文档内容
2023届高考数学三轮冲刺保温练卷：圆的切线
一、选择题（共20小题；）
y
1. 如果实数 x，y 满足等式 (x−2) 2+ y2=3，那么 的最大值是 ()
x
1 √3 √3
A. B. C. D. √3
2 3 2
2. 已知 M 是抛物线 C:y2=2px 上的任意一点，以 M 为圆心的圆与直线 x=−1 相切且经过
点 N(1,0)，设斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 P，Q 两点，则线段 PQ 的中点的纵坐标
为 ()
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3. 若直线 x+(2−a)y+1=0 与圆 x2+ y2−2y=0 相切，则 a 的值为 ()
A. 1 或 −1 B. 2 或 −2 C. 2 D. −2
4. 自点 A(−3,4) 作圆 (x−2) 2+(y−3) 2=1 的切线，则 A 到切点的距离为 ()
A. √5 B. 3 C. √10 D. 5
5. 由直线 y=x+1 上的点向圆 (x−3) 2+(y+2) 2=1 引切线，则切线长的最小值为 ()
A. √17 B. 3√2 C. √19 D. 2√5
6. 已知直线 l:2tx+(1−t2)y−4t−4=0，若对于任意 t∈R，直线 l 与一定圆相切，则该定圆
的面积为 ()
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
7. 过点 A(a,0)(a>0)，且倾斜角为 30∘ 的直线与圆 O:x2+ y2=r2(r>0) 相切于点 B，且
∣AB∣=√3，则 △OAB 的面积是 ()
1 √3
A. B. C. 1 D. 2
2 2
8. 若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x−3 y=0 和 x 轴相切，则该圆的标准方
程是 ()
A. (x−3) 2+ ( y− 7) 2 =1 B. (x−2) 2+(y−1) 2=1
3
C. (x−1) 2+(y−3) 2=1 D. ( x− 3) 2 +(y−1) 2=1
2
9. 已知圆 C:x2+ y2−4x=0 与直线 l 切于点 P(1,√3)，则直线 l 的方程为 ()
A. x−√3 y+2=0 B. x−√3 y+4=0 C. x+√3 y−4=0 D. x+√3 y−2=0
10. 已知点 A(√3,0) 和 P(√3,t)(t∈R)，若曲线 x2+ y2=3 上存在点 B 使 ∠APB=60∘，则
t 的最大值为 ()
A. √3 B. 2 C. 1+√3 D. 3
11. 直线 l:x=my+2 与圆 M:(x+1) 2+(y+1) 2=2 相切，则 m 的值为 ()1
A. 1 或 −6 B. 1 或 −7 C. −1 或 7 D. 1 或 −
7
12. 过点 P(4,5) 引圆 x2+ y2−2x−4 y+1=0 的切线，则切线长是 ()
A. 3 B. √14 C. 4 D. 5
13. 过点 P(3,1) 作圆 C:(x−1) 2+ y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为
()
A. 2x+ y−3=0 B. 2x−y−3=0 C. 4x−y−3=0 D. 4x+ y−3=0
14. 过直线 y=x+1 上的点 P 作圆 C:(x−1) 2+(y−6) 2=2 的两条切线 l ，l ，当直线 l ，l
1 2 1 2
关于直线 y=x+1 对称时，∣PC∣= ()
A. 3 B. 2√2 C. 1+√2 D. 2
15. 如图，圆 C 分别与 x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点 A，B，过劣弧 AB 上一点 T 作圆
C 的切线，分别交 x 轴正半轴，y 轴正半轴于点 M，N，若点 Q(2,1) 是切线上一点，则
△MON 周长的最小值为 ()
A. 10 B. 8 C. 4√5 D. 12
16. 过点 A(3,5) 作圆 (x−2) 2+(y−3) 2=1 的切线，则切线的方程为 ()
A. x=3 或 3x+4 y−29=0 B. y=3 或 3x+4 y−29=0
C. x=3 或 3x−4 y+11=0 D. y=3 或 3x−4 y+11=0
y2 x2 a2
17. 若双曲线 − =1(a>0,b>0) 的一条渐近线与圆 x2+(y−a) 2= 相切，则该双曲线得离
a2 b2 9
心率为 ()
3√2 3√2
A. 3 B. √3 C. D.
2 4x2 y2
18. 已知双曲线 − =1(a>0,b>0)，两条渐近线与圆 (x−m) 2+ y2=1(m>0) 相切，若双曲线
a2 b2
的离心率为 √3，则 m 的值为 ()
√6 √6 2√3
A. B. √6 C. D.
2 3 3
19. 圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴正半轴上，直线 3x+4 y+4=0 与圆 C 相切，则圆 C 的方
程为 ()
A. x2+ y2−2x−3=0 B. x2+ y2+4x=0
C. x2+ y2−4x=0 D. x2+ y2+2x−3=0
20. 在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线
2x+ y−4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为 ()
4π 3π 5π
A. B. C. (6−2√5)π D.
5 4 4
二、填空题（共5小题；）
21. 经过点 M(5,−5) 且与圆 x2+ y2=25 相切的直线方程为 ．
22. 圆 x2+ y2−4x=0 在点 P(1,√3) 处的切线方程为 ．
π
23. 如图，l ，l 是过点 M 夹角为 的两条直线，且与圆心为 O，半径长为 1 的圆分别相切，
1 2 3
设圆周上一点 P 到 l ，l 的距离分比为 d ，d ，那么 2d +d 的最小值为
1 2 1 2 1 2
．
24. 设直线 l 过点 (−2,0)，且与圆 x2+ y2=1 相切，则直线 l 的斜率是 ．
{x−y+2≥0,
25. 过平面区域 y+2≥0, 内一点 P 作圆 O:x2+ y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，
x+ y+2≤0,
记 ∠APB=α，当 α 最小时，此时点 P 坐标为 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 求经过点 (5,−5) 且与圆 x2+ y2=25 相切的直线的方程．
27. 求适合下列条件的圆的方程．（1）圆心在直线 y=−4x 上，且与直线 l:x+ y−1=0 相切于点 P(3,−2)；
（2）过三点 A(1,12)，B(7,10)，C(−9,2)．
28. 已知函数 f (x)=x3+1．求：
（1）曲线 y=f (x) 在点 (0,1) 处的切线方程；
（2）过点 (1,1) 且与曲线 y=f (x) 相切的直线方程．
29. 已知圆 C：x2+ y2+2x−4 y+3=0．
（1）若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求切线的方程；
（2）从圆 C 外一点 P(x,y) 向圆引切线 PM，M 为切点，O 为坐标原点，且有
∣PM∣=∣PO∣，求使 ∣PM∣ 最小的点 P 的坐标．
30. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为 2√2 的圆 C 与直线 y=x 相切
于坐标原点 O．
（1）求圆 C 的方程；
（2）试探求 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到定点 F(4,0) 的距离等于线段 OF 的
长?若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案
y
1. D 【解析】由数形结合知， 即为圆上的点与原点连线的斜率．
x
2. A 【解析】设 M(x ,y )，
0 0
因为以 M 为圆心的圆与直线 x=−1 相切且经过点 N(1,0)，
所以 x +1=√(x −1) 2+ y2，
0 0 0
又
y2=2px
．
0 0
所以 p=2．
即可得抛物线方程为 y2=4x．
{y=x+b,
由 ⇒y2−4 y−4b=0．
y2=4x
y + y =4，
1 2
y + y
所以线段 PQ 的中点的纵坐标为 1 2=2．
2
3. C
4. D
5. A
【解析】要使切线长最小，需直线 y=x+1 上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心
∣3+2+1∣
(3,−2) 到直线 y=x+1 的距离 d，d= =3√2，
√2
故切线长的最小值为 √d2−r2=√18−1=√17．
6. D 【解析】已知直线 l:2tx+(1−t2)y−4t−4=0，若对于任意 t∈R，直线 l 与一定圆相切，
分别令 t=0，t=1，t=−1，可得直线的方程为 y=4，x=4，x=0，
由此可知圆的圆心坐标为 (2,2)，半径为 2．
所以与直线 l:2mx+(1−m2)y−4m−4=0 相切的定圆的方程为 (x−2) 2+(y−2) 2=4，
则该定圆的面积为 4π .
7. B
8. B 【解析】由题可知圆心的纵坐标为 1．排除 A，C；在 B，D 选项中只需验证圆心到直线
4x−3 y=0 的距离为 1 即可，只有 B 合适．
9. A 【解析】圆 C:x2+ y2−4x=0 可化为：(x−2) 2+ y2=4，
显然过点 P(1,√3) 的直线 x=1 不与圆相切，
0−√3
则点 P 与圆心连线的直线斜率为 =−√3，
2−1
√3 √3
则所求直线斜率为 ，代入点斜式可得 y−√3= (x−1)，
3 3
整理得 x−√3 y+2=0．10. D
【解析】由题意，当 PB 与圆相切，∠APB=60∘ 时，t 取得最大值或最小值，t 取得最大值时，
√3
tan30∘= ，
t
所以 t=3．
11. B 【解析】根据题意，直线 l:x=my+2 与圆 M:(x+1) 2+(y+1) 2=2 相切，
∣m−3∣
圆 M 的圆心为 (−1,−1)，半径 r=√2，则有 d= =√2，
√1+m2
变形可得 m2+6m−7=0，解可得 m=1或−7．
12. B
13. A 【解析】如图所示：
1
由题意知：AB⊥PC，k = ，
PC 2
所以 k =−2，
AB
所以直线 AB 的方程为 y−1=−2(x−1)，即 2x+ y−3=0．
∣1−6+1∣
14. B 【解析】由题意，CP⊥l，∣PC∣ 为圆心到直线的距离，即 d= =2√2．
√2
15. A
16. A 【解析】由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：(2,3)；1，
当切线的斜率存在，设切线的斜率为 k，则切线方程为：kx−y−3k+5=0，
∣2k−3−3k+5∣
由点到直线的距离公式可得：
=1，
√k2+1
3
解得：k=− ，
4
所以切线方程为：3x+4 y−29=0；
当切线的斜率不存在时，直线为：x=3，
满足圆心 (2,3) 到直线 x=3 的距离为圆的半径 1，
x=3 也是切线方程．
a
17. D 【解析】根据圆的方程知，圆心为 (0,a)，半径为 ；
3
a
根据双曲线方程得，渐近线方程为 y=± x；
ba a
=
a
据题意知，圆心到渐近线的距离为 ，则：√ a2 3 ；
3 1+
b2
a2
所以 1+ =9；
b2
b2 c2−a2 1
所以 = = ；
a2 a2 8
c 3√2
解得 = ．
a 4
x2 y2 b
18. A 【解析】双曲线 − =1(a>0,b>0) 的渐近线方程为 y=± x，即 bx±ay=0，
a2 b2 a
(x−m) 2+ y2=1(m>0)，
所以圆心 C(m,0)，半径为 1，
x2 y2
因为双曲线 − =1(a>0,b>0)，两条渐近线与圆 (x−m) 2+ y2=1(m>0) 相切，
a2 b2
mb
所以
=1，
√a2+b2
所以 mb=c；
双曲线的离心率为 √3，c=√3a，
√6
所以 c= b，
2
√6
所以 m= ．
2
∣3a+4∣ 3a+4
19. C 【解析】设圆心 (a,0)，a>0，则 =2⇒ =2⇒a=2，因此圆 C 的方程
5 5
为 (x−2) 2+ y2=4，即 x2+ y2−4x=0．
20. A
【解析】设直线 l:2x+ y−4=0，
1
因为 ∣OC∣= ∣AB∣=d ，其中 d 为点 C 到直线 l 的距离，
2 1 1
所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点，l 为准线的抛物线．
1 1 4 2
圆 C 半径最小值为 d = × = ，其中 d 为点 O 到直线 l 的距离，圆 C 的面积的最小
2 2 2 √5 √5 2
( 2 ) 2 4π
值为 π = ．
√5 5
21. x=5 或 y=−5
22. x−√3 y+2=0√3
【解析】先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为 ，则过 (1,√3) 切线方程为 x−√3 y+2=0．
3
23. 3−√3
√3 √3
24. − 或
3 3
25. (−4,−2)
【解析】当 α 最小时，则 PO 最大，做出不等式所表示的平面区域．则 D 点和 P 点重合时，则
过点 P 做圆的两条切线，使得 α 最小，所以此时点 P(−4,−2)．
26. x=5 或 y=−5．
27. （1） 解法一：
设圆的标准方程为 (x−a) 2+(y−b) 2=r2，
b=−4a,
{
(3−a) 2+(−2−b) 2=r2, {
a=1,
则有 解得 b=−4,
∣a+b−1∣
=r, r=2√2.
√2
所以圆的方程为 (x−1) 2+(y+4) 2=8．
解法二：
过切点且与 x+ y−1=0 垂直的直线为 y+2=x−3，与 y=−4x 联立可求得圆心为 (1,−4)．
所以半径 r=√(1−3) 2+(−4+2) 2=2√2，
所以所求圆的方程为 (x−1) 2+(y+4) 2=8．
（2） 设圆的一般方程为 x2+ y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，
{
1+144+D+12E+F=0, {D=−2,
则 49+100+7D+10E+F=0, 解得 E=−4,
81+4−9D+2E+F=0. F=−95.
所以所求圆的方程为 x2+ y2−2x−4 y−95=0．
28. （1） 由 f (x)=x3+1，得 fʹ(x)=3x2．
曲线 y=f (x) 在点 (0,1) 处的切线的斜率 k=fʹ(0)=0，则曲线 y=f (x) 在点 (0,1) 处的切线方程
为 y=1．（2） 设切点的坐标为 (x ,x3+1)，则所求切线的斜率为 3x2，则所求切线方程为
0 0 0
y−(x3+1)=3x2 (x−x )，
0 0 0
将点 (1,1) 的坐标代入，得 −x3=3x2 (1−x )，
0 0 0
3
解得 x =0 或 x = ．
0 0 2
3
当 x = 时，所求直线方程为 27x−4 y−23=0；
0 2
当 x =0 时，所求直线方程为 y=1．
0
综上，过点 (1,1) 且与曲线 y=f (x) 相切的直线方程为 27x−4 y−23=0 或 y=1．
29. （1） 由圆的方程 x2+ y2+2x−4 y+3=0 知圆心坐标为 (−1,2)，半径为 √2．
∣k+2∣
当切线过原点时，设切线方程为 y=kx，则 =√2，
√1+k2
∴k=2±√6，即切线方程为 y=(2±√6)x．
∣−1+2−a∣
当切线不过原点时，设切线方程为 x+ y=a，则 =√2，解得 a=−1 或 a=3，
√2
即切线方程为 x+ y+1=0 或 x+ y−3=0．
（2） 设 P(x,y)，∵∣PO∣ 2+r2=∣PC∣ 2，
∴x2+ y2+2=(x+1) 2+(y−2) 2，即 2x−4 y+3=0．
要使 ∣PM∣ 最小，只要 ∣PO∣ 最小即可．
当 PO 垂直于直线 2x−4 y+3=0 时，∣PM∣ 最小．
此时 P 点即为两直线的交点．
{2x−4 y+3=0, ( 3 3)
联立 得 P − , ．
2x+ y=0. 10 5
30. （1） 设圆 C 的圆心为 C(a,b)，则圆 C 的方程为 (x−a) 2+(y−b) 2=8．
因为直线 y=x 与圆 C 相切于原点 O，
所以 O 点在圆 C 上，且 OC 垂直于直线 y=x，
{a2+b2=8,
{ a=2, {a=−2,
于是有 b 解得 或
=−1, b=−2, b=2.
a
由于点 C(a,b) 在第二象限，故 a<0，b>0，
所以圆 C 的方程为 (x+2) 2+(y−2) 2=8．
（2） 假设存在点 Q 符合要求，设 Q(x,y)，
{ (x−4) 2+ y2=16, 4
则有 解得 x= 或 x=0（舍去）．
(x+2) 2+(y−2) 2=8, 5
(4 12)
所以存在点 Q , ，使 Q 到定点 F(4,0) 的距离等于线段 OF 的长．
5 5
