文档内容
第1讲 直线与圆（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】直线的方程...................................................................................................................2
【考点二】圆的方程.......................................................................................................................4
【考点三】直线、圆的位置关系.....................................................................................................5
【专题精练】.................................................................................................................................7
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低
难度.
2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆 交于 两
点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与圆
交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对
称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023·全国·高考真题）已知直线 与 交于A，B两点，写出满足“
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学科网（北京）股份有限公司面积为 ”的m的一个值 ．
6．（2022·全国·高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．
7．（2022·全国·高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
．
8．（2022·全国·高考真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
考点突破
【考点一】直线的方程
核心梳理：
1．已知直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，则 l∥l⇔AB －AB ＝0，且 AC －
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
AC ≠0(或BC －BC ≠0)，l⊥l⇔AA＋BB＝0.
2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2．点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
0 0
3．两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝.
1 1 2 2
一、单选题
1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（20-21高二·全国·单元测试）如图，函数 的图象在点 处的切线是 ，则
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C．2 D．1
二、多选题
3．（2024·浙江温州·二模）已知圆 与圆 相交于 两点．若
，则实数 的值可以是（ ）
A．10 B．2 C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知点 在定圆 内，经过点 的动直线 与
交于 两点，若 的最小值为4，则（ ）
A．
B．若 ，则直线 的倾斜角为
C．存在直线 使得
D． 的最大值为12
三、填空题
5．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆 相切且方向向量为 的一条直线的方程 ．
6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知 ，若平面内满足到直线 的距
离为1的点 有且只有3个，则实数 ．
规律方法：
解决直线方程问题的三个注意点
(1)利用AB－AB＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
1 2 2 1
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学科网（北京）股份有限公司(2)要注意直线方程每种形式的局限性．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
【考点二】圆的方程
核心梳理：
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
一、单选题
1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，则动
圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东·一模）过 ， ， 三点的圆与 轴交于 ， 两点，则 （ ）
A．3 B．4 C．8 D．6
二、多选题
3．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知 是圆心为 ，半径为2的圆上一动点， 是圆 所在平面上一定
点，设 （ ）．若线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，记动点 的轨迹为 ，则（ ）
A．当 时， 为椭圆 B．当 时， 为双曲线
C．当 时， 为双曲线一支 D．当 且 越大时， 的离心率越大
4．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数 满足： (其中 为虚数单位)，则下列说法正
确的有( )
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最大值为
三、填空题
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学科网（北京）股份有限公司5．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，则 的外接圆的
标准方程为 ．
6．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知圆 与直线 交于A，B两点，则经过点A，B，
的圆的方程为 ．
规律方法：
解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【考点三】直线、圆的位置关系
核心梳理：
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．
其判断方法为：
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，
直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．
一、单选题
1．（2024·山东济南·一模）与抛物线 和圆 都相切的直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线 上一点 作圆 的两
条切线，切点分别为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·安徽合肥·二模）已知圆 ，圆 ，则（ ）
A．两圆的圆心距 的最小值为1
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学科网（北京）股份有限公司B．若圆 与圆 相切，则
C．若圆 与圆 恰有两条公切线，则
D．若圆 与圆 相交，则公共弦长的最大值为2
4．（2024·安徽·二模）已知双曲线 ： （ ， ）左右焦点分别为 ， ， .
经过 的直线 与 的左右两支分别交于 ， ，且 为等边三角形，则（ ）
A．双曲线 的方程为
B． 的面积为
C．以 为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以 为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
三、填空题
5．（2024·福建漳州·一模）过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为A， ，若直线
与圆 ： 相切，则 ．
6．（2023·河南·模拟预测）圆 与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足
，直线 与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为 ．
规律方法：
直线与圆相切问题的解题策略
当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的
等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的
距离，再结合半径利用勾股定理计算．
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学科网（北京）股份有限公司专题精练
一、单选题
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）“ ”是“直线 与直线 平
行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系 中，点 在直线 上.若向量 ，则
在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若双曲线 的实轴长为2，离心率为 ，
则双曲线的左焦点 到一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2024·辽宁大连·一模）过点 和 ，且圆心在x轴上的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·江西·模拟预测）若点 在圆 的外部，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·北京房山·一模）已知直线 与圆 相交于M，N两点.则 的最
小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C．4 D．6
7．（2023·湖北·二模）已知动直线l的方程为 ， ， ，O为坐标原
点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽合肥·一模）已知直线 与 交于 两点，设弦
的中点为 为坐标原点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（22-23高二上·湖北武汉·期末）设圆 ，直线 为 上的动点，
过点 作圆 的两条切线 ，切点为 为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A． 的取值范围为
B．四边形 面积的最大值为
C．满足 的点 有两个
D． 的面积最大值为
10．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）已知直线 和圆 ，则（ ）
A．直线 过定点
B．直线 与圆 有两个交点
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学科网（北京）股份有限公司C．存在直线 与直线 垂直
D．直线 被圆 截得的最短弦长为
11．（2024·广东汕头·一模）如图， 是连接河岸 与 的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现
规划建一座新桥 ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥 与河岸 垂直；
②保护区的边界为一个圆，该圆与 相切，且圆心 在线段 上；
③古桥两端 和 到该圆上任意一点的距离均不少于 .
经测量，点 分别位于点 正北方向 ､正东方向 处， .根据图中所给的平面直角
坐标系，下列结论中，正确的是（ ）
A．新桥 的长为
B．圆心 可以在点 处
C．圆心 到点 的距离至多为
D．当 长为 时，圆形保护区的面积最大
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知圆 与圆 有3条公切线，
则 的值为 ．
13．（2024·四川·模拟预测）圆 与圆 的公共弦长为 .
14．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为
曲线 的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．
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四、解答题
15．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O：
(1)过圆外一点 引圆的切线，求切线方程；
(2)设点P是直线 上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求 的面积最小值以及此时
点P的坐标．
16．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C： 和直线l： 相切．
(1)求圆C半径 ；
(2)若动点M在直线 上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B．
①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；
②证明直线AB恒过定点．
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知点 ， ，点P在以AB为直径的圆C上运动，
轴，垂足为D，点M满足 ，点M的轨迹为W，过点 的直线l交W于点E、F.
(1)求W的方程；
(2)若直线l的倾斜角为 ，求直线l被圆C截得的弦长；
(3)设直线AE，BF的斜率分别为 ， ，证明 为定值，并求出该定值.
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