
2
2
2
2
1
0
x
y
a
a
可知，圆C 的圆心为
2,1
C
，半径为a ，所以本选项不正确；
B：因为直线l 过定点
2,1 恰好是圆C 的圆心，
所以直线l 与圆相交且平分圆C 的面积与周长，因此本选项正确；
C：当
1
时，直线l 的方程为
1
2
0
2
x
y
y
x
，直线l 在两坐标轴上的截距都是零，显然相等，所
以本选项不正确；
D：因为直线l 的倾斜角为π
2 ，
所以
1
0
1
1
2
0
，因此本选项正确，
故选：BD
23.(多选)设有一组圆
k
C ：
2
2
(
)
(
)
4
x
k
y
k
(
R)
k
，下列命题正确的是（
）
A．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上
B．所有圆
k
C 均不经过点(3 0)
，
C．经过点(2 2)
，的圆
k
C 有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
【答案】ABD
【解析】A 选项，圆心为
,k k ，一定在直线y
x
上，A 正确；
B 选项，将(3,0)代入得：
2
2
6
5
0
k
k
，其中
4
0
，方程无解，即所有圆
k
C 均不经过点(3,0)，B
正确；
C 选项，将(2,2) 代入得：
2
4
2
0
k
k
，其中
16
8
8
0
，
故经过点(2 2)
，的圆
k
C 有两个，故C 错误；
D 选项，所有圆的半径为2，面积为4π，故D 正确.
故选：ABD.
24.(多选)已知曲线
2
2
:
0
C Ax
By
Dx
Ey
F
（
）
A．若
1
A
B
，则C 是圆
B．若
0
A
B
，
2
2
4
0
D
E
AF
，则C 是圆
C．若
0
A
B
，
2
2
0
D
E
，则C 是直线
D．若
0
A
，
0
B
，则C 是直线
【答案】BC
【解析】对于A，当
1
A
B
时，
2
2
:
0
C x
y
Dx
Ey
F
，
若
2
2
4
0
D
E
F
，则C 是圆；
若
2
2
4
0
D
E
F
，则C 是点
,
2
2
D
E
；
若
2
2
4
0
D
E
F
，则C 不存在.故A 错误.
对于B，当
0
A
B
时，
2
2
:
0
C Ax
Ay
Dx
Ey
F
，且
2
2
4
0
D
E
AF
，
则C 是圆，故B 正确.
对于C，当
0
A
B
时，
:
0
C Dx
Ey
F
，且
2
2
0
D
E
，则C 是直线，故C 正确.
对于D，当
0
A
，
0
B
时，
2
:
0
C Ax
Dx
Ey
F
，
若
0
E
，则
2
:
0
C Ax
Dx
F
表示一元二次方程，
若
0
E
，则
2
:
0
C Ax
Dx
Ey
F
表示抛物线，故D 错误.
故选：BC
25.与圆
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
有相同圆心，且过点
4, 2
的圆的标准方程是
.
【答案】
2
2
(
1)
(
2)
9
x
y
【解析】圆
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
的标准方程为
2
2
(
1)
(
2)
2
x
y
，则圆心
1, 2
C
，
因为圆过点
4, 2 ,
A
半径
3
R
AC
，
则圆的标准方程为
2
2
(
1)
(
2)
9
x
y
.
故答案为：
2
2
(
1)
(
2)
9
x
y
.
26.已知,x y 满足
2
2
(
1)
(
2)
16
x
y
，则
2
2
x
y
的取值范围是
.
【答案】21 8 5,21 8 5
【解析】
2
2
x
y
表示圆
:
C
2
2
(
1)
(
2)
16
x
y
上的动点
( , )
P x y 与原点
(0,0)
O
的距离d 的平方，
因为圆
:
C
2
2
(
1)
(
2)
16
x
y
的圆心
1,2
C
，半径
4
r
，则
1 4
5
OC
，
因为r
OC
d
r
OC
，所以4
5
4
5
d
，
则
2
21 8 5
21 8 5
d
，即
2
2
21 8 5
21 8 5
x
y
，
所以
2
2
x
y
的取值范围为21 8 5,21 8 5
.
故答案为：21 8 5,21 8 5
.
27.已知圆
2
2
6
4
12
0
x
y
x
y
与圆
2
2
14
2
14
0
x
y
x
y
，则两圆心之间的距离为
.
【答案】5
【解析】由题意可知：两圆心坐标分别为
3, 2
，
7,1 ，
所以两圆心之间的距离为(
)
(
)
2
2
3
7
2 1
5
-
+ - -
=
.
故答案为：5.
28.若圆
2
2
:
2
2
0
C x
y
mx
y
被直线2
1
0
x
y
平分，则圆C 的半径为
．
【答案】
2
【解析】若圆C 被直线2
1
0
x
y
平分，则直线过圆心，
圆
2
2
:
2
2
0
C x
y
mx
y
的圆心为(
)
,1
m
，
即2
1 1
0
m
，解得：
1
m ，
则圆
2
2
: (
1)
(
1)
2
C
x
y
，则圆C 的半径为
2 ．
故答案为：
2 ．
29.由曲线
2
2
4
4
x
y
x
y
围成的图形的面积为
.
【答案】32
16π
【解析】将
x
或
y
代入方程，方程不发生改变，故曲线
2
2
4
4
x
y
x
y
关于x 轴，y 轴对称，因此只
需求出第一象限的面积即可，
当
0
x
，
0
y
时，曲线
2
2
4
4
x
y
x
y
可化为：
2
2
(
2)
(
2)
8
x
y
，
表示的图形为以
2,2 为圆心，半径为2 2 的一个半圆，
则第一象限围成的面积为
2
1
1
1
4
4
π 2 2
8
4π
2
2
S
，
故曲线
2
2
4
4
x
y
x
y
围成的图形的面积为
4 8
4π
32 16π
S
.
故答案为：32
16π
.
30.对平面上两点A、B，满足
1
PA
PB
的点P 的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼
斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B 是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此
圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆
外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知
(
)
1,0
A
，
4,0
B
，
0,3
D
，若动点P 满足
1
2
PA
PB
，
则2 PD
PB
的最小值是
．
【答案】2 10
【解析】
由题意知：
1
2
PA
PB
，即
2
PB
PA
，
2
2
2
2
PD
PB
PD
PA
AD
（当且仅当
, ,
A P D三点按顺序共线时取等号），
又
2
2
1
3
10
AD
，
2 PD
PB
的最小值为2 10 ；
故答案为：2 10 .
31.已知圆的方程是
2
2
2
2(
2)
2
0
x
y
ax
a
y
，则圆心的轨迹方程为
.
【答案】
2
0(
1)
x
y
x
【解析】因为方程
2
2
2
2(
2)
2
0
x
y
ax
a
y
表示圆，
即
2
2
2
2
(
)
(
2)
(
2)
2
x
a
y
a
a
a
表示圆,所以
2
2
(
2)
2
0
a
a
> ，
解得
1
a ,
易知圆心坐标为(
)
,2
a
a
，且
1
a ，
设圆心坐标为( , )
x y ，则有
2
x
a
y
a
，
消去a ，得
2
0(
1)
x
y
x
即为所求圆心的轨迹方程.
故答案为：
2
0(
1)
x
y
x
32.已知
A
关于直线y
x
对称，点
0,0
O
，
4,0
N
都在
A
上.
(1)求线段ON 垂直平分线的方程；
(2)求
A
的标准方程
【答案】(1)
2
x
；(2)
2
2
2
2
8
x
y
【解析】（1）因为点
0,0
O
，
4,0
N
，
所以线段ON 的中点为
2,0
E
因为直线ON 的斜率为
0
k
，所以ON 垂直平分线的斜率不存在.
所以ON 垂直平分线的方程为
2
x
；
（2）解法一：因为
A
关于直线y
x
对称，则可设
A
的方程为
2
2
2
x
a
y
a
r
，
又因为点
0,0
O
，
4,0
N
在
A
上，
所以
2
2
2
2
2
2
0
0
4
0
a
a
r
a
a
r
，解得
2
2 2
a
r
，
所以
A
的标准方程为
2
2
2
2
8
x
y
.
解法二：因为直线ON 与直线y
x
的交点为圆心，
由
2
y
x
x
，解得
2
2
x
y
，故圆心
2,2
A
.
又因为
2
2
2
0
2
0
2 2
r
.
所以
A
的标准方程为
2
2
2
2
8
x
y
.
33.已知圆心为C 的圆经过
0,0
O
，
0,2 3
A
两点，且圆心C 在直线:
3
l y
x
上．
(1)求圆C 的标准方程；
(2)点P 在圆C 上运动，求
2
2
PO
PA
的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
3
4
x
y
；(2)
8,24
【解析】（1）圆经过
0,0
O
，
0,2 3
A
两点，得圆心在OA的中垂线
3
y
上，
又圆心C 在直线:
3
l y
x
上，
联立直线方程有
3
3
y
y
x
，得
1
3
x
y
，即圆心坐标为
1, 3
C
，
又
2
2
4
r
CO
，故圆C 的标准方程为
2
2
1
3
4
x
y
．
（2）设
0
0
,
P
x
y
，易知
0
1,3
x
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2 3
2
2
3
6
PO
PA
x
y
x
y
x
y
（*），
因为点P 在圆C 上运动，则
2
2
0
0
1
3
4
x
y
，
故（*）式可化简为，
2
2
2
2
0
0
0
|
|
|
|
2
2 4
1
6
4
12
PO
PA
x
x
x
，
由
0
1,3
x
得
2
2
PO
PA
的取值范围为
8,24 ．
34.已知曲线C ：
2
2
1
1
4
8
0
a x
a y
x
ay
．
(1)当a 取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．
【答案】(1)
1
a ；(2)证明见解析；
【解析】（1）当
1
a 时，方程为
2
0
x
y
表示一条直线．
当
1
a 时，
2
2
(1
)
(1
)
4
8
0
a x
a y
x
ay
，
整理得
2
2
2
2
2
4
4
16
(
)
(
)
1
1
(
1)
a
a
x
y
a
a
a
，
由于
2
2
4
16
0
(1
)
a
a
，所以
1
a 时，方程表示圆.
（2）证明：方程变形为
2
2
2
2
4
8
0
x
y
x
a x
y
y
，
由于a 取任何值，上式都成立，
则有
2
2
2
2
4
0
8
0
x
y
x
x
y
y
，解得
0
0
x
y
或
16
5
8
5
x
y
，
所以曲线C 必过定点
0,0
A
，
16
8
,
5
5
B
，
即无论a 为何值，曲线C 必过两定点．
35.已知直线1
2
:
2
0,
:
0
l
x
y
l
x
y
，直线l 过点
10, 4
且与1l 垂直.
(1)求直线l 的方程；
(2)设l 分别与1
2
,
l l 交于点A，B，O 为坐标原点，求过三点A，B，O 的圆的方程.
【答案】(1)
14
0
x
y
；；(2)
2
2
6
8
0
x
y
x
y
（或
2
2
3
4
25
x
y
）；
【解析】（1）由题意可得1 :
2
0
l
x
y
的斜率为1
，
可得直线l 的斜率为
1
k ，由点斜式方程可得
4
10
y
x
，
即直线:
14
0
l x
y
；
（2）联立直线l 和1l 方程
14
0
2
0
x
y
x
y
，解得
6, 8
A
；
联立直线l 和2l 方程
14
0
0
x
y
x
y
，解得
7, 7
B
；
如下图所示：
设过三点A，B，O 的圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
将三点坐标代入可得
36
64
6
8
0
49
49
7
7
0
0
D
E
F
D
E
F
F
，解得
6
8
0
D
E
F
，
可得圆的方程为
2
2
6
8
0
x
y
x
y
（或
2
2
3
4
25
x
y
）.
36.在平面直角坐标系中，已知点
2, 3
A
，
1, 2
B
．
(1)求以AB 为直径的圆的方程；
(2)若直线l 经过点A，且点B 到直线l 的距离为3，求直线l 的一般式方程．
【解析】（1）由
2, 3 ,
1, 2
A
B
知
10
AB =
，
故此圆以线段AB 中点
1
5
,
2
2
为圆心，以
10
2
2
AB
为半径，
其标准方程可写为
2
2
1
5
5
2
2
2
x
y
．
（2）因为直线l 经过点
2, 3
A
，可设其为
2
3
0
m x
n y
，
由点B 到直线l 距离为3，可知
2
2
3
3
m
n
m
n
，
解得
0
n
或3
4
m
n
，
故直线l 的一般式方程为
2
0
x
或4
3
17
0
x
y
37.已知某圆经过
2,2
A
，
6,0
B
两点，圆心M 在直线2
1
x
y
上，求该圆的方程．
【解析】（方法一）设圆心为
,
M a b ，半径为r，
则圆的标准方程为
2
2
2
x
a
y
b
r
．
由题意可得方程组
2
2
2
2
2
2
2
2
6
0
2
1
a
b
r
a
b
r
a
b
．
解此方程组，得
3
5
34
a
b
r
，故所求圆的方程为
2
2
3
5
34
x
y
．
（方法二）如图，由于圆心M 到点A，B 的距离相等（都等于半径），
因此圆心M 在AB 的垂直平分线l 上，并且处于直线l 与直线2
1
x
y
的交点处．
因为l
AB
，所以
8, 2
AB
是l 的法向量，
故可设直线l 的方程为8
2
0
x
y
C
．
①
又直线l 过AB 的中点N，而N 的坐标为
2
6 2
0
,
2
2
，
即
2,1
N
，将其代入①式，解得
14
C
．
所以直线l 的方程为8
2
14
0
x
y
，即4
7
x
y
．
圆心M 的坐标是方程组
4
7
2
1
x
y
x
y
的解，
解此方程组，得
3
5
x
y
．所以圆心M 的坐标为
3,5 ．
圆的半径
2
2
3
2
5
2
34
r
AM
．
故所求圆的方程为
2
2
3
5
34
x
y
．
38.如图所示，设圆C 的圆心C 在直线l ：2
7
8
0
x
y
上，且
6,0
A
，
1,5
B
都是圆C 上的点，求圆的标
准方程.
【解析】设所求圆的方程为
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
，
由题意得
2
2
2
2
2
2
(6
)
(0
)
,
(1
)
(5
)
,
2
7
8
0,
a
b
r
a
b
r
a
b
解得
3
a
，
2
b
，
2
13
r
，
因此所求圆的方程为
2
2
(
3)
(
2)
13
x
y
.
39.瑞士数学家欧拉（Euler）1765 年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､
垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC
的三个顶点为
4,3
A
，
5,2
B
，
1,0
C
.
(1)求ABC
外接圆的方程；
(2)求ABC
欧拉线的方程.
【解析】（1）（方法1）设所求圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
（
2
2
4
0
D
E
F
），
因为点
4,3
A
，
5,2
B
，
1,0
C
在所求的圆上，
所以
4
3
25
0
5
2
29
0
1
0
D
E
F
D
E
F
D
F
，解得
6
2
5
D
E
F
.
所以ABC
外接圆的方程为
2
2
6
2
5
0
x
y
x
y
.
（方法2）线段AB 的中点为9 5
,
2 2
，直线AB 的斜率
3
2
1
4
5
AB
k
，
所以线段AB 中垂线的方程为
2
0
x
y
.
同理可得，AC 中垂线的方程为
4
0
x
y
，
由
2
0
4
0
x
y
x
y
，解得
3
1
x
y
.
所以ABC
外接圆的圆心为
3,1 .
外接圆的半径
2
2
3
4
1 3
5
r
.
所以ABC
外接圆的方程为
2
2
3
1
5
x
y
.
（2）（方法1）因为
4,3
A
，
5,2
B
，
1,0
C
，
所以由三角形重心的坐标公式，得ABC
的重心为10 5
,
3 3
，
由（1）可知，ABC
外心为
3,1 ，
所以ABC
欧拉线的方程为
1
3
5
10
1
3
3
3
y
x
，即2
5
0
x
y
.
（方法2）在ABC
中，
由（1）可知，直线AB 的斜率为
1
AB
k
，直线AC 的斜率为1，
所以AB
AC
.
所以ABC
垂心为
4,3
A
.
由（1）可知，ABC
外心为
3,1 ，
所以ABC
欧拉线的方程为
1
3
3 1
4
3
y
x
，即2
5
0
x
y
.
40.已知圆心为C 的圆经过点
1,1
A
和
2, 2
B
，且圆心C 在直线l ：
1
0
x
y
上.
(1)求圆心为C 的圆的一般方程；
(2)已知
2,1
P
，Q 为圆C 上的点，求PQ 的最大值和最小值.
【解析】（1）∵
1,1
A
，
2, 2
B
，∴
1
2
3
1 2
AB
k
,
∴弦AB 的垂直平分线的斜率为1
3 ，
又弦AB 的中点坐标为3
1
,
2
2
，∴弦AB 的垂直平分线的方程为
1
1
3
2
3
2
y
x
，即
3
3
0
x
y
，
与直线l ：
1
0
x
y
联立，解得：
3,
2
x
y
，
圆心C 坐标为
3, 2
，∴圆的半径
2
2
1 3
1 2
5
r
AC
，
则圆C 的方程为
2
2
(
3)
(
2)
25
x
y
.
∴圆C 的一般方程为
2
2
6
4
12
0
x
x
y
y
；
（2）由（1）知圆C 的方程为
2
2
(
3)
(
2)
25
x
y
，
所以
2
2
2
3
1
2
34
PC
,∴
2,1
P
在圆C 外，
PQ
的最大值为34
5
，最小值为
34
5
.
41.已知直线l 过点
1,2
P
，且l 与,x y 轴分别交于点
,
A B ，OAB
为等腰直角三角形．
(1)求l 的方程；
(2)设O为坐标原点，点A 在x 轴负半轴，求过O，A ，P 三点的圆的一般方程．
【解析】（1）因为直线l 过点
1,2
P
，所以设直线为
2
1
y
k x
，
0
k
，
令
0
y
，得
2
1
x
k
，所以
2
1,0
A
k
令
0
x
，得
2
y
k
，所以
0,
2
B
k
，
又因为OAB
为等腰直角三角形，所以OA
OB
，
得
2
1
2
k
k
，
解
1
k 或
2
k ，
当
2
k 时直线过原点，不满足题意，
故直线l 的方程为
2
1
y
x
或
2
1
y
x
，
即
3
0
x
y
或
1
0
x
y
.
（2）由题意可知直线l 的方程为
3
0
x
y
，即
3 0
A , ，
设圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
2
2
4
0
D
E
F
，
将
0,0
O
，
3 0
A , ，
1,2
P
代入
得
0
9
3
0
1
4
2
0
F
D
F
D
E
F
，解得
3
1
0
D
E
F
，
所以所求圆的方程为
2
2
3
0
x
y
x
y
.
