文档内容
202届高考数学三轮冲刺保温练卷：直线被圆截得的弦长
一、选择题（共20小题；）
1. 若直线 x−y=2 被圆 (x−a) 2+ y2=4 所截得的弦长为 2√2，则实数 a 的值为 ()
A. 0 或 4 B. 1 或 3 C. −2 或 6 D. −1 或 √3
2. 圆 x2+ y2−2x+4 y−20=0 截直线 5x−12y+c=0 所得弦长为 8，则 c 的值为 ()
A. 10 B. −68 C. 12 D. 10 或 −68
3. 设圆 C 的方程为 x2+ y2−2x−2y−2=0，直线 l 的方程为 (m+1)x−my−1=0，圆 C 被
直线 l 截得的弦长等于 ()
A. 4 B. 2√2 C. 2 D. 与 m 有关
4. 直线 3x−4 y−9=0 被圆 (x−3) 2+ y2=9 截得的弦长为 ()
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 直线 x−y+3=0 被圆 (x+2) 2+(y−2) 2=2 截得的弦长等于 ()
√6
A. B. √3 C. 2√3 D. √6
2
6. 直线 ax+ y−5=0 截圆 C:x2+ y2−4x−2y+1=0 的弦长为 4，则 a= ()
A. −2 B. −3 C. 2 D. 3
7. 圆 x2+ y2=4 被直线 y=−√3x+b 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 120∘，则 b 的值 ()
A. ±2 B. ±2√3 C. 2 D. √3
8. 若直线 x−y=2 被圆 (x−a) 2+ y2=4 所截得的弦长为 2√2，则正数 a= ()
A. 4 或 0 B. 4 C. √3 D. 0
9. 已知圆的方程是 x2+ y2=36，记过点 P(1,2) 的最长弦和最短弦分别为 AB，CD，则直线 AB，
CD 的斜率之和等于 ()
3 3
A. −1 B. C. 1 D. −
2 2
10. 直线 x−3 y+3=0 与圆 (x−1) 2+(y−3) 2=10 相交所得弦长为 ()
5√3
A. √30 B. C. 4√2 D. 3√3
2
11. 直线 √3x+ y−2=0 截圆 x2+ y2=4 得到的弦长为 ()
A. 1 B. 2√3 C. 2√2 D. 2
12. 若直线 x−y−2=0 被圆 (x−a) 2+ y2=4 所截得的弦长为 2√2，则实数 a 为 ()
A. −1 或 √3 B. 1 或 3 C. −2 或 6 D. 0 或 4
13. 直线 l:kx+ y+4=0(k∈R) 是圆 C:x2+ y2+4x−4 y+6=0 的一条对称轴，过点 A(0,k)
作斜率为 1 的直线 m，则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 ()√2
A. B. √2 C. √6 D. 2√6
2
14. 已知直线 l:3x−4 y−15=0 与圆 C:x2+ y2−2x−4 y+5−r2=0(r>0) 相交于 A，B 两点，
若 ∣AB∣=6，则圆 C 的标准方程为 ()
A. (x−1) 2+(y−2) 2=36 B. (x−1) 2+(y−2) 2=25
C. (x−1) 2+(y−2) 2=16 D. (x−1) 2+(y−2) 2=49
15. 已知 A(2,0)，直线 4x+3 y+1=0 被圆 C:(x+3) 2+(y−m) 2=13(m<3) 所截得的弦长为
4√3，且 P 为圆 C 上任意一点，则 ∣PA∣ 的最大值为 ()
A. √29−√13 B. 5+√13 C. 2√7+√13 D. √29+√13
16. 直线 y=kx+3 与圆 (x−3) 2+(y−2) 2=4 相交于 M，N 两点，若 MN≥2√3，则 k 的取
值范围是 ()
[ 3 ] ( 3]
A. − ,0 B. −∞,− ∪[0,+∞)
4 4
[ √3 √3] [ 2 ]
C. − , D. − ,0
3 3 3
x2 y2
17. 若双曲线 E: − =1（a>0，b>0）的一条渐近线被圆 (x+3) 2+ y2=9 所截得的弦长为 3，
a2 b2
则 E 的离心率为 ()
2√3
A. √2 B. √3 C. 2 D.
3
x2 y2
18. 以双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 上一点 M 为圆心作圆，该圆与 x 轴相切于 C 的一个
a2 b2
2√3
焦点 F，与 y 轴交于 P，Q 两点，若 ∣PQ∣= ∣OF∣，则双曲线 C 的离心率是
3
()
A. √2 B. √3 C. 2 D. √5
19. 设 a ，a ，b ，b ，c ，c 都是非零实数，不等式 a x2+b x+c >0 的解集为 A，不等式
1 2 1 2 1 2 1 1 1
a b c
a x2+b x+c >0 的解集为 B，则“A=B”是“ 1= 1= 1>0”的 ()
2 2 2 a b c
2 2 2
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件x2 y2
20. 已知双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的焦距为 2c，直线 l 与双曲线 C 的一条斜率为负值
a2 b2
c2
的渐近线垂直且在 y 轴上的截距为 − ，以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆
b
2√5
Ω 与直线 l 交于 M，N 两点，若 MN= c，则双曲线 C 的离心率为 ()
3
1 3 5
A. B. C. D. 3
3 5 3
二、填空题（共5小题；）
21. 过原点且倾斜角为 60∘ 的直线被圆 x2+ y2−4 y=0 所截得的弦长为 ．
22. 直线 x−y−1=0 被圆 C 所截的弦长为 √2，则圆 C 的方程可以为 ．
（写出一个即可）
23. 过点 (−4,0) 作直线 l 与圆 x2+ y2+2x−4 y−20=0 交于 A，B 两点，若 AB=8，则直线
l 的方程为 ．
24. 已知圆 C:x2+ y2−4x−2y−44=0，点 P 的坐标为 (t,4)，其中 t>2，若过点 P 有且只
有一条直线 l 被圆 C 截得的弦长为 4√6，则直线 l 的一般式方程是 ．
25. 在圆 x2+ y2−2x−6 y=0 内，过点 E(0,1) 的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边
形 ABCD 的面积为 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 已知圆 C 的圆心在直线 l :x−3 y=0 上，圆 C 与 y 轴相切，且直线 l :x−y=0 被圆 C
1 2
所截得的线段的长为 2√7，求圆 C 的方程．
27. 根据下列条件，求圆的方程．
（1）经过点 A(5,2)，B(3,−2)，且圆心在直线 2x−y−3=0 上；
（2）经过 P(−2,4)，Q(3,−1) 两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6．
28. 已知圆 C:x2+ y2−4x+4 y+6=0，直线 l:x−y−5=0．
（1）求直线 l 截圆 C 所得弦 AB 的长度；
（2）若 P 为 x 轴上一点，过 P 向圆 C 作切线 PM，M 为切点，设 ∣PM∣=2，求点
P 的坐标．
29. 已知圆 C 经过 M (−1,0)，M (3,0)，M (0,1) 三点．
1 2 3
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）若过点 N(2,√3−1) 的直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 的长为 4，求直线 l 的倾斜角．1
{x=−2+ t,
2
30. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，
√3
y= t
2
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ=√10．
（1）若 l 与 C 相交于 A，B 两点 P(−2,0)，求 ∣PA∣⋅∣PB∣；
（2）圆 M 的圆心在极轴上，且圆 M 经过极点，若 l 被圆 M 截得的弦长为 1，求圆 M
的半径．答案
第一部分
1. A 【解析】因为圆 (x−a) 2+ y2=4，所以圆心为 (a,0)，半径为 2，
∣a−2∣
圆心到直线的距离为 d= ．
√2
2
因为 d2+
(2√2)
=r2 ，解得 a=4 或 a=0．
2
2. D
3. A
4. D
5. D
【解析】设圆 C:(x+2) 2+(y−2) 2=2 与直线 x−y+3=0 交于 A，B 两点，如图，连接 CB，过
C 作 CD⊥AB，
根据垂径定理得：D 为 AB 的中点，
根据 (x+2) 2+(y−2) 2=2 得到圆心 C 的坐标为 (−2,2)，半径为 √2，
∣−2−2+3∣ √2
圆心 C 到直线 AB 的距离 CD= = ，而半径 CB=√2，
√12+(−1) 2 2
√6
则在直角三角形 OBD 中根据勾股定理得 BD=√CB2−CD2= ，
2
所以 AB=2BD=√6．
6. C
7. A
8. B
9. B 【解析】由题意可得最长弦为过点 P 的直径，此时 k 的斜率为 2，最短弦为过点 P 且与
AB
1 3
最长弦垂直的弦，此时 k 的斜率为 − ，则直线 AB，CD 的斜率之和等于 ．
CD 2 2
10. A
【解析】圆 (x−1) 2+(y−3) 2=10 的圆心坐标为 (1,3)，半径 r=√10，
∣1−9+3∣ 5
圆心到直线 x−3 y+3=0 的距离 d= = ，
√10 √10
√ 25
故弦 AB=2 10− =√30．
10∣−2∣
11. B 【解析】圆的半径为 2，圆心 (0,0) 到直线的距离为 d= =1，所以弦长为
√3+1
2√r2−d2=2√4−1=2√3．
12. D 【解析】因为圆 (x−a) 2+ y2=4 的圆心坐标为 (a,0)，半径为 2，
∣a−2∣
圆心 (a,0) 到直线 x−y−2=0 的距离 d= ，
√2
又直线 x−y−2=0 被圆 (x−a) 2+ y2=4 所截得的弦长为 2√2，
√ (a−2) 2 (a−2) 2
所以 2 22− =2√2，即 4− =2，解得 a=0 或 a=4．
2 2
13. C 【解析】因为 圆 C:x2+ y2+4x−4 y+6=0，即 (x+2) 2+(y−2) 2=2，
表示以 C(−2,2) 为圆心、半径等于 √2 的圆．
由题意可得，直线 l:kx+ y+4=0 经过圆 C 的圆心 (−2,2)，
故有 −2k+2+4=0，
所以 k=3，点 A(0,3)．
∣−2−2+3∣ 1
直线 m:y=x+3，圆心到直线的距离 d= = ，
√2 √2
√ 1
所以直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 2 2− =√6．
2
14. B 【解析】化圆 C:x2+ y2−2x−4 y+5−r2=0(r>0) 为 (x−1) 2+(y−2) 2=r2，
可得圆心坐标为 (1,2)，半径为 r，
∣3×1−4×2−15∣
由圆心 (1,2) 到直线 l:3x−4 y−15=0 的距离 d= =4 ，且 ∣AB∣=6，
√32+(−4) 2
得 r2=32+42=25，
所以圆 C 的标准方程为 (x−1) 2+(y−2) 2=25．
15. D
【解析】由题意，圆心 C(−3,m) 到直线 4x+3 y+1=0 的距离为
∣−12+3m+1∣
=
√
13−
(4√3) 2
=1，因为 m<3，所以 m=2，所以 ∣AC∣=√29，所以
5 2
∣PA∣ 的最大值为 √29+√13．
16. A 【解析】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，重点考查数形结合思想的运用．
圆心的坐标为 (3,2)，且圆与 x 轴相切．当 MN=2√3 时，由点到直线的距离公式，解得 k=0 或
3 [ 3 ]
− ，结合图形可知 k 的取值范围为 − ,0 ．
4 4
17. C 【解析】由圆 C:(x+3) 2+ y2=9 可得圆心 (−3,0)，半径为 3，
x2 y2
双曲线 E: − =1（a>0，b>0）的一条渐近线为：bx−ay=0，
a2 b23b
渐近线被圆 (x+3) 2+ y2=9 所截得的弦长为：3，圆心到直线的距离为： ，
√a2+b2
3 √ 9b2 a2 1 c2
由弦长公式可得 = 9− ，可得 = ，即 =4．
2 a2+b2 a2+b2 4 a2
可得 e=2．
(
b2
)
18. B 【解析】不妨设点 M 位于第一象限，由双曲线的性质可得 M c, ，
a
√b4
由圆的弦长公式可得：∣PQ∣=2√R2−d2=2 −c2，
a2
2√3 √b4 2
结合 ∣PQ∣= ∣OF∣ 可得 2 −c2= √3⋅c，
3 a2 3
整理变形可得：3c4−10a2c2+3a4=0，即 3e4−10e2+3=0，(e2−3)(3e2−1)=0，
双曲线中 e2>1，故 e2=3，e=√3．
19. B
20. D
b
【解析】双曲线斜率为负值的渐近线方程为：y=− x，
a
−1 a
=
所以直线 l 的斜率为 b b，
−
a
a c2
则直线 l 方程为：y= x− ，即 ax−by−c2=0，
b b
由题意可知：圆 Ω 的圆心为 (c,0)，半径 r=c，
∣ac−c2
∣
∣ac−c2
∣
则圆心到直线 l 的距离：d= = =c−a，
√a2+b2 c
2√5
所以 ∣MN∣=2√c2−a2=2√2ac−a2= c，
3
3
整理可得：5c2−18ac+9a2=0，即 5e2−18e+9=0，解得：e= 或 e=3，
5
因为双曲线离心率 e>1，
所以 e=3．
第二部分
21. 2√3
22. x2+ y2=1（答案不唯一）
23. 5x+12y+20=0 或 x=−4
【解析】分直线有斜率和没斜率两种情况去讨论．有斜率的可以先把直线斜率设出来，然后利用直线
和圆相交弦长的求法来解出斜率．
24. 4x+3 y−36=025. 10√2
第三部分
26. 因为圆心在 l :x−3 y=0 上，可设其为 C(3a,a)．
1
因为 C 在 y 轴相切，
所以 r=∣3a∣．
因为
(∣2a∣) 2
+
(2√7) 2
=∣3a∣ 2 ，
√2 2
所以 a=±1．
所以所求圆的方程为 (x−3) 2+(y−1) 2=9 或 (x+3) 2+(y+1) 2=9．
27. （1） 由题意知 k =2，AB 中点为 (4,0)，设圆心 C(a,b)．
AB
因为圆过 A(5,2)，B(3,−2) 两点，
所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上，
{ b 1
=− , {a=2,
则 a−4 2 解得 所以 C(2,1)，
b=1,
2a−b−3=0,
所以 r=∣CA∣=√(5−2) 2+(2−1) 2=√10，
所以所求圆的方程为 (x−2) 2+(y−1) 2=10．
（2） 设圆的方程为 x2+ y2+Dx+Ey+F=0．
{2D−4E−F=20, ⋯⋯①
将 P，Q 两点的坐标分别代入得
3D−E+F=−10. ⋯⋯②
又令 y=0，得 x2+Dx+F=0.⋯⋯③
设 x ，x 是方程③的两根，
1 2
由 ∣x −x ∣=6，得 D2−4F=36,⋯⋯④
1 2
由①②④解得 D=−2，E=−4，F=−8 或 D=−6，E=−8，F=0．
故所求圆的方程为 x2+ y2−2x−4 y−8=0 或 x2+ y2−6x−8 y=0．
28. （1） 如图．
圆 C 的方程可化为 (x−2) 2+(y+2) 2=2，
所以圆 C 的圆心 C(2,−2)，半径 r=√2．过点 C 作 CN⊥AB 于 N，
∣2+2−5∣ √2
所以 ∣CN∣= = ．
√2 2
因为 ∣CB∣=√2，
√6
所以 ∣BN∣=√∣CB∣ 2−∣CN∣ 2= ．
2
所以 ∣AB∣=2∣BN∣=√6．
（2） 设点 P(x,0)，由题意，得 CM⊥PM，
所以 ∣PC∣ 2=∣PM∣ 2+∣CM∣ 2．
因为 ∣PM∣=2，∣CM∣=√2，
所以 ∣PC∣=√6．
所以 √(x−2) 2+(0+2) 2=√6，解得 x=2±√2．
故点 P 的坐标为 (2+√2,0)，(2−√2,0)．
29. （1） 解法一：
设圆 C 的方程为 x2+ y2+Dx+Ey+F=0，
{1−D+F=0, {D=−2,
则 9+3D+F=0, 所以 E=2,
1+E+F=0, F=−3,
即圆 C 为 x2+ y2−2x+2y−3=0，
所以圆 C 的标准方程为 (x−1) 2+(y+1) 2=5．
解法二：
则 AB 中垂线为 x=1，AD 中垂线为 y=−x，
{ x=1,
所以圆心 C(x,y) 满足
y=−x,
所以 C(1,−1)，半径 r=CD=√1+4=√5，
所以圆 C 的标准方程为 (x−1) 2+(y+1) 2=5．
（2） ①当斜率不存在时，即直线 l:x=2 到圆心的距离为 1，也满足题意，
此时直线 l 的倾斜角为 90∘；
②当斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k(x−2)+√3−1，
由弦长为 4，可得圆心 C(1,−1) 到直线 l 的距离为 √5−4=1，
∣k(1−2)+1+√3−1∣
=1，
√1+k2
√3
所以 k= ，此时直线 l 的倾斜角为 30∘．
3
综上所述，直线 l 的倾斜角为 30∘ 或 90∘．
30. （1） 由 ρ=√10，得 x2+ y2=10，1
{x=−2+ t,
2
将 代入 x2+ y2=10，得 t2−2t−6=0，
√3
y= t
2
设 A，B 两点对应的参数分别为 t ，t ，则 t t =−6，
1 2 1 2
故 ∣PA∣⋅∣PB∣=∣t t ∣=6．
1 2
（2） 直线 l 的普通方程为 √3x−y+2√3=0，
设圆 M 的方程为 (x−a) 2+(y−b) 2=a2(a>0)，
∣√3a+2√3∣
圆心 (a,0) 到直线 l 的距离为 d= ．
2
因为 2√a2−d2=1，
1 3(a+2) 2
所以 d2=a2− = ，
4 4
解得 a=13（a=−1<0，舍去），
所以圆 M 的半径为 13．
