文档内容
押北京卷 7 题
直线和圆
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
圆的性质 2022·北京卷T3
直线与圆以客观题为主，难度较易或
可以预测2024年新高考命题方向 一般，纵观近几年的新高考试题，分
最值问题 2021·北京卷T9 将继续以直线与圆的问题展开命 别考查圆的性质与直线的位置关系，
题． 及最值问题等知识点，同时也是高考
冲刺复习的重点复习内容。
最值问题 2020·北京卷T5
1．（2022·北京卷T3）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，
即 ，解得 ．故选：A．
2．（2021·北京卷T9）已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当 变化时，若
的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题可得圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时， 取得最小值为 ，解得 .
故选：C.
3．（2020·北京卷T5）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，
故选：A.1. 点到直线的距离公式
点 ，直线 ，点到直线的距离为：
2. 两条平行线间的距离公式
， ，
3. 直线与圆的位置关系
直线 ，圆
代数关系 ，几何关系
4. 圆上一点的切线方程
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上
5.
（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意
斜率不存在的切线.
6.圆与圆的位置关系
设圆 的半径为 ，设圆 的半径为 ，两圆的圆心距为
若 ，两圆外离，若 ，两圆外切，若 ，两圆内切
若 ，两圆相交，若 ，两圆内含，若 ，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
7.弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设 ， ，有：则
或：
1．圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（ ）
A．(0，3] B．[0，3]
C．[1，3] D．[2，3]
【答案】C
【解析】圆心为(2，0)，半径1，所以圆上的点到原点的距离d满足2－1≤d≤2＋1，即1≤d≤3.
2．若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
由勾股定理得 ， ，解得 ，故选B.
3．过圆x2＋y2－4x＝0上点P(1， )的圆的切线方程为（ ）
A．x＋ y－4＝0
B． x－y＝0
C．x－ y＋2＝0
D．x＝1或x－ y＋2＝0
【答案】C【解析】注意到P(1， )在圆x2＋y2－4x＝0上，
将点(1， )代入公式(x－2)(x－2)＋(y－0)(y－0)＝4，得直线方程x－ y＋2＝0.
0 0
4．已知直线 和圆 相交于A，B两点.若 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】圆 的圆心为： ，半径为 ，
则圆心到直线 的距离为 ，
由垂径定理可得 ，故选D.
5．已知直线 ，点 在圆 上运动，那么点 到直线 的距离的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 .
则圆心 到直线 ： 的距离为： .
所以圆上的点 到直线 ： 距离的最大值为： ，故选C
6．若过点 向圆C： 作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】过点 向圆 作两条切线，切点分别为 、 ，则 ，
于是点 、 在以 为直径的圆上，而 ，则 的中点为 ， ，
因此以 为直径的圆 方程为 ，
圆 与圆 方程相减，得公共弦 所在直线的方程为 ，
所以直线AB的方程为 ，故选A
7．若从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引一条切线，则切线长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】圆心坐标为O（1，1），半径r＝1，OP＝ .因为圆心、切点、点O构成直角三角形，所以切
线长为 ＝2
8．已知圆 与圆 关于直线 对称，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】圆 ，圆心 ，半径 ，
，圆心 ，半径 ，
由题意知， 是圆 和圆 圆心连线的垂直平分线，
， ， 的中点 ，
圆心 连线的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
故 的方程： ，即 ,故C正确．故选：C．
9．圆 关于直线 对称的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由圆 ，得 ，
则圆心坐标为 ，半径为1，
设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
圆 关于直线 对称的圆的标准方程为 ．
故选：B．
10．已知半径为1的圆经过点 ，其圆心到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】设圆的圆心为 ，则 ，即圆的圆心的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
其中点 到直线 的距离 ，
则圆心到直线 的距离的最大值为 ，故选D
11．已知点A(－2，0)，B(2，0)，点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上运动，则PA2＋PB2的最小值是（ ）
A．14 B．26 C．40 D．58
【答案】B
【解析】设点P(x，y)，则PA2＋PB2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2x2＋2y2＋8＝2OP2＋8.因为OP的最小值为 －2＝3，所以PA2＋PB2的最小值是2×32＋8＝26.
12．过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为 ， ，则四边形 的面积为
（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ,则圆心 ，
则 ，则 ，
则四边形 的面积为 .
故选：C
13．已知 ，线段 是过点 的弦，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由 ，故点 在圆的内部，
且该圆圆心为 ，半径为 ，
设圆心到直线 的距离为 ，
由垂径定理可得 ，即 ，
故当 取最大值时， 有最小值，
又 ，
故 .
14．已知直线l： ，圆C： ，则直线l被圆C所截得的线段的长为
．
【答案】【解析】由已知可得，圆C： 的圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离为 ，
所以，直线与圆相交.
根据垂径定理可得，直线l被圆C所截得的线段的长为 .
15．已知 为坐标原点，点 在圆 上，则 的最小值为 ．
【答案】2
【解析】如图，
令 ， ，得 ， ，即 ，
，
则当 时， 有最小值为2．
16．若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 .
【答案】
【解析】由 可得其渐近线方程为： ，即 ，由 可得：
.
依题意，圆心 到直线 的距离 ，解得： ，因 ，故 .
17．写出一个过点 且与圆 相切的直线方程 ．
【答案】 或 （答案不唯一，写出一个即可）【解析】依题意，将圆 化为标准方程可得 ，则圆 表示以 为圆心，半径 的圆，
当切线的斜率不存在时，过 的直线 正好与圆 相切；
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，则 ，解得 ，此时切线方程
为 ．
由于只需写出一个过点 且与圆 相切的直线方程，
故答案为： 或 （答案不唯一，写出一个即可）
18．设直线 和圆 相交于 ， 两点，若 ，则
.
【答案】 /
【解析】方法一：
如图所示，由已知 ，即 ，
可得 ，半径 ，
又 ，所以 ，即 为等腰直角三角形，
所以圆心 到直线 得距离 ，即 ，解得 ；
方法二：设 ， ，
又 ， 在直线 上，则 ，
由 ，即 ，
可得 ，
联立圆与直线方程 ，得 ，
，即 或 ，
且 ， ，
又 ， ，且 ，
则 ，
即 ，
解得 ，
19．已知圆 ，若过点 的直线l与圆C相交所得弦的长为2，则直线l的斜率
为 .
【答案】
【解析】由 ，可得 ，所以圆心 ，半径 .
由已知得圆心C到直线l的距离 ，
易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，则C到直线l的距离 ，解得 ，所以直线l的斜率为 .
20．已知点 ，点 在圆 上，则 的取值范围是 ；若 与圆 相
切，则 .
【答案】
【解析】圆 标准化为 ，圆心 ，半径 ， ，
则 ，所以 的取值范围是 ，
当 与圆 相切时，可知 .
