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绝密★启用前
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题(本大题满分56 分)本大题共有14 题，考生必须在答题纸相应编号的
空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分．
1． 函数
的最小正周期是 .
2. 若复数z=1+2i，其中i 是虚数单位，则
=___________.
3. 若抛物线y2=2px 的焦点与椭圆
的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
___________.
4. 设
若
，则
的取值范围为_____________.
5. 若实数x,y 满足xy=1,则
+
的最小值为______________.
6. 若圆锥的侧面积是底面积的3 倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数
值表示）.
7. 已知曲线C 的极坐标方程为
，则C 与极轴的交点到极点的距离是
.
8. 设无穷等比数列{
}的公比为q，若
，则q= .
9. 若
，则满足
的
取值范围是 .
10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急疏散演练，则选
择的3 天恰好为连续3 天的概率 是 （结构用最简分数表示）.
11. 已知互异的复数a,b 满足ab≠0，集合{a,b}={
,
},则
= .
12. 设常数a 使方程
在闭区间[0,2
]上恰有三个解
，则
.
13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量
表示小白玩游戏的得分.若
=4.2，则小白得5
分的概率至少为 .
14. 已知曲线C：
，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C 上的点P 和l 上的点
Q 使得
，则m 的取值范围为 .
二、选择题：本大题共4 个小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
15. 设
,则“
”是“
”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
16. 如图，四个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，
是上底
面上其余的八个点，则
的不同值的个数为（ ）
（A）1 (B)2 (C)4 (D)8
17. 已知
与
是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的
方程组
的解的情况是（ ）
（A）无论k，
如何，总是无解 （B)无论k，
如何，总有唯一解
（C）存在k，
，使之恰有两解 （D）存在k，
，使之有无穷多解
18.
若
是
的最小值，则
的取值范围为（ ）.
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)
三．解答题（本大题共5 题，满分74 分）
19、（本题满分12 分）
底面边长为2 的正三棱锥
,其表面学科网展开图是三角形
，如图，求△
的各边长及此三棱锥的体积
.
zxxk
20.（本题满分14 分）本题有2 个小题，第一小题满分6 分，第二小题满分1 分。
设常数
，函数
（1）若
=4，求函数
的反函数
；
（2）根据
的不同取值，讨论函数
的奇偶性，并说明理由.
21.（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
如图，某公司要在
两地连线上的定点
处建造广告牌
，其中
为顶端，
长35 米，
长80 米，设
在同一水平面上，从
和
看
的仰角分别为
.
（1）设计中
是铅垂方向，若要求zxxk
，问
的长至多为多少（结果精确
到0.01 米）？
（2）施工完成后.
与铅垂方向有偏差，现在学科网实测得
求
的长（结果精确到0.01 米）？
22（本题满分16 分）本题共3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满分8
分.
在平面直角坐标系
中，对于直线：
和点
记
若
<0，则称点
被直线分隔。若曲线C 与直线
没有公共点，且曲线C 上存在点
被直线分隔，则称直线为曲线C 的一条分隔线.
⑴ 求证：点
被直线
分隔；
⑵若直线
是曲线
的分隔线，求实数
的取值范围；
⑶动点M 到点
的距离与到
轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E，求证：通过原
点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.
23.（本题满分18 分）本题共3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分
9 分.
已知数列
满足
.
（1）若
，求
的取值范围；
（2）若
是
公
比
为
等
比
数
列
，
，
zxxk
求
的取值范围；
（3）若
成等差数列，且
，学科网求正整数
的最大
值，以及
取最大值时相应数列
的公差.
上海数学（理）参考答案
一、
1.
2. 6 3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.-1 12.
13.
14.
二、
15.B 16.A 17.B 18.D
19.解：∵由题得，三棱锥
是正三棱锥
∴侧棱与底边所成角相同且底面
是边长为2 的正三角形
∴由题得，
，
又∵
三点恰好在
构成的
的三条边上
∴
∴
∴
，三棱锥
是边长为2 的正四面体
∴如右图所示作图，设顶点
在底面
内的投影为
，连接
，并延长交
于
∴
为
中点，
为
的重心，
底面
∴
，
，
20.解：（1）由题得，
∴
，
（2）∵
且
∴①当
时，
，
∴对任意的
都有
，∴
为偶函数
②当
时，
，
，
∴对任意的
且
都有
，∴
为奇函数
③当
且
时，定义域为
，
∴定义域不关于原定对称，∴
为非奇非偶函数
21.解：（1）由题得，∵
，且
，
即
，解得，
，∴
米
（2）由题得，
，
∵
，∴
米
∵
，∴
米
22.证明：（1）由题得，
，∴
被直线
分隔。
解：（2）由题得，直线
与曲线
无交点
即
无解
∴
或
，∴
证明：（理科）（3）由题得，设
，∴
，
化简得，点
的轨迹方程为
。
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为
。
联立方程，
。
令
，
，显然
是开口朝上的二次函数
∴由二次函数与幂函数的图像可得，
必定有解，不符合题意，舍去
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为
。
显然
与曲线
没有交点，在曲线
上找两点
。
∴
，符合题意
综上所述，仅存在一条直线
是
的分割线。
证明：（文科）（3）由题得，设
，∴
，
化简得，点
的轨迹方程为
。
显然
与曲线
没有交点，在曲线
上找两点
。
∴
，符合题意。∴
是
的分割线。
23.解：（1）由题得，
（理科）（2）由题得，∵
，且数列
是等比数列，
，
∴
，∴
，∴
。
又∵
，∴当
时，
对
恒成立，满足题意。
当
时，
∴①当
时，
，由单调性可得，
，解得，
②当
时，
，由单调性可得，
，解得，
（理科）（3）由题得，∵
，且数列
成等差数列，
，
∴
，∴
，∴
又∵
，∴
∴
，∴
，解得，
，
∴
的最大值为1999，此时公差为
2014 年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷(理工农医类)
考生注意：
1. 本试卷共4 页，23 道试题，满分150 分. 考试时间120 分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非
选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后
的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，
每个空格填对得4 分，否则一律得零分.
1. （2014）函数
的最小正周期是 .
【解析】：原式＝
，
2. （2014）若复数
，其中是虚数单位，则
.
【解析】：原式＝
3. （2014）若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则该抛物线的准线
方程为 .
【解析】：椭圆右焦点为
，即抛物线焦点，所以准线方程
4. （2014）设
若
，则
的取值范围为 .
【解析】：根据题意，
，∴
5. （2014）若实数
满足
，则
的最小值为 .
【解析】：
6. （2014）若圆锥的侧面积是底面积的
倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结
果用反三角函数值表示）.
【解析】：设圆锥母线长为
，底面圆半径为
，∵
，∴
，即
，
∴
，即母线与底面夹角大小为
7. （2014）已知曲线
的极坐标方程为
，则
与极轴的交点到极点的
距离是 .
【解析】：曲线
的直角坐标方程为
，与
轴的交点为
，到原点距离为
8. （2014）设无穷等比数列
的公比为
，若
，则
.
【解析】：
，∵
，∴
9. （2014）若
，则满足
的
的取值范围是 .
【解析】：
，结合幂函数图像，如下图，可得
的取值范围是
10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续
天中随机选择
天进行紧急疏散演练，
则 选择的
天恰好为连续
天的概率是 （结果用最简分数表示）.
【解析】：
11. （2014）已知互异的复数
满足
，集合
，则
.
【解析】：第一种情况：
，∵
，∴
，与已知条件矛盾，不符；
第二种情况：
，∴
，∴
，即
；
12. （2014）设常数
使方程
在闭区间
上恰有三个解
，
则
.
【解析】：化简得
，根据下图，当且仅当
时，恰有三个交点，
即
13. （2014）某游戏的得分为
，随机变量
表示小白玩该游戏的得分. 若
P
2
P
5
P 6
P
7
P
8
P
4
P
3
P 1
B
A
，则小白得
分的概率至少为 .
【解析】：设得分的概率为
，∴
，
且
，∴
，与前式相减得：
，∵
，∴
，即
14. （2014）已知曲线
，直线
. 若对于点
，存在
上的点
和 上的
使得
，则
的取值范围为 .
【解析】：根据题意，
是
中点，即
，∵
，∴
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相
应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.
15. （2014）设
，则“
”是“
且
”的
（ ）
(A) 充分条件.
(B) 必要条件.
(C) 充分必要条件.
(D) 既非充分又非必要条件.
【解析】：B
16. （2014）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱
柱，
是一条侧棱，
是上底面上
其余的八个点，则
的不同
值的个数为 （ ）
(A) .
(B)
.
(C)
.
(D)
.
【解析】：根据向量数量积的几何意义，
等于
乘以
在
方向上的投影，而
在
方向上的投影是定值，
也是定值，∴
为定值，∴选A
17. （2014）已知
与
是直线
（
为常数）上两个不同的点，则关
于
和
的方程组
的解的情况是
（ ）
(A) 无论
如何，总是无解.
(B) 无论
如何，总有唯一解.
(C) 存在
，使之恰有两解.
(D) 存在
，使之有无穷多解.
【解析】：由已知条件
，
，
，∴有唯一解，选B
18. （2014）设
若
是
的最小值，则
的取值范围为（
）
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
【解析】：先分析
的情况，是一个对称轴为
的二次函数，当
时，
，不符合题意，排除AB 选项；当
时，根据图像
，
即
符合题意，排除C 选项；∴选D；
三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
内写出必要的步骤.
19. （2014）(本题满分12 分)
底面边长为
的正三棱锥
，其表面展开图是
三角形
，如图. 求
的各边长及此三棱锥的
体积
.
【解析】：根据题意可得
共线，
∵
，
，
∴
，∴
，同理
，
∴△
是等边三角形，
是正四面体，所以△
边长为4；
∴
20.（2014） (本题满分14 分) 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
设常数
，函数
.
(1) 若
，求函数
的反函数
；
B
A
C
P3
P1
P2
A
C
B
D
(2) 根据
的不同取值，讨论函数
的奇偶性，并说明理由.
【解析】：（1）∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
，
（2）若
为偶函数，则
，∴
，
整理得
，∴
，此时为偶函数
若
为奇函数，则
，∴
，
整理得
，∵
，∴
，此时为奇函数
当
时，此时
既非奇函数也非偶函数
21.（2014） (本题满分14 分) 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
如图，某公司要在
两地连线上的定点
处建造广告牌
，其中
为顶端，
长
米，
长
米. 设点
在同一水平面上，从
和
看
的仰角分别为
和
.
(1) 设计中
是铅垂方向. 若要求
，
问
的长至多为多少（结果精确到
米）？
(2) 施工完成后，
与铅垂方向有偏差．现在实测得
，
，求
的长（结果精确到
米）.
【解析】：（1）设
的长为
米，则
，∵
，
∴
，∴
，∴
，
解得
，∴
的长至多为
米
（2）设
，
，
则
，解得
，
∴
，∴
的长为
米
22. （2014）(本题满分16 分) 本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分5 分，第3
小题满分8 分.
在平面直角坐标系
中，对于直线
和点
，记
. 若
，则称点
被直线分割. 若曲线
与直线
没有公共点，且曲线
上存在点
被直线分割，则称直线为曲线
的一条分割线.
(1) 求证：点
被直线
分割；
(2) 若直线
是曲线
的分割线，求实数
的取值范围；
(3) 动点
到点
的距离与到
轴的距离之积为，设点
的轨迹为曲线
. 求证：
通过原点的直线中，有且仅有一条直线是
的分割线.
【解析】：（1）将
分别代入
，得
∴点
被直线
分割
（2）联立
，得
，依题意，方程无解，
∴
，∴
或
（3）设
，则
，
∴曲线
的方程为
①
当斜率不存在时，直线
，显然与方程①联立无解，
又
为
上两点，且代入
，有
，
∴
是一条分割线；
当斜率存在时，设直线为
，代入方程得：
，
令
，则
，
，
，
当
时，
，∴
，即
在
之间存在实根，
∴
与曲线
有公共点
当
时，
，即
在
之间存在实根，
∴
与曲线
有公共点
∴直线
与曲线
始终有公共点，∴不是分割线，
综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线
是
的分割线
23. （2014）(本题满分18 分) 本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分7 分，第3
小题满分8 分.
已知数列
满足
，
，
.
(1) 若
，求
的取值范围；
(2) 设
是公比为
的等比数列，
. 若
，
，
求
的取值范围；
(3) 若
成等差数列，且
，求正整数
的最大值，以及
取最大值时相应数列
的公差.
【解析】：（1）依题意，
，∴
，又
，∴
，
综上可得
；
（2）由已知得
，又
，∴
当
时，
，
，即
，成立
当
时，
，
，即
，
∴
，此不等式即
，∵
，
∴
，
对于不等式
，令
，得
，解得
，
又当
时，
，
∴
成立，
∴
当
时，
，
，即
，
即
，
∵
∴
时，不等式恒成立
综上，
的取值范围为
（3）设公差为
，显然，当
时，是一组符合题意的解，
∴
，则由已知得
，
∴
，当
时，不等式即
，
∴
，
，
∴
时，
，
解得
，∴
，
∴
的最大值为
，此时公差
