2023届高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量
一、选择题（共20小题；）
1. 若随机变量 X 的概率分布如下表所示，则表中 a 的值为 ()
X 1 2 3 4
1 1 1
P a
2 6 6
1 1 1
A. 1 B. C. D.
2 3 6
2. 已知某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 描述 1 次试验成功的次数，则
P(X=0) 等于 ()
1 1 2
A. 0 B. C. D.
2 3 3
3. 若随机变量 ξ∼B(n,0.6)，且 E(ξ)=3，则 P(ξ=1) 的值是 ()
A. 2×0.44 B. 2×0.45 C. 3×0.44 D. 3×0.64
2
4. 甲射击时命中目标的概率为 0.75，乙射击时命中目标的概率为 ，当两人同时射击同一目标时，
3
该目标被击中的概率为 ()
1 11 5
A. B. 1 C. D.
2 12 6
2
5. 在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是 ，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的
3
概率是 ()
40 80 110 20
A. B. C. D.
243 243 243 243
6. 一个盒子里装有相同大小的 10 个黑球，12 个红球，4 个白球，从中任取 2 个，其中白球的
C1 C1+C2
个数记为 X，则下列概率等于 22 4 22 的是 ()
C2
26
A. P(0<X≤2) B. P(X≤1)
C. P(X=1) D. P(X=2)
7. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6，现有 4 颗子弹，命中后的剩余
子弹数目 ξ 的期望为 ()
A. 2.44 B. 3.376 C. 2.376 D. 2.4
8. 在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则
事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 ()
A. [0.4,1] B. (0,0.4] C. (0,0.6] D. [0.6,1]
(1) i
9. 设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=i)=a ，i=1,2,3，则实数 a 的值为 ()
39 11 27
A. 1 B. C. D.
13 13 13
10. 一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球
出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X=12) 等于 ()
A.
C10(3) 10 (5) 2
B.
C9
(3) 9 (5) 2
C.
C9
(5) 9 (3) 2
D.
C9
(3) 10 (5) 2
12 8 8 12 8 8 11 8 8 11 8 8
11. 已知随机变量 ξ，η 满足 η=−2ξ+5，若 E(ξ)=3，D(ξ)=2，则 ()
A. E(η)=−1，D(η)=8 B. E(η)=−1，D(η)=−4
C. E(η)=3，D(η)=2 D. E(η)=−3，D(η)=1
12. 在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p ，p ，p ，p ，且 ∑4 p =1，则下面
1 2 3 4 i=1 i
四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 ()
A. p =p =0.1，p =p =0.4 B. p =p =0.4，p =p =0.1
1 4 2 3 1 4 2 3
C. p =p =0.2，p =p =0.3 D. p =p =0.3，p =p =0.2
1 4 2 3 1 4 2 3
13. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为 0.6，现有 4 颗子弹，则射击停
止后剩余子弹的数目 X 的均值为 ()
A. 2.44 B. 3.376 C. 2.376 D. 2.4
14. 某群体中每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体
10 位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，P(X=4)<P(X=6)，则 p= ()
A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3
15. 现有语文、数学课本共 7 本（其中语文课本不少于 2 本），从中任取 2 本，至多有 1 本语
5
文课本的概率是 ，则语文课本的本数为 ()
7
A. 2 本 B. 3 本 C. 4 本 D. 5 本
16. 某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验 3 次
2
均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为 ，则此人试验次数 ξ 的数学期望是 ()
3
4 13 5 13
A. B. C. D.
3 9 3 7
17. 函数 y=f (x) 的图象如图所示，在区间 [a,b] 上可找到 n（n≥2 且 n∈N）个不同的数 x ，
1
f (x ) f (x ) f (x )
x ，…，x ，使得 1 = 2 =⋯= n ，则 n 的取值范围是 ()
2 n x x x
1 2 nA. {3,4} B. {2,3,4} C. {3,4,5} D. {2,3}
18. 已知 a，b，c 为实数，随机变量 X，Y 的分布列如下：
X −1 0 1
1 1 1
P
3 2 6
Y −1 0 1
P a b c
若 E(Y)=P(Y =−1)，随机变量 Z 满足 Z=XY，其中随机变量 X，Y 相互独立，则 E(Z) 的
取值范围是 ()
[ 3 ] [ 1 ] [ 1 ] [3 ]
A. − ,1 B. − ,0 C. ,1 D. ,1
4 18 18 4
19. 在下列各函数中，最小值等于 2 的函数是 ()
1 1 ( π)
A. y=x+ B. y=cosx+ 0<x<
x cosx 2
x2+3 4
C. y= D. y=ex+ −2
√x2+2 ex
20. 某地一条主于道上有 46 盏路灯，相邻两盏路灯之间间隔 30 米，有关部门想在所有相邻路灯
间都新添一盏，假设工人每次在两盏灯之间添新路灯是随机，并且每次添新路灯相互独立．新
添路灯与左右相邻路灯的间隔都不小于 10 米是符合要求的，记符合要求的新添路灯数量为 ζ，
则 D(ζ)= ()
A. 30 B. 15 C. 10 D. 5
二、填空题（共5小题；）
21. 设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
若离散型随机变量 Y 满足 Y =2X+1，则 E(Y)= ；D(Y)=
．
19
22. 设 3 次独立重复试验中，事件 A 发生的概率相等，若已知 A 至少发生一次的概率等于 ，
27
则事件 A 在一次试验中发生的概率是 ．23. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为
0.7，则他连续罚球 3 次，得到的分数 X 的期望为 ．
24. 设离散型随机变量 ξ 的可能取值为 1，2，3，4，P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4)，又 ξ 的数学
期望 E(ξ)=3，则 a+b= ．
25. 一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设
拿出黄球的个数为 ξ，则 P(ξ=0)= ；E(ξ)= ．
三、解答题（共5小题；）
26. 某科研团队硏发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门
从某地区（人数众多）随机选取了 80 位患者和 100 位非患者，用该试剂盒分别对他们进行
检测，结果如下：
患者的检测结果 人数
阳性 76
阴性 4
非患者的检测结果 人数
阳性 1
阴性 99
（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
（2）从该地区患者中随机选取 3 人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以 X
表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求 X 的分布列和数学期望；
（3）假设该地区有 10 万人，患病率为 0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测
一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过 0.5?并说明理由
27. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100
位顾客的相关数据，如表所示．
一次购物量/件 1∼4 5∼8 9∼12 13∼16 ≥17
顾客数/人 x 30 25 y 10
结算时间/(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%．
（1）确定 x，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望．
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客
结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率（注：将频率视为概率）．
28. A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A 组：10，11，12，13，14，15，16
B 组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从 A，B 两组随几各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B
组选出的人记为乙．
（1）求甲的康复时间不少于 14 天的概率．
（2）如果 a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
（3）当 a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等?（结论不要求证明）1
29. 已知某种动物服用某种特药一次后当天出现A症状的概率为 ．为了研究连续服用该药物后出
3
现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假
设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关．
（1）如果出现A症状即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；
（2）如果在一个用药周期内出现 3 次或 4 次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验
至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为 η，求 η 的期望．
30. 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概
1 1 1
率分别为 ， ， ．
2 3 4
（1）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；
（2）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率．答案
1. D
2. C 【解析】“X=0”表示试验失败，“X=1”表示试验成功．设失败率为 p，则成功率为 2p，
1
则 p+2p=1，得 p= ．
3
3. C 【解析】利用二项分布期望公式求得 n=5，利用独立重复试验概率公式：
P(ξ=1)=C1×0.44×0.61
可求．
5
( 2) 1 1 11
4. C 【解析】所求概率 P=1−(1−0.75)× 1− =1− × = ．
3 4 3 12
5. B
2
【解析】根据每次比赛中，运动员甲胜运动员乙的概率是 ，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获
3
胜的概率是
C3(2) 3 (
1−
2) 2
=
80
5 3 3 243
6. B 【解析】本题相当于至多取出 1 个白球的概率，即取到 1 个白球或没有取到白球的概率．
7. C 【解析】由题意知 ξ=0,1,2,3，
因为当 ξ=0 时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，
所以 P(ξ=0)=0.43，
因为当 ξ=1 时，表示前两次都没射中，第三次射中，
所以 P(ξ=1)=0.6×0.42，
因为当 ξ=2 时，表示第一次没射中，第二次射中，
所以 P(ξ=2)=0.6×0.4，
因为当 ξ=3 时，表示第一次射中，
所以 P(ξ=3)=0.6，
所以 Eξ=2.376．
8. A 【解析】设事件 A 发生的概率为 p，则 C1 p(1−p) 3≤C2 p2(1−p) 2，解得 p≥0.4．
4 4
(1) i
9. D 【解析】因为随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=i)=a ，i=1,2,3，
3
[1 (1) 2 (1) 3] 27
所以 a + + =1，解得 a= ．
3 3 3 13
10. D
【解析】“X=12”表示第 12 次取到红球，前 11 次有 9 次取到红球，2 次取到白球，
因此 P(X=12)=
3
C9
(3) 9 (5) 2
=C9
(3) 10 (5) 2
．
8 11 8 8 11 8 8
11. A 【解析】因为 η=−2ξ+5，所以 E(η)=−2E(ξ)+5，D(η)=(−2) 2D(ξ)，
又 E(ξ)=3，D(ξ)=2，所以 E(η)=−1，D(η)=8．12. B 【解析】E(x)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5，所以
D(x) =(1−2.5) 2×0.1+(2−2.5) 2×0.4+(3−2.5) 2×0.4+(4−2.5) 2×0.1
¿ ¿
同理选项B：E(x)=2.5，D(x)=1.85；
选项C：E(x)=2.5，D(x)=1.05；
选项D：E(x)=2.5，D(x)=1.45．
13. C
14. B 【解析】某群体中每位成员使用移动支付的概率都为 p，可看做是独立重复事件，该群体 10
位成员的支付情况满足 X∼B(10,p)，
{ D(X)=2.4, { 10p(1−p)=2.4,
其中 ⇒
P(X=4)<P(X=6) C4 p4(1−p) 6<C6 p6(1−p) 4,
10 10
解得 p=0.4或0.6，且 p>0.5，故 p=0.6．
15. C
【解析】设语文课本有 m 本，任取 2 本书中的语文课本数为 X，
则 X 服从参数为 N=7，M=m，n=2 的超几何分布，
其中 X 的所有可能取值为 0，1，2，
Ck C2−k
且 P(X=k)= m 7−m(k=0,1,2)．
C2
7
由题意，得
P(X≤1) =P(X=0)+P(X=1)
1 (7−m)(6−m) m(7−m)
¿ = × +
2 21 21
¿ ¿
所以 m2−m−12=0，
解得 m=4 或 m=−3．
即 7 本书中语文课本有 4 本．
16. B 【解析】试验次数 ξ 的可能取值为 1，2，3，
2 1 2 2 1 1 (2 1)1
P(ξ=1)= ，P(ξ=2)= × = ，P(ξ=3)= × × + ．
3 3 3 9 3 3 3 3 9
所以 ξ 的分布列为
ξ 1 2 3
2 2 1
P
3 9 9
2 2 1 13
所以 E(ξ)=1× +2× +3× = ．
3 9 9 9
f (x ) f (x ) f (x )
17. B 【解析】设 1 = 2 =⋯= n =k，则 y=f (x) 的图象与直线 y=kx 的交点的坐标
x x x
1 2 n
满足题中等式．由题图易知交点可以有 0 个，1 个，2 个，3 个或 4 个，又 n≥2 且 n∈N，故
n 的取值可以是 2，3，4．18. B 【解析】由已知得，E(Y)=c−a，P(Y =−1)=a，
所以 c−a=a，即 c=2a，
又 a+b+c=1，故 b=1−a−c=1−3a∈[0,1]，
[ 1]
所以 a∈ 0, ，
3
随机变量 Z 的可能取值为 −1，0，1，
1 1 5
P(Z=−1)= c+ a= a，
3 6 6
1 1 1 1 3
P(Z=0)= b+ b+ b+ (a+c)=1− a，
3 2 6 2 2
1 1 2
P(Z=1)= a+ c= a，
3 6 3
可得随机变量 Z 的分布列为
Z −1 0 1
5 3 2
P a 1− a a
6 2 3
5 2 1 [ 1 ]
所以 E(Z)=− a+ a=− a∈ − ,0 ．
6 3 6 18
19. D 【解析】对于选项A：当 x<0 时，A显然不满足条件；
1
选项B：y=cosx+ ≥2，当 cosx=1 时取等号，
cosx
π
当 0<x< 时，cosx≠1，B显然不满足条件；
2
1
对于C：不能保证
√x2+2=
，故错；
√x2+2
4 √ 4
对于D：因为 ex>0，所以 ex+ −2≥2 ex ⋅ −2=2，
ex ex
故只有D满足条件．
20. C
【解析】因为工人每次在两盏灯之间添新路灯是随机，并且每次添新路灯相互独立，
所以符合要求的新添路灯数量为 ζ 服从二项分布，
因为相邻两盏路灯之间间隔 30 米，且新添路灯与左右相邻路灯的间隔都不小于 10 米是符合要求的，
1
所以每次添路灯符合要求的概率 p= ，
3
( 1)
由题可知要添路灯 45 盏路灯，则 ζ∼B 45, ，
3
1 ( 1)
所以 D(ζ)=np(1−p)=45× × 1− =10．
3 321. 5.8，8.96
1
22.
3
23. 2.1
1
24.
10
1
25. ，1
3
【解析】因为 ξ=0 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
1 1 1 1
所以 P(ξ=0)= + × = ．
4 4 3 3
随机变量 ξ=0,1,2，
2 1 2 1 1 1 2 1 1
P(ξ=1)= × + × × + × × = ，
4 3 4 3 2 4 3 2 3
1 1 1
P(ξ=2)=1− − = ，
3 3 3
1 1 1
所以 E(ξ)=0× +1× +2× =1．
3 3 3
26. （1） 由题意知，80 位患者中有 76 位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．
76 19
所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率佔计为 = ．
80 20
19
（2） 由题意可知 X−B(n,p)，其中 n=3，p= ．
20
X 的所有可能的取值为 0，1，2，3．
P(X=0)=C0(19) 0
×
( 1 ) 3
=
1
，
3 20 20 8000
P(X=1)=C1(19) 1
×
( 1 ) 2
=
57
，
3 20 20 8000
P(X=2)=C2(19) 2
×
( 1 ) 1
=
1083
，
3 20 20 8000
P(X=3)=C3(19) 3
×
( 1 ) 0
=
6859
．
3 20 20 8000
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 57 1083 6859
P
8000 8000 8000 8000
57
故 X 的数学期望 E(X)=np= ．
20
（3） 此人患该疾病的概率未超过 0.5，理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为
1 19
99000× +1000× =990+950=1940，其中患者人数为 950．
100 20
950 970
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 < =0.5，
1940 1940
所以此人患该疾病的概率未超过 0.5．
27. （1） 由已知得 25+ y+10=55，x+30=45，所以 x=15，y=20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为
15 3
总体的一个容量为 100 的简单随机样本，将频率视为概率得 P(X=1)= = ，
100 20
30 3 25 1 20 1 10 1
P(X=1.5)= = ，P(X=2)= = ，P(X=2.5)= = ，P(X=3)= = ．
100 10 100 4 100 5 100 10
X 的分布列如表所示．
X 1 1.5 2 2.5 3
3 3 1 1 1 X
P
20 10 4 5 10
3 3 1 1 1
的数学期望为 E(X)=1× +1.5× +2× +2.5× +3× =1.9．
20 10 4 5 10
（2） 记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”，X (i=1,2) 为该顾
i
P(A) =P(X =1且X =1)+P(X =1且X =1.5)
客前面第 i 位顾客的结算时间，则 1 2 1 2
¿ ¿
由于各顾客的结算相互独立，且 X ，X 的分布列都与 X 的分布列相同，所以
1 2
P(A) =P(X =1)×P(X =1)+P(X =1)×P(X =1.5)
1 2 1 2
3 3 3 3 3 3
¿ = × × × + ×
20 20 20 10 10 20
¿ ¿
9
故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 ．
80
28. （1） 设“甲康复的时间不少于 14 天”为事件 A．
由“从 A，B 两组随机地各选 1 人”，可认为基本事件数为 7×7=49，其中满足“甲康复的时间
3×7 3
不少于 14 天”的基本事件数为 3×7=21，所以 P(A)= = ．
7×7 7
（2） 设事件 A 为“甲是 A 组第 i 个人”，事件 B 为“乙是 B 组第 i 个人”，
i i
i=1,2,⋯,7．
由题知，当甲是从 A 组中康复时间为 10，11 两人中选或乙是从 B 组中康复时间为 17，25 两人
中选时，必不满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”．故甲是从 A 组中康复时间为 12，13，14，
15，16 五人中选取，且乙是从 B 组中康复时间为 12，13，14，15，16 五人中选取，
可认为基本事件数为 5×5=25，其中满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”的基本事件数为 10．
5 5 10 10
设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，因此 P(C)= × × = .
7 7 25 49
（3） a=11 或 18；29. （1） 方法一：设持续 i 天为事件 A ，i=1,2,3,4，
i
用药持续最多一个周期为事件 B，
1 1 2 2 1 (2) 2 4 1 (2) 3 8
所以 P(A )= ，P(A )= × = ，P(A )= × = ，P(A )= × = ，
1 3 2 3 3 9 3 3 3 27 4 3 3 81
65
则 P(B)=P(A )+P(A )+P(A )+P(A )= ．
1 2 3 4 81
方法二：设用药持续最多一个周期为事件 B，则 B 为用药超过一个周期，
(2) 4 16
所以 P(B)= = ，
3 81
(2) 4 65
所以 P(B)=1− = ．
3 81
（2） 因为随机变量 η 可取 1，2，
所以
P(η=1)=C3(1) 3 (2) 1
+
(1) 4
=
1
，P(η=2)=1−
1
=
8
，
4 3 3 3 9 9 9
1 8 17
所以 E(η)=1× +2× = ．
9 9 9
30. （1） 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3；
( 1) ( 1) ( 1) 1
则 P(X=0)= 1− × 1− × 1− = ，
2 3 4 4
1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1
P(X=1) = × 1− × 1− + 1− × × 1− + 1− × 1− ×
2 3 4 2 3 4 2 3 4
¿ ¿
( 1) 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1)
P(X=2) = 1− × × + × 1− × + × × 1−
2 3 4 2 3 4 2 3 4
¿ ¿
1 1 1 1
P(X=3)= × × = ；
2 3 4 24
所以，随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 11 1 1
P
4 24 4 24
1 11 1 1 13
随机变量 X 的数学期望为 E(X)=0× +1× +2× +3× = ．
4 24 4 24 12
（2） 设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
P(Y +Z=1) =P(Y =0,Z=1)+P(Y =1,Z=0)
1 11 11 1
¿ = × + ×
4 24 24 4
¿ ¿
11
所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 ．
48
