概率章末复习卷（二）
一、单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5 分，8 题共40 分)
1.已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A，B 的四个命题：
①若任取�∈�，则�∈�是必然事件；
②若任取�∉�，则�∈�是不可能事件；
③若任取�∈�，则�∈�是随机事件；
④若任取�∉�，则�∉�是必然事件．
其中正确的命题有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解题思路】
由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.
【解答过程】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不
是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取�∈�，则�∈�是必然事件，故①正确；
对于②：任取�∉�，则�∈�是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，
集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，
集合B 中也存在集合A 中的元素，
所以任取�∈�，则�∈�是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，
任取�∉�，则�∉�是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有3 个．
故选：C．
2．掷两个面上分别记有数字1至6的正方体玩具，设事件A 为“点数之和恰好为6”，则A 中基本事件个数
为（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5个
【答案】D
【分析】直接列举出“点数之和恰好为6”的基本事件即可.
【解析】用
,x y 表示两个正方体玩具的点数分别为x ，y ，
则
1,5 , 2,4 , 3,3 , 4,2 , 5,1
A
，
∴A 中基本事件个数为5个.
故选：D.
3．从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（
）
A．至少有一个黑球与都是红球
B．至少有一个红球与都是红球
C．至少有一个红球与至少有1 个黑球
D．恰有1 个红球与恰有2 个红球
【答案】D
【分析】A. 至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A 不符合要求；B. 至少有一个红球包括
两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C. 至少有一个红球与至少有1 个黑球，含有同时发生的情况，
不符合要求；D. 恰有1 个红球与恰有2 个红球，二者符合题目要求.
【解析】A. 至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2 个球时，这两个事件又
一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；
B. 至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；
C. 至少有一个红球与至少有1 个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可
能，不是互斥关系，不符合要求；
D. 恰有1 个红球与恰有2 个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取
到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.
故选：D
4.下列说法正确的是（
）
A．若�，�为两个事件，则“�与�互斥”是“�与�相互对立”的必要不充分条件
B．若�，�为两个事件，则��+ �= ��+ ��
C．若事件�，�，�两两互斥，则��+ ��+ ��= 1
D．若事件�，�满足��+ ��= 1，则�与�相互对立
【解题思路】
根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D.
【解答过程】对于A，若事件�与�互斥，则�与�不一定相互对立，
但�与�相互对立，则�与�一定互斥，故“�与�互斥”是“�与�相互对立”的必要不充分条件，故A 正确；
对于B，若�，�为两个事件，则�(�+ �) = �(�) + �(�) −�(�∩�)，故B 错误；
对于C，若事件�，�，�两两互斥，则��+ ��+ ��= �不一定成立，
如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记�=“向上的点数为1”，�=“向上的点数为2”，�=“向上的点数为3”，
事件�，�，�两两互斥，但�(�) + �(�) + �(�) =
�
�+
�
�+
�
�=
�
�.故C 错误；
对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是
�
�，
抛掷一枚硬币，正面向上的概率是
�
�，满足��+ ��= �，但是�与�不对立，故D 错误.
故选：A.
5.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛
的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘
汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，
甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是
1
2，则甲最终获胜的概率是（
）
A．
1
16
B．
7
16
C．
3
8
D．
9
32
【解题思路】设甲失败的事件为�,乙失败的事件为�,丙失败的事件为�,甲最终获胜事件为�，根据题意列
出�的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解.
【解答过程】设甲失败的事件为�,乙失败的事件为�,丙失败的事件为�,甲最终获胜事件为�，
则甲最终获胜的概率为��= �����+ ������+ ������
+�(�����) + �(�����) + �(�����) + �(�����) + �(�����)
=
�
�
�
+
�
�
�
+
�
�
�
+
�
�
�
+
�
�
�
+
�
�
�
+
�
�
�
+
�
�
�
=
�
��.
故选：D.
6．“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857 与1 至6 中任意一个数
字相乘，乘积中仍然是1，4，2，8，5，7 这6 个数字轮流出现．若从1，4，2，8，5，7 这6 个数字中任
选2 个数字组成无重复数字的两位数，从这些两位数中随机选取1 个，这个两位数大于72 的概率为（
）
A．3
10
B．3
5
C．4
15
D．1
3
【答案】C
【分析】用列举法即可求解古典概型概率问题.
【解析】从1，4，2，8，5，7 这6 个数字中任选2 个，
所有不同的情况为：
1,4 ，
1,2 ，
1,8 ，
1,5 ，
1,7 ，
4,2 ，
4,8 ，
4,5 ，
4,7 ，
2,8 ，
2,5 ，
2,7 ，
8,5 ，
8,7 ，
5,7 ，共15 种，
则组成无重复数字的两位数的个数为15 2
30
．
若选取的两位数大于72，
则十位数字只能是7 或8，
符合要求的所有的两位数为74，75，78，81，82，84，85，87，共8 个，
故所求概率
8
4
30
15
P
．
故选：C.
7．某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率
视为概率），则下列说法正确的是（
）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间
25,30 内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15 天的概率为0.465
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15
【答案】B
【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数的
求法判断正误．
【解析】由图知：[0,5) 、[5,10) 、[10,15) 、[15,20) 、[20,25) 、[25,30) 的频率分别为0.1、0.2 、0.235、0.3、
0.065、0.1，
对于A：
20,25 内的天数最少，故A 错误；
对于B：估计锻炼天数超过15 天的概率为0.3
0.065
0.1
0.465
，故B 正确；
对于C：由[0,5) 、[5,10) 、[10,15) 频率和为0.1+0.2+0.235=0.535>0.5 ，设中位数为x，
则0.3+0.047 (
10)
0.5
x
，可得
200
10
16
47
x
，故C 错误；
对于D：平均天数为0.1 2.5+0.2 7.5+0.235 12.5+0.3 17.5+0.065 22.5+0.1 27.5
14.15天，故D 错误；
故选：B．
8.给定一个正整数�(�≥3)，从集合Ω = {1,2,3, ⋯, �}中随机抽取一个数，记事件�=“这个数为偶数”，事件
�=“这个数为3 的倍数”.下列说法正确的是（
）
A．若�= 6�，�∈�∗，则至少存在一个�，使事件�和事件�不独立
B．若�≠6�，�∈�∗，则存在无穷多个�，使事件�和事件�独立
C．若�为奇数，则至少存在一个�，使事件�和事件�独立
D．若�为偶数，则对任意的�，事件�和事件�独立
【解题思路】
主要是用���= ����判断事件的相互独立性.
【解答过程】对于A，对于任意�= ��，�∈�∗，��=
�
�, ��=
�
�, ���=
�
��=
�
�,
∴���= ����,即事件�和事件�独立，A 不正确.
对于B，当�= �时，��=
�
�, ��=
�
�, ���=
�
�,满足���= ����；
当�= ��时，��=
�
�, ��=
�
��, ���=
�
��,满足���= ����；
以此类推，当�= ���+�时，�∈�∗，��=
�
�, ��=
���+�−�
����+�, ���=
���+�−�
�×���+�，满足���= ����；
故存在无穷多个�，使事件�和事件�独立，B 正确.
对于C，当�= ��+ �时，�∈�，��=
��
��+�, ��=
��
��+�, ���=
�
��+�,
此时显然���≠����；
当�= ��+ �时，�∈�，��=
��+�
��+�, ��=
��+�
��+�, ���=
�
��+�,
此时显然���≠����；
当�= ��+ �时，�∈�，��=
��+�
��+�, ��=
��+�
��+�, ���=
�
��+�,
此时显然���≠����；
综上可知，对任意奇数，事件�和事件�都不独立；C 不正确.
对于D，当�= ��时，��=
�
��=
�
�, ��=
�
��, ���=
�
��=
�
�, ∴���≠����,D 不正确.
故选：B.
二、选择题：本题共4 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500 时各做5 组试验，得到事件A=“一
个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
序号
20
n
100
n
500
n
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（
）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
【答案】AC
【分析】根据频率和概率的关系判断
【解析】A 选项，验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故正确；
试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好；B 错误；
随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近,此固定值就是概率，C 正确；
我们要得到某事件发生的概率时，需要进行多次试验才能得到概率的估计值，故D 错误.
故选：AC
10．甲、乙两人参加消防安全知识竞赛活动．活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方
答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮活动中，甲、乙答对的概率分别为2
3 和
1
2 ，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则（
）．
A．每轮活动中，甲获胜的概率为1
3
B．每轮活动中，平局的概率为1
2
C．甲胜一轮乙胜两轮的概率为1
2
D．甲至少获胜两轮的概率为7
27
【答案】ABD
【分析】由事件的相互独立性，计算概率即可判断.
【解析】根据题意可得，甲获胜的概率为：2
1
1
1
3
2
3
，故A 正确；
乙获胜的概率为
2
1
1
1
3
2
6
，
所以平局的概率为
1
1
1
1
6
3
2
，故B 正确；
所以3 轮活动中，甲胜一轮乙胜两轮的概率为：
2
1
3
1
1
1
C
3
6
36
，故C 不正确；
甲至少获胜两次的概率为
3
2
2
3
1
1
1
1
2
7
C
1
3
3
3
27
9
27
故D 正确.
故选：ABD.
11.如图，从1 开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右
下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1 移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9 就是一条移动路
线，（
）
A．从1 移动到9，一共有34 条不同的移动路线
B．从1 移动到9 过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15 条．
C．若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4 的概率为
3
8
D．若每次移动都是随机的，记��为经过�的概率，则�7 > �8 > �9
【解题思路】画出树状图，结合图形及古典概型即可求解.
【解答过程】画出树状图，结合图形
则从1 移动到9，一共有34 条不同的移动路线，A 正确；
从1 移动到9 过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线，
即上图倒数第三行有9 的路线，有15 条，B 正确；
若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4 的路线共有10 条，
则其概率为
�
��，C 错误；
若每次移动都是随机的，记��为经过�的概率，则�(�) = �为最大值，�(�) < �，D 错误.
故选：AB.
12.某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队
都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3 分，平一
场得1 分，负一场得0 分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为
1
3，则在比赛结束时（
）
A．甲队积分为9 分的概率为
1
27
B．四支球队的积分总和可能为15 分
C．甲队胜3 场且乙队胜1 场的概率为
2
243D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为
8
243
【解题思路】
若甲队积分为9 分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况
判断B；由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断CD．
【解答过程】
对于选项A：若甲队积分为9 分，则甲胜乙、丙、丁，
所以甲队积分为9 分的概率为
�
�×
�
�×
�
�=
�
��，故A 正确；
对于选项B：四支球队共6 场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，
则甲得9 分，乙、丙、丁各得2 分，
所以四支球队的积分总和可能为15 分，故B 正确；
对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为
�
�，
则甲队胜3 场且乙队胜1 场的概率为
�
�
�
× �×
�
�×
�
�=
�
���，故C 错误；
对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与甲比赛，甲输，�×
�
�，例如是丙甲，
若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4 分，
这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4 分，不合题意，
在丙输的情况下，乙、丁已有3 分，
那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4 分，不合题意；
若甲全赢（概率是
�
�
�
）时，甲得6 分，其他3 人分数最高为5 分，
这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6 分，只有全平或全输，
①若丙一平一输，概率2
�
�
�
，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率
�
�；
②若丙两场均平，概率是
�
�
�
，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；
③若两场丙都输，概率是
�
�
�
，乙丁这场比赛只能平，概率是
�
�；
综上概率为�×
�
�×
�
�
�
× 2 ×
�
�
�
×
�
�+
�
�
�
+
�
�
�
×
�
�=
�
���，故D 正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共15 分。
13．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生
废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p
．
【答案】0.03
【解析】“不是废品”这一事件，要保证第一次正品，第二次也是正品，所以概率
(1
0.01)(1
)
0.9603
P
p
，
解得
0.03
p
．答案：0.03.
14．从2、3、8、9 任取两个不同的数值，分别记为a、b，则
为整数的概率=
．
【答案】1
6
【解析】试题分析：从2，3，8，9 中任取两个数记为,a b ，作为作为对数的底数与真数，共有
2
4
12
A
个
不同的基本事件，其中为整数的只有
2
3
log 8,log 9两个基本事件，所以其概率
2
1
12
6
P
.
考点：古典概型.
15.现有一款闯关游戏，共有4 关，规则如下：在第n 关要抛掷骰子n 次，每次观察向上面的点数并做记录，
如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2�+ �，则算过第�关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2 关
并过关的概率为
7
12
，若直接挑战第4 关，则过关的概率为
35
1296
.
【解题思路】由古典概型，独立事件的乘法公式逐一计算即可.
【解答过程】第一空，直接挑战第二关过关需两次点数之和大于22 + 2=6，两次点数满足要求的有如下几
种情况：（1，6），（2，5），（2，6），（3，4）……（6，5），（6，6），
则概率为：
1+2+3+4+5+6
6×6
=
7
12；
第二空，直接挑战第四关过关需四次点数之和大于24 + 4=20，四次点数满足要求的有如下几种情况：（5，
5，5，6）四种，（4，5，6，6）十二种，（5，5，6，6）六种，（3，6，6，6）四种，（4，6，6，6，）四种，
（5，6，6，6）四种，（6，6，6，6）一种，合计35 种，故概率为：
35
64 =
35
1296.
故答案为：
�
��；
��
����.
16.A 与B 二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A 手中有3 张两两不同的牌，B 手上有4 张牌，其中3 张
牌与A 手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为：
（ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A 先从B 手中抽取；
（ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；
（ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家；
假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A 获胜的概率为
3
5
．
【解题思路】
A 获胜分为3 种情况，利用概率的加法公式求解即可.
【解答过程】记初始�手上�张牌时，�胜的概率为��，
①当�手上有�张牌，�手上�张牌，包含�张“鬼牌”时，�获胜的概率为��
若�抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为
�
�，
若�抽中的是“鬼牌”，时，�抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为
�
�×
�
�× ��，
若�抽中的是“鬼牌”，时，�抽中的不是“鬼牌”，甲不可能获胜，此情况不存在，
所以��=
�
�+
�
�×
�
�× ��，解得��=
�
�,
②当�手上有�张牌，�手上�张牌，包含�张“鬼牌”时，�获胜的概率为��
若�抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为
�
�，
若�抽中的是“鬼牌”，时，�抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为
�
�×
�
�× ��，
若�抽中的是“鬼牌”，时，�抽中的不是“鬼牌”，甲不可能获胜，此情况不存在，
所以��=
�
�+
�
�×
�
�× ��，解得��=
�
�,
③当�手上有�张牌，�手上�张牌，包含�张“鬼牌”时，�获胜的概率为��
若�抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜的概率为
�
���，
若�抽中的是“鬼牌”，时，�抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为
�
�×
�
�× ��，
若�抽中的是“鬼牌”，时，�抽中的不是“鬼牌”，此轮结束后�有3 张牌，包含一张“鬼牌”，�有2 张牌，
当�再抽一次时，�有2 张牌，包含一张“鬼牌”，�有1 张牌，
�有2 张牌，包含一张“鬼牌”，�有1 张牌，此时�胜的对立事件为当�有1 张牌，
�有2 张牌，包含一张“鬼牌”，此时�胜，
则若�抽中的是“鬼牌”，时，�抽中的不是“鬼牌”，�胜的概率为
�
�×
�
��−��，
所以��=
�
���+
�
�×
�
�× ��+
�
�×
�
��−��，解得��=
�
�,
故答案为：
�
�.
四、解答题：本题共6 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．记三名射手甲、乙、丙在一次射击训练中，甲击中目标、乙击中目标、丙击中目标分别为事件�，�，
�，指出下列事件的含义：
(1)�∩�；
(2)�∩�∩�；
(3)�∪�；
(4)�∪�∪�.
【解题思路】（1）由交事件的定义求解即可.
（2）结合对立事件概率公式求解即可.
（3）结合对立事件，并事件的概率公式求解即可.
（4）由对立事件，互斥，独立事件概率公式求解即可.
【解答过程】（1）显然表示即满足甲击中目标、乙击中目标的事件，故为甲和乙都击中目标”.
（2）显然表示甲击中，丙击中，乙未击中，故为甲和丙都击中目标，乙未击中目标”.
（3）由对立事件公式得表示乙和丙都未击中目标”.
（4）由对立事件，互斥，独立事件概率公式求解得甲、乙、丙三人中至少有一人未击中目标”.
18．如下图，从A 地到火车站共有两条路径
1L 和
2L ，现随机抽取100 位从A 地到火车站的人进行调查，调
查结果如下表：
所用时间
分组/分
10,20
20,30
30,40
40,50
50,60
选择
1L 的人数
6
12
18
12
12
选择
2L 的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40 分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1 和L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率．
【答案】(1)0.44
(2)答案见解析
【分析】先依题意把所用时间落在
40,50 和
50,60 这两个区间段内的人数相加（包括选择
1L 的人数以及
选择
2L 的人数）再除以总人数来算出频率，以此来估计概率即可.
由频率定义或者公式结合表中数据即可得解
【解析】（1）由题意一共调查了100 人，其中共有12 12 16
4
44
（人）40 分钟内不能赶到火车站，
对应的频率为
44
0.44
100
f
，故用频率估计相应的概率为0.44
（2）调查人数中有60 人选择路线
1L ，40 人选择路线
2L ，所以由调查结果得频率如下表所示：
所用时间
分组/分
10,20
20,30
30,40
40,50
50,60
选择
1L 的人数
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
选择
2L 的人数
0
0.1
0.4
0.4
0.1
19．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，
若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为4
5 ，3
5 ；
在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为2
3 ，3
4 ，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率；
(2)从甲、乙两人中选1 人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(3)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】(1) 2
5
(2)派甲参赛获胜的概率更大
(3) 223
300
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；
（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；
（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.
【解析】（1）设
1A “甲在第一轮比赛中胜出”，
2
A “甲在第二轮比赛中胜出”，
1B “乙在第一轮比赛中胜出”，
2
B “乙在第二轮比赛中胜出”，
则
1A ，
2
A ，
1
B ，
2
B 相互独立，且
1
4
5
P A
，
2
2
3
P A
，
1
3
5
P B
，
2
3
4
P B
，
设C “甲在比赛中恰好赢一轮”
则
1
2
1
2
1
2
1
2
4
1
1
2
6
2
5
3
5
3
15
5
P C
P A A
A A
P A A
P A A
；
（2）因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则
1
2
A A “甲赢得比赛”，
1
2
B B “乙赢得比赛”，
所以
1
2
1
2
4
2
8
5
3
15
P A A
P A P A
，
1
2
1
2
3
3
9
5
4
20
P B B
P B P B
，
因为8
9
15
20
，所以派甲参赛获胜的概率更大；
（3）设D =“甲赢得比赛”，E “乙赢得比赛”，
于是D
E
“两人中至少有一人赢得比赛”，
由（2）知，
1
2
8
15
P D
P A A
，
1
2
9
20
P E
P B B
所以
8
7
1
1 15
15
P D
P D
，
9
11
1
1
20
20
P E
P E
，
所以
7
11
223
1
1
1 15
20
300
P D
E
P DE
P D P E
.
20.某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40 名同学
进行询问打分，将最终得分按[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，分成6 段，并得到
如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a 的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
（2）若从打分区间在[60,70)的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分
区间[65,70)的概率.
【解题思路】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，由(�. ��+ �. ��+ �+ �. ��+ �. ��+
�. ��) × �= �求得a，然后利用中位数公式求解.
（2）先分别得到打分区间在[��, ��)和打分区间在[��, ��)的同学的人数，然后利用古典概型的概率公式
求解.
【解答过程】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，
所以(�. ��+ �. ��+ �+ �. ��+ �. ��+ �. ��) × �= �，
解得�= �. ��，
所以中位数为
��+��
�
= ��. �；
（2）打分区间在[��, ��)的同学共有��× �. ��× �= �人，分别记为�, �，
打分区间在[��, ��)的同学共有��× �. ��× �= �人，分别记为�, �, �, �，
从这6 人中随机抽出两位同学，共有以下15 种情况：
��，��，��，��，��；��，��，��，��；��，��，��；��，��；��
其中，至少有一位同学来自打分区间[��, ��)共有14 种情况：
��，��，��，��；��，��，��，��；��，��，��；��，��；��
所以至少有一位同学来自打分区间[��, ��)的概率为�=
��
��.
21．某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确
定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类
推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，
比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为1
2 ，且每局比赛相互独立.
(1)求比赛进行四局结束的概率；
(2)求甲获得比赛胜利的概率.
【答案】(1) 1
8
(2) 3
8
【分析】列举各问中的可能事件，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可
得解；
【解析】（1）比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局
丙获胜,
第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
16
P
,
第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
16
P
,
故比赛进行四局结束的概率
1
2
1
1
1
16
16
8
P
P
P
.
（2）设甲获胜为事件A ，乙获胜为事件B ，丙获胜为事件C ，
比赛进行三局，甲获胜的概率为1
1
1
1
2
2
2
8
,
比赛进行五局，有以下6 种情况：
,
,
,
,
,
AABBA AABCA ACBAA ACCAA BBAAA BCAAA ，
甲获胜的概率为1
1
1
1
1
3
6
2
2
2
2
2
16
,
比赛进行七局，有一下8 种情况：
,
,
,
,
,
,
,
AABCCBA AABBCCA ACBBCAA ACBACBA ACCABBA BBACA CA BCAACBA BCCBAAA
甲获胜的概率为1
1
1
1
1
1
1
1
8
2
2
2
2
2
2
2
16
,
故甲获得比赛胜利的概率为1
3
1
3
8
16
16
8
.
22．2022 年11 月29 日23 时08 分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F 遥十五运载火箭在酒泉卫星发
射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组首次太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的
发射时间和飞行时长.
名称
发射时间
飞行时长
神舟一号
1999 年11 月20 日
21 小时11 分
神舟二号
2001 年1 月10 日
6 天18 小时22 分
神舟三号
2002 年3 月25 日
6 天18 小时39 分
神舟四号
2002 年12 月30 日
6 天18 小时36 分
神舟五号
2003 年10 月15 日
21 小时28 分
神舟六号
2005 年10 月12 日
4 天19 小时32 分
神舟七号
2008 年9 月25 日
2 天20 小时30 分
神舟八号
2011 年11 月1 日
16 天
神舟九号
2012 年6 月16 日
13 天
神舟十号
2013 年6 月11 日
15 天
神舟十一号
2016 年10 月17 日
32 天
神舟十二号
2021 年6 月17 日
3 个月
神舟十三号
2021 年10 月16 日
6 个月
神舟十四号
2022 年6 月5 日
6 个月
神舟十五号
2022 年11 月29 日
预计6 个月
为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画､海报､数据统计图表等形式
宣传“神舟系列飞船之旅”.
(1)绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1 艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10
月份的概率；
(2)海报组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30 天的神舟飞船中随机选取2 艘制作海报，求选中
的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）均为6 个月的概率；
(3)数据统计组成员在2022 年5 月计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为
0.2022
年
12 月30 日又计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为
1
.试判断
0
和
1
的大小.（结
论不要求证明）
【答案】(1) 4
15
(2) 3
10
(3)
0
1
【分析】（1）设“神舟飞船的发射时间恰好是在10 月份”为事件
,
A 列举出满足事件A 的样本点，即可算出
概率；
（2）列举基本事件，根据古典概型公式求解即可
（3）比较
0
和新加入的数，即可得到结论
【解析】（1）记名称为神舟第i 号飞船为
ia ，则“从表中所有的神舟飞船中随机选取1 艘”的样本空间为
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Ω
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
a a a a
a a a a a a
a
a
a
a
a
，共15 个样本点.
设“神舟飞船的发射时间恰好是在10 月份”为事件
,
A
则
5
6
11
13
,
,
,
A
a a a
a
，共4 个样本点，所以
4
( )
15
P A
（2）“从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30 天的神舟飞船中随机选取2 艘”的样本空间为
2
11
12
11
13
11
14
11
15
12
13
Ω
(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
12
14
12
15
13
14
13
15
14
15
(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,共10 个样本
点.
设“选中的神舟飞船的飞行时长(包括预计飞行时长)均为6 个月”为事件B，则
13
14
13
15
14
15
(
,
),(
,
),(
,
)
B
a
a
a
a
a
a
，共3 个样本点，
所以
3
( )
10
P B
（3）易得2022 年5 月计算神舟一号到神舟十三号的平均数
0
小于6 个月，
2022 年12 月30 日又计算了一遍，新加入神舟十四号和神舟十五号的数据，一定会比
0
要大，故会拉高
平均数，所以
0
1
