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2023届高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量
一、选择题（共20小题；）
1. 若随机变量 X 的概率分布如下表所示，则表中 a 的值为 ()
X 1 2 3 4
1 1 1
P a
2 6 6
1 1 1
A. 1 B. C. D.
2 3 6
2. 已知某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 描述 1 次试验成功的次数，则
P(X=0) 等于 ()
1 1 2
A. 0 B. C. D.
2 3 3
3. 若随机变量 ξ∼B(n,0.6)，且 E(ξ)=3，则 P(ξ=1) 的值是 ()
A. 2×0.44 B. 2×0.45 C. 3×0.44 D. 3×0.64
2
4. 甲射击时命中目标的概率为 0.75，乙射击时命中目标的概率为 ，当两人同时射击同一目标时，
3
该目标被击中的概率为 ()
1 11 5
A. B. 1 C. D.
2 12 6
2
5. 在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是 ，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的
3
概率是 ()
40 80 110 20
A. B. C. D.
243 243 243 243
6. 一个盒子里装有相同大小的 10 个黑球，12 个红球，4 个白球，从中任取 2 个，其中白球的
C1 C1+C2
个数记为 X，则下列概率等于 22 4 22 的是 ()
C2
26
A. P(00.5，故 p=0.6．
15. C
【解析】设语文课本有 m 本，任取 2 本书中的语文课本数为 X，
则 X 服从参数为 N=7，M=m，n=2 的超几何分布，
其中 X 的所有可能取值为 0，1，2，
Ck C2−k
且 P(X=k)= m 7−m(k=0,1,2)．
C2
7
由题意，得
P(X≤1) =P(X=0)+P(X=1)
1 (7−m)(6−m) m(7−m)
¿ = × +
2 21 21
¿ ¿
所以 m2−m−12=0，
解得 m=4 或 m=−3．
即 7 本书中语文课本有 4 本．
16. B 【解析】试验次数 ξ 的可能取值为 1，2，3，
2 1 2 2 1 1 (2 1)1
P(ξ=1)= ，P(ξ=2)= × = ，P(ξ=3)= × × + ．
3 3 3 9 3 3 3 3 9
所以 ξ 的分布列为
ξ 1 2 3
2 2 1
P
3 9 9
2 2 1 13
所以 E(ξ)=1× +2× +3× = ．
3 9 9 9
f (x ) f (x ) f (x )
17. B 【解析】设 1 = 2 =⋯= n =k，则 y=f (x) 的图象与直线 y=kx 的交点的坐标
x x x
1 2 n
满足题中等式．由题图易知交点可以有 0 个，1 个，2 个，3 个或 4 个，又 n≥2 且 n∈N，故
n 的取值可以是 2，3，4．18. B 【解析】由已知得，E(Y)=c−a，P(Y =−1)=a，
所以 c−a=a，即 c=2a，
又 a+b+c=1，故 b=1−a−c=1−3a∈[0,1]，
[ 1]
所以 a∈ 0, ，
3
随机变量 Z 的可能取值为 −1，0，1，
1 1 5
P(Z=−1)= c+ a= a，
3 6 6
1 1 1 1 3
P(Z=0)= b+ b+ b+ (a+c)=1− a，
3 2 6 2 2
1 1 2
P(Z=1)= a+ c= a，
3 6 3
可得随机变量 Z 的分布列为
Z −1 0 1
5 3 2
P a 1− a a
6 2 3
5 2 1 [ 1 ]
所以 E(Z)=− a+ a=− a∈ − ,0 ．
6 3 6 18
19. D 【解析】对于选项A：当 x<0 时，A显然不满足条件；
1
选项B：y=cosx+ ≥2，当 cosx=1 时取等号，
cosx
π
当 00，所以 ex+ −2≥2 ex ⋅ −2=2，
ex ex
故只有D满足条件．
20. C
【解析】因为工人每次在两盏灯之间添新路灯是随机，并且每次添新路灯相互独立，
所以符合要求的新添路灯数量为 ζ 服从二项分布，
因为相邻两盏路灯之间间隔 30 米，且新添路灯与左右相邻路灯的间隔都不小于 10 米是符合要求的，
1
所以每次添路灯符合要求的概率 p= ，
3
( 1)
由题可知要添路灯 45 盏路灯，则 ζ∼B 45, ，
3
1 ( 1)
所以 D(ζ)=np(1−p)=45× × 1− =10．
3 321. 5.8，8.96
1
22.
3
23. 2.1
1
24.
10
1
25. ，1
3
【解析】因为 ξ=0 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
1 1 1 1
所以 P(ξ=0)= + × = ．
4 4 3 3
随机变量 ξ=0,1,2，
2 1 2 1 1 1 2 1 1
P(ξ=1)= × + × × + × × = ，
4 3 4 3 2 4 3 2 3
1 1 1
P(ξ=2)=1− − = ，
3 3 3
1 1 1
所以 E(ξ)=0× +1× +2× =1．
3 3 3
26. （1） 由题意知，80 位患者中有 76 位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．
76 19
所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率佔计为 = ．
80 20
19
（2） 由题意可知 X−B(n,p)，其中 n=3，p= ．
20
X 的所有可能的取值为 0，1，2，3．
P(X=0)=C0(19) 0
×
( 1 ) 3
=
1
，
3 20 20 8000
P(X=1)=C1(19) 1
×
( 1 ) 2
=
57
，
3 20 20 8000
P(X=2)=C2(19) 2
×
( 1 ) 1
=
1083
，
3 20 20 8000
P(X=3)=C3(19) 3
×
( 1 ) 0
=
6859
．
3 20 20 8000
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 57 1083 6859
P
8000 8000 8000 8000
57
故 X 的数学期望 E(X)=np= ．
20
（3） 此人患该疾病的概率未超过 0.5，理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为
1 19
99000× +1000× =990+950=1940，其中患者人数为 950．
100 20
950 970
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 < =0.5，
1940 1940
所以此人患该疾病的概率未超过 0.5．
27. （1） 由已知得 25+ y+10=55，x+30=45，所以 x=15，y=20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为
15 3
总体的一个容量为 100 的简单随机样本，将频率视为概率得 P(X=1)= = ，
100 20
30 3 25 1 20 1 10 1
P(X=1.5)= = ，P(X=2)= = ，P(X=2.5)= = ，P(X=3)= = ．
100 10 100 4 100 5 100 10
X 的分布列如表所示．
X 1 1.5 2 2.5 3
3 3 1 1 1 X
P
20 10 4 5 10
3 3 1 1 1
的数学期望为 E(X)=1× +1.5× +2× +2.5× +3× =1.9．
20 10 4 5 10
（2） 记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”，X (i=1,2) 为该顾
i
P(A) =P(X =1且X =1)+P(X =1且X =1.5)
客前面第 i 位顾客的结算时间，则 1 2 1 2
¿ ¿
由于各顾客的结算相互独立，且 X ，X 的分布列都与 X 的分布列相同，所以
1 2
P(A) =P(X =1)×P(X =1)+P(X =1)×P(X =1.5)
1 2 1 2
3 3 3 3 3 3
¿ = × × × + ×
20 20 20 10 10 20
¿ ¿
9
故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 ．
80
28. （1） 设“甲康复的时间不少于 14 天”为事件 A．
由“从 A，B 两组随机地各选 1 人”，可认为基本事件数为 7×7=49，其中满足“甲康复的时间
3×7 3
不少于 14 天”的基本事件数为 3×7=21，所以 P(A)= = ．
7×7 7
（2） 设事件 A 为“甲是 A 组第 i 个人”，事件 B 为“乙是 B 组第 i 个人”，
i i
i=1,2,⋯,7．
由题知，当甲是从 A 组中康复时间为 10，11 两人中选或乙是从 B 组中康复时间为 17，25 两人
中选时，必不满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”．故甲是从 A 组中康复时间为 12，13，14，
15，16 五人中选取，且乙是从 B 组中康复时间为 12，13，14，15，16 五人中选取，
可认为基本事件数为 5×5=25，其中满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”的基本事件数为 10．
5 5 10 10
设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，因此 P(C)= × × = .
7 7 25 49
（3） a=11 或 18；29. （1） 方法一：设持续 i 天为事件 A ，i=1,2,3,4，
i
用药持续最多一个周期为事件 B，
1 1 2 2 1 (2) 2 4 1 (2) 3 8
所以 P(A )= ，P(A )= × = ，P(A )= × = ，P(A )= × = ，
1 3 2 3 3 9 3 3 3 27 4 3 3 81
65
则 P(B)=P(A )+P(A )+P(A )+P(A )= ．
1 2 3 4 81
方法二：设用药持续最多一个周期为事件 B，则 B 为用药超过一个周期，
(2) 4 16
所以 P(B)= = ，
3 81
(2) 4 65
所以 P(B)=1− = ．
3 81
（2） 因为随机变量 η 可取 1，2，
所以
P(η=1)=C3(1) 3 (2) 1
+
(1) 4
=
1
，P(η=2)=1−
1
=
8
，
4 3 3 3 9 9 9
1 8 17
所以 E(η)=1× +2× = ．
9 9 9
30. （1） 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3；
( 1) ( 1) ( 1) 1
则 P(X=0)= 1− × 1− × 1− = ，
2 3 4 4
1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1
P(X=1) = × 1− × 1− + 1− × × 1− + 1− × 1− ×
2 3 4 2 3 4 2 3 4
¿ ¿
( 1) 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1)
P(X=2) = 1− × × + × 1− × + × × 1−
2 3 4 2 3 4 2 3 4
¿ ¿
1 1 1 1
P(X=3)= × × = ；
2 3 4 24
所以，随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 11 1 1
P
4 24 4 24
1 11 1 1 13
随机变量 X 的数学期望为 E(X)=0× +1× +2× +3× = ．
4 24 4 24 12
（2） 设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
P(Y +Z=1) =P(Y =0,Z=1)+P(Y =1,Z=0)
1 11 11 1
¿ = × + ×
4 24 24 4
¿ ¿
11
所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 ．
48
