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专题16 整式和一元一次方程含参问题（解析版）
第一部分 教学案
类型一 求单项式或多项式中指数或系数中的字母
1．（2022秋•河北区期中）已知（m﹣1）a|m+1|b3是关于a、b的五次单项式，则m的值为
（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
思路引领：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；绝对值等于一个正数
的数有两个，它们互为相反数．
解：∵（m﹣1）a|m+1|b3是关于a、b的五次单项式，
∴|m+1|＝2，，
∴m+1＝±2，
∴m＝1或m＝﹣3，
∵m﹣1≠0，
∴m＝﹣3，
故选：C．
总结提升：本题考查单项式次数的概念，绝对值的概念，关键是掌握：单项式所有字母
的指数的和叫做单项式的次数；绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数．
2．（2022秋•市南区校级期中）已知a，b满足|a﹣2|+（b+3）2＝0，则单项式﹣5 xa﹣by的
系数和次数分别是（ ）
π
A．﹣5 ，5 B．﹣5 ，6 C．﹣5，7 D．﹣5，6
思路引领：利用非负数的性质可得a＝2，b＝﹣3，然后再利用单项式系数和次数定义可
π π
得答案．
解：∵|a﹣2|+（b+3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，
∴单项式﹣5 xa﹣by的系数是﹣5 ，
次数是a﹣b+1＝2+3+1＝6，
π π
故选：B．
总结提升：此题主要考查了单项式，以及非负数的性质，关键是掌握单项式中的数字因
数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
3．（2021秋•建华区校级期中）已知多项式（m+4）x|m|y2+xy﹣4x+1六次四项式，单项式
5x2ny6﹣m与多项式的次数相同，（m，n是常数），则mn＝ ．
思路引领：利用多项式的次数定义得出m的值，进而利用单项式的次数得出n的值，即
可得出答案．
解：∵多项式（m+4）x|m|y2+xy﹣4x+1六次四项式，单项式5x2ny6﹣m与多项式的次数相同，∴|m|+2＝6且m+4≠0，2n+6﹣m＝6，
解得m＝4，n＝2，
则mn＝42＝16．
故答案为：16．
总结提升：此题主要考查了多项式与单项式，正确把握多项式次数的定义是解题关键．
4．（2021秋•清镇市校级期中）多项式3x|m|y2﹣（m+2）x+1是一个四次三项式，那么m＝
．
思路引领：直接利用多项式的次数与项数的确定方法得出答案．
解：∵多项式3x|m|y2﹣（m+2）x+1是一个四次三项式，
∴|m|+2＝4，m+2≠0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
总结提升：此题主要考查了多项式，正确确定多项式的次数与项数是解题关键．
5．（2021秋•克东县校级期中）已知多项式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，则m＝
．
思路引领：先观察多项式的各项，再确定每项的次数，最高次项的次数就是多项式的次
数．
解：∵多项式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，
∴1+m+1＝5，
解得：m＝3．
故答案为：3．
总结提升：此题主要考查了多项式的次数，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次
数最高的项的次数．
6．（2021秋•通城县期中）已知多项式﹣2m3n2﹣5中，含字母的项的系数为a，多项式的
次数为b，常数为c，则a+b+c＝ ．
思路引领：首先利用多项式的系数、次数及常数项确定a、b、c的值，然后求和即可．
解：∵多项式﹣2m3n2﹣5中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，
∴a＝﹣2，b＝5，c＝﹣5，
∴a+b+c＝﹣2+5﹣5＝﹣2，
故答案为：﹣2．
总结提升：考查了多项式的系数、次数及常数项的知识，正确的确定a、b、c的值是解
答本题的关键．
1
7．（2021秋•陇县期末）多项式
x|m|-(m+2)x+7是关于x的二次三项式，则
m＝
2
．
思路引领：由于多项式是关于x的二次三项式，所以|m|＝2，但﹣（m+2）≠0，根据以
上两点可以确定m的值．解：∵多项式是关于x的二次三项式，
∴|m|＝2，
∴m＝±2，
但﹣（m+2）≠0，
即m≠﹣2，
综上所述，m＝2，故填空答案：2．
总结提升：本题解答时容易忽略条件﹣（m+2）≠0，从而误解为m＝±2．
二、求同类项中指数的字母及代数式
8．（2022秋•武汉期中）若3ax﹣1b2与4a3by+2是同类项，则x，y的值分别是（ ）
A．x＝4，y＝0 B．x＝4，y＝2 C．x＝3，y＝1 D．x＝1，y＝3
思路引领：根据同类项的定义即可求出答案．
解：∵3ax﹣1b2与4a3by+2是同类项，
∴x﹣1＝3，y+2＝2，
解得x＝4，y＝0．
故选：A．
总结提升：本题考查同类项．解题的关键是熟练运用同类项的定义．同类项的定义：所
含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
9．（2022秋•巴彦县期中）若﹣3x2my3与2x4yn是同类项，则mn＝（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
思路引领：根据同类项的定义得到2m＝4，n＝3，解得即可．
解：根据题意得2m＝4，n＝3，
解得：m＝2，n＝3，
所以mn＝8，
故选：C．
总结提升：本题考查了同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项
叫做同类项．
10．（2021秋•丰宁县期末）如果单项式﹣3xa+3y2与2xyb﹣3能合并成一项，那么ab的结果
为（ ）
A．10 B．﹣10 C．﹣12 D．12
思路引领：根据题意可知两个单项式是同类项，然后可求得m、n的值即可．
解：∵单项式﹣3xa+3y2与2xyb﹣3能合并成一项，
∴单项式﹣3xa+3y2与2xyb﹣3是同类项．
∴a+3＝1，b﹣3＝2．
解得；a＝﹣2，b＝5．
∴ab＝﹣2×5＝﹣10．
故选：B．总结提升：本题主要考查的是同类项的定义、求代数式的值，求得 m、n的值是解题的
关键．
11．（2022 秋•营口期中）单项式 2amb1﹣2n与 a3b9的和是单项式，则（m+n）2022＝
（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．0或1
思路引领：根据同类项的概念求解．
解：∵单项式2amb1﹣2n与a3b9的和是单项式，
∴单项式2amb1﹣2n与a3b9是同类项，
则m＝3，1﹣2n＝9，
解得m＝3，n＝﹣4，
则（m+n）2022＝﹣1．
故选：B．
总结提升：本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相
同”：相同字母的指数相同．
12．（2021秋•射阳县校级期末）若3xm+5y2与23x8yn+4的差是一个单项式，则代数式nm的
值为（ ）
A．﹣8 B．6 C．﹣6 D．8
思路引领：根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，求出 m，n的
值，然后代入式子中进行计算即可解答．
解：由题意得：
m+5＝8，n+4＝2，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴nm＝（﹣2）3＝﹣8，
故选：A．
总结提升：本题考查了合并同类项，代数式求值，单项式，熟练掌握同类项的定义是解
题的关键．
类型三 整式加减中的取值无关或不含某项问题
13．（2021秋•八步区期末）x2+ax﹣2y+7﹣（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与x的取值无关，则b
﹣a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
思路引领：先利用去括号的法则及合并同类项的法则进行运算，再结合条件相应的系数
为0，从而可求解．
解：x2+ax﹣2y+7﹣（bx2﹣2x+9y﹣1）
＝x2+ax﹣2y+7﹣bx2+2x﹣9y+1
＝（1﹣b）x2+（a+2）x﹣11y+8，
∵结果的值与x的取值无关，∴1﹣b＝0，a+2＝0，
解得：b＝1，a＝﹣2，
∴b﹣a＝1﹣（﹣2）＝3．
故选：B．
总结提升：本题主要考查整式的加减，解答的关键是对去括号的法则及合并同类项的法
则的掌握．
14．（2021秋•澄海区期末）若代数式ax2+4x﹣y+3﹣（2x2﹣bx+5y﹣1）的值与x的取值无
关，则a+b的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2
思路引领：先去括号，再合并同类项，令x2和x项系数为0，可解得a、b的值，即可得
答案．
解：ax2+4x﹣y+3﹣（2x2﹣bx+5y﹣1）
＝ax2+4x﹣y+3﹣2x2+bx﹣5y+1
＝（a﹣2）x2+（4+b）x﹣6y+4，
∵ax2+4x﹣y+3﹣（2x2﹣bx+5y﹣1）的值与x的取值无关，
∴a﹣2＝0且4+b＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，
∴a+b＝﹣2，
故选：D．
总结提升：本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则及代数式
的值与x无关，则含x的项的系数为0．
15．（2021秋•吉安县期末）已知：A＝3x2+2xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．
（1）计算：A﹣3B；
（2）若（x+1）2+|y﹣2|＝0，求A﹣3B的值；
（3）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．
思路引领：（1）把A与B代入A﹣3B中，去括号合并即可得到结果；
（2）利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值；
（3）A﹣3B变形后，由值与y无关，确定出x的值即可．
解：（1）A﹣3B＝（3x2+2xy+3y﹣1）﹣3（x2﹣xy）
＝3x2+2xy+3y﹣1﹣3x2+3xy
＝5xy+3y﹣1；
（2）由题意可知：（x+1）2＝0，|y﹣2|＝0，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣1，y＝2，
∴A﹣3B＝5×（﹣1）×2+3×2﹣1
＝﹣5；（3）由题意可知：5x+3＝0，
3
∴x=- ．
5
总结提升：本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
16．（2021秋•五莲县期末）当k＝ 时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣2xy﹣5中不含
xy项．
思路引领：不含有xy项，说明整理后其xy项的系数为0．
解：整理只含xy的项得：（k﹣3）xy，
∴k﹣3＝0，k＝3．
故答案为：3．
总结提升：本题考查多项式的概念．不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0．
类型四 求一元一次方程中指数或系数中的字母的值
17．（2021秋•长沙期末）若（m﹣3）x2|m|﹣5﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，求m2﹣
2m+1的值．
思路引领：根据一元一次方程的定义，判断出 x的次数为1且系数不为0，求出m的值，
再代入m2﹣2m+1即可．
解：∵（m﹣3）x2|m|﹣5﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，
∴2|m|﹣5＝1且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3，原式＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）+1＝16．
总结提升：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为
1．
18．（2021秋•巨野县期末）如果方程ax|a+1|+3＝0是关于x的一元一次方程，则a的值为
．
思路引领：根据一元一次方程的定义得到|a+1|＝1且a≠0，据此求得a的值．
解：∵方程ax|a+1|+3＝0是关于x的一元一次方程，
∴|a+1|＝1且a≠0，
解得a＝﹣2．
故答案是：﹣2．
总结提升：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为
1．
19．（2021秋•阳信县期末）若（a﹣3）x|a|﹣2﹣7＝0是一个关于x的一元一次方程，则a
等于 ．
思路引领：根据一元一次方程的定义可以得到a的值，从而可以解答本题．
解：∵（a﹣3）x|a|﹣2﹣7＝0是一个关于x的一元一次方程，
{ a-3≠0
∴ ，
|a|-2=1解得，a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
总结提升：本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元一次方程中未知数的
次数是一次．
类型五 两个一元一次方程的解相关问题
x
20．（2021秋•和平县期末）已知关于x的一元一次方程 +5＝2020x+m的解为x＝
2020
10- y
2021，那么关于y的一元一次方程 -5＝2020（10﹣y）﹣m的解为 ．
2020
x x
思路引领：方程 + 5＝2020x+m可整理得： - 2020x＝m﹣5，则该方程的解为
2020 2020
10- y 10- y
x＝2021，方程 -5＝2020（10﹣y）﹣m可整理得： -2020（10﹣y）＝﹣
2020 2020
n
m+5，令n＝10﹣y，则原方程可整理得： -2020n＝5﹣m，则n＝﹣2021，得到关
2020
于y的一元一次方程，解之即可．
解：根据题意得：
x x
方程 + 5＝2020x+m可整理得： - 2020x＝m﹣5，
2020 2020
则该方程的解为x＝2021，
10- y 10- y
方程 - 5＝2020（10﹣y）﹣m可整理得： - 2020（10﹣y）＝﹣m+5，
2020 2020
令n＝10﹣y，
n
则原方程可整理得： - 2020n＝5﹣m，
2020
则n＝﹣2021，
即10﹣y＝﹣2021，
解得：y＝2031．
故答案为：y＝2031．
总结提升：本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键．
21．（2022秋•宿城区期中）关于x的方程ax+4＝1﹣2x的解恰好为方程2x﹣1＝5的解，
则a＝ ．
思路引领：求出第二个方程的解得到x的值，代入第一个方程计算即可求出a的值．
解：方程2x﹣1＝5，
解得：x＝3，
把x＝3代入得：3a+4＝1﹣6，
解得：a＝﹣3，
故答案为：﹣3总结提升：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知
数的值．
x-m m x-1
22．（2021秋•渭城区期末）已知关于x的方程 =x+ 与方程 =3x﹣2的解互为
2 3 2
倒数，则m的值为 ．
x-1
思路引领：先方程 = 3x﹣2的解求出，然后将x的倒数求出后代入原方程求出m的
2
值．
x-1 3
解：解方程 = 3x﹣2，得x = ，
2 5
x-m m 5m
解方程 = x + ，得x=- ，
2 3 3
5 x-m m
由题意可知，x= 是程 =x+ 的解，
3 2 3
5m 5
∴- = ，
3 3
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
总结提升：本题考查一元一次方程的解，涉及一元一次方程的解法，属于基础题型．
23．（2022春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称
这两个方程为“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．
（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．
思路引领：（1）求得方程2x﹣6＝4解为x＝5，利用“友好方程”的定义得到方程
3x+m＝0的解，利用方程解的定义解答即可；
（2）利用“友好方程”的定义得到方程的另一个解为﹣n，再利用定义列出关于n的等
式解答即可．
解：（1）方程2x﹣6＝4解为x＝5，
∵关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，
∴关于x的方程3x+m＝0的解为x＝﹣5，
∴3×（﹣5）+m＝0，
∴m＝15；
（2）∵某“友好方程”的一个解为n，
∴“友好方程”的另一个解为﹣n，
∴n﹣（﹣n）＝6或﹣n﹣n＝6，
∴n＝3或n＝﹣3．
∴n＝±3．
总结提升：本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练应用新定义解答是解题的关键．
六、一元一次方程的整数解问题
24．（2021秋•巫溪县期末）从﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3中选一个数作为k的值，使得关
2x-k 2x+k
于 x 的方程1- = -x的解为整数，则所有满足条件的 k 的值的积为
4 3
（ ）
A．﹣4 B．﹣12 C．18 D．36
k
思路引领：先解出一元一次方程得x＝6- ，再由题意求出k的值即可．
2
2x-k 2x+k
解：1- = -x，
4 3
12﹣3（2x﹣k）＝4（2x+k）﹣12x，
12﹣6x+3k＝8x+4k﹣12x，
﹣6x﹣8x+12x＝4k﹣3k﹣12，
﹣2x＝k﹣12，
k
∴x＝6- ，
2
∵方程的解为整数，
∴k＝﹣2，2，
∴所有满足条件的k的值的积﹣4，
故选：A．
总结提升：本题主要考查一元一次方程的解法，关键是要能通过方程的解确定k的值是
解题的关键．
25．（2022秋•渝北区校级期中）若关于x的方程5x﹣3＝kx+4有整数解，那么满足条件的
所有整数k的和为（ ）
A．20 B．6 C．4 D．2
思路引领：先求得x的值，再根据题意得出整数k的值．
解：由5x﹣3＝kx+4，得（5﹣k）x＝7，
7
解得x= ，
5-k
∵关于x的方程5x﹣3＝kx+4有整数解，
∴5﹣k＝﹣7或﹣1或1或7，
∴k＝12或6或4或﹣2，
12+6+4+（﹣2）＝20．
故选：A．
总结提升：本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未
知数的值．
26．（2021秋•监利市期末）已知关于x的一元一次方程kx＝4﹣x的解为正整数，则满足条件的k的正整数值是 ．
思路引领：移项合并可得（k+1）x＝4，由此可判断出k所能取得的整数值．
解：将原方程变形得kx+x＝4即（k+1）x＝4，
∵关于x的方程kx＝4﹣x的解为正整数，
∴k+1也为正整数且与x的乘积为4，
可得到k+1＝4或k+1＝2或k+1＝1，
解得k＝3或k＝1或k＝0（舍去）．
故k可以取得的整数解为1、3，
故答案为：1、3．
总结提升：本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义．
27．（2021秋•黄陂区期末）下列说法：
①若x＝2是关于x的方程ax+b＝0的解，则b＝﹣2a；②若a＝2b，则关于x的方程
1
ax+b＝0（a≠0）的解为x=- ；③若a≠b，则关于x的方程a（x﹣1）＝b（x﹣1）的
2
解为x＝1；④若2a+b＝6（a为正整数），且关于x的方程ax+b＝0的解为整数，则a
的值为1或2．其中一定正确的结论有 （填序号即可）．
思路引领：根据一元一次方程的解的定义，依次分析①②③④，选出结论正确的序
号即可．
解：①若x＝2是关于x的方程ax+b＝0的解，则b＝﹣2a，成立，故①正确，
1
②若a＝2b，则关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x=- ，成立，故②正确，
2
③若a≠b，则关于x的方程a（x﹣1）＝b（x﹣1）的解为x＝1，成立，故③正确，
④若2a+b＝6（a为正整数），且关于x的方程ax+b＝0的解为整数，则a的值为1或2
或3或6，故④错误，
结论正确个数有①②③，
故答案为：①②③．
总结提升：本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程解的定义是解题的关
键．
七、一元一次方程的错解问题
28．（2021秋•淮北期末）王涵同学在解关于x的方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得
方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（ ）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝﹣2
思路引领：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18，得出方程7a+4＝18，求出a的值，再代入方
程，求出方程的解即可．
解：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18得：7a+4＝18，
解得：a＝2，
即原方程为14+x＝18，解得：x＝4．
故选：A．
总结提升：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能得出关于a的一
元一次方程是解此题的关键．
2x-1 x+a
29．（2021秋•浦口区校级月考）某同学在解方程 = -2去分母时，方程右边的
3 3
﹣2没有乘3，因而求得的方程的解为x＝2，试求a的值，并求出原方程的正确解．
思路引领：首先根据题意，得x＝2是方程2x﹣1＝x+a﹣2的解，然后根据方程解的定义
将x＝2代入这个方程，从而求出a的值；再把a的值代入原方程，最后求解一元一次方
程即可得到答案，至此本题得解．
2x-1 x+a
解：解方程 = - 2，
3 3
根据该同学的做法，去分母，得2x﹣1＝x+a﹣2，
解得x＝a﹣1，
∵x＝2是方程2x﹣1＝x+a﹣2的解，
∴a﹣1＝2，
∴a＝3．
2x-1 x+3
∴原方程为 = - 2，
3 3
去分母，方程两边同时乘以3得：2x﹣1＝x+3﹣2×3，
解方程，得x＝﹣2．
故a＝3，原方程的正确的解是x＝﹣2．
总结提升：本题考查了解一元一次方程的知识，掌握方程的解与方程的关系和解一元一
次方程的一般步骤是解题的关键．
八、无解、唯一解、无数解问题
29．（2021秋•凤山县期末）若关于x的方程2ax﹣b＝﹣12a+6x无解，则a，b的值分别为
（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a＝3，b＝36 C．a＝36，b＝3 D．a＝3，b＝3
思路引领：若一元一次方程ax+b＝0无解，则a＝0，b≠0，据此可得出a的值．
解：由2ax﹣b＝﹣12a+6x得到：（2a﹣6）x＝b﹣12a，
∵关于x的方程2ax﹣b＝﹣12a+6x无解，
∴2a﹣6＝0，b﹣12a≠0．
∴a＝3，b≠12a．
∴b≠36．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
总结提升：本题考查一元一次方程的解，难度不大，关键是掌握无解情况下字母的取值情况．
30．（2022春•上蔡县校级月考）若关于x的方程mx+2＝n﹣x有无数解，则3m+n的值为
（ ）
A．﹣1 B．1
C．2 D．以上答案都不对
思路引领：先移项合并同类项得到（m+1）x＝n﹣2，再根据此方程有无数解的情况得出
m、n的值，最后代入3m+n即可求解．
解：mx+2＝n﹣x，
移项合并同类项得：（m+1）x＝n﹣2，
∵该方程有无数解，
∴m+1＝0，n﹣2＝0，
解得：m＝﹣1，n＝2，
当m＝﹣1，n＝2时，3m+n＝﹣3+2＝﹣1，
故选：A．
总结提升：本题主要考查的是一元一次方程的解，正确的掌握一元一次方程的解是解题的
关键．
31．（2021秋•昌江区校级期末）（3a﹣5b）x2+ax+b﹣a＝0是关于x的一元一次方程，且
x有唯一解，则x＝ ．
思路引领：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一
次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．高于一次的项系数是0，据
此可得出3a+2b＝0且a≠0，再用b表示a，代入原方程，即可得出x的值．
解：方程（3a﹣5b）x2+ax+b﹣a＝0是关于x的一元一次方程，且有唯一解，
则3a﹣5b＝0且a≠0，
5
故a= b，
3
5
因为a= b，b≠0，
3
5
把a= b代入ax+b﹣a＝0，得：
3
5 5
bx+b- b=0，
3 3
5 2
所以 bx - b= 0，
3 3
2
解得x= ．
5
2
故答案为： ．
5
总结提升：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点
kx+a x-bk
32．（2021秋•闽侯县期末）已知关于x的一元一次方程 - =2，其中a，b，k
6 3
为常数．
（1）当k＝3，a＝﹣1，b＝1时，求该方程的解；
（2）试说明当k＝2时，原方程有无数多个解，并求出此时a+4b的值；
（3）若无论k为何值时，该方程的解总是x＝﹣3，求ab的值．
思路引领：（1）将所给字母的值代入方程即可．
（2）先将k值代入方程，再根据条件求a，b．
（3）根据题意，建立关于a，b的方程即可．
3x-1 x-3
解：（1）由题意得： - =2．
6 3
∴3x﹣1﹣2x+6＝12．
∴x＝7．
2x+a x-2b
（2）当k＝2时，方程为： - =2．
6 3
∴2x+a﹣2x+4b＝12．
∴0•x＝12﹣a﹣4b．
∵方程有无数解，
∴12﹣a﹣4b＝0．
∴a+4b＝12．
（3）该方程化为：kx+a﹣2x+2bk＝12
当x＝﹣3时，（2b﹣3）k＝12﹣a﹣6．
∴（2b﹣3）k＝6﹣a．
∵无论k为何值，等式恒成立，
∴2b﹣3＝0，6﹣a＝0．
3
∴a＝6，b= ．
2
3
∴ab＝6× =9．
2
总结提升：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于 a，b的一元
一次方程是解此题的关键．
第二部分 配套作业
1
1．（2021秋•文登区期末）若- xm-3y与2x2yn﹣2是同类项，则（m﹣2n）2022的值为（
3
）
A．2022 B．﹣2022 C．﹣1 D．1
思路引领：先根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同求出 m，n的值，再将m，n的值代入（m﹣2n）2022中即可求解．
1
解：∵- xm-3y与2x2yn﹣2是同类项，
3
∴m﹣3＝2，n﹣2＝1，
∴m＝5，n＝3，
∴（m﹣2n）2022
＝（5﹣2×3）2022
＝（﹣1）2022
＝1，
故选：D．
总结提升：本题主要考查了同类项和有理数的运算，掌握同类项的定义以及有理数的运
算法则是解题的关键．
2．（2021秋•逊克县期末）若代数式﹣x6y3与2x2ny3是同类项，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
思路引领：根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得答案．
解：由﹣x6y3与2x2ny3是同类项，得
2n＝6，
解得n＝3．
故选：B．
总结提升：本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，
是易混点，因此成了中考的常考点．
1
3．（2022秋•西山区期中）若单项式am﹣1b2与 a2b﹣n的和仍是单项式，则nm的值是（
2
）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
思路引领：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，可得
m、n的值，再代入所求式子计算即可．
1
解：∵单项式am﹣1b2与 a2b﹣n的和仍是单项式，
2
∴m﹣1＝2，﹣n＝2，
解得m＝3，n＝﹣2，
∴nm＝（﹣2）3＝﹣8．
故选：A．
总结提升：本题主要考查同类项，掌握同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母
相同；（2）相同字母的指数相同，从而得出m，n的值是解题的关键．
4．（2022秋•金水区校级期中）2x2+ax﹣y﹣（bx2﹣5x+9y+3）的化简结果与x的取值无关，则﹣a+b的值为（ ）
A．7 B．﹣3 C．3 D．﹣7
思路引领：先去括号，再合并同类项，令x2和x项系数为0，可解得a、b的值，即可得
答案．
解：2x2+ax﹣y﹣（bx2﹣5x+9y+3）
＝2x2+ax﹣y﹣bx2+5x﹣9y﹣3
＝（﹣b+2）x2+（a+5）x﹣10y﹣3，
∵2x2+ax﹣y﹣（bx2﹣5x+9y+3）的化简结果与x的取值无关，
∴﹣b+2＝0且a+5＝0，
∴a＝﹣5，b＝2，
∴﹣a+b＝5+2＝7．
故选：A．
总结提升：本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则及代数式
的值与x无关，则含x的项的系数为0．
5．（2021秋•泊头市期末）已知k为整数，关于x的方程（k+2）x＝3有正整数解，则满足
条件的k的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个
思路引领：先解方程，得到一个含有字母k的解，然后用完全归纳法解出k的值．
解：（k+2）x＝3，
3
解得x= ，
k+2
∵k为整数，关于x的方程（k+2）x＝3有正整数解，
∴k＝±1，
即满足条件的k的值有2个．
故选：B．
总结提升：考查了一元一次方程的解，本题难点是对k值进行完全归纳，注意不要漏解．
6．（2022春•奉贤区校级期末）如果关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，那么a的取值范
围是（ ）
A．a＝−1 B．a＞−1 C．a≠−1 D．任意实数
思路引领：根据方程无解，确定出a的范围即可．
解：∵关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，
∴a+1＝0，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
总结提升：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知
数的值．7．（2021秋•冠县期末）若多项式m（m﹣1）x3+（m﹣1）x+2是关于x的一次多项式，则
m需满足的条件是 ．
思路引领：根据多项式为一次多项式，得到第一项系数为 0，第二项系数不为0，即可
求出m的值．
解：∵多项式m（m﹣1）x3+（m﹣1）x+2是关于x的一次多项式，
∴m（m﹣1）＝0，且m﹣1≠0，
则m＝0．
故答案为：m＝0．
总结提升：此题考查了多项式，弄清题意是解本题的关键．
8．（2022秋•宿城区期中）如果多项式x2+5ab+b2+kab﹣1不含ab项，则k的值为 ．
思路引领：根据题意“不含ab项”故ab项的系数为0，由此可得出k的值．
解：∵不含ab项，
∴5+k＝0，
k＝﹣5，
故答案为：﹣5
总结提升：此题主要考查了多项式，以及合并同类项，关键是掌握一个多项式中不含哪
一项，则使哪一项的系数＝0．
9．（2020秋•凤凰县期末）若（m+1）x|m|＝6是关于x的一元一次方程，则m等于 ．
思路引领：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方
程．
解：根据题意得：m+1≠0且|m|＝1，
解得：m＝1．
故答案是：1．
总结提升：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的
指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
10．（2021春•遂宁期末）关于x的方程（k﹣4）x|k|﹣3+1＝0是一元一次方程，则k的值是
．
思路引领：根据一元一次方程的定义，可得答案．
解：由题意，得
|k|﹣3＝1，且k﹣4≠0，
解得k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
总结提升：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指
数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
x
11．（2022•聊城模拟）已知关于x的方程3a+x= -5的解为2，a的值是 ．
2
思路引领：把x＝2代入方程计算即可求出a的值．解：把x＝2代入方程得：3a+2＝1﹣5，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
总结提升：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知
数的值．
12．（2022春•岳池县期中）已知方程2（x+1）＝3（x﹣1）的解为a+2，则方程2（2x﹣
5）﹣3（x﹣4）＝2a的解为x＝ ．
思路引领：把x＝a+2代入方程2（x+1）＝3（x﹣1）即可得到关于a的方程，求得a的
值，然后把a的值代入第二个方程，解方程即可．
解：把x＝a+2代入方程得：2（a+3）＝3（a+1），
解得：a＝3．
把a＝3代入2（2x﹣5）﹣3（x﹣4）＝2a得：4x﹣10﹣3x+12＝6，
解得：x＝4．
故答案是：4．
总结提升：本题考查了方程的解的定义，以及一元一次方程的解法，方程的解就是能够
使方程左右两边相等的未知数的值．
13．（2021秋•科尔沁区期末）若关于x的方程mx＝3﹣x的解为整数，则正整数m的值为
．
3
思路引领：先解方程得x= ，再由方程的解为整数，则有m+1＝±3或m+1＝±1，求
m+1
得m＝2或m＝﹣4或m＝0或m＝﹣2，根据题意，m是非正整数，即可求m的值为﹣2
或﹣4或0．
解：mx＝3﹣x，
移项，合并同类项，得（m+1）x＝3，
3
解得x= ，
m+1
∵方程的解为整数，
∴m+1＝±3或m+1＝±1，
∴m＝2或m＝﹣4或m＝0或m＝﹣2，
∵m+1≠0，
∴m≠﹣1，
∵m是正整数，
∴m＝2．
故答案为：2．
总结提升：本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，根据 m值的限
定条件对m的值进行取舍是解题的关键．2kx+a x-bk
14．（2019秋•梁园区期末）如果a，b为定值，关于x的一次方程 - =2，无
3 6
论k为何值时，它的解总是1，则a+2b＝ ．
思路引领：根据一元一次方程的解的定义即可求出答案．
2kx+a x-bk
解：将x＝1代入方程 - =2，
3 6
2k+a 1-bk
∴ - =2，
3 6
∴4k+2a﹣1+bk＝12，
∴4k+bk＝13﹣2a，
∴k（4+b）＝13﹣2a，
由题意可知：b+4＝0，13﹣2a＝0，
13
∴a= ，b＝﹣4，
2
13 3
∴a+2b= -8=- ．
2 2
3
故答案为：-
2
总结提升：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解定义，本
题属于中等题型．
x-4 x+2
15．（2022秋•秀屿区校级期末）如果方程 -8=- 的解与方程4x﹣（3a+1）＝
3 2
6x+2a﹣1的解相同，求式子a﹣a2的值．
x-4 x+2
思路引领：先求得方程方程 - 8 =- 的解，然后将所求的x的值代入方程4x﹣
3 2
（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，最后在求代数式的值即可．
x-4 x+2
解： - 8 =-
3 2
去分母得：2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2）
去括号得：2x﹣8﹣48＝﹣3x﹣6，
移项得：2x+3x＝﹣6+8+48，
合并同类项得：5x＝50，
系数化为1得：x＝10．
将x＝10代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1，
去括号得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，
移项得：﹣3a﹣2a＝60﹣1﹣40+1，
合并同类项得：﹣5a＝20，
系数化为1得：a＝﹣4．a﹣a2＝﹣4﹣（﹣4）2＝﹣4﹣16＝﹣20．
总结提升：本题主要考查的是同解方程的定义、解一元一次方程、求代数式的值，求得
a的值是解题的关键．
16．（2021秋•建瓯市校级期中）已知关于x的方程2（x+1）＝3m+1的解与方程5x+3＝﹣
7的解互为相反数，求m的值．
思路引领：先解一元一次方程，根据题意确定第一个方程的解，代入方程求出 m的值即
可．
解：5x+3＝﹣7，
解得x＝﹣2，
因为关于x的方程2（x+1）＝3m+1的解与方程5x+3＝﹣7的解互为相反数，
所以关于x的方程2（x+1）＝3m+1的解是x＝2，
把x＝2代入方程2（x+1）＝3m+1，
得2×（2+1）＝3m+1，
5
解得m= ．
3
5
∴m的值为 ．
3
总结提升：本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一
次方程的解的意义，解一元一次方程的方法．
3x-5 5x-8
17 ． （ 2021 秋 • 巴 南 区 期 末 ） 已 知 方 程 = 的 解 满 足 等 式
2 3
m 3(x-m) 3x-m 2
- = - （3x+m），求m的值．
10 2 4 5
思路引领：根据方程的解相同，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
3x-5 5x-8
解：解方程 = ，
2 3
3（3x﹣5）＝2（5x﹣8），
9x﹣15＝10x﹣16，
9x﹣10x＝﹣16+15，
x＝1，
3x-5 5x-8 m 3(x-m) 3x-m 2
∵方程 = 的解满足等式 - = - （3x+m），
2 3 10 2 4 5
m 3(1-m) 3-m 2
∴ - = - ×(3+m)，
10 2 4 5
2m﹣30（1﹣m）﹣5（3﹣m）﹣8（3+m），
2m﹣30+30m＝15﹣5m﹣24﹣8m，
2m+30m+8m+5m＝30+15﹣24，
45m＝21，21
解得m= ．
45
总结提升：本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m的方程是解题关键．
18．（2022秋•鼓楼区校级月考）已知方程 2（x+1）＝3（x﹣1）的解为a+2，求方程
2[2（x+3）﹣3（x﹣a）]＝3a的解．
思路引领：解一元一次方程2（x+1）＝3（x﹣1）求得方程的解，即可求得a的值，代
入方程2[2（x+3）﹣3（x﹣a）]＝3a，然后解方程即可求得方程的解．
解：由方程2（x+1）＝3（x﹣1）解得x＝5．
由题设知a+2＝5，
所以a＝3．于是有
2[2（x+3）﹣3（x﹣3）]＝3×3，
即﹣2x＝﹣21，
1
∴x＝10 ．
2
总结提升：本题主要考查了方程的解的定义，根据方程的解的定义可以把求未知系数的
问题转化为解方程的问题．
