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2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1．（5 分）已知集合M={x|
1
﹣＜x＜3}，N={x|
2
﹣＜x＜1}，则M∩N=（ ）
A．（﹣2，1）
B．（﹣1，1）
C．（1，3）
D．（﹣2，3）
2．（5 分）若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0
B．cosα＞0
C．sin2α＞0
D．cos2α＞0
3．（5 分）设z=
+i，则|z|=（ ）
A．
B．
C．
D．2
4．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）
A．2
B．
C．
D．1
5．（5 分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则
下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数
B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数
D．|f（x）•g（x）|是奇函数
6．（5 分）设D，E，F 分别为△ABC 的三边BC，CA，AB 的中点，则
+
=（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+
），④y=tan（2x﹣
）
中，最小正周期为π 的所有函数为（ ）
A．①②③
B．①③④
C．②④
D．①③
8．（5 分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视
图，则这个几何体是（ ）
第1页（共29页）
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
9．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k 分别为1，2，3，则输出的M=（
）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）已知抛物线C：y2=x 的焦点为F，A（x0，y0）是C 上一点，AF=|
x0|，则x0=
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
11．（5 分）设x，y 满足约束条件
且z=x+ay 的最小值为7，则a=（ ）
A．﹣5
B．3
C．﹣5 或3
D．5 或﹣3
第2页（共29页）
12．（5 分）已知函数f（x）=ax3
3x
﹣
2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分
13．（5 分）将2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，则2 本数
学书相邻的概率为 ．
14．（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；
乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
15．（5 分）设函数f（x）=
，则使得f（x）≤2 成立的x 的取值范围是
．
16．（5 分）如图，为测量山高MN，选择A 和另一座的山顶C 为测量观测点，从A
点测得M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点
测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（12 分）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2
5x
﹣
+6=0 的根．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n 项和．
第3页（共29页）
18．（12 分）从某企业生产的产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，
由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）
频数
6
26
38
22
8
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值
不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定？
第4页（共29页）
19．（12 分）如图，三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为O，且
AO⊥平面BB1C1C．
（1）证明：B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的高．
20．（12 分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2
8y=0
﹣
，过点P 的动直线l 与圆C 交于A，B
两点，线段AB 的中点为M，O 为坐标原点．
（1）求M 的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积．
21．（12 分）设函数f（x）=alnx+
x2
bx
﹣（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的
切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜
，求a 的取值范围．
第5页（共29页）
请考生在第22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
【选修4-1：几何证明选讲】
22．
（10 分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线
交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE 为等边三
角形．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知曲线C：
+
=1，直线l：
（t 为参数）
（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A，求|PA|的最大
值与最小值．
第6页（共29页）
【选修4-5：不等式选讲】
24．若a＞0，b＞0，且
+
=
．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
第7页（共29页）
2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1．（5 分）已知集合M={x|
1
﹣＜x＜3}，N={x|
2
﹣＜x＜1}，则M∩N=（ ）
A．（﹣2，1）
B．（﹣1，1）
C．（1，3）
D．（﹣2，3）
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：M={x|
1
﹣＜x＜3}，N={x|
2
﹣＜x＜1}，
则M∩N={x|
1
﹣＜x＜1}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5 分）若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0
B．cosα＞0
C．sin2α＞0
D．cos2α＞0
【考点】GC：三角函数值的符号．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．
【解答】解：∵tanα＞0，
∴
，
则sin2α=2sinαcosα＞0．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．
第8页（共29页）
3．（5 分）设z=
+i，则|z|=（ ）
A．
B．
C．
D．2
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．
【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|．
【解答】解：z=
+i=
+i=
．
故|z|=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的运算，属于容易题．
4．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．
【解答】解：由题意，
e=
=
=2，
解得，a=1．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题．
5．（5 分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则
第9页（共29页）
下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数
B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数
D．|f（x）•g（x）|是奇函数
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=
f
﹣（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x）•g（﹣x）=
f
﹣（x）•g（x），故函数是奇函数，故A 错误，
|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B 错误，
f（﹣x）•|g（﹣x）|=
f
﹣（x）•|g（x）|是奇函数，故C 正确．
|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D 错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的
关键．
6．（5 分）设D，E，F 分别为△ABC 的三边BC，CA，AB 的中点，则
+
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量加法的三角形法则，将
，
分解为
+
和
+
的形式，进
而根据D，E，F 分别为△ABC 的三边BC，CA，AB 的中点，结合数乘向量及向量加
法的平行四边形法则得到答案．
【解答】解：∵D，E，F 分别为△ABC 的三边BC，CA，AB 的中点，
∴
+
=（
+
）+（
+
）=
+
=
（
+
）=
，
故选：A．
第10页（共29页）
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角形
法则和平行四边形法则是解答的关键．
7．（5 分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+
），④y=tan（2x﹣
）
中，最小正周期为π 的所有函数为（ ）
A．①②③
B．①③④
C．②④
D．①③
【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．
【解答】解：∵函数①y=cos 丨2x 丨=cos2x，它的最小正周期为
=π，
②y=丨cosx 丨的最小正周期为
=π，
③y=cos（2x+
）的最小正周期为
=π，
④y=tan（2x﹣
）的最小正周期为
，
故选：A．
第11页（共29页）
【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．
8．（5 分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视
图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项．
【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视
图，
可知几何体如图：几何体是三棱柱．
故选：B．
第12页（共29页）
【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，考查空间想象能力．
9．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k 分别为1，2，3，则输出的M=（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M 的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+
=
，a=2，b=
，n=2；
第13页（共29页）
第二次循环M=2+
=
，a=
，b=
，n=3；
第三次循环M=
+
=
，a=
，b=
，n=4．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=
．
故选：D．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是
解答此类问题的常用方法．
10．（5 分）已知抛物线C：y2=x 的焦点为F，A（x0，y0）是C 上一点，AF=|
x0|，则x0=
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
【解答】解：抛物线C：y2=x 的焦点为F
，
∵A（x0，y0）是C 上一点，AF=|
x0|，x0＞0．
∴
=x0+
，
解得x0=1．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．
11．（5 分）设x，y 满足约束条件
且z=x+ay 的最小值为7，则a=（ ）
A．﹣5
B．3
C．﹣5 或3
D．5 或﹣3
【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有
第14页（共29页）
【专题】5B：直线与圆．
【分析】如图所示，当a≥1 时，由
，解得
．当直线z=x+ay 经
过A 点时取得最小值为7，同理对a＜1 得出．
【解答】解：如图所示，
当a≥1 时，由
，
解得
，y=
．
∴
．
当直线z=x+ay 经过A 点时取得最小值为7，
∴
，化为a2+2a
15=0
﹣
，
解得a=3，a=
5
﹣舍去．
当a＜1 时，不符合条件．
故选：B．
【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的
思想方法，属于中档题．
12．（5 分）已知函数f（x）=ax3
3x
﹣
2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．
（﹣∞，﹣2）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
第15页（共29页）
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2
6x=3x
﹣
（ax
2
﹣），f（0）=1；分类讨论确定函数的零
点的个数及位置即可．
【解答】解：∵f（x）=ax3
3x
﹣
2+1，
∴f′（x）=3ax2
6x=3x
﹣
（ax
2
﹣），f（0）=1；
①当a=0 时，f（x）=
3x
﹣
2+1 有两个零点，不成立；
②当a＞0 时，f（x）=ax3
3x
﹣
2+1 在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0 时，f（x）=ax3
3x
﹣
2+1 在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3
3x
﹣
2+1 在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=
时，f（x）=ax3
3x
﹣
2+1 在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（
）=
3•
﹣
+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的
零点的判定的应用，属于基础题．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分
13．（5 分）将2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，则2 本数
学书相邻的概率为
．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2 本数学书相邻的个数，最
后根据概率公式计算即可．
【解答】解：2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本
第16页（共29页）
事件有共有
=6 种结果，
其中2 本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，
数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4 个，故本数学书相邻的概率P=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条
件的基本事件．
14．（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；
乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为
A
．
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】5M：推理和证明．
【分析】可先由乙推出，可能去过A 城市或B 城市，再由甲推出只能是A，B 中的一
个，再由丙即可推出结论．
【解答】解：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A，B 中的任一
个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
第17页（共29页）
15．（5 分）设函数f（x）=
，则使得f（x）≤2 成立的x 的取值范围是
x ≤
8
．
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2 成立的x
的取值范围．
【解答】解：x＜1 时，ex
1
﹣≤2，
∴x≤ln2+1，
∴x＜1；
x≥1 时，
≤2，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
综上，使得f（x）≤2 成立的x 的取值范围是x≤8．
故答案为：x≤8．
【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础
题．
16．（5 分）如图，为测量山高MN，选择A 和另一座的山顶C 为测量观测点，从A
点测得M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点
测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=
150
m．
第18页（共29页）
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；58：解三角形．
【分析】△ABC 中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC；△AMC 中，由条
件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN 中，根据MN=AM•sin∠MAN，计算求得结
果．
【解答】解：△ABC 中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=100，
∴AC=
=100
．
△AMC 中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，
∴∠AMC=45°，由正弦定理可得
，解得AM=100
．
Rt△AMN 中，MN=AM•sin∠MAN=100
×sin60°=150（m），
故答案为：150．
【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（12 分）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2
5x
﹣
+6=0 的根．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n 项和．
【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；
（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．
【解答】解：（1）方程x2
5x
﹣
+6=0 的根为2，3．又{an}是递增的等差数列，
故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=
，
故an=2+（n
2
﹣）×
=
n+1，
第19页（共29页）
（2）设数列{
}的前n 项和为Sn，
Sn=
，①
Sn=
，②
①﹣②得
Sn=
=
，
解得Sn=
=2﹣
．
【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查
的主要方式．
18．（12 分）从某企业生产的产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，
由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）
频数
6
26
38
22
8
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；
第20页（共29页）
（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值
不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定？
【考点】B8：频率分布直方图；BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；
（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．
（3）求出质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值，再和0.8 比较即可．
【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：
（
2
）
质
量
指
标
的
样
本
平
均
数
为
=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，
质量指标的样本的方差为S2= （﹣20 ）
2×0.06+ （﹣10 ）
2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，
这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
（3）质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不
低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细心
第21页（共29页）
的绘图能力和精确的计算能力．
19．（12 分）如图，三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为O，且
AO⊥平面BB1C1C．
（1）证明：B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的高．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接BC1，则O 为B1C 与BC1的交点，证明B1C⊥平面ABO，可得
B1C⊥AB；
（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB1为等边三
角形，求出B1到平面ABC 的距离，即可求三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的高．
【解答】（1）证明：连接BC1，则O 为B1C 与BC1的交点，
∵侧面BB1C1C 为菱形，
∴BC1⊥B1C，
∵AO⊥平面BB1C1C，
∴AO⊥B1C，
∵AO∩BC1=O，
∴B1C⊥平面ABO，
∵AB⊂平面ABO，
∴B1C⊥AB；
（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，
∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，
∴BC⊥平面AOD，
∴OH⊥BC，
第22页（共29页）
∵OH⊥AD，BC∩AD=D，
∴OH⊥平面ABC，
∵∠CBB1=60°，
∴△CBB1为等边三角形，
∵BC=1，∴OD=
，
∵AC⊥AB1，∴OA=
B1C=
，
由OH•AD=OD•OA，可得AD=
=
，∴OH=
，
∵O 为B1C 的中点，
∴B1到平面ABC 的距离为
，
∴三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的高
．
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分
析解决问题的能力，属于中档题．
20．（12 分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2
8y=0
﹣
，过点P 的动直线l 与圆C 交于A，B
两点，线段AB 的中点为M，O 为坐标原点．
（1）求M 的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积．
【考点】%H：三角形的面积公式；J3：轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（1）由圆C 的方程求出圆心坐标和半径，设出M 坐标，由
与
数量积
等于0 列式得M 的轨迹方程；
（2）设M 的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON 所在直线的
第23页（共29页）
斜率，由直线方程的点斜式得到PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求
出O 到l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM 的长度，代入
三角形面积公式得答案．
【解答】解：（1）由圆C：x2+y2
8y=0
﹣
，得x2+（y
4
﹣）2=16，
∴圆C 的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则
，
．
由题意可得：
．
即x（2
x
﹣）+（y
4
﹣）（2
y
﹣）=0．
整理得：（x
1
﹣）2+（y
3
﹣）2=2．
∴M 的轨迹方程是（x
1
﹣）2+（y
3
﹣）2=2．
（2）由（1）知M 的轨迹是以点N（1，3）为圆心，
为半径的圆，
由于|OP|=|OM|，
故O 在线段PM 的垂直平分线上，
又P 在圆N 上，
从而ON⊥PM．
∵kON=3，
∴直线l 的斜率为﹣
．
∴直线PM 的方程为
，即x+3y
8=0
﹣
．
则O 到直线l 的距离为
．
又N 到l 的距离为
，
∴|PM|=
=
．
∴
．
【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的
垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
第24页（共29页）
21．（12 分）设函数f（x）=alnx+
x2
bx
﹣（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的
切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜
，求a 的取值范围．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）对a 分类讨论：当a
时，当
a＜1 时，当a＞1 时，再利用导数研究函数
的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）f′（x）=
（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=a+（1
a
﹣）×1
b=0
﹣
，解得b=1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+
，
∴
=
．
①当a
时，则
，
则当x＞1 时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜
的充要条件是
，即
，
解得
；
②当
a＜1 时，则
，
则当x∈
时，f′（x）＜0，函数f（x）在
上单调递减；
当x∈
时，f′（x）＞0，函数f（x）在
上单调递增．
第25页（共29页）
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜
的充要条件是
，
而
=
+
，不符合题意，应舍去．
③若a＞1 时，f（1）=
，成立．
综上可得：a 的取值范围是
．
【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等
基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计
算能力，属于难题．
请考生在第22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
【选修4-1：几何证明选讲】
22．
（10 分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线
交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE 为等边三
角形．
【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5M：推理和证明．
【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，
可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC 的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得
∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．
第26页（共29页）
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC 的中点为N，连接MN，则由MB=MC 知MN⊥BC，
∴O 在直线MN 上，
∵AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（Ⅰ）知，∠D=∠E，
∴△ADE 为等边三角形．
【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档
题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知曲线C：
+
=1，直线l：
（t 为参数）
（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A，求|PA|的最大
值与最小值．
第27页（共29页）
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ 得曲线C 的参数方
程，直接消掉参数t 得直线l 的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C 上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P 到直线
l 的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：
+
=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C 的参数方程为
，（θ 为参数）．
对于直线l：
，
由①得：t=x
2
﹣，代入②并整理得：2x+y
6=0
﹣
；
（Ⅱ）设曲线C 上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P 到直线l 的距离为
．
则
，其中α 为锐角．
当sin（θ+α）=
1
﹣时，|PA|取得最大值，最大值为
．
当sin（θ+α）=1 时，|PA|取得最小值，最小值为
．
【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现
了数学转化思想方法，是中档题．
【选修4-5：不等式选讲】
24．若a＞0，b＞0，且
+
=
．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
第28页（共29页）
【考点】RI：平均值不等式．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的
最小值．
（Ⅱ）根据 ab≥2 及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得
2a+3b=6．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且
+
=
，
∴
=
+
≥2
，∴ab≥2，
当且仅当a=b=
时取等号．
∵a3+b3 ≥2
≥2
=4
，当且仅当a=b=
时取等号，
∴a3+b3的最小值为4
．
（Ⅱ）∵2a+3b≥2
=2
，当且仅当2a=3b 时，取等号．
而由（1）可知，2
≥2
=4
＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b=6 成立．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是
否具备，属于基础题．
第29页（共29页）
