2.2 两条直线平行和垂直的判定
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：两条直线平行................................................................ 2
考点二：两条直线垂直................................................................ 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：两条直线平行的判定....................................................... 3
题型二：两直线垂直的判定.......................................................... 6
题型三：两直线平行求参数........................................................ 10
题型四：两直线垂直求参数........................................................ 12
题型五：直线平行垂直在几何中的应用..........................................15
模块三：综合巩固....................................................................... 18
2.2 两条直线平行和垂直的判定
模块一：基础知识
考点一：两条直线平行
对于两条不重合的直线1l ，2l ，其斜率分别为
1k ，
2k ，有1
2
1
2
l
l
k
k
.如下1 图
对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1) 1
2
1
2
l
l
k
k
成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②1l 与2l 不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90，则1
2
l
l
，如上2 图
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：1
2
1
2
l
l
k
k
或1l ，2l 斜率都不存在.
考点二：两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1
；反之，如果它们的斜率之积等
于1
，那么它们互相垂直，即1
2
1
2
1
l
l
k
k
.
对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1) 1
2
1
2
1
l
l
k
k
成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②
1
0
k
且
2
0
k
.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
1
2
1
2
1
l
l
k
k
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
模块二：题型分类
题型一：两条直线平行的判定
1.下列各对直线互相平行的是（
）
A．直线1l 经过点
0,1
A
，
1 0
B
,
，直线2l 经过点
1,3
M
，
2,0
N
B．直线1l 经过点
1, 2
A
，
1,2
B
，直线2l 经过点
2, 1
M
，
0, 2
N
C．直线1l 经过点
1,2
A
，
1,3
B
，直线2l 经过点
1, 1
C
，
1,4
D
D．直线1l 经过点
3,2
A
，
3, 1
B
，直线2l 经过点
1, 1
M
，
3,2
N
【答案】A
【解析】对于A，因为
1
2
0 1
3
0
1,
1
1
0
1
2
l
l
k
k
，所以1
2
//
l
l ；
对于B，因为
1
2
1
2
2
2
1
2,
1 1
2
0
2
l
l
k
k
，所以直线1
2
,
l l 不平行；
对于C，由直线1l 经过点
1,2
A
，
1,3
B
，直线2l 经过点
1, 1
C
，
1,4
D
，
得直线1
2
,
l l 的斜率都不存在，且两直线重合；
对于D，因为直线1l 经过点
3,2
A
，
3, 1
B
，所以直线直线1l 的斜率不存在，
而
2
1 2
3
1 3
2
lk
，所以直线1
2
,
l l 不平行.故选：A.
2.根据下列给定的条件，判断直线1l 与直线2l 是否平行．
(1) 1l 经过点
2,3
A
，
4,0
B
，2l 经过点
3,1
M
，
2,2
N
；
(2) 1l 的斜率为
1
2
，2l 经过点
4,2
A
，
2,3
B
；
(3) 1l 平行于y 轴，2l 经过点
0, 2
P
，
0,5
Q
；
(4) 1l 经过点
0,1
E
，
2, 1
F
，2l 经过点
3,4
G
，
2,3
H
．
【答案】(1)不平行；(2)平行或重合；(3)平行；(4)重合
【解析】（1）
3
0
1
2
4
2
AB
k
，
2 1
1
2
3
MN
k
，
AB
MN
k
k
，所以1l 与2l 不平行．
（2）1l 的斜率
1
1
2
k
，2l 的斜率
2
2
3
1
4
2
2
k
，
1
2
k
k
，所以l1 与l2 平行或重合．
（3）由题意，知1l 的斜率不存在，且不与y 轴重合，2l 的斜率也不存在，且与y 轴重合，所以1
2
l
l
// .
（4）由题意，知
1 1
1
2
0
EF
k
，
4
3
1
3
2
GH
k
,
EF
GH
k
k
，所以1l 与2l 平行或重合．
需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，
2
3
1
1 4
FG
k
.
所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以1l 与2l 重合．
3.（多选）已知直线1l 与2l 为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（
）
A．若1
2
//
l
l ，则斜率
1
2
k
k
B．若斜率
1
2
k
k
，则1
2
//
l
l
C．若倾斜角
1
2
，则1
2
//
l
l
D．若1
2
//
l
l ，则倾斜角
1
2
【答案】BCD
【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．
【详解】A 选项，1
2
//
l
l ，可能直线1l 与2l 的倾斜角都是90，斜率不存在，所以A 选项错误.
B 选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B 选项正确.
C 选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C 选项正确.
D 选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D 选项正确.
故选：BCD
4.（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中1
2
//
l
l 的是（
）．
A．1l 的斜率为2，2l 过点
1,2
A
，
4,8
B
B．1l 经过点
3,3
P
，
5,3
Q
，2l 平行于x 轴，且不经过点P
C．1l 经过点
1,0
M
，
5, 2
N
，2l 经过点
4,3
R
，
0,5
S
D．1l 的方向向量为
1,1 ，2l 的倾斜角为π
3
【答案】BC
【分析】根据题意，结合直线斜率的计算公式以及两直线平行的结论，一一判断即可.
【详解】对于A，由题意得
8
2
2
4 1
AB
k
，所以1l 与2l 平行或重合，故A 错；
对于B，由题意得
3
3
0
5
3
PQ
k
，因2l 平行于x 轴，且不经过点P ，所以1
2
//
l
l ，故B 正确；
对于C，由题意得
2
0
1
5 1
2
MN
k
，
5
3
1
0
4
2
RS
k
，
3
0
1
4 1
MR
k
，所以1
2
//
l
l ，故C 正确；
对于D，直线1l 的斜率为1
1
1 ，直线2l 的斜率为
π
tan
3
3
，
所以1l 与2l 不平行，故D 错．
故选：BC．
5.记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为
1k 、2k ，则“ 1
2
l
l
// ”是“
1
2
k
k
”
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【答案】A
【分析】根据直线的位置关系结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由题意可知：
1
2
,
k k 已经存在，
若1l ∥2l ，则
1
2
k
k
，即充分性成立；
若
1
2
k
k
，则1
2
,l l 可能重合，即必要性均不成立；
综上所述：“ 1
2
l
l
// ”是“
1
2
k
k
”的充分不必要条件.
故选：A．
6.已知直线1l 过
1,4
A
，
2,0
B
，且1
2
//
l
l ，则直线2l 的斜率为（
）
A．4
3
B．3
4
C．
4
3
D．
3
4
【答案】C
【解析】由题意直线1l 的斜率为
1
4
0
4
1 2
3
k
，
又因为1
2
//
l
l ，所以直线2l 的斜率为
2
1
4
3
k
k
.故选：C.
7.已知经过点
(3, ), (5, )
A
n B
m 的直线1l 与经过点
2
,0 ,
0,
(
0)
P
m
Q
n
mn
的直线2l 平行，则m
n 的值为（
）
A．－1
B．－2
C．－1 或2
D．－2 或1
【答案】C
【解析】由题意得
1
2
2
,
2
l
l
m
n
n
k
k
m
，
因为1
2
//
l
l ，所以
1
2
l
l
k
k
，即
2
2
m
n
n
m
，
化简得
2
2
2
0
m
mn
n
，所以m
n
或
2
m
n
，
又由
0
mn
得m
n ＝－1 或2，故选:C.
8.过
,3 ,
1,
A m
B
m
两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45，则m （
）
A．1
B．2
C．-1
D．-2
【答案】A
【解析】过
,3 ,
1,
A m
B
m
两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45，所以
1
m ，
因此过
,3 ,
1,
A m
B
m
两点的直线的斜率为
3
1
m
m
，
因为过
,3 ,
1,
A m
B
m
两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45，
所以有
3
tan 45
1
1
1
m
m
m
，故选：A
9.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的
纸折叠一次，使点
2,0 与点
2,4
重合，点
2023,2024 与点
,a b 重合，则a
b
（
）
A．4046
B．4047
C．4048
D．4049
【答案】B
【解析】设
2,0
A
，
2,4
B
，则点A ，B 所在直线的斜率为
4
0
1
2
2
AB
k
，
由题意知，过点
2023,2024 ，
,a b 的直线与直线AB 平行，
所以
2024
1
2023
b
a
-
= -
-
，整理得：
2023
2024
4047
a
b
+
=
+
=
.故选：B
题型二：两直线垂直的判定
1.判断直线1l 与2l 是否垂直．
(1) 1l 的斜率为10
，2l 经过点
10,2
A
，
20,3
B
；
(2) 1l 经过点
3,4
A
，
3,10
B
，2l 经过点
10,40
M
，
10,40
N
；
(3) 1l 经过点
1,2
A
，
5, 1
B
，2l 经过点
1,0
C
，
4,6
D
．
【答案】(1) 1
2
l
l
(2) 1
2
l
l
(3) 1
2
l
l
【分析】（1）根据
1 2
1
k k 判断直线垂直；
（2）1l 斜率不存在，则判断2l 是否与x 平行，若平行，则两直线垂直；
（3）方法一：根据
1 2
1
k k 判断直线垂直；方法二：利用直线的方向向量判断直线垂直.
【详解】（1）设直线1l ，2l 的斜率分别为
1k ，
2k ，则
1
10
k
，
2
3
2
1
20 10
10
k
，
因为
1 2
1
k k ，所以1
2
l
l
．
（2）由点A，B 的横坐标相等，得1l 的倾斜角为90，则1l
x
，
设直线2l 的斜率为
2k ，则
2
40
40
0
10
10
k
，
所以2l
x
∥
轴．故1
2
l
l
．
（3）方法一：直线1l 的斜率
1
1 2
1
5
1
2
k
，直线2l 的斜率
2
6
0
2
4 1
k
，
因为
1 2
1
k k ，所以1
2
l
l
；
方法二：直线1l 的方向向量
6, 3
AB
，直线2l 的方向向量
3,6
CD
，
因为
0
AB CD
，所以AB
CD
，所以1
2
l
l
．
2.判断下列直线1l 与2l 是否垂直：
(1) 1l 的倾斜角为2π
3 ，2l 经过
4,
3
M
，
5,2 3
N
两点；
(2) 1l 的斜率为
3
2
，2l 经过
3, 2
P
，
6,4
Q
两点；
(3) 1l 的斜率为
1
3
，2l 的倾斜角为，为锐角，且
3
tan 2
4
.
【答案】(1) 1
2
l
l
(2) 1l 与2l 不垂直
(3) 1
2
l
l
【分析】（1）1l 的斜率为
2π
tan
3
3
，根据过两点的斜率公式可求2l 的斜率，判断斜率的乘积是否为1
即可；
（2）根据过两点的斜率公式可求2l 的斜率，判断斜率的乘积是否为1
即可；
（3）根据二倍角的正切公式求出tan的值，判断斜率的乘积是否为1
即可.
【详解】（1）因为1l 的倾斜角为2π
3 ，所以1l 的斜率为
2π
tan
3
3
.
因为2l 经过
4,
3
M
，
5,2 3
N
两点，所以2l 的斜率为
2 3
3
3
5
4
3
.因为
3
3
1
3
，所以
1
2
l
l
.
（2）因为2l 经过
3, 2
P
，
6,4
Q
两点，所以2l 的斜率为
4
2
2
6
3
3
.
因为1l 的斜率为
3
2
，且
3
2
1
2
3
，所以1l 与2l 不垂直.
（3）记2l 的斜率为k ，因为
3
tan 2
4
，所以
2
2
3
1
4
k
k
，解得
3
k
或
1
3
k
.
因为为锐角，所以
3
k
.因为1l 的斜率为
1
3
，且
1
3
1
3
，
所以1
2
l
l
3.（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中1
2
l
l
的是（
）
A．1l 的倾斜角为45，2l 的斜率为1
B．1l 的斜率为
3
3
，2l 经过点
2,0
A
，
3, 3
B
C．1l 经过点
2,1
P
，
4, 5
Q
，2l 经过点
1,2
M
，
1,0
N
D．1l 的方向向量为
1,m ，2l 的方向向量为
1
1,
m
【答案】BCD
【解析】对A，
1
tan 45
1
lk
，
2
1
lk ，
1
2
1
l
l
k
k
，所以A 不正确；
对B，
2
3
0
3
3
2
lk
，
1
2
3
3
1
3
l
l
k
k
，故B 正确；
对C，
1
5 1
1
4
2
lk
，
2
2
0
1
1 1
lk
，
1
2
1
l
l
k
k
，故C 正确；
对D，因为
1,m
1
1,
1 1
0
m
，
所以两直线的方向向量互相垂直，故1
2
l
l
，故D 正确.故选：BCD
4.已知
7, 4 ,
5,6
A
B
，若直线m 与直线AB 垂直，则直线m 的斜率为（
）
A．6
5
B．
6
5
C．5
6
D．
5
6
【答案】A
【分析】根据题意，利用斜率公式求得
5
6
AB
k
，再由两直线的位置关系，得到
1
m
AB
k
k
，即可求解.
【详解】由点
7, 4 ,
5,6
A
B
，可得
6
( 4)
5
5
7
6
AB
k
，
因为直线m 与直线AB 垂直，可得
1
m
AB
k
k
，即
5
(
)
1
6
m
k
，解得
6
5
m
k
，
所以直线m 的斜率为6
5 .
故选：A.
5.若直线1l 的倾斜角为45°，直线2l 经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线1l 与2l 的位置关系是（）
A．垂直
B．平行
C．重合
D．平行或重合
【答案】A
【分析】由倾斜角可得直线1l 的斜率，由斜率公式可得直线2l 的斜率，可判断垂直关系.
【详解】由题可知直线1l 的斜率为tan 45
1
，直线2l 的斜率为6
1
1
3
2
（
）
（
）
，所以直线1l 与2l 垂直
故选：A
6.已知直线1l 经过
3,2
A
，
1, 2
B
两点，直线2l 倾斜角为45，那么1l 与2l （
）
A．平行
B．垂直
C．重合
D．相交但不垂直
【答案】B
【分析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率，可知斜率乘积为1
，从而得到垂直
关系.
【详解】由题意可得：直线1l 的斜率
1
2
2
1
3 1
k
，直线2l 的斜率
2
tan45
1
k
，
∵
1 2
1
k k ，则1l 与2l 垂直.
故选：B.
7.已知两直线1
2
,
l l 的斜率分别为
1
2
,
k k ，且
1
2
,
k k 是方程
2
1
0
x
x
的两根，则1l 与2l 的位置关系为（
）
A．平行
B．相交且垂直
C．重合
D．相交且不垂直
【答案】B
【解析】由题意
1
2
1
k k ，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B．
8.已知两条直线1
l 和
2
l ，其斜率分别是一元二次方程
2
2024
1
k
k
的两不等实数根，则其位置关系是（
）
A．平行
B．垂直
C．重合
D．异面
【答案】B
【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．
【详解】由题意，设两条直线1
l 和
2
l 的斜率分别为
1
2
,
k k
，
且为一元二次方程
2
2024
1
k
k
的两不等实数根，
则
2
1
1
k k
，所以1
2
l
l
.
故选：B
9.若过点
3,2
P
m 和点
,2
Q
m
的直线与方向向量为
5,5
a
的直线垂直，则实数m 的值是
．
【答案】5
【解析】由
5,5
a
得直线的斜率为5
1
5
，
若两直线垂直，则直线PQ 的斜率为
2
2
1
3
m
m
，解得
5
m
．
故答案为：5.
10.直线1l 过点
,1
A m
和点
1,
B
m
，直线2l 过点
,
1
C m
n n
和点
1,
D n
n
m
，则直线1l 与2l 的位置关
系是
．
【答案】垂直
【分析】分
1
m ，
1
m ，
1
m 三种情况讨论即可.
【详解】①当
1
m 时，直线1l 过点
1,1
A
和点
1,1
B
，
直线2l 过点
1
,
1
C
n n
和点
1,
1
D n
n
，
此时直线1l 的斜率
1
0
k
，直线2l 的斜率不存在，因此1
2
l
l
；
②当
1
m 时，直线1l 过点
1,1
A
和点
1, 1
B
，直线2l 过点
1
,
1
C
n n
和点
1,
1
D n
n
．此时直线1l 的斜率不存在，直线2l 的斜率
2
0
k
，因此1
2
l
l
；
③当
1
m 时，直线1l 的斜率
1
1
1
m
k
m
，直线2l 的斜率
2
1
1
m
k
m
，
此时
1
2
1
k
k
×
= - ，∴1
2
l
l
．
故答案为：垂直.
题型三：两直线平行求参数
1.在平面直角坐标系中，直线1l 经过
1,
,
4, 5
M
m
N
两点，2l 经过
6,0 , ( 1,3)
R
S
两点，若1
2
l
l
，则
m
；若1
2
l
l
∥
，则m
．
【答案】
0
34
5
【分析】根据垂直时，斜率乘积为1
，平行时，斜率相等来列式计算即可.
【详解】由已知
2
3
0
3
1
6
5
lk
，
当1
2
l
l
时，
所以
1
5
5
4 1
3
l
m
k
，解得
0
m
，
当1
2
l
l
∥时，
1
5
3
4 1
5
l
m
k
，解得
34
5
m
，
经验证：当
34
5
m
时，1
2
,
l l 不重合.
故答案为：0 ；
34
5
.
2.已知直线1
2
l
l
// ，它们的斜率分别记作
1
2
,
k k ，若
1
2
,
k k 是方程
2
2
1 0
x
ax
的两个根，则a 的值（
）
A．1
B．1
C．1 或1
D．无法确定
【答案】C
【分析】利用直线平行得到
1
2
k
k
，从而得到二次方程判别式为零，由此得解.
【详解】因为1
2
l
l
// ，所以
1
2
k
k
，
因为
1
2
,
k k 是方程
2
2
1 0
x
ax
的两个根，所以
2
4
4
0
a
，解得
1
a .
故选：C.
3.已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m 的值为
.
【答案】0 或1
【分析】
分当直线AB 的斜率不存在，直线MN 的斜率不存在及两直线的斜率都存在时进行求解即可，注意检验下
两直线不重合.
【详解】解：当m＝－2 时，直线AB 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与AB 不平行，不合
题意；
当m＝－1 时，直线MN 的斜率不存在，而直线AB 的斜率存在，MN 与AB 不平行，不合题意；
当m≠－2，且m≠－1 时，
kAB＝4
4
(-2)
2
m
m
m
m
＝
，
kMN＝
3 1
2
2 1
1
m
m
＝
.
因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，
即4
2
2
1
m
m
m
＝
，解得m＝0 或m＝1.
当m＝0 或1 时，由图形知，两直线不重合.
综上，m 的值为0 或1.
故答案为：0 或1
4.已知直线1l 经过
,3 ,
1,
A m
B
m 两点，2l 经过
2,1 ,
4,2
P
Q
两点．
(1)若1
2
//
l
l ，求m 的值；
(2)若1
2
,
l l 的倾斜角互余，求m 的值．
【答案】(1)
7
3
m
(2)
5
3
m
【分析】（1）根据1
2
//
l
l ，可得
AB
PQ
k
k
，再结合斜率公式即可得解；
（2）设1l 的倾斜角为，则直线2l 的倾斜角为π
2
，再结合斜率公式即可得解.
【详解】（1）
2
1
1
4
2
2
PQ
k
，
因为1
2
//
l
l ，
所以
3
1
1
2
AB
PQ
m
k
k
m
，得
7
3
m
，
经检验，符合题意，
所以
7
3
m
；
（2）因为1
2
,l l 的倾斜角互余，
设1l 的倾斜角为，则直线2l 的倾斜角为π
2
，
所以
3
1
2
1
AB
PQ
m
k
m
k
，得
5
3
m
．
5.已知直线1l 的倾斜角为60，直线2l 的斜率
2
2
3
4
k
m
，若1
2
l
l
∥，则m 的值为
.
【答案】2
【详解】由题意得
2
3
4
tan 60
3
m
，解得
2
m .
6.当a 为何值时，直线1l ：
2
y
x
a
与直线2l ：
2
2
2
y
a
x
.
(1)平行；
(2)垂直.
【答案】(1)
1
a
(2)
3
a
【分析】（1）根据题意得到
2
2
1
2
2
a
a
，即可得到答案.
（2）根据题意得到
2
2
1
1
a
，即可得到答案.
【详解】（1）要使1
2
//
l
l ，则需满足
2
2
1
1
2
2
a
a
a
.
故当
1
a 时，直线1l 与直线2l 平行.
（2）要使1
2
l
l
，则需满足
2
2
1
1
a
，∴
3
a
.
故当
3
a
时，直线1l 与直线2l 垂直.
题型四：两直线垂直求参数
1.若直线l 经过点
2, 1
A a
和
2,1
B
a
，且与斜率为
2
3
的直线垂直，则实数a 的值是（）
A．
2
3
B．3
2
C．
2
3
±
D．
3
2
【答案】A
【分析】先利用斜率公式表示出
AB
k
；再根据两直线垂直列出关系式求解即可.
【详解】由题意得，直线l 的斜率必存在，且
1 1
1
2
(
2)
AB
k
a
a
a
－－
＝－
－－－－
0
a
.
因为直线l 与斜率为
2
3
的直线垂直
所以
2
1
1
3
a
－
，解得
2
3
a
.
故选：A.
2.已知
7, 4 ,
5,6
A
B
，若直线m 与直线AB 垂直，则直线m 的斜率为（
）
A．6
5
B．
6
5
C．5
6
D．
5
6
【答案】A
【分析】根据题意，利用斜率公式求得
5
6
AB
k
，再由两直线的位置关系，得到
1
m
AB
k
k
，即可求解.
【详解】由点
7, 4 ,
5,6
A
B
，可得
6
( 4)
5
5
7
6
AB
k
，
因为直线m 与直线AB 垂直，可得
1
m
AB
k
k
，即
5
(
)
1
6
m
k
，解得
6
5
m
k
，
所以直线m 的斜率为6
5 .
故选：A.
3.已知点
(
3,2),
( 2
4,4),
(
,
),
(3,3
2)
A
m
B
m
C
m m
D
m
，若直线AB
CD
，则m 的值为（
）
A．1 或1
B．3
或1
C．1
或3
D．3 或3
【答案】A
【解析】∵A，B 两点纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行.
∵AB
CD
，则CD 与x 轴不垂直，∴
3
m
，即
3
m .
当AB 与x 轴垂直时，
3
2
4
m
m
，解得
1
m ，
此时，点C，D 的纵坐标均为1
，则
/ /
CD
x 轴，此时AB
CD
，满足题意；
当AB 与x 轴不垂直时，
4
2
2
2
4
(
3)
(
1)
AB
k
m
m
m
，
3
2
2(
1)
3
(
)
3
CD
m
m
m
k
m
m
，
∵AB
CD
，∴
1
AB
CD
k k
，即
2
1
2
1
1
3
m
m
m
，解得
1
m .
综上，m 的值为1或1
，故选：A.
4.若直线1l 与2l 的斜率
1k 、
2k 是关于k 的方程
2
2
4
k
k
b
的两根，若1
2
l
l
，则b （
）
A．2
B．－2
C．0
D．－4
【答案】B
【分析】由直线垂直得
1 2
1
k k ，结合韦达定理得参数值．
【详解】1
2
1
2
1
l
l
k k
，方程
2
2
4
k
k
b
为
2
2
4
0
k
k
b
，所以
1
2
1
2
b
k k
，
2
b ，
此时
16
8
0
b
满足题意．
故选：B．
5.当a 为何值时，直线1l ：
2
y
x
a
与直线2l ：
2
2
2
y
a
x
.
(1)平行；
(2)垂直.
【答案】(1)
1
a
(2)
3
a
【分析】（1）根据题意得到
2
2
1
2
2
a
a
，即可得到答案.
（2）根据题意得到
2
2
1
1
a
，即可得到答案.
【详解】（1）要使1
2
//
l
l ，则需满足
2
2
1
1
2
2
a
a
a
.
故当
1
a 时，直线1l 与直线2l 平行.
（2）要使1
2
l
l
，则需满足
2
2
1
1
a
，∴
3
a
.
故当
3
a
时，直线1l 与直线2l 垂直.
6.已知1l 的倾斜角为45°，2l 经过点
2, 1 ,
3,
P
Q
m
．若1
2
l
l
，则实数m 为（
）
A．6
B．－6
C．5
D．－5
【答案】B
【分析】
根据垂直关系得到
1
2
1
l
l
k
k
，由此计算出m 的值.
【详解】因为
1
tan 45
1
lk
，
2
1
1
3
2
5
l
m
m
k
，且1
2
l
l
，
所以
1
2
1
1
1
5
l
l
m
k
k
，解得
6
m ，
故选：B.
7.若直线l 经过点(
2, 1)
a
和(
2,1)
a
，且与经过点( 2,1)
，斜率为
2
3
的直线垂直，则实数a 的值
为
．
【答案】
2
3
【分析】求出直线l 的斜率，利用直线垂直关系列式求出a 的值即得.
【详解】依题意，直线l 的斜率存在且为3
2 ，由直线l 经过点(
2, 1)
a
和(
2,1)
a
，
得直线l 的斜率
1 1
3
(
2)
(
2)
2
a
a
，解得
2
3
a
，
所以实数a 的值为
2
3
.
故答案为：
2
3
8.已知直线1l ：
2
y
x
a
与直线2l ：
2
2
2
y
a
x
垂直，则a 的值为
.
【答案】
3
【分析】根据两直线垂直得充要条件计算即可得解.
【详解】因为直线1l ：
2
y
x
a
与直线2l ：
2
2
2
y
a
x
垂直，
所以
2
1
2
1
a
，解得
3
a
.
故答案为：
3
.
9.已知过
3,1
A
、
1, 3
B
的直线与过
3,
C
m
、
,2
D n
的直线互相垂直，则点
,
m n 有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．无数个
【答案】D
【解析】由
3,1
A
与
1, 3
B
，则直线AB 的斜率
1 3
2
3 1
AB
k
，
由AB
CD
，则直线CD 的斜率存在，即
3
n ，且
1
1
2
CD
AB
k
k
，
由
3,
C
m
与
,2
D n
，则2
1
3
2
m
n
，整理化简可得
2
7
n
m
，
显然该方程有无数个解.故选：D.
题型五：直线平行垂直在几何中的应用
1.以
5, 1 ,
1,1 ,
2,3
A
B
C
为顶点的三角形是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A 为直角顶点的直角三角形
D．以B 为直角顶点的直角三角形
【答案】D
【解析】直线AB 的斜率
1
( 1)
1
1 5
2
AB
k
，直线BC 的斜率
3 1
2
2 1
BC
k
，
由
1
AB
BC
k
k
，所以AB
BC
，
故ABC
是以B 为直角顶点的直角三角形．故选：D
2.已知四边形MNPQ 的顶点
1,1 ,
3, 1 ,
4,0 ,
2,2
M
N
P
Q
，则四边形MNPQ 的形状为
.
【答案】矩形
【分析】分别求出直线
,
,
,
MN PQ MQ NP 的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.
【详解】解：
1
1
2
0
1,
1
1 3
2
4
MN
PQ
k
k
，且P 不在直线MN 上，
/ /
MN
PQ
.
又
0
1
2 1
1,
1
2 1
4
3
MQ
NP
k
k
，且N 不在直线上，
/ /
MQ
NP
，四边形MNPQ 为平行四边形.又
1,
MN
MQ
k
k
MN
MQ
.
平行四边形MNPQ 为矩形.
故答案为：矩形.
3.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为
0,0 ,
1,
,
1 2 ,2
,
2 ,2
O
P
t
Q
t
t
R
t
，其中
0
t
.试判断四边形OPQR 是否为矩形.
【答案】四边形OPQR 为矩形，理由见解析.
【解析】由斜率公式得
0
1
0
OP
t
k
t
，
2
2
2
1 2
1
RQ
t
t
t
t
k
t
2
0
1
2
0
OR
k
t
t
,
2
2
1
1
1
2
2
PQ
t
t
t
k
t
t
所以
OP
RQ
k
k
，
OR
PQ
k
k
，
从而OP∥RQ，OR∥PQ.
所以四边形OPQR 为平行四边形.
又
1
OP
OR
k
k
,所以OP
OR
，
故四边形OPQR 为矩形.
4.（多选）已知点
4,2 ,
6, 4 ,
12,6 ,
2,12
P
Q
R
S
，则下列结论正确的是（
）
A．
//
PQ SR
B．PQ
PS
C．
//
PS QR
D．PR
QS
【答案】ABCD
【解析】由斜率公式知
4
2
3
6
4
5
PQ
k
，
12
6
3
2 12
5
SR
k
，
12
2
5
3
2
4
3
5
PS
k
，
PQ
SR
k
k
，且, , ,
P Q R S 四点不共线，则
//
PQ SR ，A 选项正确；
3
5
1
5
3
PQ
PS
k
k
，PQ
PS
，B 选项正确；
6
( 4)
5
12
6
3
QR
PS
k
k
，
//
PS QR ，C 选项正确；
12
4
4
2
6
QS
k
，
6
2
1
12
4
4
PR
k
，
1
4
1
4
QS
PR
k
k
，PR
QS
，D 选项正确．故选：ABCD．
5.（多选）直线1
2
,
l l 的斜率
1
2
,
k k 是关于k 的方程
2
2
4
0
k
k
m
的两个根，则下列说法正确的是（
）
A．若1
2
l
l
，则
2
m
B．若1
2
l
l
，则
=2
m
C．若1
2
//
l
l 则
2
m
D．若1
2
//
l
l ，则
=2
m
【答案】AD
【解析】直线1l ，2l 的斜率
1k ，
2k 是关于k 的方程
2
2
4
0
k
k
m
的两根，∴
1
2
2
m
k
k
，
若1
2
l
l
，则
1
2
1
2
m
k k
，得
2
m ；
若1
2
//
l
l ，则
1
2
k
k
，∴
16
8
0
m
，得
=2
m
，故选：AD
6.已知
(1,3), (5,1),
(3,7)
A
B
C
，A，B，C，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标.
【答案】(7,5) 或( 1,9)
或(3, 3)
.
【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D 的坐标.
【详解】由题，
(1,3), (5,1),
(3,7)
A
B
C
，
所以kAC=2，
1
2
AB
k
，kBC=－3，
设D 的坐标为（x，y），分以下三种情况：
①当BC 为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，
所以，
1
2
5
BD
y
k
x
，
7
1
=
3
2
CD
y
x
k
，
得x=7，y=5，即
(7,5)
D
②当AC 为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，
所以，
3
3
1
AD
y
k
x
，
7
1
=
3
2
CD
y
x
k
得x=－1，y=9，即
( 1,9)
D
③当AB 为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC
所以
1
3
2
3
5
1
BD
AD
y
y
k
k
x
x
，
，
得x=3，y=－3，即
(3, 3)
D
所以D 的坐标为(7,5) 或( 1,9)
或(3, 3)
.
7.在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是
0,0
O
，
1,
P
t ，
1 2 ,2
Q
t
t
，
2 ,2
R
t
，其中
0,
t
，试判断四边形OPQR 的形状，并给出证明．
【答案】四边形OPQR 是矩形，证明见解析
【分析】根据题意，结合直线斜率的坐标计算公式，分别判断直线是否平行与垂直即可.
【详解】四边形OPQR 是矩形．证明如下：
OP 边所在直线的斜率
OP
k
t
，
QR 边所在直线的斜率
2
2
1
2
2
QR
t
k
t
t
t
，
OR 边所在直线的斜率
1
OR
k
t
，
PQ边所在直线的斜率
2
1
1 2
1
PQ
t
t
k
t
t
，
所以
OP
QR
k
k
，
OR
PQ
k
k
，所以
//
OP QR ，
//
OR PQ ，
所以四边形OPQR 是平行四边形．
又
1
1
QR
OR
k
k
t
t
，
所以QR
OR
，所以四边形OPQR 是矩形．
又
2
1 2
OQ
t
k
t
，
2
1
2
PR
t
k
t
，
令
1
OQ
PR
k
k
，即2
2
1
1 2
1
2
t
t
t
t
，无解，
所以OQ 与PR 不垂直，故四边形OPQR 是矩形．
模块三：综合巩固
1.经过(0,4), ( 1,3)
A
B
两点的直线的方向向量(1, )
k ，则k （
）
A．1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】由题意
1, 1
AB
与向量(1, )
k 共线，所以由对应分量成比例即可求解.
【详解】由题意
1, 1
AB
与直线的方向向量(1, )
k 共线，所以1
1
1
k
，解得
1
k .
故选：C.
2.已知直线1l 过
2,3
A
，
0,4
B
，且1
2
l
l
，则直线2l 的斜率为（
）
A．2
B．
1
2
C．2
D．1
2
【答案】A
【解析】由题设
1
4
3
1
0
2
2
l
AB
k
k
，又1
2
l
l
，则直线2l 的斜率为2 .故选：A
3.已知两直线1
2
,l l 的斜率分别为
1
2
,
k k ，且
1
2
,
k k 是方程
2
1
0
x
x
的两根，则1l 与2l 的位置关系为（
）
A．平行
B．相交且垂直
C．重合
D．相交且不垂直
【答案】B
【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．
【详解】由题意
1 2
1
k k ，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．
故选：B．
4.已知经过点
2,0
A
和点
1,3
B
a 的直线1l 与经过点
0, 1
P
和点
, 2
Q a
a
的直线2l 互相垂直，则实数a
的值为（
）
A．0
B．1
C．0 或1
D．1
或1
【答案】C
【解析】直线1l 的斜率
1
3
0
1
2
a
k
a
．
①当
0
a
时，直线2l 的斜率
2
2
1
1 2
0
a
a
k
a
a
．
因为1
2
l
l
，所以
1
2
1
k k ，即
1
2
1
a
a
a
，解得
1
a ．
②当
0
a
时，
0, 1
P
、
0,0
Q
，此时直线2l 为y 轴，
又
2,0
A
、
1 0
B
,
，则直线1l 为x 轴，显然1
2
l
l
．
综上可知，
0
a
或1.故选：C.
5.已知直线l 的倾斜角为3
4
，直线1l 经过点
3,2
A
和
, 1
B a
，且直线l 与1l 垂直，a 的值为（
）
A．1
B．6
C．0 或6
D．0
【答案】D
【分析】求出直线l 与1l 的斜率，利用两个斜率乘积等于1
即可求解.
【详解】因为直线l 的倾斜角为3π
4 ，所以直线l 的斜率为
3π
tan
1
4 ，且l 与1l 垂直，
所以直线1l 斜率存在，
由经过点
3,2
A
和
, 1
B a
，所以直线1l 斜率为1 2
3
a
，
所以1
2
1
3
a
，解得：
0
a
，
故选：D
6.以
1,1
A
，
2, 1
B
，
1,4
C
为顶点的三角形是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以点A 为直角顶点的直角三角形
D．以点B 为直角顶点的直角三角形
【答案】C
【分析】求出AB 、AC 的斜率，即可判断AB
AC
.
【详解】因为
1,1
A
，
2, 1
B
，
1,4
C
所以
1
1
2
1 2
3
AB
k
，
4 1
3
1
1
2
AC
k
，
∴
1
AB
AC
k
k
，∴AB
AC
，
∴ABC
是以点A 为直角顶点的直角三角形.
故选：C
7.下列说法中正确的有（
）
①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行；
②若1
2
//
l
l ，则
1
2
k
k
；
③所有的直线都有倾斜角；
④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正
确；对于④，举出反例.
【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确；
对于②，若1
2
//
l
l ，但可能斜率不存在，此时不能得到
1
2
k
k
，错误；
对于③，所有的直线都有倾斜角，正确；
对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之
积为-1，错误.，
故正确的个数为2.
故选：B
8.已知点
1,1
A
和
2,4
B
，点P 在y 轴上，且
APB
为直角，则点P 坐标为（
）
A．
0,2
B．
0,2 或
0,3
C．
0,2 或
0,4
D．
0,3
【答案】B
【解析】由题意，设点
0,
P
y ，
APB
为直角，
AP
BP
，
由
1
4
1
,
1
2
AP
BP
y
y
k
y k
，
4
1
1
2
AP
BP
y
k
k
y
，解得
3
y 或2 ，
所以点P 的坐标为
0,2 或
0,3 故选：B
9.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的
纸折叠一次，使点
2,0 与点
2,4
重合，点
2023,2024 与点
,a b 重合，则a
b
（
）
A．4046
B．4047
C．4048
D．4049
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质，可知直线AB 与过点
2023,2024 ，
,a b 的直线平行，且斜率都存在，则由
斜率相等列出式子即可.
【详解】设
2,0
A
，
2,4
B
，则点A ，B 所在直线的斜率为
4
0
1
2
2
AB
k
，
由题意知，过点
2023,2024 ，
,a b 的直线与直线AB 平行，
所以
2024
1
2023
b
a
-
= -
-
，整理得：
2023
2024
4047
a
b
+
=
+
=
.
故选：B
10.已知点
(
3,2),
( 2
4,4),
(
,
),
(3,3
2)
A
m
B
m
C
m m D
m
，若直线AB
CD
，则m 的值为（
）
A．1 或1
B．3
或1
C．1
或3
D．3 或3
【答案】A
【分析】由题意可知CD 与x 轴不垂直，即
3
m .分类讨论，当AB 与x 轴垂直和AB 与x 轴不垂直时，
根据两直线的位置关系求出对应的m 值即可.
【详解】∵A，B 两点纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行.
∵AB
CD
，则CD 与x 轴不垂直，∴
3
m
，即
3
m .
当AB 与x 轴垂直时，
3
2
4
m
m
，解得
1
m ，
此时，点C，D 的纵坐标均为1
，则
/ /
CD
x 轴，此时AB
CD
，满足题意；
当AB 与x 轴不垂直时，
4
2
2
2
4
(
3)
(
1)
AB
k
m
m
m
，
3
2
2(
1)
3
(
)
3
CD
m
m
m
k
m
m
，
∵AB
CD
，∴
1
AB
CD
k
k
，即
2
1
2
1
1
3
m
m
m
，解得
1
m .
综上，m 的值为1或1
，
故选：A.
11.两直线的斜率分别是方程
2
2013
1
0
x
x
的两根，那么这两直线的位置关系是（
）
A．垂直
B．斜交
C．平行
D．重合
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系得
1 2
1
k k ，得到答案.
【详解】设两直线的斜率分别为
1
2
,
k k ，
1
2
,
k k 是方程
2
2013
1
0
x
x
的两根，
2
2013
4
0
，利用根与系数的关系得：
1 2
1
k k ，故两直线的位置关系是垂直．
故选：A .
12.（多选）下列说法中不正确的是（
）
A．直线倾斜角的范围是：0
180
，且当倾斜角增大时，斜率也增大
B．若两直线平行，则两直线的斜率相等
C．若两直线的斜率之积等于1
，则两直线垂直
D．过点
1,1 且斜率为1 的直线方程可表示为：
1
1
1
y
x
【答案】ABD
【分析】由直线倾斜角与斜率的关系即可判断A，由两直线的位置关系即可判断BC，由直线的点斜式方程
即可判断D.
【详解】直线倾斜角的范围是：0
180
，
当0
90
时，倾斜角增大时，斜率也增大；
当
90
时，斜率不存在；
当90
180
时，倾斜角增大时，斜率也增大；故A 错误；
若两直线平行，则两直线的斜率可能不存在，故B 错误；
若两直线的斜率之积等于1
，则两直线垂直，故C 正确；
过点
1,1 且斜率为1 的直线方程为
1
1
y
x
，而
1
1
1
y
x
中
1
x ，故D 错误；
故选：ABD
13.（多选）以
( 1,1),
(2, 1), (1,4)
A
B
C
为顶点的三角形，下列结论正确的有（
）
A．
2
3
AB
k
B．
1
4
BC
k
C．以A 点为直角顶点的直角三角形
D．以B 点为直角顶点的直角三角形
【答案】AC
【解析】对于A，因为
( 1,1),
(2, 1)
A
B
，所以
1
( 1)
2
1
2
3
AB
k
，所以A 正确，
对于B，因为
(2, 1), (1,4)
B
C
，所以
1
4
1
5
2 1
4
BC
k
，所以B 错误，
对于C，因为
2
3
AB
k
，
1
4
3
1 1
2
AC
k
，所以
2
2
1
3
3
AB
AC
k
k
，
所以AB
AC
，所以ABC
以A 点为直角顶点的直角三角形，所以C 正确，
对于D，因为
2
3
AB
k
，
5
BC
k
，所以
1
AB
BC
k
k
，所以D 错误，故选：AC
14.（多选）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是
1
2
,
，斜率分别为
1
2
,
k k ，则下列命题正
确的是（
）
A．若斜率
1
2
k
k
，则
1
2
l
l
∥
B．若
1 2
1
k k ，则1
2
l
l
C．若倾斜角
1
2
，则
1
2
l
l
∥
D．若
1
2
π
，则1
2
l
l
【答案】ABC
【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC，举反例可判断D.
【详解】对于A, 若两直线斜率
1
2
k
k
，则它们的倾斜角
1
2
，则1
2
l
l
∥
，正确；
对于B，由两直线垂直的条件可知，若
1 2
1
k k ，则1
2
l
l
，正确；
对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角
1
2
，则
1
2
l
l
∥
，正确；
对于D, 若
1
2
π
，不妨取
1
2
π
2π
3
3
,
，
则
1
1
2
2
tan
3,
tan
3
k
k
，不满足
1 2
1
k k ，1
2
,l l 不垂直，D 错误，
故选：ABC
15.已知
(1,3), (5,1),
(3,7)
A
B
C
，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为
．
【答案】(7,5) 或( 1,9)
或(3, 3)
.
【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D 的坐标.
【详解】由题，
(1,3), (5,1),
(3,7)
A
B
C
，
所以
7
3
2
3 1
AC
k
，
1 3
1
5 1
2
AB
k
，
7
1
3
3
5
BC
k
，
设D 的坐标为
,x y （
1
x 且
5
x
且
3
x
），分以下三种情况：
①当BC 为对角线时，有
CD
AB
k
k
，
BD
AC
k
k
，
所以，
1
2
5
BD
y
k
x
，
7
1
=
3
2
CD
y
x
k
，
解得
7
5
x
y
，即
(7,5)
D
；
②当AC 为对角线时，有
CD
AB
k
k
，
AD
BC
k
k
，
所以
3
3
1
AD
y
k
x
，
7
1
=
3
2
CD
y
x
k
，解得
1
9
x
y
，即
( 1,9)
D
；
③当AB 为对角线时，有
BD
AC
k
k
，
AD
BC
k
k
所以
1
3
2
3
5
1
BD
AD
y
y
k
k
x
x
，
，解得
3
3
x
y
，即
(3, 3)
D
；
所以D 的坐标为(7,5) 或( 1,9)
或(3, 3)
.
故答案为：(7,5) 或( 1,9)
或(3, 3)
16.已知点
2,2
A
，
6,4
B
，
5,2
H
，H 是ABC
的垂心．则点C 的坐标为
．
【答案】
6, 2
【分析】先设点C 的坐标，求出直线BH
AH
，
的斜率，则可求出直线AC 的斜率和直线BC 的倾斜角，联
立方程组求出C 的坐标；
【详解】设C 点标为
,x y ，直线AH 斜率
2
2
0
5
2
AH
k
，
∴BC
AH
，得直线BC 的倾斜角为90，而点B 的横坐标为6，则
6
x
，
又直线BH 的斜率
4
2
2
6
5
BH
k
，BH
AC
，
∴直线AC 斜率
2
1
6
2
2
AC
y
k
，
∴=
2
y
，
∴点C 的坐标为(6, 2)
．
故答案为：(6, 2)
．
17.已知O 为坐标原点，直线l ：
2
4
y
x
上有一点Q，
5,0
A
，若
90
AQO
，则点Q 的坐标为
．
【答案】(
)
1,2
-
或
16
12
,
5
5
【分析】设
,2
4
Q m
m
，根据
1
QA
OQ
k
k
求解即可.
【详解】设
,2
4
Q m
m
，则
1
QA
OQ
k
k
，
即2
4 2
4
1
5
m
m
m
m
，解得
1
m 或
16
5
，
故
1,2
Q
或
16
12
,
5
5
Q
．
故答案为：(
)
1,2
-
或
16
12
,
5
5
.
18.已知
4,0
A
，
1,2
B
，
,
C m m ，
7, 1
D
.
(1)若直线AB 与CD 平行，求m 的值；
(2)若ABC
为直角三角形，求m 的值.
【答案】(1)11
5 ；(2) 1
或12 或7
17
4
【解析】（1）依题意可得
AB
CD
k
k
，即2
0
1
1 4
7
m
m
，解得
11
5
m
.
又
2
0
2
1
4
3
AB
k
，
1
0
1
7
4
3
AD
k
，
所以
AB
AD
k
k
，所以A、B、C、D 四点不共线，所以
11
5
m
.
（2）若A 为直角，则
1
AB
AC
k
k
，即2
0
0
1
1
4
4
m
m
，解得
12
m
.
若B 为直角，则
1
AB
BC
k
k
，即2
0
2
1
1
4
1
m
m
，解得
1
m .
若C 为直角，则
1
AC
BC
k
k
，即
0
2
1
4
1
m
m
m
m
，解得
7
17
4
m
.
综上，m 的值为1
或12 或7
17
4
.
19.已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为
5, 1
A
，
1,1
B
，
2,3
C
，
4,2
D
．
试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
【答案】直角梯形；证明见解析．
【分析】
由各点坐标可求得四边的斜率，再由平行和垂直的斜率表示即可得出结论.
【详解】
由已知可判断四边形ABCD是直角梯形，
证明如下：因为(
)
5, 1
A
-
，(
)
1,1
B
，(
)
2,3
C
，
(
)
4,2
D
．
由斜率公式得
2 3
1
4
2
2
CD
k
-
=
= -
-
，
( )
1
1
1
1 5
2
AB
k
- -
=
= -
-
，
3 1
2
2 1
BC
k
-
=
=
-
，
( )
2
1
3
4
5
AD
k
- -
=
= -
-
，
所以
CD
AB
k
k
，
BC
AD
k
k
，即AB
CD
且BC 不平行AD ，
所以四边形ABCD是梯形，
又因为
1
BC
CD
k
k
×
= - ，所以BC
CD
，
综上，四边形ABCD是直角梯形；
20.已知直线1l 经过点
(
)
3,
A
a ，(
1,2)
B a
直线2l 经过点
(1,2),
( 2,
2)
C
D
a
.若1
2
l
l
，求a 的值.
【答案】
3
a
或
4
a
【分析】求出直线2l 的斜率，按直线1l 的斜率存在与否讨论，并结合两条直线垂直的斜率关系计算即得.
【详解】依题意，直线2l 的斜率
2
2
2
2 1
3
a
a
k
，
当
1
3
a
，即
4
a
时，直线1l 的斜率不存在，此时
2
4
3
k
，直线1
2
,
l l 不垂直；
因此
4
a
，直线1l 的斜率
1k 存在，
1
2
2
3
(
1)
4
a
a
k
a
a
，
由1
2
l
l
，得
1 2
1
k k ，则
2
1
3 4
a a
a
，整理得
2
12
0
a
a
，解得
3
a
或
4
a ，
所以
3
a
或
4
a .
21.已知
1, 1
M
，
2,2
N
，
3,0
P
．
(1)求点Q 的坐标，满足PQ
MN
，PN
MQ
∥
；
(2)若点Q 在x 轴上，且
NQP
NPQ
，求直线MQ 的倾斜角．
【答案】(1)
0,1
Q
(2)90
【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果；
（2）根据条件可得
NQ
NP
k
k
即可求出结果.
【详解】（1）设
( , )
Q x y ，
由已知得
2
( 1)
3
2 1
MN
k
，
又PQ
MN
，可得
1
MN
PQ
k
k
，
即
3
1(
3)
3
y
x
x
．
①
由已知得
0
2
2
3
2
PN
k
，
又PN
MQ
∥
，可得
PN
MQ
k
k
，
即
1
2
1
1
y
x
x
．
②
联立①②解得
0,
1
x
y
，
∴
(0,1)
Q
．
（2）设
( ,0)
Q x
，
∵
NQP
NPQ
，
∴
NQ
NP
k
k
，
又∵
2
2
NQ
k
x
，
2
NP
k
，
∴
2
2
2
x
，
解得
1
x ．
∴
(1,0)
Q
，
又∵
(1, 1)
M
，
∴MQ
x
轴，
故直线MQ 的倾斜角为90°．
