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（8）平面解析几何
——2025 高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.已知直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 .
2.经过两点 的直线的斜率公式 .
3.两条直线平行与垂直的判定：设两条直线 的斜率分别为 .
（1） ；（2） .
4.直线的方程：
（1）点斜式： .
（2）斜截式： .
（3）两点式： .
（4）截距式： .
（5）一般式： (A，B不同时为0) .
5.直线的交点坐标与距离公式
①一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 ，若方程组有唯一解，则两
条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平
行.②两点 间的距离公式 .
特别地，原点 与任一点 的距离 .
③点到直线的距离：点 到直线 的距离 .
④两条平行直线间的距离：若直线 的方程分别为 ，
，则两平行线的距离 .
6.圆心为 ，半径为r的圆的标准方程： .
7.圆的一般方程： .
8.判断直线与圆的位置关系的方法：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： 相交，
相离， 相切.
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径 r的大小）：设圆心到直线的距离为 d，则
相交， 相离， 相切.
9.圆与圆的位置关系
设圆 半径为 ，圆 半径为 .
圆心距与两圆半径的关系 两圆的位置关系
内含
内切
相交外切
外离
10.椭圆：
1.定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆.这
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
2.标准方程：
（1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 ；
（2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 .
3.焦点三角形
（1）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点， 为椭圆的两焦点，则
，其中 为 .
（2）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点， 为椭圆的两焦点，则 的周长为
.
（3）过焦点 的弦AB与椭圆另一个焦点 构成的 的周长为 .
4.椭圆的方程与简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
一般方程
焦点坐标
顶点坐标范围
长轴长
短轴长
焦距
，
离心率
越接近于1，椭圆越扁； 越接近于0，椭圆越圆
11.双曲线：
1.定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨
迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.标准方程：
（1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 ；
（2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 .
3.焦点三角形
（1）P为双曲线上的点， 为双曲线的两个焦点，且 ，则
.
（2）过焦点 的直线与双曲线的一支交于A，B两点，则A，B与另一个焦点 构成的
的周长为 .（3）若P是双曲线右支上一点， 分别为双曲线的左、右焦点，则 ，
.
（4）P是双曲线 右支上不同于实轴端点的任意一点， 分别为双
曲线的左、右焦点， 为 内切圆的圆心，则圆心 的横坐标恒为定值a.
4.双曲线的几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
焦点坐标
顶点坐标
范围
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
实、虚轴长 实轴长为 ，虚轴长为
离心率 双曲线的焦距与实轴长的比
渐近线方程
12.抛物线：
1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物
线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2.标准方程：
（1）焦点在x轴上的抛物线的方程为 ；
（2）焦点在y轴上的抛物线的方程为 .
3.抛物线的几何性质
标准方程
范围准线
焦点
对称性 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
焦半径长
焦点弦长
【易错题练习】
1.已知 ， 是椭圆 的两个焦点，P为C上一点，且 ，
，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
2.已知圆 ，过直线 上一点 P 向圆 C 作切线，切点为
Q，则 的最小值为( )
A.5 B. C. D.
3.为了增强某会议主席台的亮度，且为了避免主席台就座人员面对强光的不适，灯光设计人
员巧妙地通过双曲线镜面反射出发散光线达到了预期的效果.如图，从双曲线右焦点 发出的
光线的反射光线的反向延长线经过左焦点 .已知双曲线的离心率为 ，则当 与 恰好相等时， ( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线 的焦点为 F，准线为 l，点 A，B 在抛物线 C 上，且满足
.设线段AB的中点到准线的距离为d，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知点P是双曲线 上的动点， ， 分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐
标原点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.（多选）抛物线 的准线为l，P为C上的动点.对P作 的一条切
线，Q为切点.对P作l的垂线，垂足为B.则( )
A.l与 相切 B.当P，A，B三点共线时，
C.当 时， D.满足 的点P有且仅有2个7.（多选）已知椭圆 过点 ，直线 与椭圆C交
于M，N两点，且线段 的中点为P，O为坐标原点，直线 的斜率为 ，则下列结论正
确的是( )
A.C的离心率为
B.C的方程为
C.若 ，则
D.若 ，则椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称
8.已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B，P是圆 上不同于A，B两点的
动点，直线PB与椭圆C交于点Q.若直线PA斜率的取值范围是 ，则直线QA斜率的取值
范围是__________.
9.设 ， 是双曲线 的两个焦点，P是双曲线上任意一点，过 作 平分线
的垂线，垂足为M，则点M到直线 的距离的最大值是___________.
10.已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在坐标轴上，且过 ， 两
点.
（1）求C的方程；
（2）设过点F的直线l与C交于M，N两点，P，Q两点分别是直线 AM，BN与x轴的交点，证明： 为定值.答案以及解析
1.答案：A
解析：在椭圆 中，由椭圆的定义可得 ，因为
， 所 以 ， . 在 中 ， ， 由 余 弦 定 理 得
，即 ，所以 ，
所以C的离心率 .故选A.
2.答案：C
解析：如图所示：
记圆心 到直线 的距离为d，则 .
因为 ，所以当直线 l与CP垂直，即 时，
最小，故 .故选C.
3.答案：A
解析： 离心率 ， .又 ，则根据双曲线的定义可知， ，
.故选A.
4.答案：D
解析：如图，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，
D，N.
设 ， ，则 ， .
由 MN 为梯形 ACDB 的中位线，得 ，由 可得 ，故
.
因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ，故选D.
5.答案：B
解析：如图所示，由双曲线的对称性，不妨设 是双曲线 C 右支上的一点，
，
所以 ，同理可得 ，所以 .又因
为 ， ，所以 .
又 因 为 ， 所 以 ， 所 以 ， ， 所 以
.故选B.
6.答案：ABD解析：对于A，易知 ，故l与 相切，A正确；
对于 B， ， 的半径 ，当 P，A，B 三点共线时， ，所以 ，
，故B正确；
对于C，当 时， ， 或 ， ，易知PA与AB不垂直，故C
错误；
对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知 ，由抛物线定义可知 ，
因为 ，所以 ，所以点P在线段AF的中垂线上，线段 AF的中垂线方程
为 ，即 ，代入 可得 ，解得 ，易知满
足条件的点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD.
7.答案：AC
解析：设 ， ，则 ，即 .
因为M，N在椭圆C上，所以 ， ，两式相减，
得 ，即 ，
又 ，所以 ，
即 ，所以 ，离心率 ，故A正确；因为椭圆C过点 ，所以 ，解得 ， ，所以椭圆C的标准方程
为 ，故B错误；若 ，则直线l的方程为 ，由 得
，所以 ， ， ，故C正确；
若 ，则直线l的方程为 .假设椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线
l对称，设 ， ， 的中点为 ，所以 ， ，
因为E，F关于直线l对称，所以 且点Q在直线l上，即 .又E，F在椭圆
C上，所以 ， ，两式相减，得 ，
即 ，所以 ，即 .联立
，解得 ，即 .又 ，所以点Q在椭圆C外，这
与Q是弦 的中点矛盾，所以椭圆C上不存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称.故选AC.
8.答案：
解析：由题可知 ， ，设 ，则 ， ，
所以 .
因为 ，所以 ，即 .①
因为点P在圆上，所以 ，所以 .②
结合①②可知， .因为 ，所以 .
9.答案：5
解析：由双曲线的方程可得 ，则 ，
， .设 ，
不妨设点P在双曲线右支上，延长 交 的延长线于点N，则 ，如图.由角平分线性质可知， ，由双曲线的定义可得， ，即 .
，
整理得 ，即点M在以 为圆心，2为半径的圆上.
圆心 到直线 的距离 ，
直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离为 .
10.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可知抛物线C过第一、四象限，
故可设抛物线C的方程为 ，代入 得 ，则 ，
故抛物线C的方程为 .
（2）证明：由（1）可得 ，易得直线l的斜率不为0，
则可设直线 ， ， .联立方程得 消去x得 ，
则 ， ， .
当直线AM的斜率不存在时， ，此时直线 ，
则 ， ， ，则 ；
当直线AM的斜率存在时， ，
则直线AM的方程为 ，令 ，则 ，
解得 ， ，
同理可得 ，故 （定值）.
综上， 为定值1.
