直线和圆的方程单元复习卷（二）
一、单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5 分，8 题共40 分)
1．已知直线
1
2
:
2
0,
: 3
2
4
0
l
ax
y
l
a
x
ay
，则
1
a 是1
2
//
l
l 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若1
2
//
l
l ，则
2
3
2
0
a
a
，解得
1
a 或2 ，
经检验当
2
a
时，两直线重合，
当
1
a 时，1
2
/ /
l
l ，
所以
1
a 是1
2
//
l
l 的充要条件.
故选：C.
2．经过两点
4,
A
a ，
2,3
B
的直线的倾斜角为π
4 ，则
a
（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【解析】依题意
π
3
tan
1
4
2
4
AB
a
k
，解得
5
a
.
故选：B
3．已知ABC
三边所在直线方程为
:3
4
12
0
AB
x
y
，
: 4
3
16
0
BC
x
y
，
: 2
2
0
CA
x
y
，则AC 边
上的高所在直线的方程是（
）
A．
2
4
0
x
y
B．
7
4
0
x
y
C．4
3
9
0
x
y
D．7
28
0
x
y
【答案】A
【解析】设则AC 边上的高所在直线的斜率为k ，
2
AC
k
，
1
AC
k k
，
1
2
k
，
联立
3
4
12
0
4
3
16
0
x
y
x
y
，得
4,0
B
，
∴AC 边上的高所在直线的方程为
2
4
0
x
y
.
故选：A.
4.已知直线l 的斜率为
3 ,在x 轴上的截距为2 3
3
,则直线l 的方程为（
）
A．
3
2
y
x
B．
3
2
y
x
C．
1
3
2
y
x
D．
3
2
y
x
【答案】B
【解析】直线l 在x 轴上的截距为2 3
3
，点2 3 ,0
3
在直线l 上，
又直线l 的斜率为
3 ,根据点斜式方程得
2 3
3
,
3
y
x
即
3
2
y
x
.故选：B.
5.已知直线l 经过两条直线1l ：
2
x
y
，2l ：2
1
x
y
的交点，且l 的一个方向向量为
3,2
v
，则直线l
的方程为（
）
A．2
3
1
0
x
y
B．2
3
5
0
x
y
C．3
2
5
0
x
y
D．2
3
1
0
x
y
+
- =
【答案】B
【解析】联立
2
2
1
x
y
x
y
，解得
1
1
x
y
，
即直线1l ：
2
x
y
，2l ：2
1
x
y
的交点为
1,1 ，
又直线l 的一个方向向量
3,2
v
，
所以直线l 的斜率为
2
3
，故直线l 的方程为
2
1
1
3
y
x
，
即2
3
5
0
x
y
，故选：B．
6．若圆C 经过点(2,5)
A
，
(4,3)
B
，且圆心在直线
7
: 2
0
x
y
l
上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
(
3)
(
6)
2
x
y
B．
2
2
(
2)
(
3)
4
x
y
C．
2
2
(
2)
(
3)
8
x
y
D．
2
2
(
3)
(
6)
10
x
y
【答案】B
【解析】设该圆方程为
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
，
则圆心为
,a b ，有2
7
0
a
b
，
将点(2,5)
A
，
(4,3)
B
代入，
有
2
2
2
2
2
2
2
5
2
7
4
3
2
7
a
a
r
a
a
r
，化简得
2
2
2
2
5
12
8
5
24
32
a
a
r
a
a
r
，
两式相减得12
24
0
a
，即有
2
a
，则
7
2
3
b
a
，
2
2
5
12
8
4
r
a
a
，
故该圆方程为
2
2
(
2)
(
3)
4
x
y
.故选：B.
7.已知圆
2
2
1 :
(
3)
4
C
x
y
与圆
2
2
2 :
6
2
1
0
C
x
y
x
y
，则圆
1
C 与圆
2
C 的位置关系为（
）
A．相交
B．外切
C．外离
D．内含
【答案】B
【解析】由题意确定两圆的圆心坐标和半径，根据圆与圆的位置关系即可判断.
圆
2
2
1 :
(
3)
4
C
x
y
，圆心
1 0,3
C
，半径1
2
r
，
圆
2
2
2 :
6
2
1
0
C
x
y
x
y
可化为
2
2
(
3)
(
1)
9
x
y
，圆心
2 3, 1
C
，半径
2
3
r
，
则
2
2
1
2
1
2
(0
3)
(3
1)
5
2
3
C C
r
r
，
∴圆
1
C 与圆
2
C 的位置关系为外切，故选：B．
8.设
0
0
(
,
)
P x
y
为直线3
2
0
x
y
上的动点，若圆
2
2
1
x
y
上存在两点A，B，使
60
APB
，则
0x 的取
值范围是（
）
A．
8
[0, ]
5
B．
8
[
,0]
5
C．
6
[
,0]
5
D．
0,
【答案】C
【解析】圆
2
2
1
x
y
的圆心(0,0) 到直线3
2
0
x
y
的距离
2
1
10
d
，
即直线3
2
0
x
y
与圆
2
2
1
x
y
相交，当点P 在圆
2
2
1
x
y
及内部时，
该圆上存在两点A，B，使
60
APB
，
当点P 在圆外时，过点P 作圆
2
2
1
x
y
的切线
,
PA PB ，
,
A B 为切点，显然
APB
是最大的，
则只需
60
APB
即可，此时
30
OPB
，
1
1 |
|
2
sin
OP
OPB
，而|
| 1
OP 也符合要求，
因此|
| 2
OP
，即
2
2
0
0
4
x
y
，又
0
0
3
2
y
x
，则
2
2
0
0
( 3
2)
4
x
x
，解得
0
6
0
5
x
，
所以
0x 的取值范围是
6
[
,0]
5
.故选：C
二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.）
9．（多选）下列命题错误的是（
）
A．经过定点
0
0
,
P
x
y
的直线都可以用方程
0
0
y
y
k x
x
表示
B．直线sin
2
0
x
y
的倾斜角的取值范围是
π
3π
0,
,π
4
4
C．经过任意两个不同的点
1
1
1
,
P x y ，
2
2
2
,
P
x
y
的直线都可以用方程
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
表
示
D．不经过原点的直线都可以用方程
1
x
y
a
b
表示
【答案】AD
【解析】对于A：经过点
0
0
(
,
)
P x
y
且斜率不存在的直线方程为
0
x
x
，
不能用方程
0
0
y
y
k x
x
表示，方程
0
0
y
y
k x
x
只能表示过点
0
0
(
,
)
P x
y
且斜率存在的直线，故A
错误；
对于B：直线sin
2
0
x
y
，即
sin
2
y
x
，斜率
sin
1,1
k
，
设直线sin
2
0
x
y
的倾斜角为，则
tan
1,1
，又
0,π
，
所以
π
3π
0,
,π
4
4
，故B 正确；
对于C：当两个不同的点
1
1
1
,
P x y 、
2
2
2
,
P
x
y
的连线不垂直于坐标轴时，
直线方程为
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
，即
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
，
当直线
1
2
PP 斜率为0 或者斜率不存在时，也适合方程
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
，
所以经过任意两个不同的点
1
1
1
,
P x y 、
2
2
2
,
P x
y
的直线都可以用方程
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
表
示，故C 正确；
对于D：如直线
1
x 不经过原点，但是不能用方程
1
x
y
a
b
表示，故D 错误；
故选：AD
10．（多选）已知三条直线：直线1
2
3
:
3
0,
:
1
0,
: 2
5
0
l
ax
y
l
x
y
l
x
y
不能围成一个封闭图形，则
实数a 的值可以是（
）
A．2
B．1
C．2
D．3
【答案】ABC
【解析】若1
2
3
, ,
l l l 中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，
若1
2
//
l
l ，由两直线平行与斜率之间的关系可得
1
a ；
若1
3
//
l
l ，由两直线平行与斜率之间的关系可得
2
a ；
联立2
3
,
l l 可得
1
0
2
5
0
x
y
x
y
，可知2
3
,
l l 的交点为(
)
2, 1
-
，
若1
2
3
, ,
l l l 交于同一点，可得
2
a
，
故选：ABC.
11．（多选）已知圆
2
2
2
1 :
2
10
0
C
x
y
mx
y
m
，圆
2
2
2 :
4
5
0
C
x
y
y
，则下列说法正确的是（
）
A．若点
1,1 在圆
1
C 的内部，则2
4
m
B．若
2
m
，则圆
1
2
,
C C 的公共弦所在的直线方程是4
14
9
0
x
y
C．若圆
1
2
,
C C 外切，则
15
m
D．过点
3,2 作圆
2
C 的切线l ，则l 的方程是
3
x
或7
24
27
0
x
y
【答案】BCD
【解析】对于A，由点(1,1) 在圆
1
C 的内部，得
2
1 1
2
10
0
m
m
，解得4
2
m
，故A 错误；
对于B，若
2
m
，则圆
2
2
1 :
4
10
4
0
C
x
y
x
y
，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是4
14
9
0
x
y
，故B 正确；
对于C，圆
1
C 的标准方程为
2
2
(
)
(
5)
25
x
m
y
，圆心为
1
,5
C
m
，半径1
5
r
，
圆
2
C 的标准方程为
2
2
(
2)
9
x
y
，圆心为
2 0, 2
C
，半径
2
3
r
，
若圆
1
2
,
C C 外切，则
1
2
1
2
C C
r
r
，即
2
49
5
3
m
，解得
15
m
，故C 正确；
对于D，当l 的斜率不存在时，l 的方程是
3
x
，圆心
2
C 到l 的距离
2
3
d
r
，满足要求，
当l 的斜率存在时，设l 的方程为
3
2
y
k x
，
圆心
2
C 到l 的距离
2
2
4
3
3
1
k
d
r
k
，解得
7
24
k
，
所以l 的方程是7
24
27
0
x
y
，故D 正确.
故选：BCD.
12．（多选）在平面直角坐标系xOy 中，圆
2
2
: (
)
(
)
1
M
x
a
y
a
（a 为实数），点
(2,0), ( 1,0)
A
B
，点P 为
圆
2
2
:(
2)
4
N
x
y
上的动点，则（
）
A．若
1,2
Q
，过点Q 可以作圆N 的两条切线
B．当
0
a
时，圆M 与圆N 的公共弦长为
15
4
C．圆M 上始终存在两点与点B 的距离为1，则a 的取值范围为
1
7
1
7
,
2
2
D．PA PB
的取值范围为
2,18
【答案】ACD
【解析】圆M 的圆心
( , )
M a a ，半径1
1
r ，圆N 的圆心
( 2,0)
N
，半径2
2
r
，
对于A，
(
(
))
(
)
QN
r
2
2
2
2
1
0
2
5
，
所以点Q 在圆外，过点Q 可以作圆N 的两条切线，A 正确；
对于B，当
0
a
时，圆
2
2
:
1
M x
y
，
两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4
1
0
x
，
则圆心
(0,0)
M
到直线的距离为d
2
1
1
4
4
，
所以公共弦长为
2
2
1
15
15
2 1
2
4
4
2
，B 错误；
对于C，|
|
(
)
MB
a
a
2
2
1
，只需|
|
MB 2，即
(
)
,
a
a
2
2
1
2
即(
)
a
a
2
2
1
4，
a
a
2
2
2
3
0 ，
解得
a
1
7
1
7
2
2
，C 正确；
对于D，设
( cos
, sin )
P
2
2 2
，
(
cos ,
sin ),
(
cos ,
sin )
PA
PB
4
2
2
1 2
2
(4
2cos )(1
2cos )
( 2sin )( 2sin )
PA PB
cos
cos
sin
cos
2
2
4 10
4
4
8 10
，
cos
[ 1,1]
，
[ 2,18]
PA PB
，D 正确.
故选：ACD
三、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13.过三点
1
2
0,0
1,3
3, 1
O
M
M
､
､
的圆的标准方程是
.
【答案】
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
【分析】首先设出圆的标准方程，再代入3 点，即可求解.
【详解】设圆的标准方程为
2
2
2
x
a
y
b
r
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
3
1
a
b
r
a
b
r
a
b
r
得
3
5
0
2
0
a
b
a
b
，得
2
2
1
5
a
b
r
，
所以圆的标准方程是
2
2
2
1
5
x
y
.
故答案为：
2
2
2
1
5
x
y
14．已知圆
2
2
:(
)
(
1)
3
C
x
a
y
a
，点
2,0
A
，若圆C 上任意一点P 都满足
2
2
|
|
|
|
8
PA
PO
，则实
数a 的取值范围为
.
【答案】
,
5
5,
【解析】设点
,
P x y ，则
2
2
2
2
2
2
2
2
|
|
(
2)
2 (
1)
1
8
PA
PO
x
y
x
y
x
y
即：
2
2
(
1)
3
x
y
，则
2
2
(
1)
3
x
y
，
设
1,0
B
，即
3
PB
，即圆C 上的点P 到点B 的距离的最小值大于
3 ，
又圆心
,
1
C a a
，半径
3
R
，则圆C 上的点到B 的距离的最小值为CB
R
，
故只需
3
CB
R
，即
2
2
2 3,
(
1)
(
1)
2 3
CB
CB
a
a
，
解得：
,
5
5,
故答案为：
,
5
5,
.
15．过圆O：
2
2
2
x
y
上一点P 作圆C ：
2
2
4
4
2
x
y
的两切线，切点分别为Q ，R ，设两切线
的夹角为，当PQ
PR
+
取最小值时，sin
.
【答案】4 2
9
/ 4
2
9
【解析】由题意可得
,
,
,
2
PQ
PR
CPQ
CPR
CQ
PQ CR
PR
，
圆O的圆心
0,0
O
，半径1
2
r
，
圆C 的圆心
4,4
C
，半径2
2
r
，
则
2
2
2
2
2
2
2
PQ
PC
CQ
P
Q
R
C
P
P
+
，
当PQ
PR
+
取最小值时，则PC 取得最小值，
1
min
16 16
2
3 2
PC
OC
r
，
此时
2
1
sin
sin
2
3
3 2
CPQ
，
又2
为锐角，所以
2 2
cos 2
3
，
所以
1
2 2
4 2
sin
2
3
3
9
，
即当PQ
PR
+
取最小值时，
4 2
sin
9
.
故答案为：4 2
9
.
16.已知直线1 :
3
1
0
l
mx
y
m
与直线2 :
3
1
0
l
x
my
m
相交于点E ，其轨迹记为曲线
1
C ，曲线
2
C 的
方程为
2
2
1)
(
1)
16
x
y
(
，点M ，N 分别在曲线
1
C ，2
C 上运动，点P 在直线l 上，若直线l 经过点
4, 2
Q
，
且与两曲线
1
C ，
2
C 的公共弦所在的直线垂直，则PM
PN
的最小值为
.
【答案】3 10
2
4
【分析】由题意首先得
2
2
1 :
2
2
2,
,
3
C
x
y
x y
，:
6
0
l x
y
，取点
1 2,2
C
关于直线l 的对称
点为
8, 4
R
，结合三角形三边关系即可求解.
【详解】
由题意1 :
3
1
0
l
mx
y
m
即
3
1
m x
y
，2 :
3
1
0
l
x
my
m
即
3
1
m y
x
，
所以
1
3
1
3
y
y
x
x
，
注意到点
3,3 不满足
3
1
m x
y
和
3
1
m y
x
，
所以化简得
2
2
1 :
2
2
2,
3,
3
C
x
y
x
y
，
又
2
2
2 :
1
1
16
C
x
y
，
两式相减得公共弦方程为3
3
10
0
x
y
，
所以直线l 的方程为
4
2
0
x
y
，即
6
0
x
y
，
设点
1 2,2
C
关于直线l 的对称点为
,
R a b ，
所以
2
2
6
0
2
2
2
1
2
a
b
b
a
，解得
8,
4
a
b
，
所以
1
1
1
2
2
1
PM
PN
PN
PC
r
PN
PR
r
RC
r
r
81 9
4
2
3 10
4
2
，
当且仅当点P 与
2
RC 与直线l 的交点重合时，等号成立，
综上所述，PM
PN
的最小值为3 10
2
4
.
故答案为：3 10
2
4
.
【点睛】关键点睛：关键是取点
1 2,2
C
关于直线l 的对称点为
8, 4
R
，由此即可顺利得解.
四、解答题（本题共6 小题，共70 分，其中第17 题10 分，其它每题12 分，解答应写出文字说明､证明
过程或演算步骤.）
17．已知ABC
的三个顶点为
4,0
A
，
8,7
B
，
4,6
C
.
(1)求过点A 且平行于BC 的直线方程；
(2)求AC 上的中线所在直线方程.
【解析】（1）由B、C 两点的坐标可得
7
6
1
8
4
4
BC
k
，
因为所求直线与直线BC 平行，故其斜率为
1
4
BC
k
k
，
由点斜式方程可得所求直线方程为
1
4
4
y
x
，
整理得
4
4
0
x
y
.
（2）AC 中点坐标为
4,3 ，
8,7
B
，
由两点式方程可得所求直线方程为
3
4
7
3
8
4
y
x
，即
1
0
x
y
.
18．已知直线:
2
0
l ax
y
a
恒过点P ，且与x 轴，y 轴分别交于
,
A B 两点，O为坐标原点.
(1)求点P 的坐标；
(2)当点O到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程；
(3)当PA PB
取得最小值时，求AOB
的面积.
【解析】（1）直线l 的方程可化为(
1)
(
2)
0
a x
y
，
令
1
0
2
0
x
y
，解得
1,
2
x
y
，即点P 的坐标为
1,2 .
（2）当OP
l
时，点O到直线l 的距离最大，
此时直线OP 的斜率
OP
k
与直线l 的斜率
lk 满足
1
OP
l
k
k
，
因为
2
OP
k
，所以
1
2
lk
，即
1
2
a
，
所以直线l 的方程为
1
5
2
2
0
x
y
，即
2
5
0
x
y
.
（3）令
0
y
，可得
2
a
x
a
，所以
2
(
,0)
a
A
a
；
令
0
x
，可得
2
y
a
，所以
(0,2
)
B
a
，且
0,
2
a
a
，
可得
2
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
(0
2)
2
1,
(1 0)
(2
2)
1
a
PA
PB
a
a
a
a
，
所以
2
2
1
1
1
1
1
2(
)
2 2
4
PA
PB
a
a
a
a
a
a
当且仅当
1
a 时，等号成立，
当
1
a 时，直线l 的方程为
1
0
x
y
，此时
( 1,0), (0,1)
A
B
，
可得AOB
的面积为
1
1
2
2
S
OA OB
；
当
1
a 时，直线l 的方程为
3
0
x
y
，此时
(3,0),
(0,3)
A
B
，
可得AOB
的面积为
1
9
2
2
S
OA OB
，
综上可得，AOB
的面积为1
2 或9 .
2
19．已知圆
2
2
:
3
C x
y
，直线l 过点
2,0
A
.
(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的斜率；
(2)线段AB 的端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
【解析】（1）已知C 的圆心是
0,0
O
，半径是
3 ，
设直线斜率为,
k
则直线方程是
2
y
k x
，即
2
0
kx
y
k
，
则圆心到直线距离为
2
2
3
1
k
k
，
解得直线的斜率
3
k
.
（2）设点
0
0
,
,
,
M x y
B x x
则，
由点M 是AB 的中点得，
0
0
2
2
,
0
2
x
x
y
y
所以
0
0
2
2
2
x
x
y
y
①
因为B 在圆C 上运动，所以
2
2
0
0
:
3
C x
y
②
①代入②得，
2
2
(2
2)
(2 )
3,
x
y
化简得点M 的轨迹方程是
2
2
3
(
1)
4
x
y
.
20．已知
1, 1
M
，
2,2
N
，
3,0
P
．
(1)求点Q 的坐标，满足PQ
MN
，
/ /
PN
MQ ；
(2)若点Q 在x 轴上，且
NQP
NPQ
，求直线MQ 的倾斜角；
(3)一条光线从点
2,2
N
发出，射到x 轴上一点
3,0
P
后被x 轴反射，求反射光线所在的直线方程.
【解析】（1）设
( , )
Q x y ，而
2
( 1)
3
2 1
MN
k
，PQ
MN
，则
1
3
3
PQ
y
k
x
，
又
2
0
2
2
3
PN
k
且
/ /
PN
MQ ，则
1
2
1
MQ
y
k
x
，
综上，
3
3
0
1
2
2
1
y
x
x
y
x
y
，即
(0,1)
Q
.
（2）设
( ,0)
Q x
，由
NQP
NPQ
，如下图知：
NPQ
△
为等腰三角形，
所以
3
2
1
2
x
x
，即
(1,0)
Q
，而
1, 1
M
，即MQ 与x 轴垂直，
所以直线MQ 的倾斜角为π
2 .
（3）若N是
2,2
N
关于x 轴的对称点，则
(2, 2)
N
，且在反射光线所在直线上，
则
0
( 2)
2
3
2
PN
k
，故反射光线所在直线方程为
2(
3)
2
6
0
y
x
x
y
.
21．已知圆
2
2
:
2
2
1
0
C x
x
y
y
.
(1)证明：圆C 过定点.
(2)当
2
时，求直线y
x
被圆C 截得的弦长.
(3)当
2
时，若直线:
1
l y
kx
与圆C 交于
,
M N 两点，且
2
OM ON
，其中O为坐标原点，求k 的取
值范围.
【解析】（1）由
2
2
2
2
1
0
x
x
y
y
，
得
2
2
2
1
2
1
0
x
x
y
x
y
，
令
2
1
0
x
y
，得
2
2
(
1)
0
x
y
，解得
1,
0
x
y
，
所以圆C 过定点，且定点的坐标为
1,0 .
（2）当
2
时，圆C 的标准方程为
2
2
(
2)
5
x
y
，
则圆C 的圆心
0, 2
到直线y
x
的距离
2
d
，
所以直线y
x
被圆C 截得的弦长为
2
2 5
2 3
d
.
（3）将
1
y
kx
代入
2
2
(
2)
5
x
y
，得
2
2
1
2
4
0
k
x
kx
.
则
2
2
2
Δ
4
16 1
16
20
0
k
k
k
恒成立，
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，则
1
2
1
2
2
2
2
4
,
1
1
k
x
x
x x
k
k
，
所以
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
OM ON
x x
y y
x x
kx
kx
k
x x
k x
x
2
2
2
2
4 1
2
1
2
1
1
k
k
k
k
，整理得
2
1
k ，则1
1
k
，
所以k 的取值范围是
1,1
.
22．过点
1,0
M
的直线为,l N 为圆
2
2
:
(
2)
4
C x
y
与y 轴正半轴的交点.
(1)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程：
(2)证明：若直线l 与圆C 交于
,
A B 两点，直线
,
AN BN 的斜率之和为定值.
【解析】（1）由已知可得，圆心
0,2
C
，半径
2
r
.
当直线l 斜率不存在时，l 方程为
1
x ，此时直线与圆不相切；
当直线l 斜率存在时，设直线l 斜率为k ，则l 方程为
1
y
k x
，即kx
y
k
0
.
由直线l 与圆C 相切，可知圆心到直线的距离
2
2
2
1
k
d
k
，
整理可得，
2
3
4
0
k
k
，
解得
0
k
或
4
3
k
.
所以，直线l 的方程为
0
y
或
4
4
3
3
y
x
.
综上所述，直线l 的方程为
0
y
或
4
4
3
3
y
x
.
（2）由题设得到点
0,4
N
，
当直线l 斜率不存在时，l 方程为
1
x ，
此时直线与圆的交点为
1,2
3
，
1,2
3
，
则
2
3
4
2
3
4
4
1
1
AN
BN
k
k
；
当直线l 斜率存在时，设直线方程为
1
y
k x
，
代入圆的方程可得
2
2
2
2
1
2
4
4
0
k
x
k
k x
k
k
.
设点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则
2
2
1
2
1
2
2
2
2
4
4
,
1
1
k
k
k
k
x
x
x x
k
k
.
所以
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
AN
k x
kx
k
y
k
x
x
x
，
2
2
2
2
2
2
1
4
4
4
BN
k x
kx
k
y
k
x
x
x
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
2
4
2
AN
BN
kx
k
kx
k
kx x
k
x
x
k
k
k
x
x
x x
2
2
2
2
2
4
4
1
2
2
4
4
4
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
.
综上所述，AN 与BN 的斜率之和为定值4
.
故AN 与BN 的斜率之和为定值.
