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考点 19 直线和圆的方程（核心考点讲与练）
一、直线与方程
1.直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾
斜角为零度角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是 [ 0 ， π ).
2.直线的斜率
(1)定义：直线y＝kx＋b中的 系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.
(2)计算公式：若由A(x，y)，B(x，y)确定的直线不垂直于x轴，则k＝(x ≠ x ).若直线的倾斜角为
1 1 2 2 1 2
θ(θ≠)，则k＝tan__θ.
3.直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y ＝ k x ＋ b
与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y － y ＝ k (x － x )
0 0
与两坐标轴均不垂直的直
两点式 过两点 ＝
线
不过原点且与两坐标轴均
截距式 纵、横截距 ＋ ＝ 1
不垂直的直线
Ax＋By＋C＝0
一般式 所有直线
(A2＋B2≠0)
二、两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l，l，其斜率分别为k，k，则有l∥l k ＝ k .特别地，当直线l，l的斜率都
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
不存在时，l与l平行. ⇔
1 2
(2)两条直线垂直
如果两条直线l，l斜率都存在，设为k，k，则l⊥l k · k ＝－ 1 ，当一条直线斜率为零，另一条直
1 2 1 2 1 2 1 2
线斜率不存在时，两条直线垂直. ⇔
2.两直线相交
直线l：Ax＋By＋C＝0和l：Ax＋By＋C＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
1 1 1 1 2 2 2 2相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式为|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0 0
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l：Ax＋By＋C＝0，l：Ax＋By＋C＝0间的距离d＝.
1 1 2 2
三、圆的方程
1.圆的定义和圆的方程
定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
圆心C(a，b)
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
半径为r
方程 充要条件： D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
一般 圆心坐标：
(D2＋E2－4F＞0)
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|＞r M在圆外，即(x－a)2＋(y－b)2＞r2 M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x
0
－a)2＋(y
0
－b)2＝r2 ⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x
0
－a)2＋(y
0
－b)2＜r2 ⇔M在圆内.
四、直线与⇔圆、圆与圆的位置关系 ⇔
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法位置
几何法 代数法
关系
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0
2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
R－r＜
几何特征 d＞R＋r d＝R＋r d＝R－r d＜R－r
d＜R＋r
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围．
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2.已知两直线的一般方程
两直线方程l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0中系数A，B，C ，A，B，C 与垂直、平行的关
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
系：
AA＋BB＝0 l⊥l；
1 2 1 2 1 2
A
1
B
2
－A
2
B
1
＝0⇔且A
1
C
2
－A
2
C
1
≠0 l
1
∥l
2
.
3.判断直线与圆的位置关系常见⇔的方法：
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
4.求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则( )2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则|AB|＝ |x－x|＝ .
1 2
5.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公
共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算
中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数
计算，这样既简单又不容易出错．
直线的倾斜角与斜率
一、单选题
1．（2022·山东淄博·模拟预测）若圆 的弦MN的中点为 ，则直线MN的
方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可知 ，则可求得 斜率，进而求得直线方程.
【详解】由圆方程可知圆心 ，则 ，由题可知 ，所以 ，又MN过点 ，
根据点斜式公式可知直线MN的方程是 .
故选：B.
2.（2021天津市第七中学月考）已知直线l的方程为 ，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【分析】由直线方程可得斜率 ，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.
【详解】由题设，直线 斜率 ，若直线 的倾斜角为 ，则 ，
∵ ，∴ .
故选：D
3．（2022·天津南开·一模）已知函数 ．若函数 的
图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数 的图象，作出直线 ，由图象知只要直线 与 的图象在 轴
左右两侧各有两个交点，则 的图象就经过四个象限（ 时， 的函数值有正有负，
时， 的函数值有正有负），因此求得直线 的斜率，再求得直线与 相切的切线
斜率（注意取舍）即可得结论．
【详解】作出函数 的图象，如图，
作出直线 ，它过定点 ，由图可得，只要直线 与 的图象在 轴左右两侧各有
两个交点，则 的图象就经过四个象限（ 时， 的函数值有正有负， 时，
的函数值有正有负），
时， 与 轴的公共点为 ， ，
时， ，
由 得 ，
，解得 或 ，由图象知，切线 的斜率为 ，
所以 时满足题意．
故选：A．4．（2022·山东潍坊·二模）已知直线 ， ，若 ，则 ( )
A． B． C．3 D．－3
【答案】A
【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于－1，据此即可列式求出a的值．
【详解】∵ ，∴ ．
故选：A．
5．（2022·北京丰台·二模）已知双曲线C： （ ， ）的左、右顶点分别为 ， ，左、
右焦点分别为 ， ．以线段 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限，
与另一条渐近线平行．若 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得以线段 为直径的圆的方程为 ，与渐近线 联立求出点 的坐标，根据
与另一条渐近线平行可求出 的关系，然后根据 ，即可求出 的值，从而可得出答
案.【详解】解：由题意 ， ，
则以线段 为直径的圆的方程为 ，
联立 ，解得 或 ，
又因点M在第一象限，所以 ，
因为 与直线 平行，
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：C.二、多选题
6．（2022·湖南衡阳·二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反
射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连
线的夹角.请解决下面问题：已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 为 在第一象限上
的点，点 在 延长线上，点 的坐标为 ，且 为 的平分线，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．点 到 轴的距离为
D． 的角平分线所在直线的倾斜角为
【答案】AD
【分析】证明出双曲线 在其上一点 的切线的方程为 ，将点 的坐标代
入切线方程，求出点 的坐标，可判断ABC选项的正误；计算出 的斜率，可计算出 的角平分线所在直线的斜率，可判断D选项的正误.
【详解】先证明结论双曲线 在其上一点 的切线的方程为 ，
由已知 ，联立 可得 ，即 ，解得 ，
所以，双曲线 在其上一点 的切线的方程为 .
本题中，设点 ，则直线 的方程为 ，
将点 代入切线方程可得 ，所以 ，即点 到 轴的距离为 ，C错；
在双曲线 中， ， ，则 ，则 、 ，
所以， ， ，所以， ，A对；
， ，所以， ，
则 ，B错；
因为 的角平分线交 轴于点 ，则 ，
所以， ， ，则 ，
故 的角平分线所在直线的倾斜角为 ，D对.故选：AD.
三、填空题
7.（2021年1月新高考八省联考卷）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所
在直线的斜率分别为______．
【答案】 和 .
【分析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为 ，得到 ，得出对角线所在直线的斜率
为 ，结合两角和的正切公式，求得 ，再结合两直线的位置关系，即可求解.
【详解】设正方形一边所在直线的倾斜角为 ，其斜率 ，
则其中一条对角线所在直线的倾斜角为 ，其斜率为 ，
根据题意值 ，可得 ，解得 ，
即正方形其中一边所在直线的斜率为 ，
又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为 .
故答案为： 和 .8．（2022·广东潮州·二模）设函数 ，点 在 图象上，点 为坐标原
点，设向量 ，若向量 ，且 是 与 的夹角，则 的最大值是
______．
【答案】
【分析】先利用平面向量的线性运算化简 ，再利用直线的斜率公式求出 的表达式，再利用基本不
等式求其最值.
【详解】
由向量的线性运算，得
，
因为点 在函数 的图象上，
为坐标原点，向量 ， 是 与 的夹角，
所以
，
（当且仅当 ，即 时取等号），
即 的最大值是 ．
故答案为： .
四、解答题
9．（2022·北京丰台·二模）已知椭圆C： 经过点 ，P到椭圆C的两个焦点的距离和为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ，R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于
另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆定义，可求得a值，将P点坐标代入，即可求得 ，即可得答案.
（2）由题意可得R点坐标和直线PQ的斜率，即可设直线l的方程为 ，
，可得直线AQ的方程为 ，与椭圆联立，即可求得
表达式，同理可得 表达式，即可求导直线MN的斜率，再求得直线MR的斜率，分析即可得证.
(1)
根据椭圆的定义可得 ，解得 ，
又过点 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 .
(2)因为 ， ，
所以 ， ，
设直线l的方程为 ， ，
所以 ，所以直线AQ的方程为 ，直线BQ的方程为 ，
联立直线AQ与椭圆 ，消去x可得 ，
所以 ，又 代入，
整理可得 ，代入直线AQ，可得
同理可得 ， ，
所以
又 ，
所以M，N，R三点共线
两直线的位置关系
1.（2021黑龙江省实验中高三检测）已知直线 和 互相平行，
则实数 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【分析】根据题意，结合两直线的平行，得到 且 ，即可求解.【详解】由题意，直线 和 互相平行，
可得 且 ，
即 且 ，解得 或 .
故选：C.
直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2022·河南河南·三模（理））已知 ， 为圆 ： 上两点，且 ，点 在
直线 ： 上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得线段 中点 的轨迹，结合向量的模、圆与直线的位置关系等知识求得 的最
小值.
【详解】设线段 的中点为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 .
到直线 的距离为 ，
所以 ，故 点的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，设 点的轨迹为圆 ，
圆 上的点到直线 的最短距离为 .
所以 .故选：A
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C： ，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交
于A，B两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】求出直线所过定点，当直线与定点和圆心连线垂直时，弦长最小，由此可得结论．
【详解】易知直线 ，过定点 ，
圆的标准方程是 ，圆心为 ，半径为 ，
而 ，所以 ．
故选：B．
3.（2021内蒙古赤峰二中高三第一次月考）圆 与直线 有公共点的充要条件是（
）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】A
【分析】先根据直线与圆的位置关系求得 得取值范围，即可得答案．
【详解】若直线与圆有公共点，
则圆心 到直线 的距离 ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 或 ，
∴圆 与直线 有公共点的充要条件是 或 ．故选：A
4.（2022广西南宁市高三摸底测试）已知直线 与圆 相切，则m的值为（
）
A. 3或 B. 1或
C. 0或4 D. 或0
【答案】A
【分析】利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式列式计算即得.
【 详 解 】 圆 的 圆 心 为 ， 半 径 为 ， 因 直 线 与 圆
相切，
则点 到直线 的距离为 ，整理得 ，解得 或 ，
所以m的值为3或 .
故选：A
5.（2022年（新高考）数学高频考点）圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，
则 ＋ 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标，由题意可得圆心在直线ax－by＋6＝0上，从而可得a
＋3b＝3，所以 ＋ ＝ (a＋3b) ，化简后利用基本不等可求得答案
【详解】由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，
∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，
∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，
∴ ＋ ＝ (a＋3b) ＝
≥ ＝ ，当且仅当 ＝ ，即a＝b时取等号，
故选：C.
二、多选题
6．（2022·辽宁鞍山·二模）已知M为圆C： 上的动点，P为直线l： 上的动点，
则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为
【答案】BD
【分析】根据圆心 到直线l得距离 ，可知直线l与圆C相离；
∵P、M均为动点，对|PM|先固定点P可得 ，再看 不难发现 ，
即 ．
【详解】圆C： 得圆心 ,半径
∵圆心 到直线l： 得距离
∴直线l与圆C相离
A不正确，B正确；
C不正确，D正确；
故选：BD．
7．（2022·海南海口·模拟预测）已知a>0，圆C： ，则（ ）A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点
D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线 平分
【答案】ACD
【分析】本题考查圆的方程与性质以及函数图象．
当圆心纵(横)坐标的绝对值等于半径时，圆与x(y)轴相切，可判定A；当圆心到x轴或y轴距离相等时，在
轴上截得的线段相等，可判定B；对于C，只要圆心到原点距离等于半径即可；当直线过圆心时，平分圆
的面积，可判定D.
【详解】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝ln x上运动．
对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当 ，即a＝e或 时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a
有3个，A正确；
对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在 上，又
圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有
一个，B错误；
对于C，若圆C过坐标原点，则 ，如下图可知，曲线y＝lnx与 有两个交点，所以
满足要求的a有2个，C正确；对于D，若圆C的面积被直线 平分，则直线 经过圆心（a，ln a），计算可知曲线y＝lnx在x＝
e处的切线恰好为 ，即满足要求的a仅有一个，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】已知圆C： ，有如下结论：
(1)当 或 时，圆C与y轴或x轴相切；
(2)当 时，圆心到两轴距离相等，若与两轴相交，则截得的线段相等；
(3)若圆C过原点，则 ；
(4)若直线过圆心，则平分圆的面积.
8．（2022·重庆·二模）已知点 ，过直线 上一点 作圆 的切线，切点分
别为 ，则（ ）
A．以线段 为直径的圆必过圆心
B．以线段 为直径的圆的面积的最小值为
C．四边形 的面积的最小值为4
D．直线 在 轴上的截距的绝对值之和的最小值为4
【答案】BC
【分析】利用直线与圆之间的关系，列出点到直线距离公式，逐个选项进行判断即可
【详解】由题知，可设点 ，则以BC为直径的圆方程为 ，
两圆做差可得直线 ，易得直线 过定点 ，故圆心 到直线 的距离不
是定值， 不恒成立，故 选项不正确；
因为直线 过定点 ，故当 时 最小， ，故最小半径为 ，所
以线段 为直径的圆的最小面积为 ，B选项正确；四边形 的面积 ，
，故 ，C选项正确；
当 时，直线 过原点 ，两截距均为0，故 选项不正确.
故选：BC
三、填空题
9.（2021浙江省高三高考数学预测卷（二））已知直线 ，若直线 与直线 平行，
则实数 的值为______，动直线 被圆 截得弦长的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【分析】根据两直线的一般方程，利用直线平行的公式，代入即可求解 ；首先判断直线 过定点 ，
利用直线与圆的位置关系，判断当过点 且与 垂直的弦的弦长最短.
【详解】由题意得 ，所以 ．
当 时，两直线重合，舍去，故 ．
因为圆 的方程 可化为 ，
即圆心为 ，半径为5．
由于直线 过定点 ，
所以过点 且与 垂直的弦的弦长最短，
且最短弦长为 ．
故答案为： ；
四、解答题10．（2022·江西南昌·二模（文））在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 （
为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
.
(1)求曲线C的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且 ，求a.
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将曲线 的参数方程化为普通方程，再根
据 化为极坐标方程，根据公式将直线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）根据圆心角的性质得到 ，即可得到圆心到直线的距离为 ，利用点到直线的距离公式得
到方程，解得 ，再检验即可；
(1)解：因为曲线C的参数方程为 （ 为参数）
所以 ，所以曲线C的普通方程为 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以曲线C的极坐标方程为 .
因为直线l的极坐标方程为 ，所以 ，
即直线l的直角坐标方程为 .
(2)解：设曲线C的圆心为 ，半径 ，因为点O在圆上，且 ，
所以 ，则点 到直线 的距离为 ，
所以 ，则 或 ，
当 时，直线l过原点O，不符合题意；
所以 .
圆与圆的位置关系
1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教学质量检测）已知圆 ： 截直线
所得线段的长度是 ，则圆 与圆 ： 的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】C
【分析】由题可知圆 的圆心为 ，半径为 ，点 到直线 的距离为 ，
因为弦长为 ，则由弦长公式可求得 ，即可得圆心 ，半径 .又因为圆 的圆心
，半径 ，则两圆的圆心距为 ，故两圆外切.
【详解】由题可知圆 的圆心为 ，半径为 ，
的
则 到直线 距离则弦长 ，
解得 ，则 ， ，
又因为 ， ，
.
所以圆心距 ，两圆外切
故选：C.
2.（2021江苏省盐城市伍佑中学高三第一次阶段考试）已知 ， 分别为圆 ： 与
： 的直径，则 的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据平面向量的加法法则可知 ， ，代入 中
化简整理后得 ，将平面向量进行平移后运算可推出 ， ，从而得
解．
【详解】解：根据题意，作出如下所示的图形，．
而 ， ， ，
， ．
故答案为：
直线与圆的综合问题
1.过x轴上一点P向圆 作圆的切线，切点为A、B，则 面积的最小值是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一由点P离原点越远趋向无穷远处时， 的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，
的面积逐渐变小，利用极限法，由点P与原点重合求解； 解法二设 ，
，由 求解.
【详解】解法一（极限法）：如图所示，
若点P离原点越远趋向无穷远处时， 越来越长， 、 也随着越来越长，显然 的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时， 的面积逐渐变小，
当点P与原点重合时， ，且此时的 为正三角形，面积最小，
其最小面积为 ，
解法二（直接解法）：设 ，则 ， ，
设 ，则有 ， ，
于是 ，
显然上式是 的单调递增函数，
当 时， 取最小值 ，
故选：A.
2.（2020北京市北京二中高三12月份月考）动点 与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方
形的顶点为 ， ， ， （逆时针方向），且 点到 ， ， 的距离分别为 ， ， ．若
，则点 的轨迹是________； 点到 点的最大距离为________．
【答案】 ①. 圆； ②.
【分析】以B为原点，建立平面直角坐标系，根据 ，得出点P的轨迹是圆，结合图象可得P
点到D点的最大距离.
【详解】以B为原点，建立如图所示的坐标系，∵ ， ， ， ，
不妨设 ，则 ， ， ，又∵ ，∴ ，
整理，可得 ，
所以点 的轨迹是圆，其方程为 （注：坐标系建立的不同，圆的方程的形式不同）.
结合图象可得， 点到 点的最大距离为 ，
故答案为：圆 ； .
1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C
的轨迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线
【答案】A
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
2.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦
的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】B
【分析】当直线和圆心与点 的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
3.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y= x+1 D. y= x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
4.（2021年全国高考甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两
点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，
并说明理由．
【答案】（1）抛物线 ， 方程为 ；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与 相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由 ，即可求出 ；由圆 与直线 相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若 斜率存在，由
三点在抛物线上，将直线 斜率分别用纵坐标表示，再由 与圆 相切，
得出 与 的关系，最后求出 点到直线 的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）[方法一]：设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
[方法二]【最优解】：设 ．
当 时，同解法1．
当 时，直线 的方程为 ，即 ．
由直线 与 相切得 ，化简得 ，
同理，由直线 与 相切得 ．
因为方程 同时经过点 ，所以 的直线方程为
，点M到直线 距离为 ．
所以直线 与 相切．
综上所述，若直线 与 相切，则直线 与 相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化
为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用 的对称性，抽象出 与 关
系，把 的关系转化为用 表示，法二是利用相切等条件得到 的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线 与 轴的
交点为A， 是抛物线 上的点.若 轴，则以 为直径的圆截直线 所得的弦长为( )
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】求出M坐标及直线AM的方程，根据圆的弦长公式即可求解．
【详解】由题知， ， ， ，
∵ 轴，∴ ，根据抛物线对称性，不妨取 ，
则 ，
原点O到直线AM的距离为： ，
∴以 为直径的圆截直线 所得的弦长为： ﹒
故选：B﹒
2．（2022·江西南昌·二模（文））已知直线 与直线 垂直，则m=（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据两直线垂直，直接列出方程求解，即可得出结果.
【详解】当 时， ，由 知 ，斜率为2，
所以直线 与 不垂直，不符合题意；
当 时， ，
因为直线 与直线 垂直，
所以 ，解得 .
故选：C.
3．（2022·天津河西·一模）抛物线 的准线与圆 相交于A，B两点，则 （ ）．
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】准线为 ，圆心为 ， ，设圆心到直线 的距离为 ，则 ，即
可求解.
【详解】由题，抛物线 的准线为 ，圆 的圆心为 ， ，
设圆心到直线 的距离为 ，易得 ，
所以 ，
故选：A
4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知直线 恒过定点M，点N在曲线
上，若 （O为坐标原点），则 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】先由直线过定点求出 ，再结合 以及N在曲线 上求出
，直接计算面积即可.【详解】易知直线 过定点 ，即 ，可得 ，设 ，
则 ，解得 或 ，故 ，
故 的面积为 .
故选：A.
5．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））直线 平分圆 的周长，过
点 作圆C的一条切线，切点为Q，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】由条件求出参数 ，再根据切线的性质 .
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 平分圆 的周长，
所以直线 经过 ，所以 ，故 ，
由已知 ， ， ，圆的半径为3，
所以 ，
故选：B.6．（2022·山西临汾·三模（理））已知直线l过圆 的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则
l的方程为（ ）
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
【答案】D
【分析】利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可.
【详解】由 ，所以圆心坐标为 ，
因为直线2x＋y－3＝0的斜率为 ，
所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为 ，
所以l的方程为： ，
故选：D
二、多选题
7．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知直线l过点 ，点 ， 到l的距离相等，则l的
方程可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为 ，根据点到直
线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．
【详解】当直线 的斜率不存在时，直线l的方程为 ，此时点 到直线 的距离为5，点 到直线 的距
离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
∵点 到直线的距离相等，，解得 ，或 ，
当 时，直线 的方程为 ，整理得 ，
当 时，直线 的方程为 ，整理得
综上，直线 的方程可能为 或
故选：BC．
8．（2022·江苏南通·模拟预测）已知直线l过点（3，4），点A（－2，2），B（4，－2）到l的距离相等，
则l的方程可能是（ ）
A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0
C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0
【答案】BC
【分析】分A，B在直线l同侧和A，B在直线l异侧两种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】解：A，B在直线l同侧时， ，
，即 ，
A，B在直线l异侧时，l过 中点 ，
∴ ， ，即 ，
故选：BC．
9．（2022·江苏南通·模拟预测）已知Р是圆 上的动点，直线 与
交于点Q，则（ ）
A．
B．直线 与圆O相切
C．直线 与圆O截得弦长为D． 长最大值为
【答案】ACD
【分析】由两直线垂直的条件判断A，由圆心 到直线 的距离判断B，由 到直线 的距离结合勾股定理
求弦长判断C，求出 到圆心 的距离的最大值加圆 半径判断D．
【详解】圆 半径为2，
，所以 ，A正确；
圆心 到 的距离为 ， 与圆 相离，B错误；
圆心 到直线 的距离为 ，所以弦长为 ，C正确；
由 ，得 ，即 ，
所以 ，
所以 长最大值为 ，D正确
故选：ACD．
10．（2022·湖北·二模）设动直线 交圆 于A，B两点
（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点
B．当 取得最小值时，
C．当 最小时，其余弦值为
D． 的最大值为24
【答案】AD【分析】对A：将原方程转化为 ，从而即可求解；对B：当 取得最小值时，
，从而即可求解；对C：当 最小，即 取得最小值时， ，从而即可求解；对
D：由 ，从而即可求解.
【详解】解：由题意，圆心坐标为 ，半径 ，
对A：直线 ，即 ，
由 ，可得直线l过定点 ，故选项A正确；
对B：当 取得最小值时， ，所以 ，即 ，
所以 ，故选项B错误；
对C：当 最小，即 取得最小值时， ，此时 ，
从而可得 ，所以 ，故选项C错误；
对D： ，
所以当 取得最大值，即为直径时， ，此时 ，故
选项D正确.
故选：AD.
11．（2022·广东深圳·二模）P是直线 上的一个动点，过点P作圆 的两条切线，A，B为切
点，则（ ）
A．弦长 的最小值为 B．存在点P，使得
C．直线 经过一个定点 D．线段 的中点在一个定圆上
【答案】ACD
【分析】设 ，则 为 的中点，且 ，再根据勾股定理、等面积法及锐角三角函数得到 、 ，根据 的范围，即可判断A、B，设 ，求出以 为直
径的圆的方程，两圆方程作差，即可得到切点弦方程，从而判断C，再根据圆的定义判断D；
【详解】解：依题意 ，即 ，设 ，则 为 的中点，且
，
所以 ，所以 ， ，又 ，
所以 ， ，所以 ， ，故A正确，B不正确；
设 ，则 ，所以以 为直径的圆的方程为 ，
则 ，即 ，所以直线 的方程为 ，所以直线
过定点 ，故C正确；
又 ， ，所以 的中点 在以 为直径的圆上，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
12．（2022·河北唐山·二模）若圆 的圆心在直线 上，则C的半径为______．
【答案】
【分析】先求得参数D，再去求C的半径即可解决.
【详解】圆 的圆心为
则有 ，则 ，则C的半径为
故答案为：
13．（2022·上海宝山·二模）已知直线 与直线 互相平行且距离为 .等差数
列 的公差为 ，且 ，令 ，则 的值为__．
【答案】52
【分析】根据平行线的距离求出d和m的值，利用等差数列的定义和性质求出通项公式，进而求和即可.
【详解】由题意知， ，
因为两直线平行，所以 ，解得 ，
由两平行直线间距离公式得 ，
由 ，解得 或 .
又 ，所以 ，即 ，
解得 ，所以 .
所以
．
故答案为：52.
14．（2022·重庆八中模拟预测）已知点A为圆 和 在第一象限内的公共点，过点A的直线分别交圆 ， 于C，D两点（C，D异于点A），且 ，则直线CD的斜率是
___________.
【答案】1或5
【分析】先求出 .设直线CD为： .过 作 于F，过 作 于E. 由垂
径定理表示出 ，
.根据 列方程，解出k的值.
【详解】因为点A为圆 和 在第一象限内的公共点，
所以由 解得： （y=-1舍去）故 .
由题意可知，直线CD的斜率存在，设其为k，则直线CD为： .
过 作 于F，过 作 于E.
则 ，
由垂径定理得： ， .因为 ，所以 ，
解得： 或 .
故答案为：1或5.
四、解答题
15．（2022·山东淄博·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线C上，
且 ．
(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为-2，试判断直线l能否
与圆 相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)能与圆相切； .
【分析】(1)根据点在抛物线上和抛物线的定义列出关于m、p的方程组，解之即可；
(2)设点 和直线AB方程 ，根据两点坐标表示直线斜率和韦达定理求得
，可知直线AB恒过定点且该定点在圆上M上，根据点M、N坐标求出k即可.
(1)由题意得，
因为点 在抛物线上，所以 ，
由抛物线的定义，得 ，
则 ，解得 ，
所以抛物线C的标准方程为 ；
(2)由(1)得 ，设点 ，则 ，所以 ，
得 ；设直线AB方程为 ，
有 ，
所以 ，所以 ，
得 ，所以直线AB方程为 ，
即直线AB恒过抛物线内部的定点 ，
又圆 正好经过点 ，
当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，
此时 ，所以直线AB方程为 .
16．（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，动直线
过 与 相交于 ， 两点．
(1)当 轴时，求 的内切圆的方程；
(2)求 内切圆半径的最大值．
【答案】(1) (2)1
【分析】（1）易求 ， 的坐标，进而求得内切圆的圆心和半径（2）设直线 的方程为： ，
以 为参数，运用等面积法将 内切圆半径表示为 的函数，求其最值即可
(1)由 ，可得 ， ， ， ，由已知直线 ，则由
不妨设 ，
设 内切圆的半径为 ，则 ．解得
因为 为等腰三角形，故圆心坐标为 ，
所以 的内切圆的方程为：
化简得：
(2)设 内切圆半径为 ，面积为 ， ， ，
则 ，又 ．
所以
设直线 的方程为： ，
与椭圆 联立整理得 ，
则 ，
由 ，所以
所以 ，令 ，则 ，
当且仅当 即 时取等号
故 内切圆半径的最大值为1
