文档文本内容
D
C
A
E
B
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（理工类）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
在
次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率 其中
表示球的半径
第一部分 （选择题 共60 分）
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、
的展开式中
的系数是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、复数
（ ）
A、 B、
C、 D、
3、函数
在
处的极限是（ ）
A、不存在 B、等于
C、等于
D、等于
4、如图，正方形
的边长为，延长
至
，使
，连接
、
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
5、函数
的图象可能是（ ）
A B C D
6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设
、
都是非零向量，下列四个条件中，使
成立的充分条件是（ ）
A、
B、
C、
D、
且
8、已知抛物线关于
轴对称，它的顶点在坐标原点
，并且经过点
。若点
到该抛物线焦点
的距离为
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1 桶需耗
原料1 千克、
原料2 千克；生产乙产
品1 桶需耗
原料2 千克，
原料1 千克。每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400
元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗
、原料都不超过12 千克。通过合理安排生
产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元
10、如图，半径为
的半球
的底面圆
在平面
内，过点
作平面
的垂线交半球面于点
，过圆
的直径
作
平面
成
角的平面与半球面相交，所得交线上到平面
的距离最大的点为
，该交线上的一点
满足
，则
、
两点间的球面距离为（ ）
A、
B、
C、
D、
11、方程
中的
，且
互不相同，在所有这些方程所表示的曲
线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60 条 B、62 条 C、71 条 D、80 条
12、设函数
，
是公差为
的等差数列，
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
第二部分 （非选择题 共90 分）
注意事项：
（1）必须使用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，
确认后再用0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10 个小题，共90 分。
二、填空题（本大题共4 个小题，每小题4 分，共16 分。把答案填在答题纸的相应位置上。）
13、设全集
，集合
，
，则
___________。
14、如图，在正方体
中，
、
分别是
、
的中点，
则异面直线
与
所成角的大小是____________。
15、椭圆
的左焦点为
，直线
与椭圆相交于点
、
，当
的周长最大时，
的面积是____________。
16、记
为不超过实数
的最大整数，例如，
，
，
。设
为正整数，数列
满足
，
，现有下列命题：
①当
时，数列
的前3 项依次为5,3,2；
②对数列
都存在正整数
，当
时总有
；
③当
时，
；
④对某个正整数
，若
，则
。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6 个小题，共74 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、(本小题满分12 分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）
和
，系统
和
在任意时刻发生故
障的概率分别为
和
。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
，求
的值；
（Ⅱ）设系统
在3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量
，求
的概率分布列及数学期
望
。
18、(本小题满分12 分)
函数
在一个周期内的图象如图所示，
为图象的最高
点，
、
为图象与
轴的交点，且
为正三角形。
（Ⅰ）求
的值及函数
的值域；
N
M
B1
A1
C1
D1
B
D
C
A
（Ⅱ）若
，且
，求
的值。
19、(本小题满分12 分)
如图，在三棱锥
中，
，
，
，平面
平面
。
（Ⅰ）求直线
与平面
所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角
的大小。
20、(本小题满分12 分) 已知数列
的前
项和为
，且
对一切正整数
都成立。
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）设
，数列
的前
项和为
，当
为何值时，
最大？并求出
的最大值。
21、(本小题满分12 分)
如图，动点
到两定点
、
构成
，且
，设动点
的轨迹
为
。
（Ⅰ）求轨迹
的方程；
（Ⅱ）设直线
与
轴交于点
，与轨迹
相交于点
，
且
，求
的取值范围。
22、(本小题满分14 分)
已知
为正实数，为自然数，抛物线
与
轴正半轴相交于点
，设
为该抛物
线在点
处的切线在
轴上的截距。
（Ⅰ）用
和
表示
；
（Ⅱ）求对所有
都有
成立的
的最小值；
（Ⅲ）当
时，比较
与
的大小，并说明理由。
A
B
C
P
y
x
B
A
O
M
参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5 分，满分60 分。
1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. C
7. C 8. B 9. C 10. A 11. B 12. D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4 分，满分16 分。
13.
14.
15. 3
16. ①③④
三、解答题
17. 本小题主要考查相互独立事件、独立重复实验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及
相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。
解：（I）设“至少有一个系统不发生故障”为事件
，那么
解得
…………………………………………………………………………4 分
（II）由题意，
所以，随机变量
的概率分布列为
故随机变量
的数学期望：
…………………………..12 分
18．本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公
0
1
2
3
式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想。
解：（I）由已知可得，
又正三角形
的高为
，从而
所以函数
的周期
，即
函数
的值域为
………………………………………………..6 分
（II）因为
，由（I）有
，即
由
，知
所以
故
……………………………………………………………………………………12 分
19. 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能
力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力。
解法一：
（I）设
的中点为
，
的中点为
，连接
，
由已知，
为等边三角形，
所以
又平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
所以
为直线
与平面
所成的角
不妨设
，则
在
中，
所以，在
中，
故直线
与平面
所成的角的大小为
………………………….6 分
（II）过
作
于
，连接
由已知可得，
平面
根据三垂线定理知，
所以
为二面角
的平面角
由（I）知，
在
中，
故二面角
的大小为
…………………………………………12 分
解法二：
（I）设AB 的中点为D，作
于点
，连结CD
因为平面
平面
，平面
平面
=
，
所以
平面
所以
由
，知
设E 为AC 中点，则
，从而
如图，以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系
，不妨设
，由已知可得，
所以
所以
，而
为平面
的一个法向量
设
为直线
与平面
所成的角，
则
故直线
与平面
所成的角的大小为
…………………………….6 分
（II）由（I）有，
设平面
的一个法向量为
，则
从而
取
，则
，所以
设二面角
的平面角为
，易知
为锐角
而面
的一个法向量为
，则
故二面角
的大小为
………………………………………….12 分
20. 本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础只是，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决
问题的能力，考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想
解：
（I）取
，得
①
取
，得
②
由②
①，得
③
（1）若
，由①知
（2）若
，由③知
④
由①、④解得，
；或
综上可得，
；或
；或
……5 分
（II）当
时，由（I）知
当
时，有
，
所以
，即
，
所以
令
，则
所以数列
是单调递减的等差数列（公差为
），从而
当
时，
，
故
时，
取得最大值，且
的最大值为
……………………………………….12 分
21. 本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函数、
分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性。
解：
（I）设M 的坐标为
，显然有
，且
当
时，点
的坐标为
当
时，
，由
，有
，即
化简可得，
而点
在曲线
上
综上可知，轨迹
的方程为
…………………………………5 分
（II）由
消去
，可得
（*）
由题意，方程（*）有两根且均在
内，设
所以
解得，
，且
设
的坐标分别为
，由
有
所以
由
，且
，有
且
所以
的取值范围是
………………………………………..12 分
22. 本小题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决
问题的能力和创新意识，考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法。
解：
（I）由已知得，交点
的坐标为
，对
求导得
，则抛物线在点
处的切
线方程为
，即
，则
……………3 分
（II）由（I）知
，则
成立的充要条件是
即知，
对所有
成立，特别地，取
得到
当
，
时，
当
时，显然
故
时，
对所有自然数
都成立
所以满足条件的
的最小值为
…………………………………………………..8 分
（III）由（I）知
，则
下面证明：
首先证明：当
时，
设函数
则
当
时，
；当
时，
故
在区间
上的最小值
所以，当
时，
，即得
由
知
，因此
，从而
…………………………………………………14 分
