2.12 专题：直线与圆综合
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：常规法求圆的方程.......................................................... 2
题型二：求圆的外接圆方程.......................................................... 2
题型三：求圆的内切圆................................................................ 3
题型四：利用弦长求圆的方程....................................................... 3
题型五：利用切线求圆的方程....................................................... 4
题型六：利用最值求圆的方程....................................................... 5
题型七：点与圆位置关系求参....................................................... 6
题型八：圆上点到直线距离为定值的求参.........................................6
题型九：直线与圆相交弦长求参.................................................... 7
题型十：最短弦问题................................................................... 7
题型十一：圆内三角形面积.......................................................... 8
题型十二：圆内四边形面积.......................................................... 9
题型十三：圆的切线问题............................................................. 9
题型十四：过圆外一点的切线问题................................................10
题型十五：切点弦问题.............................................................. 10
题型十六：切点弦长及最值范围问题.............................................11
2.12 专题：直线与圆综合
模块一：题型分类
题型一：常规法求圆的方程
1.若圆C 经过点
2,5
A
，
4,3
B
，且圆心在直线l ：3
3
0
x
y
上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
2
3
4
x
y
B．
2
2
2
3
8
x
y
C．
2
2
3
6
2
x
y
D．
2
2
3
6
10
x
y
2.某圆经过
010
610
A
B
，，
，两点，圆心在直线2
1
x
y
上，则该圆的标准方程为（
）
A．
2
2
3
5
34
x
y
B．
2
2
3
5
34
x
y
C．
2
2
3
5
34
x
y
D．
2
2
3
5
34
x
y
3.关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于5的奇数都是三个素数之和，如7
2
2
3
，17
3
7
7
.若从2,3,7 中
任取2 个不同的素数,a b 组成点
,
a b ，其中a
b
，且组成的所有点都在圆E 上，则圆E 的标准方程为（
）
A．
2
2
5
2
4
2
x
y
B．
2
2
5
2
16
2
x
y
C．
2
2
5
5
17
2
x
y
D．
2
2
5
17
5
2
4
x
y
4.圆心在直线x-y-4＝0 上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0 和x2+y2+6y-28＝0 的交点的圆的方程为（
）
A．x2+y2-x+7y-32＝0
B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0
D．x2+y2-4x+4y-8＝0
5.在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
4
0
x
y
与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在
y 轴上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
6
16
0
x
y
y
B．
2
2
6
16
0
x
y
y
C．
2
2
8
9
0
x
y
y
D．
2
2
8
9
0
x
y
y
题型二：求圆的外接圆方程
1.已知三角形的三边所在直线为
1
x
y
，2
1
x
y
，2
3
x
y
，则三角形的外接圆方程为________
2.过点
(4,2)
P
作圆
2
2
4
x
y
两条切线，切点分别为A、B，O 为坐标原点，则OAB
的外接圆方程是（
）
A．
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
B．
2
2
(
4)
(
2)
20
x
y
C．
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
D．
2
2
(
4)
(
2)
20
x
y
3.已知ABC
中，
3 0
A , ，
3,0
B
，点C 在直线
3
y
x
=
+ 上，ABC
的外接圆圆心为
0,4
E
，则直线EC
的方程为______．
4.已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A（2a，2），B（－4，a），C（2a＋2，2），则△ABC 的外
接圆的方程是________．
5.已知曲线
2
2020
y
x
x
与x 轴交于M，N 两点，与y 轴交于P 点，则
MNP
△
外接圆的方程为（
）
A．
2
2
2019
2020
0
x
y
x
y
B．
2
2
2021
2020
0
x
y
x
y
C．
2
2
2019
2020
0
x
y
x
y
D．
2
2
2021
2020
0
x
y
x
y
题型三：求圆的内切圆
1.如果三角形的顶点分别是
0,0
O
，
0,15
A
，
8,0
B
，那么它的内切圆方程是______.
2.在平面直角坐标系中，已知三点
1,2
A
，
3,2
B
，
2
1,
3
C
，则ABC
的内切圆的方程为（
）
A．
2
2
1
6
4
x
y
B．
2
2
1
1
4
x
y
C．
2
2
1
6
1
x
y
D．
2
2
1
1
1
x
y
3.已知三角形三边所在直线的方程分别为
0
y
、
2
0
x
y
和
4
0
x
y
，求这个三角形的内切圆圆心和
半径．
4.已知圆C：
2
2
1
4
x
y
，不经过点C 的直线l ：
1
y
kx
与圆C 相交于A ，B 二点，求ABC
的内切
圆的面积最大值为__________.
题型四：利用弦长求圆的方程
1.已知圆C 的圆心坐标为
1,0 ，且y 轴被
C
截得的弦长为4 2 ，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
1
9
x
y
B．
2
2
1
33
x
y
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
7
x
y
2.若圆过点
0, 1 0,5
，且被直线
0
x
y
截得的弦长为2 7 ，则圆的方程为
A．
2
2
2
9
x
y
或
2
2
4
2
25
x
y
B．
2
2
2
9
x
y
或
2
2
1
2
10
x
y
C．
2
2
4
2
25
x
y
或
2
2
4
2
17
x
y
D．
2
2
4
2
25
x
y
或
2
2
4
1
16
x
y
3.已知圆心在y 轴上的圆C 与直线3
4
6
0
x
y
相切，且截直线3
4
1
0
x
y
所得的弦长为2 3 ，则圆C 的
方程为（
）
A．
2
2
7
64
(
)
2
25
x
y
B．
2
2
7
64
(
)
2
25
x
y
或
2
2
3
(
)
4
2
x
y
C．
2
2
(
1)
4
x
y
D．
2
2
(
1)
4
x
y
或
2
2
5
16
(
)
2
25
x
y
4.不经过坐标原点的直线:
0
l x
y
m
被曲线
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
截得的弦的长度等于2 2 ，则直
线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（
）
A．
2
2
4
4
0
x
y
x
y
B．
2
2
4
4
0
x
y
x
y
C．
2
2
3
3
0
x
y
x
y
D．
2
2
2
2
0
x
y
x
y
题型五：利用切线求圆的方程
1.过
0,1
A
、
0,3
B
两点，且与直线
1
y
x
相切的圆的方程可以是（
）
A．
2
2
1
2
2
x
y
B．
2
2
2
2
5
x
y
C．
2
2
1
2
2
x
y
D．
2
2
2
2
5
x
y
2.圆心在x 轴负半轴上，半径为4，且与直线
3
5
0
x
y
相切的圆的方程为（
）
A．
2
2
(
3)
16
x
y
B．
2
2
(
3)
16
x
y
C．
2
2
(
13)
16
x
y
D．
2
2
(
13)
16
x
y
3.已知直线x + 3 y+4＝0 与圆心为（2，0）的圆C 相切，则圆C 的方程为（
）
A．（x﹣2）2+y2＝3
B．（x﹣2）2+y2＝9
C．（x+2）2+y2＝3
D．（x+2）2+y2＝9
4.已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线
2
y
x
上，若点A 在直线
4
0
x
y
的左上方且到该
直线的距离等于
2 ，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
(
2)
(
4)
4
x
y
B．
2
2
(
2)
(
4)
16
x
y
C．
2
2
(
2)
4)
(
4
x
y
D．
2
2
(
2)
(
4)
16
x
y
5.已知半径为6 的圆与x 轴相切，且与圆
2
2
(
3)
1
x
y
内切，则此圆的方程是（
）
A．
2
2
(
4)
(
6)
6
x
y
B．
2
2
(
4)
(
6)
6
x
y
或
2
2
(
4)
(
6)
6
x
y
C．
2
2
(
4)
(
6)
36
x
y
D．
2
2
(
4)
(
6)
36
x
y
或
2
2
(
4)
(
6)
36
x
y
题型六：利用最值求圆的方程
1.与直线
4
0
x
y
和圆
2
2
1
1
2
x
y
都相切的半径最小的圆的方程是（
）
A．
2
2
1
1
2
x
y
B．
2
2
1
1
4
x
y
C．
2
2
1
1
2
x
y
D．
2
2
1
1
4
x
y
2.已知圆C 的半径为
2 ，其圆心C 在直线
2
0
x
y
上，圆C 上的动点P 到直线
2
2
0
R
kx
y
k
k
的距离的最大值为4 2 ，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
1
2
x
y
B．
2
2
2
2
x
y
C．
2
2
4
2
2
x
y
D．
2
2
3
1
2
x
y
3. 圆心在曲线
2 (
0)
y
x
x
上，且与直线2
1
0
x
y
相切的面积最小的圆的方程为
A．
2
2
(
1)
(
2)
25
x
y
B．
2
2
(
2)
(
1)
25
x
y
C．
2
2
(
1)
(
2)
5
x
y
D．
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
4.已知过点(0，2)的圆C 的圆心在直线2
0
x
y
上，则圆C 的面积最小时圆C 的方程是（
）
A．
2
2
4
8
4
5
5
5
x
y
B．
2
2
4
8
16
5
5
25
x
y
C．
2
2
4
8
4
5
5
5
x
y
D．
2
2
4
8
16
5
5
25
x
y
5.在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0 相切的所有圆中，半径最大的圆
的标准方程为（
）
A．x2＋(y－1)2＝4
B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8
D．x2＋(y－1)2＝16
题型七：点与圆位置关系求参
1.已知点
1,
1
a
a
在圆
2
2
2
4
0
x
y
ay
的外部（不含边界），则实数a 的取值范围为（
）
A．
1
a
B．
1
a
C．0
1
a
D．
1
5
a
2.若点
2,1 在圆
2
2
0
x
y
x
y
a
的外部，则a 的取值范围是（
）
A．1 ,
2
B．
1
, 2
C．
1
4, 2
D．
1
, 4
,
2
3.若点
1,2
R
在圆C ：
2
2
2
2
0
x
y
x
y
a
的外部，则实数a 的取值范围为（
）
A．
3
a
B．
3
a
C．3
2
a
D．2
3
a
4.若点
,
A a a 在圆
2
2
2
2
2
3
0
x
y
ax
a
a
外，则实数a 的取值范围是（
）
A．
, 3
B．
3,1
C．
3
, 3
1, 2
D．
, 3
1,
5.已知圆
2
2
:
2
2
3
0
C x
y
mx
m
，若过点
2,1 可作圆C 的两条切线，则m 的取值范围是
A．
,4
B．(
, 1)
(3,4)
C．
3,4
D．
1,4
题型八：圆上点到直线距离为定值的求参
1.若圆
2
2
4
x
y
上恰有一个点到直线:
0
l x
y
a
的距离为1，则a 的值为（
）
A．3 2
B．
2
C．
2
D．3 2
2.若圆
2
2
2
(
3)
(
5)
x
y
r
上恰有两个点到直线4
3
2
0
x
y
的距离为1，则半径r 的取值范围是（
）
A．
6,
B．
6,
C．
4,6
D．
4,6
3.若圆
2
2
:
1
3
8
C
x
y
上存在四个点到直线:
0
l x
y
m
的距离为
2 ，则实数m 的取值范围是（
）
A．
6
m
B．
2
m
C．6
2
m
D．
6
m 或
2
m
4.已知直线
2
0
l x
y
:
，圆
2
2
2
:
(
0)
C x
y
r
r
，若圆C 上恰有
．．三个点到直线l 的距离都等于
2 ，则r （
）
A．2
B．4
C．2 2
D．8
5.已知直线
:
1
2
0(
)
l mx
y
m
m
R 和圆
2
2
:
2
4
1
0
C x
y
x
y
，则“
0
m
”是“圆C 上恰有三个不同
的点到直线l 的距离为1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型九：直线与圆相交弦长求参
1.已知直线: 2
2
0
l
x
y
是圆
2
2
:
3
6
C
x
y
b
的一条对称轴，设直线l 与x 轴的交点为P ，将直线l
绕点P 按顺时针方向旋转30得到直线l，则直线l被圆C 截得的弦长为（
）
A．1
B．
3
C．2
D．5
2.直线
3
y
kx
与圆
2
2
3
2
4
x
y
相交于M 、N 两点，若
2 3
MN
，则k 等于（
）
A．0
B．
2
3
C．
2
3
或0
D．
3
4
或0
3.已知过坐标原点的直线l 与圆
2
2
:(
6)
(
8)
125
C
x
y
相交于M，N 两点，当线段MN 的长为整数时，
所有满足条件直线的条数为（
）
A．12
B．13
C．25
D．26
4.若直线2
2
0
x
y
与直线2
1
0
x
y
被圆
2
2
:
2
6
0(
10)
C x
y
x
y
m
m
截得的弦长之比为1:
2 ，
则圆C 的面积为（
）
A．2π
B．14 π
5
C．3π
D．16 π
5
5.已知圆
2
2
1
1
:
1
4
O
x
y
，圆
2
2
2
1
:
2
4
O
x
y
，过点
1,2 两条互相垂直的直线1l ，2l ，其中1l 与圆
1
O
交于A，B，2l 与圆
2
O 交于C，D，且
1
2
AB
CD
，则AB （
）
A．
5
5
B．
5
10
C．2 5
5
D．
5
2
题型十：最短弦问题
1.已知圆
2
2
:(
2)
(
4)
35
C
x
y
，直线: (2
1)
(
1)
7
4
0
l
m
x
m
y
m
则直线l 被圆C 截得的弦长的最小
值为（
）
A．5
B．4 5
C．10
D．2 5
2.圆
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
被过点
0,0
P
的直线截得的最短弦长为（
）
A．2
B．4
C．2 2
D．2 3
3.若直线
2
0
x
ay
a
与圆
2
2
:
2
4
C
x
y
交于A ，B 两点，当AB 最小时，劣弧
AB 的长为（
）
A．π
2
B．4π
3
C．2π
3
D．π
4.已知直线l：
1
3
1
2
0
k
x
k
y
和圆C：
2
2
2
2
4
x
y
相交于A，B 两点，则弦长AB 的最
小值是（
）
A．
2
B．2 2
C．2
D．3 2
2
5.已知点
1, 2
A
，
0,
B
a ，若直线AB 关于y
a
的对称直线l 与圆C ：
2
2
3
18
x
y
交于M ，N 两
点，则MN 的最小值为（
）
A．2 2
B．3 2
C．2 10
D．4 2
题型十一：圆内三角形面积
1.设直线
2
y
x
a
与圆
2
2
:
2
2
0
C x
y
ay
相交于
,
A B 两点，若
2 3
AB
，则圆C 的内接正三角形的面
积为(
)
A．4
B．8
C．3 3
D．4 3
2.直线
0
Ax
By
C
与圆
2
2
:
4
O x
y
相交于两点M，N，若满足
2
2
2
C
A
B
，则
MON
S
．
3.已知直线
)
: sin
co
R
(
s
2
l x
y
与圆
2
2
:
16
O x
y
相交于A ，B 两点，则AOB
的面积为（
）
A．2
B．2 3
C．4 3
D．与有关的不确定值
4.设直线
2
0
ax
y
与圆
2
2
:
2
4
C x
y
相交于A 、B 两点，且ABC
的面积为2 ，则
a
（
）
A．
2
B．
3
C．
5
D．
7
5.已知直线3
4
10
0
x
y
与圆
2
2
:
2
4
20
0
C x
y
x
y
相交于A 、B 两点，点P 在圆C 上，且满足
4
PAB
S
，则满足条件的P 点个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型十二：圆内四边形面积
1.过圆
2
2
:
2
15
0
E x
x
y
内一点
1,3
M
作两条相互垂直的弦AB 和CD，且AB
CD
，则四边形ACBD
的面积为（
）．
A．16
B．17
C．18
D．19
2.已知圆的方程为
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
，设该圆过点
2,3
M
的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四
边形ABCD面积为（
）
A．6
B．6 5
C．6 7
D．6 11
3.在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
0
x
y
a
与圆
2
2
:
2
4
1
0
C x
y
x
y
交于A ，B 两点，已知四边
形OACB 为菱形，则|
|
AB （
）
A．11
B．7
C．2
D．
3
4.若过原点O 的动直线l 将圆
2
2
: (
1)
(
2)
10
E
x
y
分成两部分的面积之差最大时，直线l 与圆的交点记
为A，B，直线l 将圆E 分成两部分的面积相等时，直线l 与圆的交点记为C，D，则四边形ACBD 的面积
为（
）
A．10 2
B．10
C．2 10
D．2 5
5.在圆
2
2
:
4
2
4
0
M x
y
x
y
内，过点
0 0
O
，的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD的
面积为（
）
A．24
B．12
C．10
D．8
题型十三：圆的切线问题
1.圆
2
2
6
0
x
y
y
在点
( 5,1)
P
处的切线方程为（
）
A．5
2
3
0
x
y
B．
5
2
3
0
x
y
C．2
5
3
0
x
y
D．2
5
3
0
x
y
2.已知圆
2
2
0
0
:
4,
,
O x
y
M x
y
为圆O 上位于第一象限的一点，过点M 作圆O 的切线l．当l 的横纵截
距相等时，l 的方程为（
）
A．
2 2
0
x
y
B．
2
0
2
x
y
C．
4 2
0
x
y
D．
2 2
0
x
y
3.已知圆
2
2
:
2
3
2
C
x
y
，直线l 过点
1,2
A
且与圆C 相切，若直线l 与两坐标轴交点分别为M､N，
则MN （
）
A．2 2
B．4
C．3 2
D．10
4.已知过点
(2,2)
P
的直线与圆
2
2
(
1)
5
x
y
相切，且与直线
1
0
ax
y
垂直，则
a
（
）
A．
1
2
B．1
2
C．2
D．2
5.过点
3, 1
的直线l 与圆
2
2
4
x
y
相切，则直线l 在y 轴上的截距为（
）
A．4 3
3
B．
4 3
3
C．4
D．4
题型十四：过圆外一点的切线问题
1.过点
2,4
M
向圆
2
2
1
3
1
x
y
引切线，则其切线方程为
.
2.已知曲线y=
2
4
3
x
x
与直线kx−y+k−1=0 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是
．
3.已知圆
2
2
1 :
4
C
x
y
和圆
2
2
2 :(
3)
(
2)
1
C
x
y
，则过点
4
2, 3
M
且与
1
2
,
C C 都相切的直线方程
为
.（写出一条即可）
4.已知圆C:
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
，直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，则满足上述条件
的直线l 共有
条.
5.已知直线l 经过坐标原点，且与圆
2
2
4
3
0
x
y
x
相切，切点在第四象限，则直线l 的方程
为
.
题型十五：切点弦问题
1.已知圆О的方程为
2
2
1
x
y
，过圆О外一点
,
P a b 作圆O 的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直
线AB 的方程为（
）
A．
1
0
ax
by
B．
1
0
ax
by
+
- =
C．
1
0
bx
ay
D．
1
0
bx
ay
2.已知圆
2
2
:
1
O x
y
,过直线:
2
0
l x
y
上第一象限内的一动点M 作圆O的两条切线，切点分别为
,
A B ,
过
,
A B 两点的直线与坐标轴分别交于,
P Q 两点，则OPQ
面积的最小值为（
）
A．1
B．1
2
C．1
4
D．1
8
3.过点
1,2 作圆
2
2
(
1)
1
x
y
的两条切线，切点分别为
,
A B ，则直线AB 的方程为（
）
A．2
2
1
0
x
y
B．2
2
1
0
x
y
C．
1
0
x
y
D．
1
0
x
y
4.过点
1,1
P
作圆C：
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为（
）
A．
3
0
x
y
B．
1
0
x
y
C．
1
0
x
y
D．
1
0
x
y
5.已知点P 在直线
4
x
y
上，过点P 作圆
2
2
:
4
O x
y
的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆
2
2
:(
4)
(
5)
1
G
x
y
上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（
）
A．4
B．6
C．10
1
D．13
1
题型十六：切点弦长及最值范围问题
1.若圆
2
2
:
2
4
3
0
C x
y
x
y
关于直线2
6
0
ax
by
对称，则由点
,a b 向圆所作的切线长的最小值是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
2.已知直线:
1
0(
R)
l x
ay
a
是圆
2
2
:
6
2
1
0
C x
y
x
y
的对称轴，过点
( 4, )
P
a
作圆C的一条切线，
切点为A ，则PA （
）
A．2
B．4 3
C．2 10
D．7
3.已知点
3,0 ,
3,0 ,
1,0
M
N
B
，动圆C 与直线MN 切于点B，过M、N 与圆C 相切的两直线相交于点
P，则P 点满足的条件是（
）
A．
2
PM
PN
B．
2
PM
PN
C．
2
PM
PN
或2
D．
1
PM
PN
或1
4.已知圆
2
2
:
1
O x
y
，直线3
4
10
0
x
y
上动点P ，过点P 作圆O的一条切线，切点为A ，则PA 的最
小值为（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．2
5.已知圆
2
2
: (
1)
(
1)
4
C
x
y
，直线: 2
2
0
l
x
y
+
+ =
，M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线MA，
MB ，切点为A ，B ，则CM
AB
最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
