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第二章 直线和圆的方程
2.1.2两条直线平行和垂直的判定
题型一：由斜率判断两条直线平行
1．下列直线中，与直线 平行的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知直线 ： ， ： ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二：由斜率判断两条直线垂直
4．已知两条直线l，l 的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l 与l 的位置关系是（ ）
1 2 1 2
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
5．直线 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知直线 ： ， ： ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型三：已知直线平行求参数
7．直线 ： 与 ： 平行，则 的值等于（ ）．
A． 或3 B．1或3 C．3 D．
8．已知l：(a2－1)x＋ay－1＝0，l：(a－1)x＋(a2＋a)y＋2＝0，若l∥l，则a的值为（ ）
1 2 1 2
A．0 B．1 C．0或-2 D．0或1或-2
9．若方程 表示平行于 轴的直线，则 的值是（ ）
A． B． C． ， D．1
题型四：已知直线垂直求参数
10．若两条直线 与 相互垂直，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
11．直线 ： ， ： ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要
12．已知直线 ： 与直线 关于直线 ： 对称，直线 与直线 ： 垂直，则
的值为（ ）
A． B． C．3 D．
题型五：直线平行、垂直在几何中的应用
13．已知等腰直角三角形 的斜边所在的直线是 ，直角顶点是 ，则两条直角边 ，
的方程是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
14．以 为顶点的三角形是
A．以A点为直角顶点的直角三角形 B．以B点为直角顶点的直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形
15．两条直线 和 垂直的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
一、单选题
16．已知直线 ∶x+ y+1=0与直线l 垂直，则直线l 的斜率等于（ ）
2 2
A． B．- C．- D．
17．若两直线 与 平行，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
18．下列说法中正确的有（ ）
（1）若两条直线斜率相等，则两直线平行；
（2）若 ，则
（3）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
（4）若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．若过点P(3,2m)和点Q( ,2)的直线与过点M(2, )和点N( ,4)的直线平行，则m的值是（ ）
A． B． C．2 D．－2
20．直线 的斜率为2， ，直线l 过点 且与y轴交于点P，则P点坐标为（ ）
2
A．(3,0) B．(－3,0) C．(0，－3) D．(0,3)
21．已知倾斜角为 的直线 与直线 垂直，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
22．已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
23．已知直线 ，直线 ，若直线 与直线 互相垂直，则实数 的值为（ ）
A．2或－1 B．－1 C．2 D．
24．“ ”是“直线 与 垂直”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
25．已知 ，则直线 ： 和直线 ： 的位置关系为（
）
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．垂直或重合
【高分突破】
一：单选题
26．“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
27．已知直线 ： 与 ： 平行，则 的值是（ ）
A． B．3 C．3或 D．
28．若直线 和直线 互相垂直，则 （ ）
A．0 B． C． D．
29．已知两条直线 ，则 （ ）
A． 或 B． C． D．
30．已知直线 的倾斜角 ，直线 经过点 ， ，且 与 垂直，直线 与直线 平行，
则 （ ）A． B．0 C．2 D．3
31．已知 ， ，直线 ： ， ： ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
32．设 为实数，直线 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
33．已知直线 ： 和直线 ： 平行，则 （ ）
A． B． C． D．
34．已知直线l： ，其中 ，下列说法正确的是（ ）
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点(0，1)
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
35．已知直线 ，则下列说法正确的是
A．若 ，则m=-1或m=3 B．若 ，则m=3
C．若 ，则 D．若 ，则
36．已知直线 ： 与 ： 平行，则 的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
37．已知直线 ，直线 ，则下列表述正确的有（ ）
A．直线 的斜率为
B．若直线 垂直于直线 ，则实数
C．直线 倾斜角的正切值为3
D．若直线 平行于直线 ，则实数三、填空题
38．已知直线 的倾斜角为 ，直线 经过点 ， ，则直线 与 的位置关系是______．
39．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 的位置，此
1
时直线l 与l 平行，且l 是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________.
1 2 2
40．已知直线 和直线 垂直，则 =_________．
41．已知m为实数，直线 ， ，则“ ”是“ ”的_______条件．
42．已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为______．
四、解答题
43．试确定 的值，使过点 ， 的直线与过点 ， 的直线平行.
44．判断下列各题中 与 是否垂直.
（1） 的斜率为 ， 经过点 ， ；
（2） 经过点 ， ， 经过点 ， .
45．已知直线 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且 间的距离为 ，求 的值.
46．已知两条直线l：ax－by＋4＝0和l：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.
1 2
（1）l⊥l，且l 过点(－3，－1)；
1 2 1
（2）l∥l，且坐标原点到这两条直线的距离相等.
1 2【答案详解】
1．B
【详解】
对于A中，可得 ，根据两直线的位置关系，可得两直线重合，不符合题意；
对于B中，可得 ，根据两直线的位置关系，可得两直线平行，符合题意；
对于C中，可得 ，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意；
对于C中，可得 ，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意；
2．C
【详解】
当 时， ，
两条直线的斜率都是 ，截距不相等，得到两条直线平行.
当 与 平行时可得： ，解得 或 .
若 时，由上可得 与 平行
当 时， ， ,此时两直线重合.
所以当 与 平行时，
故“ ”是“直线 与直线 平行”的充要条件.
故选：C
3．C
【详解】
解：当 时， ： ，即 ； ： ，
即 ，两直线的斜率相等，所以 ，即“ ”是“ ”的充分条件；
当 时， ，解得 或 ，当 时，两直线方程不同，符合题意，当 时， ： ， ： 即 ，不符合题意，
所以，当 时， ，即“ ”是“ ”的必要条件，
综上所述，“ ”是“ ”的充要条件.
故选:C.
4．B
【详解】
解析由方程3x2＋mx－3＝0，知 ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l 与l 的斜率k，k 均存在．设两根为x，x，则kk＝xx＝－1，所以l⊥l．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
故选：B
5．A
【详解】
当 时，直线 ， ， ，所以 ，故充分；
当 时， ，解得 或 ，故不必要；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A
6．A
【详解】
当 时，直线 ： ，
因为 ，所以 ，充分性成立，
当 时，因为直线 的斜率存在，且不为0，
所以 ，解得 ，必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
7．D
【详解】由题意，直线 ： 与 ： 平行，
可得 ，即 ，解得 或 ，
当 时，直线 ： 与 ： ，此时 ；
当 时，直线 ： 与 ： ，此时 与 重合.
故选：D.
8．D
【详解】
由l∥l，则 ，
1 2
解得 或 或 ，
当 时，l： ；l： ，两直线平行；
1 2
当 时，l： ；l： ，两直线平行；
1 2
当 时，l： ；l： ，两直线平行；
1 2
故a的值为0或1或-2.
故选：D
9．B
【详解】
直线 与 轴平行
∴ ，解得：
故选：B．
10．C
【详解】
因为 ，则 ，解得 或 .
故选：C.
11．B
【详解】的充要条件是 ，解得 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：B．
12．B
【详解】
解：直线 与直线 ： 垂直，则 ，即 ，
∵直线 ： 与直线 关于直线 ： 对称，
∵由 得 得交点坐标 ，
在直线 上取点 ，设该点关于 对称的点为 ，则 ，得 ，故
，解得 ，
故选：B.
13．B
【详解】
因为 ， 所在直线互相垂直，
所以其斜率 ，
经检验A，C，D故错误，
而选项B满足，
故选：B
14．A
【详解】
因为 ，，
为直角，故选A.
15．B
【详解】
由题,若直线 和 垂直,
则 ,
故选:B
16．A
【详解】
直线 ∶x+ y+1=0化为 ，
斜率 ，
又因为直线 与直线l 垂直，
2
所以 ，
所以 .
故选：A
17．A
【详解】
由题意知： ，整理得 ，
∴ ，
故选：A
18．A
①若两直线斜率相等，则两直线平行或重合，所以 错误．
②若 ，则两直线的斜率相等或都不存在，所以 错误．
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率存在，则两直线相交，正确．④若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，所以 错误．
故选：A
19．B
【详解】
由 ，即 ，得 .
经检验知， 符合题意.
故选：B.
20．D
【详解】
设P(0，y)，因为 ，所以 ，
所以y＝3.即P(0,3).
故选：D
21．A
【详解】
由垂直知两直线的斜率之积为 ，而直线 的斜率为 ，
得直线 的斜率为 ，即 ，得 为钝角，
所以 .
故选：A
22．D
【详解】
∵
∴AB CD，AD⊥AB，AD⊥CD，
AD与BC不平行，
∴四边形ABCD为直角梯形.
故选：D.
23．D
【详解】因为直线 与直线 互相垂直，
所以 ， .
故选：D
24．D
【详解】
当 时，直线 与 的斜率分别是-1和1，斜率之积为-1，所以两直线垂直;
当直线 与 垂直时，由于斜率分别为 ,
由于斜率存在的两直线垂直，则斜率之积为 ， ,即 ，得 .
故选：D.
25．D
【详解】
因为 ，所以 或 .当 时， ： ， ： ，
， 所以 ，则两直线垂直；当 时， ： ， ： ，则两直线重
合.
故选：D
26．C
【详解】
解：当两直线平行，∴ ，解得 或 ，
当 ，两直线重合，舍去；
当 时，两直线平行．
所以“ ”是“直线 与直线 平行”的充要条件．
故选：C
27．B
【详解】
解： 直线 与 平行， ，化为 ，解得 或 ．
当 时，两条直线分别为 与 ，可知截距不相等，故平行．当 时，两条直线分别为 与 ，可知截距相等，因此重合，不平行．
故选：B.
28．C
【详解】
由题意，直线 与直线 互相垂直，
可得 ，解得 .
故选：C.
29．C
【详解】
由于 ，所以 ，解得 .
故选：C
30．A
【详解】
可知直线 的斜率 ，
与 垂直， 的斜率 ，解得 ，
， 的斜率 ，解得 ，
.
故选：A.
31．C
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，当且仅当 ，即
时等号成立，所以 的最小值为8.
故选：C.
32．C
【详解】
因为直线 ,
当 时有 .
故直线 ,则“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
33．AD
【详解】
直线 ： 和直线 ： 平行，
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
则 ，即 ，解得 或 ．经检验成立
故选：AD
34．AC
【详解】
对于A项，当a＝－1时，直线l的方程为 ，显然与x＋y＝0垂直，所以正确；
对于B项，若直线l与直线x－y＝0平行，可知 ，
解得 或 ，所以不正确；
对于C项，当 时，有 ，所以直线过定点 ，所以正确；
对于D项，当a＝0时，直线l的方程为 ，
在两轴上的截距分别是 ，所以不正确；
故选：AC.
35．BD【详解】
直线 ，则 ，解得 或 ，但 时，两直线方程分别为 ，
即 ，两直线重合，只有 时两直线平行，A错，B正确；
，则 ， ，C错，D正确．
故选：BD．
36．CD
【详解】
直线 与 平行，
，整理得 ，解得 或 .
当 时，直线 ， ，两直线平行；
当 时，直线 ， ，两直线平行.
因此， 或 .
故选：CD.
37．BD
【详解】
对于A，当 时，直线 的斜率不存在，故A错误；
对于B，若 ，则 ，所以 ，故B正确；
对于C，直线 的斜率为-3，故C不正确；
若 ，则 ，且 ，所以 ，故D正确；
故选：BD.
38．平行或重合
【详解】
由已知，得 ， ，，但直线 在y轴上的截距不确定，
直线 与 的位置关系是平行或重合．
故答案为：平行或重合．
39．
如图，直线l 的倾斜角为30°＋30°＝60°，
1
∴直线l 的斜率k＝tan 60°＝ .
1 1
由l∥l 知，直线l 的斜率k＝k＝ .
1 2 2 2 1
∴直线AB的斜率存在，且k ＝ .
AB
∴ ＝ ＝－ ，
解得m＝4＋ .
故答案为：4＋
40．
【详解】
∵直线 和直线 垂直，
∴ ，则 ，
故答案为： ．
41．充分不必要
【详解】依题意， 时， ，从而有 ，解得 或 ，
即命题 的m取值集合为 ，而命题 的m取值集合是 ，且有 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
42．2
【详解】
因为集合 ， ，且 ，
所以直线 与直线 平行，
所以 .
故答案为：2
43． .
【详解】
由题意直线 的斜率存在，为 ，
因为直线 ，则直线 斜率也存在，
又 ，
所以 ，解得 .
经验证 时，直线 的斜率存在，
故 .
44．（1）设直线 , 的斜率分别为 , ,
则 , ,
∵ , ∴ .
（2）设直线 , 的斜率分别为 , ,
∵ 两点的横坐标相等, ∴ 的倾斜角为 , ∴ 轴;∵ , ∴ 轴;
∴ .
45．
（1）由题意，直线 ， ，
因为 ，可得 ，解得 .
（2）由直线 ， ，
因为 ，可得 ，可得 ，此时直线 ，
又由 间的距离为 ，
根据两平行线间的距离公式，可得 ，解得 或 .
46．
（1）由已知，得l 的斜率存在，且k＝1－a.
2 2
若k＝0，
2
则1－a＝0，
即a＝1.
∵l⊥l，
1 2
直线l 的斜率k 必不存在，即b＝0.
1 1
又l 过点(－3，－1)，
1
∴－3a＋4＝0，即a＝ (矛盾)，
∴此种情况不存在，
∴k≠0，即k，k 都存在且不为0.
2 1 2
∵k＝1－a，k＝ ，
2 1
l⊥l，
1 2
∴kk＝－1，
1 2即 (1－a)＝－1.①
又l 过点(－3，－1)，
1
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②联立，解得a＝2，b＝2.
（2）∵l 的斜率存在，l∥l，
2 1 2
∴直线l 的斜率存在，k＝k，
1 1 2
即 ＝1－a，③
又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l∥l，
1 2
∴l，l 在y轴上的截距互为相反数，
1 2
即 ＝b，④
联立③④，解得 或 ；
∴a＝2，b＝－2或a＝ ，b＝2.
