文档内容
押天津卷 12~13 题
直线与圆、概率
考点 2年考题 考情分析
解析几何中直线和圆在高考题目中也是必考考点，主要考察
直线与圆的基本方程，点到直线的距离公式，圆中的弦长公
2023年天津卷第12题 式，圆的切线方程，知识点较多，难度较为简单，也考察学
直线与圆
生的做图能力。23年高考首次将抛物线知识与直线和圆结
2022年天津卷第12题
合，因此对于24年高考，也可以预测这道题目也会结合其
他解析几何知识进行考察。
近两年高考对于概率的考察侧重于全概率以及条件概率的考
2023年天津卷第13题 察，需要考生掌握全概率以及条件概率公式，难度较为简
概率问题 单。同时考生对于离散型随机变量及其分布列，期望的计算
2022年天津卷第13题 也应了解，二项分布，超几何分布，以及正态分布的知识也
应了解。
题型一直线与圆
12．（5分）（2023•天津）过原点的一条直线与圆 相切，交曲线 于点 ，
若 ，则 的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】不妨设直线方程为 ，由直线与圆相切求解 值，可得直线方程，联立直线与抛物线
方程，求得 点坐标，再由 列式求解 的值．
【解答】解：如图，由题意，不妨设直线方程为 ，即 ，
由圆 的圆心 到 的距离为 ，
得 ，解得 ，
则直线方程为 ，
联立 ，得 或 ，即 ．
可得 ，解得 ．
故答案为：6．
12．（5分）（2022•天津）若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，则
2 ．
【答案】2．
【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可得解．
【解答】解： 圆心 到直线 的距离 ，
又直线与圆相交所得的弦长为 ，，
，
解得 ．
故答案为：2．
知识点一：直线与圆的方程
常用结论
1．以A(x，y)，B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x－x)(x－x)＋(y－y)(y－y)＝0.
1 1 2 2 1 2 1 2
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
知识点二：直线与圆，圆与圆的位置关系
1.求直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的
一元二次方程，则|MN|＝·.
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
易错点
1：直线的截距式方程，解题时注意截距相等，截距的绝对值相等时要讨论截距为0的情形，否则易出
错．
2：直线的斜率与倾斜角之间的关系、正切函数的单调性，当倾斜角范围包含 90度时，斜率范围一般
取两边，不包含90度时，一般斜率范围取中间
3：解决直线过定点问题，主要有三种方法：
①化成点斜式方程，即 恒过点；
②代两个不同的值，转化为求两条直线的交点；③化成直线系方程，即过直线 和直线 的交点的直线可设为
.
4：在圆外一点的切线方程一定会有两条，如果计算出k值只有一个需要考虑斜率不存在的情况。
1．已知圆 与圆 外切，此时直线 被圆 所截的弦长
．
【答案】 ．
【解答】解：根据题意，圆 ，其圆心 ，半径 ，
圆 ，即 ，必有 ，其圆心 ，半径
，
若两圆外切，则有 ，即 ，解可得 ，
此时圆 的方程为： ，圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
则直线 被圆 所截的弦长 ．
故答案为： ．
2．直线 被圆 截得的弦长的最小值为 ．
【答案】 ．【解答】解：直线 恒过定点 ，
而圆 的圆心为 ，半径 为2，
可得 在圆 内，经过点 与线段 垂直的弦的长度最短，
此时弦长为 ．
故答案为： ．
3．已知过点 的直线与圆 相交于 ， 两点，若 ，则直线的方程为
或 ．
【答案】 或 ．
【解答】解：圆 的圆心 ，半径为 ，
直线与圆 相交于 ， 两点， ，
可得圆心到直线的距离为： ，
当直线的斜率不存在时，直线方程为 ；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为 ，直线方程为： ，
圆心到直线的距离为2，可得 ，解得 ，
所求直线方程为： ．
故答案为： 或 ．
4．已知过点 的直线（不过原点）与圆 相切，且在 轴、 轴上的截距相等，则
的值为 1 8 ．
【答案】18．【解答】解：过点 的直线（不过原点）在 轴、 轴上的截距相等，
可设直线为 ，可得 ，即直线方程为 ，
而圆 的圆心为 ，半径为 ，
由直线和圆相切，可得 ，
解得 ．
故答案为：18．
5．设圆 上有且仅有两个点到直线 的距离等于 ，则圆半径 的
取值范围是 ．
【答案】 ．
【解答】解：圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离 ，
因为圆上恰有相异两点到直线 的距离等于 ，
所以 ，
即 ，所以 ．
故答案为： ．
6．已知直线 与 交于 ， 两点，写出满足“ 面积为 ”的实数 的
一个值 ， ， 任意一个也对） （写出其中一个即可）
【答案】 ， ， 任意一个也对）．【解答】解：设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
由 ，解得： 或 ．
若 ，则 或 ；
若 ，则 或 ．
故答案为： ， ， 任意一个也对）．
7．已知圆心在直线 上的圆 与 轴的负半轴相切，且 截 轴所得的弦长为 ，则圆 的方
程为 ．
【解答】解：因为圆心在直线 上，所以设圆心坐标为 ，
因为圆 与 轴的负半轴相切，所以 ，且圆的半径为 ，
所以圆的标准方程可设为： ，因为圆 截 轴所得的弦长为 ，
所以令 ，得 ，
且有 ，
所以圆 的方程为： ．
故答案为： ．
8．已知圆 ，直线 ，当直线 被圆： 截得弦长取
得最小值时，直线 的方程为 ．
【答案】 ．【解答】解：由直线 ，
得 ，
令 ，解得 ，
即直线 过定点 ，
由圆 得圆心 ，半径 ，
，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
故答案为： ．
9．圆 与圆 的公共弦的长为 ．
【解答】解：圆 与圆 的方程相减得： ，
由圆 的圆心 ，半径 为2，
且圆心 到直线 的距离 ，
则公共弦长为 ．
故答案为： ．
10．若直线 被圆 截得线段的长为6，则实数 的值为 2 4 ．
【答案】24．
【解答】解：圆 的标准方程为 ，
所以圆心 ，半径 ，圆心到直线 的距离为 ，
因为 被被圆 截得线段的长为6，
根据勾股定理可得 ，即 ，解得 ．
故答案为：24．
11．若过点 的直线 和圆 交于 ， 两点，若弦长 ，则直线 的方
程为 或 ．
【答案】 或 ．
【解答】解：由圆 ，得 ，
圆心 ，半径 ，
设圆心 到直线 的距离为 ，
弦长 ， ，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，圆心到直线 的距离为1，符合题意，
当直线 的斜率存在时，直线 的方程为 ，即 ，
圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，
综上所述：直 的方程为 或 ．
12． 点是圆 上一点，则 到直线 距离的最大值是 ．
【答案】 ．【解答】解： 圆 ，
圆心 为 ，半径 ，
又直线 ，
即 ，
直线 过定点 ，
当过点 的直线 与 垂直时，满足圆 上的点 到直线 的距离最大，
且最大值为 ．
故答案为： ．
13．直线 与圆 交于 ， 两点，若 为等边三角形，则 的值
为 ．
【答案】 ．
【解答】解：由题知圆心为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
为等边三角形， ， ，
，解得 ．
故答案为： ．
14．过三点 ， ， 的圆交 轴于 ， 两点，则 ．【答案】 ．
【解答】解：依题意作图如下：
显然 轴，点 ， 的中点坐标为 ， 的垂直平分线方程为 ，
点 ， 的中点为 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为1，
直线 的垂直平分线方程为 ，
联立方程 ，解得 ，
所以圆心坐标为 ，半径 ，
所以圆的标准方程为 ，
令 ，解得与 轴交于 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
15．经过点 ， ， 的圆的方程为 ．
【解答】解：设 ， ， ，
则线段 的垂直平分线方程为 ，的中点坐标为 ， ，
则线段 的垂直平分线方程为 ，即 ．
联立 ，解得 ，即所求圆的圆心坐标为 ，
半径为 ．
则所求圆的方程为 ．
故答案为： ．
题型二 概率问题
13．（5分）（2023•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这
三个盒子中黑球占总数的比例分别为 ， ， ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都
是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
【答案】 ； ．
【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可求解；根据古典概型概率公式即可求解．
【解答】解：设盒子中共有球 个，
则甲盒子中有黑球 个，白球 个，
乙盒子中有黑球 个，白球 个，
丙盒子中有黑球 个，白球 个，
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；
将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率 ．
故答案为： ； ．13．（5分）（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到 的概率为
；已知第一次抽到的是 ，则第二次抽取 的概率为 ．
【答案】 ； ．
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到 的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽
到 的条件下，第二次抽到 的概率．
【解答】解：由题意，设第一次抽到 的事件为 ，第二次抽到 的事件为 ，
则 ， （B） ，
，
故答案为： ； ．
1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发
生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
2．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的
概率．
3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．
思维升华 求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝.
(2)样本点法：P(B|A)＝.
(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
1．已知某地区烟民的肺癌发病率为 ，先用低剂量药物 进行肺癌 查，检查结果分阳性和阴性，阳性
被认为是患病，阴性被认为是无病．医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为 ，即患
有肺癌的人其化验结果 呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果 呈阴性．则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为 0.019 8 ；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为 ．
【答案】0.0198； ．
【解答】解：某地区烟民的肺癌发病率为 ，没有患肺癌的人其化验结果 呈阴性．
则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为 ；
设事件 表示某地区烟民患肺癌，则 （A） ， ，
设事件 表示检查结果为阳性， ， ，
某烟民的检验结果为阳性的概率为：
（B） （A） ，
现某烟民的检验结果为阳性，他患肺癌的概率为：
．
故答案为：0.0198； ．
2．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒
子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随
机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到 2
号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 ，第二次抽到3号球的概率为 ．
【答案】 ； ．
【解答】解：在第一次抽到2号球的条件下，
则2号盒子内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球，
故第二次抽到1号球的概率为 ，
在第一次抽到2号球的条件下，
则2号盒子内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球，
在第一次抽到1号球的条件下，
则1号盒子内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球，
在第一次抽到3号球的条件下，则3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，一个3号球，
故第二次抽到3号球的概率为： ．
故答案为： ； ．
3．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织
“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2
道才能通过初试．已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数 的数学期望为
；党员甲能通过初试的概率为 ．
【答案】 ， ．
【解答】解：由题意可得 ，1，2，3．
， ， ， ，
可得 的分布列为：
0 1 2 3
期望 ．
党员甲能通过初试的概率为 ．
故答案为： ， ．
4．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一
次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功．已知甲选手每次能举起该重量的概率是 ，且每次试举相互
独立，互不影响．设甲试举的次数为随机变量 ，则 的数学期望 ；已知甲选手挑战成功，
则甲是第二次举起该重量的概率是 ．
【答案】 ； ．【解答】解：由题意可得 ，2，3，
， ， ，
．
若甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 ．
故答案为： ； ．
5．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占 ，乙厂产品占 ，甲厂产品的合格率为 ，乙厂产品
的合格率为 ，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为 0.25 5 ；若在该市
场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 ．
【答案】0.255；0.83．
【解答】解：在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为： ，
在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为： ．
故答案为：0.255；0.83．
6．设某学校有甲、乙两个校区和 、 两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为0.7和
0.3；在某次调查中发现住在甲校区的学生在 食堂吃饭的概率为0.7，而往在乙校区的学生在 食堂吃饭
的概率为0.5，则任意调查一位同学是在 食堂吃饭的概率为 ．如果该同学在 食堂吃饭，则他
是住在甲校区的概率为 （结果请用分数表示，如“ ”
【答案】 ； ．
【解答】解：记 为事件“该同学住在甲校区”， 为事件“该同学在 食堂吃饭”，
则 （A） ， ， ， ，
故 （B） （A） ，
如果该同学在 食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率故答案为： ； ．
7．下列说法中正确的有 ②③ （填正确说法的序号）．
①回归直线 恒过点 ，且至少过一个样本点；
②若样本数据 ， ， ， 的方差为4，则数据 ， ， ， 的标准差为4；
③已知随机变量 ，且 ，则 ；
④若线性相关系数 越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
⑤ 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当 的值很小时可以推断两个变量不相关．
【答案】②③．
【解答】解：因为回归直线可以不过样本点，所以①错误；
由于 ，所以数据 ， ， ， 的方差为16，故标准差为4，因此②正
确；
根据正态分布的概念， ，故 ，即 ，故 ，因此
③正确；
根据相关系数的概念，若线性相关系数 越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故④错误；
的值很小时只能说明两个变量的相关性不强，故⑤错误．
故答案为：②③．
8．某射击小组共有10名射手，其中一级射手2人，二级射手3人，三级射手5人，现选出2人参赛，已
知至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率为 若一、二、三级射手获胜概率分别是
0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为 ．
【答案】 ；0.64．
【解答】解：根据题意，某射击小组共有10名射手，其中一级射手2人，二级射手3人，三级射手5人，现选出2人参赛，若至少有一人是一级射手，有 种情况，
当另一人是三级射手的选法有 种，
则已知至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率 ，
若一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，
则任选一名射手能够获胜的概率 ．
故答案为： ；0.64．
9．盒子里装有大小相同的4个白球和3个黑球．甲先从盒中不放回地取2个球，之后乙再从盒中取1个球，
则甲所取的2个球为同色球的概率为 ；记事件 为“甲所取的2个球为同色球”，事件 为“乙
所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件 发生的条件下，事件 发生的概率为 ．
【解答】解：（1）设事件 为“甲所取的2个球为同色球”，
所以 ；
（2） ，
．
故答案为： ； ．
10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是 ，若从中
不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件 ，“第二次取到红球”为事件 ，则
．
【答案】 ； ．
【解答】解：根据题意，从4个红球和2个白球中任取3球，有 种取法，其中恰有1个白球的取法有 种，
其恰有一个白球的概率 ；
事件 ，即第一次取到红球后，有3个红球和2个白球，则 ．
故答案为： ； ．
