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2014 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文科）
一．选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
（1）是虚数单位，复数（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）设变量
满足约束条件
则目标函数
的最小值为（ ）
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
3.已知命题
（ ）
A.
B.
C.
D.
4.设
则（ ）
A.
B.
C.
D.
5.设
是首项为
，公差为
的等差数列，
为其前n 项和，若
成等比
数列，则
=（ ）
A.2 B.-2 C.
D .
6.已知双曲线
的一条渐近线平行于直线
双曲线的一
个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.如图，
是圆的内接三角行，
的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B 的圆的切
线与AD 的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分
；②
；③
；④
.则所有正确结论的序号是（ ）
A.①② B.③④ C.①②③ D. ①②④
8.已知函数
在曲线
与直线
的交点
中，若相邻交点距离的最小值为
，则
的最小正周期为（ ）
A.
B.
C.
D.
二.填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该
校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年
级、四年级的本科生人数之比为
，则应从一年级本科生中抽取 名学生.
10.一个几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的体积为
.
11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为________.
12.函数的单调递减区间是________.
13.
已
知
菱
形
的
边
长
为
，
，
点
，
分
别在边
、
上，
，
.若
，则
的值为________.
（14）已知函数若函数恰有4 个零点，则实数
的取值范围为_______
三．解答题：本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（15）（本小题满分13 分）
某校夏令营有3 名男同学
和3 名女同
学
，
其
年
级
情
况
如
下
表
：
现从这6 名同学中随机选出2 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（1）用表中字母列举出所有可能的结果
（2）设
为事件“选出的2 人
来自不同年级且恰有1 名男同学和1 名女同学”，求事件
发生的概
率.
（16）（本小题满分13 分）
在
中，内角
所对的边分别为
，已知
，
（1）求
的值；
（2）求
的值.
17、（本小题满分13 分）
如图，四棱锥
的底面
是平行四边形，
，
,
分别是棱
的中点.
（1）证明
平面
；
（1）若二面角P-AD-B 为
，
①
证明：平面PBC⊥平面ABCD
①
求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.
18、（本小题满分13 分）
设椭圆
的左、右焦点分别为
,，右顶点为A，上顶点为B.已知
=
.
（1）求椭圆的离心率；
（1）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点
，经过点
的
直线与该圆相切与点M，
=
.求椭圆的方程.
19 （本小题满分14 分）
已知函数
（1）求
的单调区间和极值；
（2）若对于任意的
，都存在
，使得
，求
的取
值范围
20（本小题满分14 分）
已知
和
均为给定的大于1 的自然数，设集合
，集合
，
（1）当
时，用列举法表示集合A；
设
其
中
证明：若
则
.
2014 年天津高考文科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）
一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【2014 年天津卷（文01）】是虚数单位，复数
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【2014 年天津卷（文02）】设变量
、满足约束条件
，则目标函数
的最小值为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．
当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即zmin＝1×1＋2×1＝3.
【2014 年天津卷（文03）】已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p 为（ ）
A．∃x0≤0，使得（x0+1）ex0≤1
B．∃x0＞0，使得（x0+1）ex0≤1
C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1
D．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1
【答案】B
【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为∃x0＞0，使得（x0+1）e
≤1，
【2014 年天津卷（文04）】设a=log2π，b=log
π，c=π﹣2，则（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
【答案】C
【解析】log2π＞1，log
π＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b
【2014 年天津卷（文05）】设{an}的首项为a1，公差为﹣1 的等差数列，Sn为其前n 项和，若S1，
S2，S4成等比数列，则a1=（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
【答案】D
【解析】∵{an}是首项为a1，公差为﹣1 的等差数列，Sn为其前n 项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，
S4=4a1﹣6，
由S1，S2，S4成等比数列，得：
，即
，解得：
【2014 年天津卷（文06）】已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：
y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
【答案】A
【解析】令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，
∵双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，
∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为
﹣
=1
【2014 年天津卷（文07）】如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D，交BC
于E，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD 平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②④
【答案】D
【解析】∵圆周角∠DBC 对应劣弧CD，圆周角∠DAC 对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．
∵弦切角∠FBD 对应劣弧BD，圆周角∠BAD 对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．
∵BD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD 平分∠CBF．即结论①正确．
又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．
由
，FB2=FD•FA．即结论②成立．由
，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立
【2014 年天津卷（文08）】已知函数f（x）=
sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）
与直线y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为
，则f（x）的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π
【答案】C
【解析】 ∵已知函数f（x）=
sinωx+cosωx=2sin（ωx+
）（ω＞0），x∈R，
在曲线y=f（x）与直线y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为
，正好等于f（x）的周期
的倍，
设函数f（x）的最小正周期为T，则
=
，∴T=π
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
【2014 年天津卷（文09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用
分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查.已知该
校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为
，则应从一年级本科生中
抽取____名学生.
【答案】60
【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×＝60
【2014 年天津卷（文10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的体积为
_________
.
【答案】
【解析】 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋
π×22×2＝.
【2014 年天津卷（文11）】阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S 的值为 ．
【答案】-4
【解析】依题由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，
输出﹣4
【2014 年天津卷（文12）】函数f（x）=lgx2的单调递减区间是
．
【答案】（﹣∞，0）
【解析】 方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0 时，f（x）=2lgx 在（0，+∞）上是增函数；
当x＜0 时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．
∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．
方法二：原函数是由
复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；
又y=lgt 在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函
数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）
【2014 年天津卷（文13）】已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E，F 分别在边BC，DC 上，
BC=3BE，DC=λDF、若
•
=1，则λ 的值为 ．
【答案】2
【解析】∵BC=3BE，DC=λDF，∴
=
，
=
，
=
+
=
+
=
+
，
=
+
=
+
=
+
，
∵菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，∴|
|=|
|=2，
•
=2×2×cos120°=﹣2，
∵
•
=1，∴（
+
）•（
+
）=
+
+（1+
）
•
=1，
即×4+
×4﹣2（1+
）=1，整理得
，解得λ=2
【2014 年天津卷（文14）】已知函数f（x）=
，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有
4 个零点，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】（1，2）
【解析】由y=f（x）﹣a|x|=0 得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，
当a≤0，不满足条件，∴a＞0，
当a=2 时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点，
当a=1 时，此时y=a|x|与f（x）有五个 交点，
∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4 个零点，则1＜a＜2
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【2014 年天津卷（文15）】（本小题满分13 分）
某校夏令营有3 名男同学，A、B、C 和3 名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6 名同学中随机选出2 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；
（Ⅱ）设M 为事件“选出的2 人来自不同年级且恰有1 名男同学和1 名女同学”，求事件M 发
生的概率．
解：
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、
（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z）
共计15 个结果．
（Ⅱ）设M 为事件“选出的2 人来自不同年级且恰有1 名男同学和1 名女同学”，
则事件M 包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6 个结果，
故事件M 发生的概率为
=
【2014 年天津卷（文16）】（本小题满分13 分）
在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=
b，sinB=
sinC，
（Ⅰ）求cosA 的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣
）的值．
解：（Ⅰ）将sinB=
sinC，利用正弦定理化简得：b=
c，代入a﹣c=
b，得：a﹣c=c，即
a=2c，
∴cosA=
=
=
；
（Ⅱ）∵cosA=
，A 为三角形内角，∴sinA=
=
，
∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=
，
则cos（2A﹣
）=cos2Acos
+sin2Asin
=﹣×
+
× =
【2014 年天津卷（文17）】（本小题满分13 分）
如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA=BD=
，AD=2，PA=PD=
，E，F 分别是
棱AD，PC 的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B 为60°，
（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；
（ii）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD 是平行四边形，∴H 为BD 中点，
∵E 是棱AD 的中点．∴在△ABD 中，EH∥AB，
又∵AB 平面
⊂
PAB，EH 平面
⊄
PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．
又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF 平面
⊂
EFH，∴EF∥平面PAB；
（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=
，AD=2，PA=PD=
，∴BE=1，PE=2．
又∵E 为AD 的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，
∴∠PEB 即为二面角P﹣AD﹣B 的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=
．
∵△PBD 中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，
∵PB 平面
⊂
PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；
（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=
，AD=2，∴BD⊥BA，
∴BD，BA，BP 两两垂直，
以B 为坐标原点，分别以BD，BA，BP 为X，Y，Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，
则有A（0，
，0），B（0，0，0），C（
，﹣
，0），D（
，0，0），P（0，0，
），
∴
=（
，﹣
，0），
=（0，0，
），
设平面PBC 的法向量为
，∵
，∴
，令x=1，则
y=1，z=0，
故=（1，1，0），∵E，F 分别是棱AD，PC 的中点，∴E（
，
，0），F（
，﹣
，
），
∴
=（0，
，
），∴
=
=
=﹣
，
即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为
【2014 年天津卷（文18）】（本小题满分13 分）
设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=
|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l
与该圆相切于点M，|MF2|=2
，求椭圆的方程．
解：（Ⅰ）依题意可知
=
•2c，∵b2=a2﹣c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e= =
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为
+
=1，B（0，c），F1（﹣c，0）
设P 点坐标（
csinθ，ccosθ），圆心为O∵PB 为直径，∴BF1⊥PF1，
∴k•BF1kPF1= •
=﹣1，求得sinθ=﹣
或0（舍去），
由椭圆对称性可知，P 在x 轴下方和上方结果相同，只看在x 轴上方时，
cosθ=
= ∴P 坐标为（﹣c，c），∴圆心坐标为（﹣c，c），
∴r=|OB|=
=
c，|OF2|=
=
c，
∵r2+|MF2|2=|OF2|2，∴
+8=
c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为
+
=1
【2014 年天津卷（文19）】（本小题满分14 分）
已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a 的取值范
围．
解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），
∵a＞0，∴当x＜0 或x
时，f′（x）＜0，当
时，f′（x）＞0，
f（x）单调递减区间为：（﹣∞，0）和
，单调递增区间为
，
当x=0 时，有极小值f（0）=0，当x= 时，有极大值f（）=
；
（Ⅱ）由f（0）=f（
）=0 及（Ⅰ）知，当x∈（0，
）时，f（x）＞0；当x∈（
，+∞）时，f（x）＜
0．
设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={
|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的
x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅
下面分三种情况讨论：
（1）当
＞2，即0＜a＜时，由f（
）=0 可知，0∈A，而0∈B，∴A 不是B 的子集；
（2）当1≤
≤2，即
时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f
（2）），∴A
（﹣∞，
⊆
0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，
∴A⊆B；
（3）当
＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（
，0），
A=（﹣∞，
f（2）），∴A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[
]
【2014 年天津卷（文20）】（本小题满分14 分）
已知q 和n 均为给定的大于1 的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|
x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．
（Ⅰ）当q=2，n=3 时，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：
若an＜bn，则s＜t．
（Ⅰ）解：当q=2，n=3 时，M={0，1}，A={x|
，xi∈M，i=1，2，3}．
可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．
（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，
n．an＜bn，
∴an﹣bn≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+
+
≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]
=
＜0．
∴s＜t
