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14 小题＋1 大题(数列)——节选自济南市模拟
一、单选题(每小题5 分，共40 分)
1.记等差数列{an}的前n 项和为Sn.若a5＝7，a10＝2，则S14＝( )
A.49
B.63
C.70
D.126
答案 B
解析 由题知a5＝7，a10＝2，所以S14＝＝7(a1＋a14)＝7(a5＋a10)＝7×(7＋2)＝
63，故选B.
2.已知a＝(m，1)，b＝(3m－1，2)，若a∥b，则m＝( )
A.1
B.－1
C.
D.－
答案 A
解析 因为a＝(m，1)，b＝(3m－1，2)，a∥b，
所以2m－1×(3m－1)＝－m＋1＝0，即m＝1.
3.某公司现有员工120 人，在荣获“优秀员工”称号的85 人中，有75 人是高级
工程师，既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14 人，公
司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的
概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题知公司有120 人，荣获“优秀员工”称号的有85 人，
则未荣获“优秀员工”称号的35 人中有35－14＝21(人)是高级工程师，
所以高级工程师共有75＋21＝96(人)，
所以被选中的员工是高级工程师的概率为P＝＝，故选C.
4.与抛物线x2＝2y 和圆x2＋(y＋1)2＝1 都相切的直线的条数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 D
解析 当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋b，直线与圆相切，则有＝1，即(1
＋b)2＝1＋k2，所以k2＝b2＋2b，
联立直线与抛物线方程得得x2－2kx－2b＝0，
由于直线与抛物线相切，
所以Δ＝4k2＋8b＝0，即Δ＝4(b2＋2b)＋8b＝0，
所以4b2＋16b＝0，
解得或或
所以满足条件的直线有3 条，故选D.
5.已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，且acos C＋asin C＝
b，则A＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由acos C＋asin C＝b，得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＝sin(A＋C)＝
sin Acos C＋cos Asin C，即sin Asin C＝cos Asin C，
又知sin C≠0，
所以sin A＝cos A，即tan A＝，
又A∈(0，π)，所以A＝，故选A.
6.若a＝sin 1，b＝lg(tan 1)，c＝，则( )
A.c<b<a
B.b<a<c
C.b<c<a
D.a<c<b
答案 C
解析 因为y＝sin x 在上单调递增，
所以a＝sin 1>sin ＝＝c，
因为y＝tan x 在上单调递增，
所以tan 1<tan ＝<，而y＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，
则b＝lg(tan 1)<lg＝lg <lg ＝＝c，所以b<c<a，故选C.
7.已知复数z1，z2满足2|z1|＝|z2|＝|2z1－z2|＝2，则＝( )
A.1
B.
C.2
D.2
答案 B
解析 由2|z1|＝|z2|＝|2z1－z2|＝2，
得|2z1－z2|2＝4z－4z1z2＋z＝4，
将|z1|＝1，|z2|＝2 代入得4－4z1z2＋4＝4，
即z1z2＝1，
所以＝z＋z＋z1z2＝1＋1＋1＝3，所以＝，故选B.
8.若不等式ln x≤＋b≤ex(a，b∈R)对任意的x∈恒成立，则a 的最小值为( )
A.－3e
B.－e
C.ln
D.3e－3ln
答案 A
解析 因为ln x≤＋b≤ex，
所以xln x≤bx＋a≤xex，
所以即求直线y＝bx＋a 的纵截距a 的最小值，
设f(x)＝xex，所以f′(x)＝ex(x＋1)>0，
所以f(x)在上单调递增，
又∀x1，x2∈，f<，
所以f(x)在x∈上的图象上凹，所以直线与曲线f(x)相切时，切点横坐标越大，纵
截距越小，令切点横坐标为，
则直线过点，且直线y＝bx＋a 的斜率为e，
所以直线y＝bx＋a 的方程为y＝e，
当x＝1 时，y＝>＝1.024>xln x，即直线y＝bx＋a 与曲线f(x)相切于点时，直线y
＝bx＋a 与曲线y＝xln x 无交点.
设g(x)＝xln x，所以g′(x)＝ln x＋1，
所以曲线g(x)在x＝处切线的斜率为ln ＋1，在x＝1 处切线斜率为1，均小于直
线y＝e 的斜率，
所以可令直线y＝bx＋a 在x＝处与曲线y＝xex相交，在x＝1 处与曲线y＝xln x
相交，即直线y＝bx＋a 过点和点(1，0)，
所以直线方程为y＝(x－1)＋0
＝3e(x－1)，
此时纵截距为－3e，故选A.
二、多选题(每小题6 分，共18 分)
9.已知椭圆C：3x2＋4y2＝48 的两个焦点分别为F1，F2，P 是C 上任意一点，则(
)
A.C 的离心率为
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
答案 BD
解析 由3x2＋4y2＝48 得＋＝1，所以a＝4，b＝2，c＝2，令F1(－2，0)，F2(2，
0)，
对于A，e＝＝，错误；
对于B，△PF1F2的周长为2a＋2c＝12，正确；
对于C，|PF1|的最小值为a－c＝2，错误；
对于D，2a＝8＝|PF1|＋|PF2|≥
2，即|PF1|·|PF2|≤16，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，正确，
故选BD.
10.已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)
的图象在y 轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则( )
A.φ＝
B.f(x)＋f′(x)≤2 恒成立
C.f(x)在上单调递减
D.将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y 轴对称
答案 AC
解析 由f(x)＝cos(ωx＋φ)
的图象在y 轴上的截距为，得f(0)＝cos φ＝，又0<φ<，解得φ＝，A 正确；
又是该函数的最小正零点，
所以ω＋＝，解得ω＝2，
所以f(x)＝cos，
所以f(x)＋f′(x)＝cos－2sin
＝sin，其中tan θ＝－，
故f(x)＋f′(x)的最大值为>2，B 错误；
当x∈时，f′(x)＝－2sin<0 恒成立，所以f(x)在上单调递减，C 正确；
原图象向右平移个单位长度，得到g(x)＝cos 的图象，由余弦函数性质知，该函
数不是偶函数，其图象不关于y 轴对称，D 错误.故选AC.
11.下列等式中正确的是( )
A.∑C＝28
B.∑C＝C
C.∑＝1－
D.∑(C)2＝C
答案 BCD
解析 对于A，(1＋x)8＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cx8，
令x＝1，得28＝1＋C＋C＋…＋C＝1＋∑C，
则∑C＝28－1，故A 错误；
对于B，因为C＋C＝C，
所以∑C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝
C，故B 正确；
对于C，D，因为－＝，
所以∑ ＝∑ ＝－＋－＋…＋－＝1－，故C 正确.
(1＋x)16＝(1＋x)8(1＋x)8，对于(1＋x)16，其含有x8的项的系数为C，对于(1＋x)8(1
＋x)8，要得到含有x8的项的系数，须从第一个式子取出k(0≤k≤8，k∈N)个x，
再从第二个式子取出(8－k)个x，它们对应的系数为∑CC＝∑(C)2，所以
∑(C)2＝C，故D 正确，故选BCD.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.已知随机变量X～N(1，22)，则D(2X＋1)的值为________.
答案 16
解析 由题意知随机变量X～N(1，22)，所以D(X)＝22＝4，所以D(2X＋1)＝
22×4＝16.
13.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MB，A1N＝mA1C1，且BN∥平面A1CM，
则m 的值为________.
答案
解析 如图，连接AN 交A1C 于点P，连接MP，
由题知BN∥平面A1CM，平面ABN∩平面A1CM＝MP，
所以BN∥MP，所以＝＝2，
又＝＝2，所以m＝.
14.已知集合A＝{u(x)|u(x)＝ax2－(a＋b)x＋b，a，b∈R}，函数f(x)＝x2－1.若函
数g(x)满足：对任意u(x)∈A，存在λ，μ∈R，使得u(x)＝λf(x)＋μg(x)，则g(x)的
解析式可以是________________.(写出一个满足条件的函数解析式即可)
答案 g(x)＝x－1(答案不唯一，满足g(1)＝0，且一次项系数不为零的所有一次
或者二次函数解析式均正确)
解析 由题知u(x)＝ax2－(a＋b)x＋b，f(x)＝x2－1，所以u(1)＝a－(a＋b)＋b＝
0，f(1)＝1－1＝0，
又知u(x)＝λf(x)＋μg(x)，
则u(1)＝λf(1)＋μg(1)＝0，
易知μ≠0，所以g(1)＝0，
则g(x)的解析式可以为g(x)＝x－1.经检验，g(x)＝x－1 满足题意.
四、解答题(本题共13 分；考查方向：数列)
15.已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝且Sn＝2an＋1－3，令bn＝.
(1)求证：{an}为等比数列；
(2)求使bn取得最大值时的n 的值.
(1)证明 由Sn＝2an＋1－3 可得n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
即n≥2 时，＝，
因为a1＝，a1＝2a2－3，
所以a2＝，
则＝，
综上，＝，n∈N*，
所以{an}是首项和公比均为的等比数列.
(2)解 由(1)可得an＝，
所以bn＝(n2＋n)，n∈N*，
n≥2 时，＝＝，
令>1，可得2≤n<5，
令<1，可得n>5，
可知b1<b2<b3<b4＝b5>b6>b7>…，
综上，bn取得最大值时，n＝4 或n＝5.
