2023届高考数学三轮冲刺保温练卷：圆与圆的位置关系
一、选择题（共20小题；）
1. 与 y 轴相切，且和曲线 x2+ y2=4(0≤x≤2) 相内切的动圆圆心的轨迹方程是 ()
A. y2=2(x+1)(0<x≤1) B. y2=4(x−1)(0<x≤1)
C. y2=−4(x−1)(0<x≤1) D. y2=−2(x−1)(0<x≤1)
2. 圆 x2+ y2−6x+4 y+12=0 与圆 x2+ y2−14x−2y+1=0 的位置关系是 ()
A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 内含
3. 圆 x2+ y2−2x=0 和圆 x2+ y2+4 y=0 的位置关系是 ()
A. 相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切
4. 圆 C :x2+ y2+2x+2y−2=0 与圆 C :x2+ y2−4x−2y+1=0 的公切线有且仅有 ()
1 2
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
5. 与直线 x−y−4=0 和圆 x2+ y2+2x−2y=0 都相切的半径最小的圆的方程是 ()
A. (x+1) 2+(y+1) 2=2 B. (x+1) 2+(y+1) 2=4
C. (x−1) 2+(y+1) 2=2 D. (x−1) 2+(y+1) 2=4
6. 若圆 C ：x2+ y2−2mx+m2−4=0 与圆 C ：x2+ y2+2x−4my+4m2−8=0 相交，则 m
1 2
的取值范围是 ()
( 12 2)
A. − ,− B. (0,2)
5 5
( 12 2) ( 12 )
C. − ,− ∪(0,2) D. − ,0
5 5 5
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+ y2−8x+15=0，若直线 y=kx−2 上至少存
在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 ()
2 4
A. B. C. 2 D. 3
3 3
8. 圆 ( x+ 1) 2 + y2=4 与圆 (x−1) 2+(y−3) 2=m2 的公切线的条数为 4，则 m 的取值范围是 ()
2
( 37 37) ( 3√5 )
A. − , B. 0, −2
4 4 2
( 3√5 3√5 )
C. 2− , −2 D. 以上均不对
2 2
9. 已知圆 C:(x−3) 2+(y−4) 2=1 和两点 A(−m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆 C 上存在点 P，使
得 ∠APB=90∘，则 m 的最大值为 ()
A. 7 B. 6 C. 5 D. 410. 已知圆 C ：x2+ y2+4x+2y−1=0，圆 C ：x2+ y2+2x+8 y−8=0，则圆 C 与圆 C 的
1 2 1 2
位置关系是 ()
A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
11. 若圆 C ：x2+ y2=1 与圆 C ：x2+ y2−6x−8 y+m=0 外切，则 m 等于 ()
1 2
A. 21 B. 19 C. 9 D. −11
12. 若点 A(1,0) 和点 B(4,0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2，则这样的直线有 ()
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
13. 圆 x2+ y2+2x+8 y−8=0 与圆 x2+ y2−4x−4 y−2=0 的公切线的条数是 ()
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
14. 设两圆 C ，C 都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1)，则两圆心的距离 ∣C C ∣ 等于 ()
1 2 1 2
A. 4 B. 4√2 C. 8 D. 8√2
15. 如图所示，为了测量该工件上面凹槽的圆弧半径 R，由于没有直接的测量工具，工人用三个半
径均为 r （ r 相对 R 较小）的圆柱棒 O ,O ,O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过
1 2 3
深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒 O
2
顶侧面的垂直深度 ℎ，若 r=10mm,ℎ =4mm 时，
则 R 的值为 ()
A. 25mm B. 60mm C. 50mm D. 15mm
16. 若圆 C :x2+ y2=1 和圆 C :x2+ y2−6x−8 y−k=0 没有公共点，则实数 k 的取值范围是
1 2
()
A. (−9,11) B. (−25,−9)
C. (−∞,−9)∪(11,+∞) D. (−25,−9)∪(11,+∞)
17. 已知 P (a ,b ) 与 P (a ,b ) 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和
1 1 1 2 2 2
{a x+b y=1,
y 的方程组 1 1 的解的情况是 ()
a x+b y=1
2 2
A. 无论 k，P ，P 如何，总是无解 B. 无论 k，P ，P 如何，总有唯一解
1 2 1 2
C. 存在 k，P ，P ，使之恰有两解 D. 存在 k，P ，P ，使之有无穷多解
1 2 1 2
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 ⃗a，⃗b，∣⃗a∣=∣⃗b∣=1，⃗a⋅⃗b=0，点 Q 满足
⃗OQ=√2(⃗a+⃗b)， 曲 线 C={P∣⃗OP=cosθ⃗a+sinθ⃗b,0≤θ<2π¿¿， 区 域
Ω={P∣0<r≤∣⃗QP∣≤R,r<R¿¿，若 C∩Ω 为两端分离的曲线，则 ()
A. 1<r<R<3 B. 1<r<R≤3 C. r≤1<R<3 D. 1<r<3<R
19. “a=3”是“圆 O:x2+ y2=2 与圆 C:(x−a) 2+(y−a) 2=8 外切”的 ()
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件x2 y2
20. 已知点 P 为双曲线 − =1（a>0，b>0）右支上一点，点 F ，F 分别为双曲线的左右
a2 b2 1 2
焦 点 ， 点 I 是 △PF F 的 内 心 （ 三 角 形 内 切 圆 的 圆 心 ） ， 若 恒 有
1 2
√3
S −S = S ，则双曲线的渐近线方程是 ()
△IPF 1 △IPF 2 2 △IF 1 F 2
√2 √3
A. y=±x B. y=± x C. y=±√3x D. y=± x
2 3
二、填空题（共5小题；）
21. 圆 x2+ y2−2x+10 y−24=0 与圆 x2+ y2+2x+2y−8=0 的交点坐标是 ．
22. 已知圆 C :x2+ y2−2mx+4 y+m2−5=0 与圆 C :x2+ y2+2x−2my+m2−3=0，若圆 C
1 2 1
与圆 C 相外切，则实数 m= ．
2
23. 若圆 x2+ y2−2ax+a2=2 和 x2+ y2−2by+b2=1 外离，则 a，b 满足的条件是
．
24. 如果圆 C:(x−a) 2+(y−a) 2=4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围为
．
25. 若点 A(a,b) 在圆 x2+ y2=4 上，则圆 (x−a) 2+ y2=1 与圆 x2+(y−b) 2=1 的位置关系是
．
三、解答题（共5小题；）
26. 两圆没有交点，一定是外离吗?
27. 已知圆 x2+ y2−2x+2y−3=0 和圆 x2+ y2+4x−1=0 关于直线 l 对称，求直线 l 的方程．
28. 已知圆 C:(x−3) 2+(y−4) 2=1 和两点 A(−m,0)，B(m,0)（m>0），若圆 C 上存在点 P ，
使得 ∠APB=90∘ ，求 m 的最大值.
29. 求半径为 4，与圆 x2+ y2−4x−2y−4=0 相切，且和直线 y=0 相切的圆的方程．
(√7 17) ( √31 33)
30. 已知圆 C 经过点 A , ，B − , ，直线 x=0 平分圆 C，直线 l 与圆 C 相
4 4 8 8
切，与圆 C ：x2+ y2=1 相交于 P，Q 两点，且满足 OP⊥OQ．
1
（1）求圆 C 的方程；
（2）求直线 l 的方程．答案
1. C 【解析】如图：
依题意，∣AC∣=∣BC∣，即 ∣AC∣=∣OB∣−∣OC∣．设 C(x,y)，0<x≤1，则
x=2−√x2+ y2，化简即可．
2. D
3. A
4. B 【解析】圆 C :(x+1) 2+(y+1) 2=4，C (−1,−1)，r =2，
1 1 1
圆 C :(x−2) 2+(y−1) 2=4，C (2,1)，r =2．
2 2 2
∵∣C C ∣=√(2+1) 2+(1+1) 2=√13<r +r ，
1 2 1 2
∴⊙C 与 ⊙C 相交，
1 2
∴⊙C 与 ⊙C 有两条外公切线．
1 2
5. C
【解析】如图，圆 M 就是半径最小的圆．
6. C
7. B 【解析】因为圆 C 的方程为 x2+ y2−8x+15=0，整理得：(x−4) 2+ y2=1，即圆 C 是以
(4,0) 为圆心，1 为半径的圆；
又直线 y=kx−2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，
所以只需圆 C：(x−4) 2+ y2=1 的圆心 C 到直线 y=kx−2 的距离不超过 2．
设圆心 C(4,0) 到直线 y=kx−2 的距离为 d，
∣4k−2∣
则 d= ≤2，即 3k2−4k≤0，
√1+k2
4
所以 0≤k≤ ，
34
所以 k 的最大值是 ．
3
√ (9) 2
8. C 【解析】两圆相离 +9>∣m∣+2，
2
3√5 3√5
∴2− <m< −2．
2 2
9. B 【解析】如图，
当以 AB 为直径的圆和圆 C 内切时，m 取最大值．
10. B
【解析】圆 C ：x2+ y2+4x+2y−1=0，即 (x+2) 2+(y+1) 2=6，表示以 C (−2,−1) 为圆心，半
1 1
径等于 √6 的圆．
圆 C ：x2+ y2+2x+8 y−8=0，即 (x+1) 2+(y+4) 2=25，表示以 C (−1,−4) 为圆心，半径等于
2 2
5 的圆．
∴ 两圆的圆心距 d=√(−2+1) 2+(−1+4) 2=√10，
∵ 5−√6<√10<5+√6，故两个圆相交．
故选：B．
11. C 【解析】圆 C 的标准方程为 (x−3) 2+(y−4) 2=25−m．
2
又圆 C ：x2+ y2=1，
1
所以 ∣C C ∣=5．
1 2
又因为两圆外切，
所以 5=1+√25−m，解得 m=9．
12. C 【解析】如图，分别以 A，B 为圆心，1，2 为半径作圆．
依题意得，直线 l 是圆 A 的切线，A 到 l 的距离为 1，直线 l 也是圆 B 的切线，B 到 l 的距
离为 2，所以直线 l 是两圆的公切线，共 3 条（2 条外公切线，1 条内公切线）．
13. B 【解析】运用 R−r<d<R+r，可以判断两圆相交，从而两圆有两条公切线．
14. C 【解析】因为两圆与两坐标轴都相切，且都经过点 (4,1)，
所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为 (a,a)，(b,b)，
则有 (4−a) 2+(1−a) 2=a2，(4−b) 2+(1−b) 2=b2，
即 a，b 为方程 (4−x) 2+(1−x) 2=x2 的两个根，
整理得 x2−10x+17=0，
所以 a+b=10，ab=17．
所以 (a−b) 2=(a+b) 2−4ab=100−4×17=32，
所以 ∣C C ∣=√(a−b)+(a−b) 2=√32×2=8．
1 1
15. B
【解析】
在 △O O H 中，O O =20，O H=(r+ ℎ)−r=4．
1 2 1 2 2
可得 O H2=O O 2−O H2=OO 2−OH2
1 1 2 2 1
可得 202−42=(R−10) 2−(R−14) 2 ⇒R=60mm．
16. D
17. B 【解析】P (a ,b ) 与 P (a ,b ) 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，直线
1 1 1 2 2 2
b −b
y=kx+1 的斜率存在，所以 k= 2 1 ，即 a ≠a ，并且 b =ka +1，b =ka +1，
a −a 1 2 1 1 2 2
2 1
所以 a b −a b =ka a −ka a +a −a =a −a ．
2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
{a x+b y=1, ⋯⋯①
1 1
a x+b y=1, ⋯⋯②
2 2
① ×b − ② ×b 得：(a b −a b )x=b −b ，即 (a −a )x=b −b ．
2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1
所以方程组有唯一解．故选B．
18. A 【解析】设 ⃗a=(1,0)，⃗b=(0,1)，
则 ⃗OQ=√2(⃗α+⃗b)=(√2,√2)，所以 Q(√2,√2)；
⃗OP=⃗acosθ+⃗bsinθ=(cosθ,sinθ)，
所以 P 点轨迹为一个以 O 为圆心，1 为半径的单位圆．
又 Ω={P∣0<r≤∣⃗PQ∣≤R,r<R¿¿ 所表示的区域为：
以 Q 点为圆心，内径为 r，外径为 R 的圆环，
且 C∩Ω 为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内，外两圆均相交．
又因为 ∣⃗OQ∣=2，所以 ∣OQ∣−1<r<R<∣OQ∣+1，所以 1<r<R<3．
19. B
20. D
【解析】如图设内切圆半径为 r，√3
所以由 S −S = S ，
△IPF 1 △IPF 2 2 △IF 1 F 2
1 1 √3 1
所以 PF ⋅r− PF ⋅r= ⋅ F F ⋅r⇒PF −PF =√3c=2a，
2 1 2 2 2 2 1 2 1 2
不妨令 c=2，a=√3，
所以 b=1，
故选D．
21. (−4,0) 和 (0,2)
22. −5 或 2
【解析】对于圆 C 与圆 C 的方程，配方得圆 C :(x−m) 2+(y+2) 2=9，圆
1 2 1
C :(x+1) 2+(y−m) 2=4，则 C (m,−2)，r =3，C (−1,m)，r =2．
2 1 1 2 2
如果圆 C 与圆 C 相外切，那么有 ∣C C ∣=r +r =5．
1 2 1 2 1 2
则 m2+3m−10=0，解得 m=−5 或 m=2．
23. a2+b2>3+2√2
【解析】由题意可知得，两圆圆心坐标和半径长分别为 (a,0)，√2；(0,b)，1，因为两圆外离．
所以 √a2+b2>√2+1，即 a2+b2>3+2√2．
3√2 √2 √2 3√2
24. − <a<− 或 <a<
2 2 2 2
【解析】根据题意有圆 x2+ y2=1 与圆 C 相交时满足题意，所以 1<√2a2<3，解得
3√2 √2 √2 3√2
− <a<− 或 <a< ．
2 2 2 2
25. 外切
【解析】因为点 A(a,b) 在圆 x2+ y2=4 上，
所以 a2+b2=4．
又圆 x2+(y−b) 2=1 的圆心 C (0,b)，半径 r =1，
1 1
圆 (x−a) 2+ y2=1 的圆心 C (a,0)，半径 r =1，
2 2
则圆心距 d=∣C C ∣=√a2+b2=√4=2=r +r ，所以两圆外切．
1 2 1 2
26. 不一定是外离，还可能是内含，内含时两圆也没有交点．27. 3x−y+1=0．
28. 因为圆 C 上存在点 P ，使得 ∠APB=90∘ ，
所以以 AB 为直径的圆（圆心为点 O）与圆 C 有公共点 P，
因为圆 C 的半径为 1 ，圆C的圆心 (3,4) 到原点 O 的距离为 5 ，
所以 m 的最大值为 6 .
29. 设所求圆的方程为圆 C:(x−a) 2+(y−b) 2=42．
圆 C 与直线 y=0 相切，且半径为 4，则圆心 C 的坐标为
C (a,4)或C (a,−4),
1 2
又已知圆 x2+ y2−4x−2y−4=0 的圆心 A 的坐标为 (2,1)，半径为 3．
故若两圆相切，则
∣CA∣=4+3=7或∣CA∣=4−3=1.
① 当 C (a,4) 时，有
1
(a−2) 2+(4−1) 2=72,或(a−2) 2+(4−1) 2=12.
可解得
a=2±2√10.
∴ 所求圆的方程为
(x−2−2√10) 2+(y−4) 2=16,
(x−2+2√10) 2+(y−4) 2=16.
② 当 C (a,−4) 时，
2
(a−2) 2+(−4−1) 2=72,或(a−2) 2+(−4−1) 2=12.
故
a=2±2√6.
∴ 所求圆的方程为
(x−2−2√6) 2+(y+4) 2=16,
(x−2+2√6) 2+(y+4) 2=16.
综上所求方程为
(x−2−2√10) 2+(y−4) 2=16,
(x−2+2√10) 2+(y−4) 2=16,
(x−2−2√6) 2+(y+4) 2=16,
(x−2+2√6) 2+(y+4) 2=16.
30. （1） 依题意知圆心 C 在 y 轴上，可设圆心 C 的坐标为 (0,b)，圆 C 的方程为
x2+(y−b) 2=r2(r>0)．
因为圆 C 经过 A，B 两点，
(√7) 2 (17 ) 2 ( √31) 2 (33 ) 2
所以 + −b = − + −b ，
4 4 8 87 289 17 31 1089 33
即 + − b+b2= + − b+b2 ，解得 b=4．
16 16 2 64 64 4
则 r2= (√7) 2 + (17 −4 ) 2 = 1 ，
4 4 2
1
所以圆 C 的方程为 x2+(y−4) 2= ．
2
√2
（2） 当直线 l 的斜率不存在时，由 l 与 C 相切得 l 的方程为 x=± ，此时直线
2
(√2 √2) (√2 √2)
l 与 C 交于 P，Q 两点，不妨设 P 点在 Q 点的上方，则 P , ，Q ,− 或
1 2 2 2 2
( √2 √2) ( √2 √2)
P − , ，Q − ,− ，则 ⃗OP⋅⃗OQ=0，所以 OP⊥OQ，满足题意．
2 2 2 2
当直线 l 的斜率存在时，易知其斜率不为 0，
设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0)，P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
{y=kx+m,
将直线 l 的方程与圆 C 的方程联立，得
1 x2+ y2=1,
消去 y，整理得 (1+k2)x2+2kmx+m2−1=0，
则 Δ=4k2m2−4(1+k2)(m2−1)=4(k2−m2+1)>0，
2km m2−1
即 1+k2>m2，则 x +x =− ，x x = ，
1 2 1+k2 1 2 1+k2
k2m2−1 2k2m2 m2−k2
所以 y y =(kx +m)(kx +m)=k2x x +km(x +x )+m2= − +m2= ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1+k2 1+k2 1+k2
又 OP⊥OQ，所以 ⃗OP⋅⃗OQ=0，
m2−1 m2−k2
即 x x + y y = + =0，
1 2 1 2 1+k2 1+k2
故 2m2=1+k2，满足 Δ>0，符合题意．
1
因为直线 l：y=kx+m 与圆 C：x2+(y−4) 2= 相切，
2
∣m−4∣ √2
所以圆心 C(0,4) 到直线 l 的距离 d= = ，
√1+k2 2
1+k2
即 m2−8m+16= ，故 m2−8m+16=m2，得 m=2，
2
故 1+k2=8，得 k=±√7．
故直线 l 的方程为 y=±√7x+2．
√2
综上，直线 l 的方程为 x=± 或 y=±√7x+2．
2
