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2012 年高考重庆理科数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个备选
项中，只有一项是符合题目要求的
（1）在等差数列
中，
，则
的前5 项和
（A）7 （B）15 （C）20 （D）25
（2）不等式
的解集为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）对任意的实数
，直线
与圆
的位置关系一定是
（A）相离 （B）相切
（C）相交但直线不过圆心 （D）相交且直线过圆心
（4）
的展开式中常数项为
（A）
（B）
（C）
（D）105
（5）设
是方程
的两根，则
的值
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
（6）设
向量
，且
，则
（A）
（B）
（C）
（D）10
（7）已知
是定义在R 上的偶函数，且以2 为周期，则“
为[0,1]上的增函
数”是“
为[3，4]上的减函数”的
1 / 20
（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件
（8）设函数
在R 上可导，其导函数为
，且函数
的图像如
题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数
有极大值
和极小值
（B）函数
有极大值
和极小值
（C）函数
有极大值
和极小值
（D）函数
有极大值
和极小值
（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，
和
，且长为
的棱与长为
的
棱异面，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）设平面点集
，则
所表示的
平面图形的面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分，把答案填写在答题卡相应位
置上
2 / 20
（11 ）若
，其中
为虚数单位，则
.
（12）
.
（13）设
的内角
的对边分别为
，且
则
.
（14 ）过抛物线
的焦点
作直线交抛物线于
两点，若
则
= .
（15）某艺校在一天的6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门
艺术课个1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1 节艺术课的概率为
（用数字作答）.
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
16．（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问6 分，（Ⅱ）小问7 分）
设函数
，其中在
，曲线
在点
处的
切线垂直于
轴（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数
极值．
17．（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问7 分，（Ⅱ）小问6 分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜
或每人都已投球3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为
，乙每次投篮投
中的概率为
，且各次投篮互不影响.（Ⅰ） 求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时
甲的投篮次数
的分布列与期望.
3 / 20
18．（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问8 分，（Ⅱ）小问5 分）设
其中
（Ⅰ）求函数
的值域；（Ⅱ）
若
在
上为增函数，求
的最大值
19．（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问4 分，（Ⅱ）小问8 分）
已知直三棱柱
中，
，
，为
的中点。（Ⅰ）求
点C 到平面
的距离;（Ⅱ）若
，求二面角
的平面角的余弦值。
（20）（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问5 分，（Ⅱ）小问7 分）
已知椭圆的中心为原点
，长轴在
轴上，上顶点为
，左、右焦点分别为
，线段
的中点分别为
，且△
是面积为4 的直角三角形。
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过
作直线交椭圆于
，
，求直线的方程
21．（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问5 分，（Ⅱ）小问7 分）已知
的前项和
满
足
，其中
（Ⅰ）求证：
首项为1 的等比数列；（Ⅱ）若
4 / 20
，求证：
，并给指出等号成立的充要条件。
5 / 20
试卷解析
试卷总评
2012 年高考重庆卷数学文理科的特点是"稳中有降、梯度合理、试题亲切、背
景公平"。
稳中有降：
1、整份试题继承了去年试题的框架结构，全面考查了《考试大纲》各部分的
内容，函数、三角函数、不等式、数列、圆锥曲线等仍是稳定的主干考点；
2、客观题（选择、填空）的压轴题都较往年降低了难度，连接解答题的难度也
略低于往年，试题面向全体考生，体现了向新课改主干知识平稳过渡。
梯度合理：
整份试题层次分明，问题设置科学、合理，对数学基础、数学水平、数学能力
不同的学生有着较好的区分度，部分试题设计巧妙，能考察学生综合分析以及继
续学习的潜能，不仅有利于优秀学生的发挥，也有利于数学中等生取得满意的成
绩。
试题亲切：全卷试题表述清晰、富有数学美感，考生审题无文字障碍；淡化特
殊技巧，回归常态，运算量适中；试题紧扣教材，对高中主干知识考察的明晰且突
出，经典数学问题的重构与改编所考察的数学思想与方法体现出了命题者的匠心
独用。
背景公平：
全卷无偏、难、怪、繁的试题，体现数学应用意识的一些题目选材自然、具有
生活体验，如学生轮流投篮胜负的探讨、学校课表安排等题目，这些题目对城乡
学生的审题、分析以至于解题过程均体现出公平的认知背景，同时也较好地体现
了新课改中数学文化的渗透。
值得一提的是，命题者注重文理科差异，命题具有针对性。(21 道试题中有9
道是同源题目，其他均采用了不同的试题，考察体现了文理科学生的数学学习能
力差异)
总之，整份试题应该说是一份对如何考查双基内容作出了完美的诠释的试题
不仅是一份有利于高校选拔人才的试卷，更对高中数学课堂教学改革起到了风向
标的引领作用。
6 / 20
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个备选
项中，只有一项是符合题目要求的
（1）在等差数列
中，
，则
的前5 项和
（A）7 （B）15 （C）20 （D）25
【答案】：B
【解析】：
，
【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，解题时要认真审题，
仔细解答．
（2）不等式
的解集为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）对任意的实数
，直线
与圆
的位置关系一定是
（A）相离 （B）相切
（C）相交但直线不过圆心 （D）相交且直线过圆心
7 / 20
（4）
的展开式中常数项为
（A）
（B）
（C）
（D）105
【答案】B
【解析】：
令
解得
展开式中
常数项为
【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项
（5）设
是方程
的两根，则
的值
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
【答案】：A
【解析】：
，则
【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求
值．
（6）设
向量
，且
，则
（A）
（B）
（C）
（D）10
8 / 20
（7）已知
是定义在R 上的偶函数，且以2 为周期，则“
为[0,1]上的增函
数”是“
为[3，4]上的减函数”的
（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件
【答案】：D
【解析】：由
是定义在R 上的偶函数及[0,1]上
的增函数可知在[-1,0] 减函数，又2 为周期，所以
[3，4]上的减函数
【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性，进而来
考查函数的周期性．根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的
关键．
（8）设函数
在R 上可导，其导函数为
，且函数
的图像如
题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数
有极大值
和极小值
（B）函数
有极大值
和极小值
（C）函数
有极大值
和极小值
9 / 20
（D）函数
有极大值
和极小值
（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，
和
，且长为
的棱与长为
的棱异面，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】：A
【解析】：
，
，
，
【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是
中档题．
（10）设平面点集
，则
所表示的平面图形的面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】：D
10 / 20
【解析】：由对称性：
2
2
1
,
,(
1)
(
1)
1
y
x y
x
y
x
围成的面积与
2
2
1
,
,(
1)
(
1)
1
y
x y
x
y
x
围成的面积相等得：A
B
所表示的平面图形的面
积为
2
2
,(
1)
(
1)
1
y
x x
y
围成的面积即
2
1
2
2
R
【考点定位】本题考查极限的求法和应用，因
都没有极限，可先分母有
理化再求极限；
（13）设
的内角
的对边分别为
，且
则
11 / 20
【答案】：
【解析】：由
得
由正弦定理
得
由余弦定理
得
则
【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值本题的突破点，然后
利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数
值．
（14）过抛物线
的焦点
作直线交抛物线于
两点，若
则
= 。
（15）某艺校在一天的6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门
艺术课个1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1 节艺术课的概率为
（用数字作答）.
【答案】：
12 / 20
【解析】：语文、数学、外语三门文化课间隔1 节艺术课排列有
种排法，语文、
数学、外语三门文化课相邻有
种排法，语文、数学、外语三门文化课两门相
邻有
种排法，故所有的排法种数有
+
，在课表上的
相邻两节文化课之间最多间隔1 节艺术课的概率为
【考点定位】本题在计数时根据具体情况选用了插空法，做题时要注意体会这些
方法的原理及其实际意义．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
16．（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问6 分，（Ⅱ）小问7 分）
设函数
，其中在
，曲线
在点
处的
切线垂直于
轴（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数
极值．
13 / 20
17．（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问7 分，（Ⅱ）小问6 分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜
或每人都已投球3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为
，乙每次投篮投
中的概率为
，且各次投篮互不影响（Ⅰ） 求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时
甲的投篮次数
的分布列与期望
【答案】：（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】：设
分别表示甲、乙在第k 次投篮中，则
（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同
时发生的概率计算公式知
14 / 20
（Ⅱ）
的所有可能值为1，2，3。
由独立性知
综上知，
有分布列
1 2 3
P
从而，
（次）
【考点定位】本题考查离散型随机变量的分布列和期望即相互独立事件的概率，
考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率
互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．
18．（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问8 分，（Ⅱ）小问5 分）设
其中
（Ⅰ）求函数
的值域；（Ⅱ）
若
在
上为增函数，求
的最大值
【答案】：（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】：：（Ⅰ）
15 / 20
因
，所以函数
的值域为
（Ⅱ）因
在每个闭区间
（
）上为增函数，故
（
） 在每个闭区间
（
）上为增
函数
19．（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问4 分，（Ⅱ）小问8 分）
已知直三棱柱
中，
，
，
为
的中点。（Ⅰ）求
点C 到平面
的距离;（Ⅱ）若
，求二面角
的平面角的余弦值。
【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】：（Ⅰ）因
，D 为AB 的中点，得
。又
故
面
所以
到平面
的距离为
16 / 20
（Ⅱ）：如答（19）图1，取
为
的中点，连接
，则
又由（Ⅰ）
知
面
故
，
故
为所求的二面角
的平面角。
因
是
在面
上的射影，又已知
由三垂线定理的逆定理
得
从而
，
都与
互余，因此
，所以
≌
，因此
，
得
从而
所以在
中，
（20）（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问5 分，（Ⅱ）小问7 分）
已知椭圆的中心为原点
，长轴在
轴上，上
顶点为
，左、右焦点分别为
，线段
的中点分别为
，且△
是
面积为4 的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心
率和标准方程；
17 / 20
（Ⅱ）过
作直线交椭圆于
，
，求直线的方程
【答案】：（Ⅰ）
+
=1（Ⅱ）
和
【解析】：：（Ⅰ）如答（20）图，设所求椭圆的标准方程为
+
=1（
），
右焦点为
因
是直角三角形且
，故
为直角，
从而
，即
，结合
得
。故
，
所以离心率
，在
中，
故
由题设条件
得
，从而
因
此所求 椭圆的的标准方程为：
+
=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，由题意，直线
的倾斜角不为0，故可设直线
18 / 20
21．（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问5 分，（Ⅱ）小问7 分）已知
的前项和
满
足
，其中
（Ⅰ）求证：
首项为1 的等比数列；（Ⅱ）若
，求证：
，并给指出等号成立的充要条件。
【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）当且仅当
或
时等号成立
【解析】：（Ⅰ）由
，即
，
因
，故
，得
又由题设条件知
，
两式相减得
，即
由
，知
19 / 20
因此
综上
对所有
成立，从而
是首项为1，公比为
的
等比数列。
（Ⅱ）当
时，显然
，等号成立
设
且
，由（Ⅰ）知
，
所以要证的不等式化为
即证：
，当
时，上面不等式的等号成
立
当
时，
与
同为负；当
时
与
同为正，因此当
且
时，
总有
，即
上面不等式对从1 到
求各得
由此得
综上，当
且
时，有
，当且仅当
或
时等
号成立。
20 / 20
