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2023届高考数学三轮冲刺保温练卷：圆与圆的位置关系
一、选择题（共20小题；）
1. 与 y 轴相切，且和曲线 x2+ y2=4(0≤x≤2) 相内切的动圆圆心的轨迹方程是 ()
A. y2=2(x+1)(00)，若圆 C 上存在点 P，使
得 ∠APB=90∘，则 m 的最大值为 ()
A. 7 B. 6 C. 5 D. 410. 已知圆 C ：x2+ y2+4x+2y−1=0，圆 C ：x2+ y2+2x+8 y−8=0，则圆 C 与圆 C 的
1 2 1 2
位置关系是 ()
A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
11. 若圆 C ：x2+ y2=1 与圆 C ：x2+ y2−6x−8 y+m=0 外切，则 m 等于 ()
1 2
A. 21 B. 19 C. 9 D. −11
12. 若点 A(1,0) 和点 B(4,0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2，则这样的直线有 ()
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
13. 圆 x2+ y2+2x+8 y−8=0 与圆 x2+ y2−4x−4 y−2=0 的公切线的条数是 ()
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
14. 设两圆 C ，C 都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1)，则两圆心的距离 ∣C C ∣ 等于 ()
1 2 1 2
A. 4 B. 4√2 C. 8 D. 8√2
15. 如图所示，为了测量该工件上面凹槽的圆弧半径 R，由于没有直接的测量工具，工人用三个半
径均为 r （ r 相对 R 较小）的圆柱棒 O ,O ,O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过
1 2 3
深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒 O
2
顶侧面的垂直深度 ℎ，若 r=10mm,ℎ =4mm 时，
则 R 的值为 ()
A. 25mm B. 60mm C. 50mm D. 15mm
16. 若圆 C :x2+ y2=1 和圆 C :x2+ y2−6x−8 y−k=0 没有公共点，则实数 k 的取值范围是
1 2
()
A. (−9,11) B. (−25,−9)
C. (−∞,−9)∪(11,+∞) D. (−25,−9)∪(11,+∞)
17. 已知 P (a ,b ) 与 P (a ,b ) 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和
1 1 1 2 2 2
{a x+b y=1,
y 的方程组 1 1 的解的情况是 ()
a x+b y=1
2 2
A. 无论 k，P ，P 如何，总是无解 B. 无论 k，P ，P 如何，总有唯一解
1 2 1 2
C. 存在 k，P ，P ，使之恰有两解 D. 存在 k，P ，P ，使之有无穷多解
1 2 1 2
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 ⃗a，⃗b，∣⃗a∣=∣⃗b∣=1，⃗a⋅⃗b=0，点 Q 满足
⃗OQ=√2(⃗a+⃗b)， 曲 线 C={P∣⃗OP=cosθ⃗a+sinθ⃗b,0≤θ<2π¿¿， 区 域
Ω={P∣00，b>0）右支上一点，点 F ，F 分别为双曲线的左右
a2 b2 1 2
焦 点 ， 点 I 是 △PF F 的 内 心 （ 三 角 形 内 切 圆 的 圆 心 ） ， 若 恒 有
1 2
√3
S −S = S ，则双曲线的渐近线方程是 ()
△IPF 1 △IPF 2 2 △IF 1 F 2
√2 √3
A. y=±x B. y=± x C. y=±√3x D. y=± x
2 3
二、填空题（共5小题；）
21. 圆 x2+ y2−2x+10 y−24=0 与圆 x2+ y2+2x+2y−8=0 的交点坐标是 ．
22. 已知圆 C :x2+ y2−2mx+4 y+m2−5=0 与圆 C :x2+ y2+2x−2my+m2−3=0，若圆 C
1 2 1
与圆 C 相外切，则实数 m= ．
2
23. 若圆 x2+ y2−2ax+a2=2 和 x2+ y2−2by+b2=1 外离，则 a，b 满足的条件是
．
24. 如果圆 C:(x−a) 2+(y−a) 2=4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围为
．
25. 若点 A(a,b) 在圆 x2+ y2=4 上，则圆 (x−a) 2+ y2=1 与圆 x2+(y−b) 2=1 的位置关系是
．
三、解答题（共5小题；）
26. 两圆没有交点，一定是外离吗?
27. 已知圆 x2+ y2−2x+2y−3=0 和圆 x2+ y2+4x−1=0 关于直线 l 对称，求直线 l 的方程．
28. 已知圆 C:(x−3) 2+(y−4) 2=1 和两点 A(−m,0)，B(m,0)（m>0），若圆 C 上存在点 P ，
使得 ∠APB=90∘ ，求 m 的最大值.
29. 求半径为 4，与圆 x2+ y2−4x−2y−4=0 相切，且和直线 y=0 相切的圆的方程．
(√7 17) ( √31 33)
30. 已知圆 C 经过点 A , ，B − , ，直线 x=0 平分圆 C，直线 l 与圆 C 相
4 4 8 8
切，与圆 C ：x2+ y2=1 相交于 P，Q 两点，且满足 OP⊥OQ．
1
（1）求圆 C 的方程；
（2）求直线 l 的方程．答案
1. C 【解析】如图：
依题意，∣AC∣=∣BC∣，即 ∣AC∣=∣OB∣−∣OC∣．设 C(x,y)，0∣m∣+2，
2
3√5 3√5
∴2− 3+2√2
【解析】由题意可知得，两圆圆心坐标和半径长分别为 (a,0)，√2；(0,b)，1，因为两圆外离．
所以 √a2+b2>√2+1，即 a2+b2>3+2√2．
3√2 √2 √2 3√2
24. − 0)．
因为圆 C 经过 A，B 两点，
(√7) 2 (17 ) 2 ( √31) 2 (33 ) 2
所以 + −b = − + −b ，
4 4 8 87 289 17 31 1089 33
即 + − b+b2= + − b+b2 ，解得 b=4．
16 16 2 64 64 4
则 r2= (√7) 2 + (17 −4 ) 2 = 1 ，
4 4 2
1
所以圆 C 的方程为 x2+(y−4) 2= ．
2
√2
（2） 当直线 l 的斜率不存在时，由 l 与 C 相切得 l 的方程为 x=± ，此时直线
2
(√2 √2) (√2 √2)
l 与 C 交于 P，Q 两点，不妨设 P 点在 Q 点的上方，则 P , ，Q ,− 或
1 2 2 2 2
( √2 √2) ( √2 √2)
P − , ，Q − ,− ，则 ⃗OP⋅⃗OQ=0，所以 OP⊥OQ，满足题意．
2 2 2 2
当直线 l 的斜率存在时，易知其斜率不为 0，
设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0)，P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
{y=kx+m,
将直线 l 的方程与圆 C 的方程联立，得
1 x2+ y2=1,
消去 y，整理得 (1+k2)x2+2kmx+m2−1=0，
则 Δ=4k2m2−4(1+k2)(m2−1)=4(k2−m2+1)>0，
2km m2−1
即 1+k2>m2，则 x +x =− ，x x = ，
1 2 1+k2 1 2 1+k2
k2m2−1 2k2m2 m2−k2
所以 y y =(kx +m)(kx +m)=k2x x +km(x +x )+m2= − +m2= ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1+k2 1+k2 1+k2
又 OP⊥OQ，所以 ⃗OP⋅⃗OQ=0，
m2−1 m2−k2
即 x x + y y = + =0，
1 2 1 2 1+k2 1+k2
故 2m2=1+k2，满足 Δ>0，符合题意．
1
因为直线 l：y=kx+m 与圆 C：x2+(y−4) 2= 相切，
2
∣m−4∣ √2
所以圆心 C(0,4) 到直线 l 的距离 d= = ，
√1+k2 2
1+k2
即 m2−8m+16= ，故 m2−8m+16=m2，得 m=2，
2
故 1+k2=8，得 k=±√7．
故直线 l 的方程为 y=±√7x+2．
√2
综上，直线 l 的方程为 x=± 或 y=±√7x+2．
2
