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2023届高考数学三轮冲刺保温练卷：直线综合
一、选择题（共20小题；）
1. 若 a2+b2=2c2(c≠0)，则直线 ax+by+c=0 被圆 x2+ y2=1 所截得的弦长为 ()
1 √2
A. B. 1 C. D. √2
2 2
2. “a=1”是“直线 ax+ y+1=0 与直线 (a+2)x−3 y−2=0 垂直”的 ()
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知过点 A(−2,m) 和点 B(m,4) 的直线为 l ，直线 2x+ y−1=0 为 l ，直线
1 2
x+ny+1=0 为 l ．若 l ∥l ，l ⊥l ，则实数 m+n 的值为 ()
3 1 2 2 3
A. −10 B. −2 C. 0 D. 8
4. 若直线 ax+2y−1=0 与直线 2x−3 y−1=0 垂直，则 a 的值为 ()
4
A. −3 B. − C. 2 D. 3
3
5. 已知直线 l :ax+4 y−2=0 与直线 l :2x−5 y+b=0 互相垂直，垂足为 (1,c)，则 a+b+c
1 2
的值为 ()
A. 20 B. −4 C. 0 D. 24
6. 直线 l 过点 (2,2)，且点 (5,1) 到直线 l 的距离为 √10，则直线 l 的方程是 ()
A. 3x+ y+4=0 B. 3x−y+4=0 C. 3x−y−4=0 D. x−3 y+4=0
( 3) ( m−5)
7. 过两点 0,− ， 1,− 的直线 l 与过点 P(2,3) 且斜率为 4 的直线 l 平行，则
m m 1 2
m 的值为 ()
1 2 1 2
A. B. C. − D. −
3 3 3 3
8. 直线 l :ax+2y−1=0 与 l :x+(a−1)y+a2=0 平行，则 a= ()
1 2
A. −1 B. 2 C. −1或2 D. 0或1
9. 已知直线 l :y=ax−2，l :3x−(a+2)y+1=0 互相平行，则 a= ()
1 2
A. 1 或 −3 B. −1 或 3 C. 1 或 3 D. −1 或 −3
10. 点 P(x,y) 在直线 4x+3 y=0 上，且满足 −14≤x−y≤7 ，则点 P 到坐标原点距离的取
值范围是 ()
A. [0,5] B. [0,10] C. [5,10] D. [5,15]
11. 已知 P (a ,b ) 与 P (a ,b ) 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于
1 1 1 2 2 2
l :a x+b y−1=0 和 l :a x+b y−1=0 的交点情况是 ()
1 1 1 2 2 2
A. 存在 k，P ，P 使之无交点
1 2
B. 存在 k，P ，P 使之有无穷多交点
1 2C. 无论 k，P ，P 如何，总是无交点
1 2
D. 无论 k，P ，P 如何，总是唯一交点
1 2
x2 y2
12. 设 F ，F 分别为双曲线 − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点
1 2 a2 b2
P 满足 ∣PF ∣=∣F F ∣，且 ∠PF F =90∘，则双曲线的离心率为 ()
2 1 2 2 1
A. √2−1 B. √2 C. √2+1 D. 2√2+1
13. 等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90∘，若点 A,C 的坐标分别为 (0,4)，(3,3)，则点 B 的坐
标可能是 ()
A. (2,0) 或 (4,6) B. (2,0) 或 (6,4)
C. (4,6) D. (0,2)
14. 已知长方形的四个顶点 A(0,0),B(2,0),C(2,1) 和 D(0,1) ．一质点从 AB 的中点 P 沿
0
与 AB 夹角为 θ 的方向射到 BC 上的点 P 后，依次反射到 CD 、 DA 和 AB 上的点
1
P ,P 和 P （入射角等于反射角）．若 P 与 P 重合，则 tanθ= ()
2 3 4 4 0
1 2 1
A. B. C. D. 1
3 5 2
15. 设两圆 C ，C 都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1)，则两圆心的距离 ∣C C ∣= ()
1 2 1 2
A. 4 B. 4√2 C. 8 D. 8√2
16. 设 A 、 B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且 ∣PA∣=∣PB∣，若直线 PA 的
方程为 x−y+1=0，则直线 PB 的方程是 ()
A. 2x+ y−7=0 B. x+ y−5=0 C. 2y−x−4=0 D. 2x−y−1=0
17. 若动点 A，B 分别在直线 l :x+ y−7=0 和 l :x+ y−5=0 上移动，则 AB 的中点 M 到
1 2
原点的距离的最小值为 ()
A. 3√2 B. 2√2 C. 3√3 D. 4√2
1 1
18. 设 a>b>c>0，则 2a2+ + −10ac+25c2 的最小值是 ()
ab a(a−b)
A. 2 B. 4 C. 2√5 D. 5
y2
19. 过双曲线 x2− =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两
3
点，∣AB∣= ()
4√3
A. B. 2√3 C. 6 D. 4√3
3
20. 直线 3x+ y−3=0 与直线 6x+my+1=0 平行，则它们之间的距离为 ()
2 5 7
A. 4 B. √13 C. √13 D. √10
13 26 20二、填空题（共5小题；）
21. 若 直 线 (3a+2)x+(1−4a)y+8=0 与 (5a−2)x+(a+4)y−7=0 垂 直 ， 则 a=
．
1
22. 已知直线 y=kx+2k+1 与直线 y=− x+2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是
2
．
23. 若圆 C 的半径为 1，其圆心与点 (1,0) 关于直线 y=x 对称，则圆 C 的标准方程为
．
a =a
24. 已知数列 {a }，对任意的 k∈N∗，当 n=3k 时， n n；当 n≠3k 时，a =n，那么该数
n n
3
列中的第 10 个 2 是该数列的第 项．
25. 对正整数 n 定义一种新运算“∗”，它满足① 1∗1=1，② (n+1)∗1=2(n∗1)，则 2∗1=
；n∗1= ．
三、解答题（共5小题；）
1
26. 已知点 A(1,1)，B(2,2)，点 P 在直线 y= x 上，求 ∣PA∣ 2+∣PB∣ 2 取得最小值时
2
P 点的坐标．
27. 求证：三角形的中位线长度等于底边长的一半．
28. 在 △ABC 中，顶点 A(2,4)，B(−4,2)，一条内角平分线所在直线方程为 2x−y=0，求
AC 边所在的直线方程．
x2 y2 {x=2+t,
29. 已知曲线 C: + =1，直线 l: （t 为参数）．
4 9 y=2−2t
（1）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
（2）过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30∘ 的直线，交 l 于点 A，求 ∣PA∣ 的最大
值与最小值．
30. （1）求与直线 3x+4 y−7=0 垂直，且与原点的距离为 6 的直线方程；
（2）求经过直线 l ：2x+3 y−5=0 与 l ：7x+15 y+1=0 的交点，且平行于直线
1 2
x+2y−3=0 的直线方程．答案
∣c∣ ∣c∣ √2
1. D 【解析】因为圆心 (0,0) 到直线 ax+by+c=0 的距离 d= = = ，由勾
√a2+b2 √2∣c∣ 2
股定理得，弦长的一半就等于
√
12−
(√2) 2
=
√2
，所以弦长为 √2．
2 2
2. B 【解析】直线 ax+ y+1=0 与直线 (a+2)x−3 y−2=0 垂直的充要条件为
a(a+2)+1×(−3)=0，解得 a=1或−3，
故“a=1”是“直线 ax+ y+1=0 与直线 (a+2)x−3 y−2=0 垂直”的充分不必要条件．
3. A 【解析】因为 l ∥l ，
1 2
4−m
所以 =−2（m≠−2），
m+2
解得 m=−8（经检验，l 与 l 不重合）．
1 2
因为 l ⊥l ，
2 3
所以 2×1+1×n=0，即 n=−2．
所以 m+n=−10．
a 2
4. D 【解析】直线 ax+2y−1=0 的斜率 k =− ，直线 2x−3 y−1=0 的斜率 k = ．因为
1 2 2 3
a 2
两直线垂直，所以 − × =−1，即 a=3 .
2 3
5. B
a 2 a 2
【解析】直线 l 的斜率为 − ，直线 l 的斜率为 ，由两直线垂直，可知 − ⋅ =−1，得
1 4 2 5 4 5
a=10．将垂足 (1,c) 的坐标代入直线 l 的方程，得 c=−2，将垂足 (1,−2) 的坐标代入直线 l
1 2
的方程，得 b=−12，所以 a+b+c=10−12−2=−4．
6. C 【解析】由已知，设直线 l 的方程为 y−2=k(x−2)，
∣5k−1+2−2k∣
即 kx−y+2−2k=0，所以 =√10 ，
√k2+(−1) 2
解得 k=3，所以直线 l 的方程为 3x−y−4=0．
m−5 3
+ 2
7. D 【解析】 m m ，解得 m=− ．
k = =4=k 3
l 1 1−0 l 2
8. B 【解析】由于两条直线平行，所以 a(a−1)−2=0，即 a2−a−2=0，解得 a=2 或 a=−1．
当 a=−1 时，两条直线方程都为 x−2y+1=0，即两直线重合，不符合题意，故 a=2．
9. A 【解析】因为 l :ax−y−2=0，l :3x−(a+2)y+1=0，
1 2
所以 l ∥l ，
1 2
所以 −a(a+2)=−3，
所以 a2+2a−3=0，(a+3)(a−1)=0，所以 a=−3 或 a=1，
当 a=−3 时，l :−3x−y−2=0，l :3x+ y+1=0，
1 2
满足 l ∥l ，
1 2
当 a=1 时，l :x−y−2=0，l :3x−3 y+1=0，
1 2
满足 l ∥l ，
1 2
所以 a=−3或1．
10. B
4 7 5
【解析】y=− x ，于是有 −14≤ x≤7⇒−6≤x≤3 ，于是 PO=√x2+ y2= ∣x∣∈[0,10]
3 3 3
.
11. D 【解析】P (a ,b ) 与 P (a ,b ) 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，直线
1 1 1 2 2 2
y=kx+1 的斜率存在，
b −b
所以 k= 2 1 ，即 a ≠a ，并且 b =ka +1，b =ka +1，
a −a 1 2 1 1 2 2
2 1
所以 a b −a b =ka a −ka a +a −a =a −a
2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
{a x+b y=1,
1 1
a x+b y=1,
2 2
解得：(a b −a b )x=b −b ，
1 2 2 1 2 1
即 (a −a )x=b −b ，
1 2 2 1
所以方程组有唯一解．
故选D．
12. C 【解析】因为 ∣PF ∣=∣F F ∣=2c，且 ∠PF F =90∘，
2 1 2 2 1
所以 ∣PF ∣=2√2c，
1
由双曲线的定义，得 2√2c−2c=2a，
c
所以 =√2+1．
a
{ k ⋅k =−1
13. A 【解析】设 B(x,y)，根据题意可得 AC BC ，即
∣BC∣=∣AC∣
{ 3−4 ⋅ y−3 =−1 {x=2, {x=4,
3−0 x−3 ，解得 或 所以 B(2,0) 或 B(4,6)．
y=0, y=6,
√(x−3) 2+(y−3) 2=√(0−3) 2+(4−3) 2
14. C
15. C
【解析】因为两圆 C ，C 都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1)，故圆在第一象限内，
1 2
设圆心的坐标为 (a,a)，则有 ∣a∣=√(a−4) 2+(a−1) 2，
所以 a=5+2√2 或 a=5−2√2，故圆心为 (5+2√2,5+2√2) 和 (5−2√2,5−2√2)，故两圆圆心
的距离 ∣C C ∣=√(4√2) 2+(4√2) 2=8．
1 216. B 【解析】由题意知：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，则直线 PA 与直线 PB 关于直线
x=2 对称．设直线 PB 上任一点 M(x,y)，其关于 x=2 的对称点 N(4−x,y) 在直线 PA 上，
则 4−x−y+1=0，即 x+ y−5=0．故直线 PB 的方程为 x+ y−5=0．
17. A 【解析】依题意知动线段 AB 的中点 M 的轨迹为与直线 l :x+ y−7=0 和 l :x+ y−5=0
1 2
等距的直线，
则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点 M 的轨迹方程为 x+ y+m=0，根据平行线间的距离公式得
∣m+7∣ ∣m+5∣
= ⇒∣m+7∣=∣m+5∣⇒m=−6，
√2 √2
即点 M 的轨迹方程为 x+ y−6=0，
∣−6∣
根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 =3√2．
√2
18. B 【解析】因为 a>b>c>0，所以
1 1
原式 =a2+ + −10ac+25c2+a2
ab a(a−b)
¿ = [ a(a−b)+ 1 ] + ( ab+ 1 ) +(a−5c) 2
a(a−b) ab
¿ =4,
当且仅当 a(a−b)=1，ab=1，a−5c=0 时取等号，
√2 √2
即当 a=√2，b= ，c= 时，所求代数式的最小值为 4．
2 5
19. D
20. D
21. 0 或 1
【解析】由两直线垂直的充要条件，得 (3a+2)(5a−2)+(1−4a)(a+4)=0，解得 a=0 或 a=1．
( 1 1)
22. − ,
6 2
【解析】如图，
1
已知直线 y=− x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A(4,0)，B(0,2)．
2
直线 y=kx+2k+1 可变形为 y−1=k(x+2)，表示这是一条过定点 P(−2,1)，斜率为 k 的动直线．因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段 AB 上（不包括端点），所以动直线的斜
率 k 需满足 k
