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2025二轮复习专项训练14
直线与圆
[考情分析] 直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的
重点，考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判
断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题，试题难度为中档．
【练前疑难讲解】
一、直线的方程
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l ，l 的斜率k ，k 存在，则l∥l⇔k ＝k ，l⊥l⇔kk ＝－1.若给出的
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．两个距离公式
(1)两平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0间的距离d＝(A2＋B2≠0)．
1 1 2 2
(2)点(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0
二、圆的方程
圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心为(a，b)，半径为r.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心为，
半径为r＝.
三、直线、圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr⇔相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：
Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．
一、单选题
1．（2024·江苏·一模）设 为坐标原点，圆 与 轴切于点 ，直线
交圆 于 两点，其中 在第二象限，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高考真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆
学科网（北京）股份有限公司交于 两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
3．（2024·河北沧州·二模）若点 在圆 （ 为常数）外，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·北京门头沟·一模）若点 是圆 上的任一点，直线
与 轴、 轴分别相交于 、 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西宜春·模拟预测）圆 与圆
的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·江苏·阶段练习）在直角坐标平面内，点 到直线 的距离为3，点
到直线 的距离为2，则满足条件的直线 的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．（2024·全国·模拟预测）已知圆 关于直线 对称的圆的方程为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 是圆 上一点，则 的最大值是
学科网（北京）股份有限公司B．圆 关于直线 对称
C．若点 是圆 上一点，则 的最小值是
D．直线 与圆 相交
8．（2023·山东·模拟预测）已知点 为圆 ： 上的动点，点 的坐标为
， ，设 点的轨迹为曲线 ， 为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）
A． 的最大值为2
B．曲线 的方程为
C．圆 与曲线 有两个交点
D．若 ， 分别为圆 和曲线 上任一点，则 的最大值为
9．（2024·湖南衡阳·二模）已知圆 是直线 上一动点，过点
作直线 分别与圆 相切于点 ，则（ ）
A．圆 上恰有一个点到 的距离为 B．直线 恒过点
C． 的最小值是 D．四边形 面积的最小值为
10．（2024·全国·一模）在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，
得到动点 的轨迹是曲线 ．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线 的方程为
B．若直线 与曲线 相交，则弦最短时
C．当 三点不共线时，若点 ，则射线 平分
学科网（北京）股份有限公司D．过A作曲线 的切线，切点分别为 ，则直线 的方程为
三、填空题
11．（2024·湖北武汉·二模）与直线 和直线 都相切且圆心在第一象限，圆
心到原点的距离为 的圆的方程为 ．
12．（21-22高二上·湖北·期末）曲线 所围成的封闭图形的面积为 ．
13．（23-24高二上·河北保定·期中）已知双曲线 的渐近线与圆
相切，则双曲线的离心率为 .
14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知圆 ，圆 ，直线
．若直线 与圆 交于 两点，与圆 交于 两点， 分别为
的中点，则 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A D C AB CD BCD ACD
1．D
【分析】先根据圆的弦长公式求出线段 的长度，再求出直线 的倾斜角，
即可求得 与 的的夹角，进而可得出答案.
【详解】由题意 ，圆心 ，
到直线 距离为 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司直线 的斜率为 ，则其倾斜角为 ，
则 与 的的夹角为 ，
所以 .
故选：D．
2．C
【分析】结合等差数列性质将 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为 成等差数列，所以 ， ，代入直线方程
得
，即 ，令 得 ，
故直线恒过 ，设 ，圆化为标准方程得： ，
设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 时，|AB|最小，
，此时 .
故选：C
学科网（北京）股份有限公司3．C
【分析】由点 在圆外代入圆的方程可得 ，再由圆的一般方程中 可
得 ，最后求交集即可.
【详解】由题意知 ，
故 ，
又由圆的一般方程 ，
可得 ，即 ，
即 或 ，
所以实数 的范围为 .
故选：C.
4．A
【分析】作出图形，分析可知当直线 与圆 相切，且切点位于 轴下方时， 取
最小值，求出 、 的大小，可求得 的最小值.
【详解】如下图所示：
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，故 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
易知直线 交 轴于点 ，所以， ，
由图可知，当直线 与圆 相切，且切点位于 轴下方时， 取最小值，
由圆的几何性质可知 ，且 ，则 ，
故 .
学科网（北京）股份有限公司故选：A.
5．D
【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心 到公共弦 的距
离，由弦长 即可求出两圆的公共弦长.
【详解】由 ， 作差
得两圆的公共弦所在直线的方程为 ．
由 ，得 ．
所以圆心 ，半径 ，
则圆心 到公共弦 的距离 ．
所以两圆的公共弦长为 ．
故选：D．
6．C
【分析】将问题转化为求以点 为圆心，以3为半径的圆和以点 为圆心，以2
为半径的圆的公切线的条数求解.，
【详解】到点 距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线，
同理到点 距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又 ，
故两圆外切，
所以公切线有3条，
故选：C
学科网（北京）股份有限公司7．AB
【分析】根据点关于直线对称可得 ，进而可得圆 方程，根据斜率的意义，结合
直线与圆相切即可求解A，根据圆心在直线上即可求解B，根据点到直线的距离公式即可求
解CD.
【详解】设圆 的圆心为 ．
因为圆 关于直线 对称的圆的方程为 ，
圆 的圆心为 ，半径为2，所以圆 的半径为2，
两圆的圆心关于直线 对称，则 解得
所以 ，故圆 的方程为 ．
对于A， 的几何意义为圆 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率，
如图，过原点 作圆 的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，解得 ，
故由图可知 的最大值是 ，故A正确；
对于B，圆心 在直线 上，则圆 关于直线 对称，故B正确；
对于C， 表示圆 上任意一点到直线 的距离的 倍，圆心 到
学科网（北京）股份有限公司直线 的距离为 ，所以 的最小值是 ，故
C错误；
对于D，圆心 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆
相离，故D错误．
故选:AB．
8．CD
【分析】根据直线与圆相切，结合正切的和差角公式即可求解A，根据向量关系，代入坐
标运算即可求解B，根据两圆圆心距离与半径的关系即可判断C，根据三点共线即可求解D.
【详解】对于A，当直线 与圆在第一象限相切时，（如图）此时 最大，进而
最大，
由于圆 ： 的圆心 ，半径 ，故
,因此
, ,故A错误，
对于B，设B(x,y)，则 ，由于 在圆 ：
上，代入可得： ，故B错误，
对于C，由于曲线 的方程为 ，为圆心为 ，半径为 的圆，
学科网（北京）股份有限公司故两圆圆心距离为 ，故两圆相交，因此有两个交点，故C正确，
对于D，由于 ，当且仅当 三点共
线时，如图, 故 的最大值为 ,故D正确，
故选：CD
9．BCD
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出圆上点到直线距离的最值可判断A错误；求出直
线 的方程可得其恒过点 ，利用弦长公式可求得|AB|的最小值是 ，可得BC
正确；进而求得四边形 面积的最小值为 ，即D正确.
【详解】易知圆心 ，半径 ，如下图所示：
对于A，圆心 到直线 的距离为 ，
可得圆 上的点到直线 距离的最小值为 ,圆 上的点到直线 距离的最大值
学科网（北京）股份有限公司为 ，
所以圆 上恰有两个点到 的距离为 ，即A错误；
对于B，设 ，可得 ；
易知 ，由 ，
整理可得 ，
同理可得 ，即可知 两点在直线 上，
所以直线 的方程为 ，即 ，
令 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 ，即B正确；
对于C，由直线 恒过定点 ，当点 与圆心 的连线垂直于 时，
|AB|的值最小，
点 与圆心 之间的距离为 ，所以 ，故C正确；
对于D，四边形 的面积为 ，
根据切线长公式可知 ，当|PC|最小值， 最小，
，所以 ，故四边形 的面积为 ，即D正确；
故选：BCD
10．ACD
【分析】由点 的轨迹满足已知条件列两点间距离公式化简可求A选项；由弦长公式和基
学科网（北京）股份有限公司本不等式可求B选项；由角平分线定理的逆定理可求C选项；由几何关系和两圆方程相减
可得两圆公共弦方程可求D选项.
【详解】A：设P(x,y)，因为A(-2,0)，动点 满足 ，
所以 ，化简可得 ，故A正确；
B：由选项A可知，圆心(1,0)，半径 ，设圆心到直线的距离为 ，则 ，
设弦长为 ，由弦长公式得
，
因为 ，当且仅当 ，取等号，
所以弦最短时 ，故B错误；
C：
因为 ，则 ，又 ，
所以 ， ，则 ，
所以由角平分线定理的逆定理可知射线 平分 ，故C正确；
D：过A作曲线 的切线，切点分别为 ，
学科网（北京）股份有限公司则由集合关系可知 在以 为直径的圆上，半径为 ，圆心为 ，
此圆方程为 ，
两圆方程相减可得公共线 的方程为 ，故D正确；
故选：ACD.
11．
【分析】设圆心坐标 ，根据题意列关于 的方程，求出它们的值，进而
求得半径，即可得答案.
【详解】设圆心坐标为 ，
由于所求圆与直线 和直线 都相切，
故 ，化简为 ，而 ，则 ，
又圆心到原点的距离为 ，即 ，
解得 ，即圆心坐标为 ，则半径为 ，
故圆的方程为 ，
故答案为：
12．
【分析】首先判断曲线关于 轴， 轴对称，从而确定曲线在第一象限内与 轴所围成的
图形，再求出图形的面积.
【详解】对于曲线 ，
在上式中，将y换成 得 ，即曲线关于x轴对称，
学科网（北京）股份有限公司将x换成 得 ，即曲线关于y轴对称，
因此只需考虑在第一象限的情形，
当 ， 时曲线即 ，即 ，
所以曲线在第一象限内与x轴所围成的图形是由半径为 的 圆去掉一个等腰直角三角形
而形成的图形，
根据对称性可得曲线 所围成的封闭图形为下图阴影部分，
所以所围成的封闭图形的面积 ．
故答案为： .
13．
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，
利用圆心到直线的距离等于半径即可得到 ，即可求出离心率.
【详解】圆 即 ，圆心为 ，半径 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
依题意 ，即 ，又 ，所以 ，
所以离心率 .
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司14．
【分析】利用点到直线的距离公式，以及两点之间的距离公式，结合几何关系，即可求得
结果.
【详解】设圆 的半径为 ，由题可得： ，
故 ，满足 ，故两圆相交，
连接 ，过 作 ，垂足为 ，如下图所示：
由点到直线的距离公式可得 ， ，
则 ，又 ，
在直角三角形 中，
由勾股定理可得 .
故答案为： .
【基础保分训练】
一、单选题
1．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有
多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有
学科网（北京）股份有限公司对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距
均为 ，拉索下端相邻两个锚的间距 均为 ．
最短拉索的锚 ， 满足 ， ，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东·二模）已知直线 与双曲线 的一条渐
近线平行，则 的右焦点到直线 的距离为（ ）
A．2 B． C． D．4
3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知 是圆 的切线，点 为切点，若
，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线 ，圆 ．则直
线 被圆 所截得的弦长为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．2 B．4 C． D．
5．（2024·辽宁·二模）已知圆 与圆 关于直线 对称，则直
线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·江苏南京·二模）“ ”是“过点 有两条直线与圆
相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·浙江丽水·二模）复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023·吉林白山·一模）已知圆 与直线 ，P，Q
分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·云南昆明·一模）过点 作圆 ： 的两条切线，切点分
别为 ， ，则四边形 的面积为（ ）
A．4 B． C．8 D．
10．（2024·广东佛山·二模）已知P是过 ， ， 三点的圆上的动点，
则 的最大值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C．5 D．20
11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知直线 与圆 相交于 两点，
若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
12．（2024·山东·模拟预测）已知圆 的圆心到直线 的
距离是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．内含
13．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆 ： 与圆 ： 交
于A，B两点，当 变化时， 的最小值为 ，则 （ ）
A．0 B．±1 C．±2 D．
14．（2024·河北石家庄·三模）已知圆 和圆 ，则两
圆公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
15．（2024·云南昆明·模拟预测）设直线 ： 与圆C： ，则下列结
论正确的为（ ）
A．直线 与圆C可能相离
B．直线 不可能将圆C的周长平分
C．当 时，直线 被圆C截得的弦长为
D．直线 被圆C截得的最短弦长为
学科网（北京）股份有限公司16．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知圆 ，圆
，则下列结论正确的是（ ）
A．若 和 外离，则 或
B．若 和 外切，则
C．当 时，有且仅有一条直线与 和 均相切
D．当 时， 和 内含
17．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知曲线 的方程为 ，则（ ）
A．当 时，曲线 表示双曲线
B．当 时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆
C．当 时，曲线 表示圆
D．当 时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆
18．（2024·浙江温州·一模）若圆 与直线 相切，且与圆 相
切于点 ，则圆 的半径为（ ）
A．5 B．3 C． D．
三、填空题
19．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，
则 .
20．（2024·湖南·二模）已知直线 是圆 的切线，点 和点 到 的
距离相等，则直线 的方程可以是 .（写出一个满足条件的即可）
21．（21-22高三上·江苏连云港·期中）已知抛物线 与坐标轴交于 ， ，
三点，则 外接圆的标准方程为 .
学科网（北京）股份有限公司22．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点 为圆 上的动点，则 的取
值范围为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B C B B A C B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 B D C C BD ABC AC BD
1．C
【分析】根据题意利用已知长度可分别计算 ， ，再利用斜率的定义可解.
【详解】根据题意，最短拉索的锚 ， 满足 ， ，
且 均为 ，拉索下端相邻两个锚的间距 均为
，
则 ，即点 ，
同理 ，
又 ，即点 ，
所以 ， ，
故选：C.
2．C
【分析】根据双曲线方程求出渐近线，解得 的值，从而求得右焦点到直线 的距离即可.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
因为直线 与双曲线 的一条渐近线平行，
所以 ，解得 ，所以双曲线 的右焦点坐标为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 的右焦点到直线 的距离为 .
故选：C.
3．B
【分析】根据题意，由圆的定义可知点 的轨迹为圆，再由圆的方程即可得到结果.
【详解】因为 ，所以 点到圆心的距离恒为 ，
所以点 的轨迹方程是以 为圆心， 为半径的圆，即 ，
故选：B
4．B
【分析】将圆 的一般方程化为标准方程，可得直线 过圆心 ,从而可求解.
【详解】圆 的标准方程为 ,直线 过圆心 ,
所以直线 被圆 所截得的弦长等于直径长度4.
故选:B．
5．C
【分析】根据对称可知 是圆 和圆 圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，
由点斜式方程即可．
【详解】圆 ，圆心 ，半径 ，
，圆心 ，半径 ，
由题意知， 是圆 和圆 圆心连线的垂直平分线，
， ， 的中点 ，
圆心 连线的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
故 的方程： ，即 ,故C正确．
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司6．B
【分析】由已知点 在圆 外，求出的范围，再根据充分条件和必要条
件的定义即可得答案.
【详解】由题意，点 在圆 外，则有 ，
，所以“ ”是“过点 有两条直线与圆 相切”
的必要不充分条件.
故选：B
7．B
【分析】利用复数的几何意义及两点间的距离公式即可求解.
【详解】设 ,则
所以 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 对应的点 在以原点为圆心，1为半径的圆上，
表示复平面内的点 到点 的距离，
所以 的最小值是 .
故选：B.
8．A
【分析】
， 的最小值为圆心 到直线的距离，可求 的
最小值.
【详解】
学科网（北京）股份有限公司圆 化为标准方程为 ，
则圆C的圆心为 ，半径 ，则 ，
直线PQ与圆C相切，有 ，
因为点Q在直线l上，所以 ，则 ．
即 的最小值是 .
故选：A
9．C
【分析】根据两点距离公式可得 ，即可由勾股定理求解 ，由三角形面积公式即可
求解.
【详解】由 ，得 ,则圆心 ，
则 ，则 ，
则四边形 的面积为 .
故选：C
10．B
【分析】由向量的坐标运算可得 ，即得 是以 为直径的圆上的
三点，从而可求得结果.
【详解】依题意， ，则 ，
因此线段 是圆 的直径，且 ，而点 是该圆上的点，
所以 的最大值为 .
故选：B
学科网（北京）股份有限公司11．B
【分析】先计算直线 到圆心 的距离 ，然后根据勾股定理得到
，从而代入条件即可解出 ，从而得到 .
【详解】如图所示：
设坐标原点 到直线 的距离为 ，则 .
设线段 的中点为 ，则 ，根据勾股定理，有
.
由 ，得 ，故 ，解得 ，故 .
故选：B.
12．D
【分析】根据点到直线的距离公式求 的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.
【详解】圆 ： ，所以圆心 ，半径为 .
由点到直线距离公式得： ，且 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司又圆 的圆心 ，半径为：1.
所以 ， .
由 ，所以两圆内含.
故选：D
13．C
【分析】先求两个圆的公共弦所在直线方程，利用勾股定理求出弦长的表达式，结合最值
可得答案.
【详解】两圆的公共弦所在线的方程为： ，圆心 到直线的距离为
，
，因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故选：C
14．C
【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即
可得公切线条数.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆
心 ，半径 ，
则 ，故两圆外切，则两圆公切线的条数为 .
故选：C.
15．BD
学科网（北京）股份有限公司【分析】对于A，由直线过圆内的定点即可判断；对于B，直线不可能过圆心即原点，由此
即可判断；对于CD，由点到直线距离公式、圆的弦长公式验算即可.
【详解】因为直线 过定点 ，且点 在圆 内，所以直线 与圆 必相交，A错
误；
若直线 将圆 的周长平分，则直线 过原点，此时直线 的斜率不存在，但这是不可能的，
所以B正确；
当 时，直线 的方程为 ，圆心C到直线 的距离为 ，所以直线
被 截得的弦长为 ，C错误；
因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 被 截得的弦长为 ，等号成立当且仅当 ，即 ，D正确，
故选：BD.
16．ABC
【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心
距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
所以 ，
若 和 外离，则 ，解得 或 ，故A正确；
若 和 外切，则 ，解得 ，故B正确；
当 时， ，则 和 内切，故仅有一条公切线，故C正确；
当 时， ，则 和 相交，故D错误.
学科网（北京）股份有限公司故选：ABC．
17．AC
【分析】根据双曲线，椭圆以及圆的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，当 时， 表示焦点在 轴双曲线，故A正确，
对于B，当 时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，B错误，
对于C, 当 时， ,表示圆，C正确，
对于D,当 时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，D错误，
故选：AC
18．BD
【分析】由已知得圆心在 轴，设圆心为 ，然后由圆与直线相切及过点 列方程组
求得圆心后再求得半径．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1，
圆 与圆 相切于点 ，则圆心在 轴，设圆心为 ，
则由题意 ，解得 或 ，
时，半径为 ， 时，半径为 ，
故选：BD．
19．
【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解.
【详解】由题意得函数 的导函数为 ，故在 处切线的斜率为 ，
直线 的斜率存在为 ，根据题意得， ，解得 .
故答案为: .
20． （写出一个满足条件的即可）
学科网（北京）股份有限公司【分析】当 时设 的方程为 ，利用圆心到直线的距离等于半径求出 ，若 经
过 的中点 ，分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论，分别求出切线方程，即可得
解.
【详解】若 ，此时 的斜率为 .
设 的方程为 ，则点 到 的距离 ，解得 ，
因此 的方程为 或 .
若 经过 的中点 ，
当 的斜率不存在时，此时 的方程为 ，满足与圆 相切；
当 的斜率存在时，设其方程为 ，
则点 到直线 的距离 ，解得 ，此时直线 的方程为 .
故答案为： （写出一个满足条件的即可）.
21．
【分析】由题意分别计算 ， ， 三点的坐标，设圆： ，代入三
点的坐标计算，再写出标准方程即可.
【详解】令 ，则 ，解得 ，即 ， ；
令 ，得 ，即 ，设圆： ，
所以 ，∴ .
学科网（北京）股份有限公司所以圆的方程为 .
故答案为：
22．
【分析】法一：设 ，代入方程得到 ，从而题目实际上就是求
的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆
的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解.
【详解】法一：我们要求 的取值范围使得存在 满足 ， ，
由于满足前一个方程的 必不为零，故这等价于 ， .
而这又可以等价转化为 ， ，
故我们就是要求 的取值范围，使得关于 的方程 有解.
该方程中 的系数显然非零，所以命题等价于 ，解得 .
法二：由于圆 和 轴无公共点，故命题等价于求实数 的取值范围，
使得 直线和圆 有公共点.
该圆的方程可化为 ，故命题等价于点 到直线 的距离不超过 ，
即 .
解得 .
故答案为： .
【能力提升训练】
一、单选题
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）如图，设 、 分别是椭圆的左、右焦点，点 是以
为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 与椭圆交于点 ，若
，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·三模）已知 ，若点P满足 ，则点P到直线
的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创
词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点 的曼哈顿距离为：
.已知点 在圆 上，点 在直线 上，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·重庆·一模）过点 作圆 的两条切线，切点分别为
，若 为直角三角形， 为坐标原点，则 的取值范围为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
5．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆 ，过直线 上的动点 作
圆 的一条切线，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（22-23高一下·陕西西安·期末）过点 与圆 相切的两条直线的夹
角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河北沧州·一模）过点 作圆 相互垂直的两条弦 与 ，则
四边形 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．15
8．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线 与直线
的交点，点Q为圆 上的动点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江·模拟预测）过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别
为 ， ，则原点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）若两圆 和
学科网（北京）股份有限公司恰有三条公切线，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（23-24高三下·江西·阶段练习）设 分别为椭圆 的左、右焦点，
为椭圆上第一象限内任意一点， 分别表示直线 的斜率，
则（ ）
A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得
C．存在点 ，使得 D．存在点 ，使得
12．（2024·辽宁抚顺·三模）已知抛物线 ，过点 作直线 ，直线 与
交于 两点． 在 轴上方，直线 与 交于 两点， 在 轴上方，连接
，若直线 过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线 的斜率为1，则直线 的斜率为
B．直线 过定点
C．直线 与直线 的交点在直线 上
D． 与 的面积之和的最小值为 ．
13．（2024·河南南阳·一模）已知双曲线 上一点A到其两条渐近
线的距离之积为 ，则下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线 ，其中 ，
则（ ）
A．存在 使得C为两条直线
B．存在 使得C为圆
C．若C为椭圆，则 越大，C的离心率越大
D．若C为双曲线，则 越大，C的离心率越小
三、填空题
15．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线 与直线
，若 ，则 的最大值为 .
16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线 与 均与 相切，
点 在 上，则 的方程为 .
17．（2024·广东广州·二模）已知 分别是椭圆 的右顶点，上
顶点和右焦点，若过 三点的圆恰与 轴相切，则 的离心率为 ．
18．（2024·浙江·模拟预测）点 关于直线 的对称点在圆
内，则实数 的取值范围是 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D C A D B A C
题号 11 12 13 14
答案 ABD ABD ACD ABD
1．C
学科网（北京）股份有限公司【分析】由点 为圆与椭圆的焦点，可得 ， ，结合条件，应用勾
股定理即可得.
【详解】
连接 、 ， 由 在以 为直径的圆上，故 ，
、 在椭圆上，故有 ， ，
设 ，则 ，
则有 ， ，
即可得 ，解得 ，
故 ，则 ，
故 .
故选：C.
2．C
【分析】先确定 的轨迹以及直线 过的定点，再根据圆的性质特点求最值.
【详解】由 可得点 的轨迹为以线段 为直线的圆，圆心为 ，半径为 ，
又直线 ，其过定点 ，
故距离的最大值为 .
故答案为：C
3．D
学科网（北京）股份有限公司【分析】如图，作过点 作平行于 轴的直线 交直线 于点 ，过点 作 于
点 ，结合直线的斜率得出 平行于 轴， 最小，再设 ，求出
，利用三角函数知识得最小值．
【详解】如图，过点 作平行于 轴的直线 交直线 于点 ，过点 作 于点
表示 的长度，因为直线 的方程为 ，所以
，即 ，
当固定点 时， 为定值，此时|AB|为零时， 最小，即 与 重合（ 平
行于 轴）时， 最小，如图所示，
设 ， ，则 ，
，
由三角函数知识可知 ，其中 ，
则其最大值是 ，
所以 ，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解曼哈顿距离的定义，得到
学科网（北京）股份有限公司，再利用辅助角公式即可求出其最值.
4．D
【分析】根据给定条件，求出点 的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
由 切圆 于点 ，且 为直角三角形，得 ，连接
，
则 ，即四边形 是正方形， ，
因此点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，而 ，
于是 ，所以|OP|的取值范围为 .
故选：D
5．C
【分析】连接 ， ，当 最小时， 最小，计算点到直线的距离得
到答案.
【详解】如图所示：连接 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司当 最小时， 最小， ，
故 的最小值为 .
故选：C.
6．A
【分析】圆的方程化为 ，求出圆心和半径，利用直角三角形求出 ，
由二倍角公式可得 的值．
【详解】圆 可化为 ，则圆心 ，半径为 ；
设 ，切线为 、 ，则 ，
中， ，所以 ．
故选：A．
7．D
学科网（北京）股份有限公司【分析】记 ，由题意可知 ，易得 ，
再利用基本不等式，得出其最值.
【详解】如图所示： ,记 ,则 ，
，
，
当且仅当 ，即 时，取等号.
所以四边形 的面积的最大值为 .
故选：D
8．B
【分析】先求出点 的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出 的取值范围.
【详解】因为点 为直线 与直线 的交点，
所以由 可得 ，且 过定点 ， 过定点 ，
所以点 的轨迹是以点 与点 为直径端点的圆(去除 )，圆心为 ，
半径 .
而圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以两个圆心的距离 ，且 ，所以两圆相离，
学科网（北京）股份有限公司所以 的最大值为： ，
因为 不在圆 上，故 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线 垂直以及过定点得到点 的轨迹
是圆，从而得解.
9．A
【分析】首先求解四边形 的外接圆的方程，再求解直线 的方程，即可求解点到
直线的距离.
【详解】由图可知， ， ，
则 四点共圆，圆的直径是 ，点 ， ，
， 的中点坐标为 ，
所以四边形 的外接圆的方程为 ，
即 ，圆 ，
两式相减得直线 的方程 ，
则原点到直线 的距离 .
学科网（北京）股份有限公司故选：A
10．C
【分析】分析出两圆外切，可得出 ，将 与 相乘，展开后利
用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心为
，半径为 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，
半径为 ，
因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则 ，
即 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：C.
11．ABD
【分析】利用椭圆的性质以及坐标运算逐一确定选项中 的范围，进而判断存在性.
【详解】由已知得：
对于A，由 为椭圆上第一象限内任意一点可得 ，
，A正确；
学科网（北京）股份有限公司对于B，由 ，得以 为直径的圆与椭圆有4个交点，因而存在点 使得
，B正确；
对于C，由 为椭圆上第一象限内任意一点可得 ，
又由 可得 ，解得 ，与 矛盾，C错误；
对于D，由已知 ，
因为 ，
而 ，所以 ，所以存在点 ，使得 ，D正确．
故选：ABD．
12．ABD
【分析】分别联立曲线与直线 方程，表示出韦达定理，解方程组可得B正确；
由斜率的定义结合选项B可得A正确；当 轴时，求出 四点坐标，得到两直
线方程，求出交点横坐标可判断C错误；由三角形的面积公式结合选项B和基本不等式可
得D正确.
【详解】
对于B：设 ，设直线 交 轴于点 ，
学科网（北京）股份有限公司直线 的方程为： ，
联立 ，消去 可得 ， ，
所以 ，同理 ，
设直线 ，
联立 ，消去 可得 ， ，
所以 ，
设直线 ，
联立 ，消去 可得 ， ，
所以 ，
联立方程组 ，可得 ，故B正确；
对于A：由B可得， ，
当 时， ，故A正确；
对于C：当 轴时，可知 ， ，
求得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
将这两方程联立方程组，解得 ，故C错误；
学科网（北京）股份有限公司对于D：设 与 的面积分别为 ，则
，
又 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确．
故选：ABD.
13．ACD
【分析】利用点到直线的距离公式及双曲线的几何性质结合基本不等式一一判定选项即可.
【详解】易知：双曲线 的渐近线方程为 ，
设点 到两条渐近线的距离分别为 ，
则利用点到直线的距离公式可得 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，A正确；
因为 ，所以 ，B错误；
因为 ，
当且仅当 时等号成立，C正确;
因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，D正确.
故选:ACD.
14．ABD
学科网（北京）股份有限公司【分析】对于A，由 即可判断；对于B，若C为圆，则 ,求出 即可
判断；对于C，若C为椭圆，可得 ，根据椭圆的离心率公式及正切
函数的单调性即可判断；对于D，若C为双曲线，可得 ，根据双曲线的离心率公
式及正切函数的单调性即可判断.
【详解】对于A，若 ，则曲线 ，即 ，为两条直线，故A正确；
对于B，若C为圆，则 ,
由 ， ，可得 ，解得 ，
满足 ，故B正确；
对于C，若C为椭圆，则 ，且 ，
所以 .
可化为 ，
若 ，即 ， ，
则椭圆C的离心率为 ,
当 时， 单调递减，故C错误；
对于D， 时， ，
学科网（北京）股份有限公司若C为双曲线，则 ，即 ，得 .
曲线 可化为 ，
故双曲线C的离心率为 ，
当 时， 单调递减，故D正确.
故选:ABD.
15． /0.25
【分析】根据直线垂直的条件得 ，根据基本不等式得 ，从而可得结果.
【详解】因为 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
，即 的最大值为 .
故答案为： .
16．
【分析】根据两直线平行以及之间的距离可得半径 ，根据 为切点，联立直线方
程可得另一个切点 ，即可求解圆心为(0,1).
【详解】由于直线 与 平行，且均与 相切，
两直线之间的距离为圆的直径，即 ，
学科网（北京）股份有限公司又 在 上，所以 为切点，
故过 且与 垂直的直线方程为 ，
联立 ，
所以 与 相切于点 ，
故圆心为 与 的中点，即圆心为(0,1)，
故圆的方程为 ，
故答案为：
17．
【分析】利用过 三点的圆恰与 轴相切，求出圆的标准方程，再利用点 在圆上，
坐标适合方程即可求解．
【详解】由已知可得： ，
线段 的垂直平分线方程为 ，过 三点的圆恰与 轴相切，
所以圆心坐标为 ，圆的半径为 ，
所以经过过 三点的圆的圆的方程为 ，
在圆上，所以 ，
整理得： ，所以 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司化为： ，由 ，解得 .
故答案为： ．
18．
【分析】首先求对称点，再根据点与圆的位置关系，列式求解.
【详解】设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，得 ，
又题意可知， ，解得： .
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司
