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2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M 中元素的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（5 分）
=（ ）
A．﹣8
B．8
C．﹣8i
D．8i
3．（5 分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+ ）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4
B．﹣3
C．﹣2
D．﹣1
4．（5 分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1）
B．
C．（﹣1，0）
D．
5．（5 分）函数f（x）=log2（1+
）（x＞0）的反函数f
1
﹣（x）=（ ）
A．
B．
C．2x
1
﹣（x∈R）
D．2x
1
﹣（x＞0）
6．（5 分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣
，则{an}的前10 项和等于（ ）
A．﹣6（1
3
﹣
10
﹣）B．
C．3（1
3
﹣
10
﹣）
D．3（1+3
10
﹣）
7．（5 分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A．5
B．8
C．12
D．18
8．（5 分）椭圆C：
的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C 上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣
2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）若函数f（x）=x2+ax+
是增函数，则a 的取值范围是（ ）
A．[
1
﹣，0]
B．[
1
﹣，+∞）
C．[0，3]
D．[3，+∞）
10．（5 分）已知正四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD 与平面BDC1所成角的正弦值等于（
）
A．
B．
C．
D．
11．
（5 分）已知抛物线C：y2=8x 的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A，B 两
点，若
，则k=（ ）
A．
B．
C．
D．2
12．（5 分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）已知α 是第三象限角，sinα=﹣
，则cotα= ．
14．（5 分）6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答）
15．（5 分）记不等式组
所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D 有公共点，则a 的取
值范围是 ．
16 ．（5 分）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，
，则球O 的表面积等于 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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17．（10 分）等差数列{an}的前n 项和为Sn．已知S3=a2
2，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
18．（12 分）设△ABC 的内角A，B，C 的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a
b
﹣+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=
，求C．
19．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD 都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A
PD
C
﹣
﹣的大小．
20．
（12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的
一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为
，各局比赛的结果都相互独立，第1 局甲当
裁判．
（Ⅰ）求第4 局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X 表示前4 局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．
21．（12 分）已知双曲线C：
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2
与C 的两个交点间的距离为
．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l 与C 的左、右两支分别相交于A、B 两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|
BF2|成等比数列．
22．（12 分）已知函数
．
（I）若x≥0 时，f（x）≤0，求λ 的最小值；
（II）设数列{an}的通项an=1+
．
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2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M 中元素的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可．
【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4 个．
故选：B．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
2．（5 分）
=（ ）
A．﹣8
B．8
C．﹣8i
D．8i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1 的立方虚根的性质（
），化简即可．
【解答】解：
故选：A．
【点评】复数代数形式的运算，是基础题．
3．（5 分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+ ）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4
B．﹣3
C．﹣2
D．﹣1
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵
，
．
∴
=（2λ+3，3），
．
∵
，
∴
=0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=
3
﹣．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
4．（5 分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1）
B．
C．（﹣1，0）
D．
【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】原函数的定义域，即为2x+1 的范围，解不等式组即可得解．
【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣
．
∴则函数f（2x+1）的定义域为
．
第3页（共13页）
故选：B．
【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
5．（5 分）函数f（x）=log2（1+
）（x＞0）的反函数f
1
﹣（x）=（ ）
A．
B．
C．2x
1
﹣（x∈R）
D．2x
1
﹣（x＞0）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】把y 看作常数，求出x：x=
，x，y 互换，得到y=log2（1+
）的反函数．注意反函数的定义域．
【解答】解：设y=log2（1+
），
把y 看作常数，求出x：
1+
=2y，x=
，其中y＞0，
x，y 互换，得到y=log2（1+
）的反函数：y=
，
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．
6．（5 分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣
，则{an}的前10 项和等于（ ）
A．﹣6（1
3
﹣
10
﹣）B．
C．3（1
3
﹣
10
﹣）
D．3（1+3
10
﹣）
【考点】89：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣
为公比的等比数列，结合已知
可求a1，然后代入等比数
列的求和公式可求
【解答】解：∵3an+1+an=0
∴
∴数列{an}是以﹣
为公比的等比数列
∵
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，S10=
=3（1
3
﹣
10
﹣）
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
7．（5 分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A．5
B．8
C．12
D．18
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x 的指数为2，写出出展开式中
x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．
【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为Tr+1=C3
rxr
令r=2 得到展开式中x2的系数是C3
2=3，
（1+y）4的展开式的通项为Tr+1=C4
ryr
令r=2 得到展开式中y2的系数是C4
2=6，
（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，
故选：D．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写
第4页（共13页）
出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．
8．（5 分）椭圆C：
的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C 上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣
2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆C：
可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代
入椭圆方程可得
．利用斜率计算公式可得
，再利用已知给出的
的范围
即可解出．
【解答】解：由椭圆C：
可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±2），则
，得
．
∵
=
，
=
，
∴
=
=
，
∵
，
∴
，解得
．
故选：B．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．
9．（5 分）若函数f（x）=x2+ax+
是增函数，则a 的取值范围是（ ）
A．[
1
﹣，0]
B．[
1
﹣，+∞）
C．[0，3]
D．[3，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】由函数
在（
，+∞）上是增函数，可得
≥0 在（
，+∞）上恒
成立，进而可转化为a≥
﹣2x 在（
，+∞）上恒成立，构造函数求出
﹣2x 在（
，+∞）上的最
值，可得a 的取值范围．
【解答】解：∵
在（
，+∞）上是增函数，
故
≥0 在（
，+∞）上恒成立，
即a≥
﹣2x 在（
，+∞）上恒成立，
令h（x）=
2x
﹣
，
则h′（x）=﹣
2
﹣，
当x∈（
，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（
）=3
∴a≥3．
第5页（共13页）
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中
档．
10．（5 分）已知正四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD 与平面BDC1所成角的正弦值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直
角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD 与平面BDC1所成角为θ，
则sinθ=|
|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空
间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
=（1，1，0），
=（1，0，﹣2），
=（1，0，0），
设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则
，即
，取=（2，﹣2，1），
设CD 与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=|
|=
，
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向
量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
11．
（5 分）已知抛物线C：y2=8x 的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A，B 两
点，若
，则k=（ ）
A．
B．
C．
D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】斜率k 存在，设直线AB 为y=k（x
2
﹣），代入抛物线方程，利用
=（x1+2，y1
2
﹣）•（x2+2，y2
2
﹣）=0，即可求出k 的值．
【解答】解：由抛物线C：y2=8x 得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k 存在，设直线AB 为y=k（x
2
﹣），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=4+
，x1x2=4．
∴y1+y2=
，y1y2=
16
﹣
，
又
=0，
第6页（共13页）
∴
=（x1+2，y1
2
﹣）•（x2+2，y2
2
﹣）=
=0
∴k=2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中
档题．
12．（5 分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B 两项加以验证，可得它
们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1
sin
﹣
2x），再换元：
令t=sinx，得到关于t 的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为
，故C
不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D 项正确．由此可得本题的答案．
【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=
cosxsin2x
﹣
，
f（π
x
﹣）=cos（π
x
﹣）sin（2π
2x
﹣
）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π
x
﹣）=0，
可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A 正确；
对于B，因为f（
+x）=cos（
+x）sin（π+2x）=
sinx
﹣
（﹣sin2x）=sinxsin2x，
f（
﹣x）=cos（
﹣x）sin（π
2x
﹣
）=sinxsin2x，所以f（
+x）=f（
﹣x），
可得y=f（x）的图象关于直线x=
对称，故B 正确；
对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1
sin
﹣
2x），
令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1
t
﹣2），﹣1≤t≤1，
∵g（t）=2t（1
t
﹣2）的导数g'（t）=2
6t
﹣
2=2（1+
t）（1﹣
t）
∴当t∈（﹣1，﹣
）时或t∈（
，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；
当t∈（﹣
，
）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．
因此函数g（t）的最大值为t=
1
﹣时或t=
时的函数值，
结合g（﹣1）=0＜g（
）=
，可得g（t）的最大值为
．
由此可得f（x）的最大值为
而不是
，故C 不正确；
对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=
cosxsin2x=
f
﹣
﹣（x），所以f（x）是奇函数．
因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），
所以2π 为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D 正确．
综上所述，只有C 项不正确．
故选：C．
【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、
利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）已知α 是第三象限角，sinα=﹣
，则cotα=
2
．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】根据α 是第三象限的角，得到cosα 小于0，然后由sinα 的值，利用同角三角函数间的基本关
系求出cosα 的值，进而求出cotα 的值．
第7页（共13页）
【解答】解：由α 是第三象限的角，得到cosα＜0，
又sinα=﹣
，所以cosα=﹣
=﹣
则cotα=
=2
故答案为：2
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注
意α 的范围．
14．（5 分）6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有
480
种．（用数字作答）
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】排列好甲、乙两人外的4 人，然后把甲、乙两人插入4 个人的5 个空位中即可．
【解答】解：6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4 人，有
中
方法，
然后把甲、乙两人插入4 个人的5 个空位，有
种方法，
所以共有：
=480．
故答案为：480．
【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．
15．（5 分）记不等式组
所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D 有公共点，则a 的取
值范围是
[
，
4 ]
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件
的平面
区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a 的端点
值即可．
【解答】解：满足约束条件
的平面区域如图示：
因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=
．
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D 有公共点．
所以
≤a≤4．
故答案为：[
，4]
【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②
求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
16 ．（5 分）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，
，则球O 的表面积等于
16π
．
第8页（共13页）
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：如图所示，设球O 的半径为r，AB 是公共弦，∠OCK 是面面角
根据题意得OC=
，CK=
在△OCK 中，OC2=OK2+CK2，即
∴r2=4
∴球O 的表面积等于4πr2=16π
故答案为16π
【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）等差数列{an}的前n 项和为Sn．已知S3=a2
2，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
【考点】85：等差数列的前n 项和；88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由
，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由
，结合等差数列的求和公
式进而可求公差d，即可求解通项公式
【解答】解：设数列的公差为d
由
得，3
∴a2=0 或a2=3
由题意可得，
∴
若a2=0，则可得d2=
2d
﹣
2即d=0 不符合题意
若a2=3，则可得（6
d
﹣）2=（3
d
﹣）（12+2d）
解可得d=0 或d=2
∴an=3 或an=2n
1
﹣
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于
基础试题
18．（12 分）设△ABC 的内角A，B，C 的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a
b
﹣+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=
，求C．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出
cosB，将关系式代入求出cosB 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B
的度数；
（II）由（I）得到A+C 的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A
C
﹣），变形后将cos（A+C）及
2sinAsinC 的值代入求出cos（A
C
﹣）的值，利用特殊角的三角函数值求出A
C
﹣的值，与A+C 的值
联立即可求出C 的度数．
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a
b
﹣+c）=（a+c）2
b
﹣
2=ac，
∴a2+c2
b
﹣
2=
ac
﹣
，
第9页（共13页）
∴cosB=
=﹣
，
又B 为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=
，cos（A+C）=
，
∴cos（A
C
﹣）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC
sinAsinC
﹣
+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=
+2×
=
，
∴A
C=30°
﹣
或A
C=
30°
﹣
﹣
，
则C=15°或C=45°．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余
弦定理是解本题的关键．
19．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD 都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A
PD
C
﹣
﹣的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5G：空间角．
【分析】（I）取BC 的中点E，连接DE，过点P 作PO⊥平面ABCD 于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四
边形ABED 是正方形，且O 为正方形ABED 的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，
而OE 是△BCD 的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；
（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD 的中点F，PC 的中点G，连接FG，可
得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG 为二面角A
PD
C
﹣
﹣的平面角，连接
AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF 和FG 的长，最后在△AFG 中利
用余弦定理，算出∠AFG=π
arccos
﹣
，即得二面角A
PD
C
﹣
﹣的平面角大小．
【解答】解：（I）取BC 的中点E，连接DE，可得四边形ABED 是正方形
过点P 作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE
∵△PAB 与△PAD 都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD
因此，O 是正方形ABED 的对角线的交点，可得OE⊥OB
∵PO⊥平面ABCD，得直线OB 是直线PB 在内的射影，∴OE⊥PB
∵△BCD 中，E、O 分别为BC、BD 的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；
（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB
∵PO、PB 是平面PBD 内的相交直线，∴CD⊥平面PBD
∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD
取PD 的中点F，PC 的中点G，连接FG，
则FG 为△PCD 有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD
连接AF，由△PAD 是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG 为二面角A
PD
C
﹣
﹣的平面角
连接AG、EG，则EG∥PB
∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，
设AB=2，则AE=2
，EG=
PB=1，故AG=
=3
在△AFG 中，FG=
CD=
，AF=
，AG=3
∴cos∠AFG=
=﹣
，得∠AFG=π
arccos
﹣
，
即二面角A
PD
C
﹣
﹣的平面角大小是π
arccos
﹣
．
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【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂
直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．
20．
（12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的
一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为
，各局比赛的结果都相互独立，第1 局甲当
裁判．
（Ⅰ）求第4 局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X 表示前4 局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）令A1表示第2 局结果为甲获胜，A2表示第3 局甲参加比赛时，结果为甲负，A 表示第4 局
甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求
解即可．
（II）X 的所有可能值为0，1，2．分别求出X 取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．
【解答】解：（I）令A1表示第2 局结果为甲获胜．A2表示第3 局甲参加比赛时，结果为甲负．A 表示第4
局甲当裁判．
则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=
；
（Ⅱ）X 的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B1表示第1 局结果为乙获胜，B2表示第2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3 局乙参加比赛时
结果为乙负，
则P（X=0）=P（B1B2
）=P（B1）P（B2）P（
）=
．
P（X=2）=P（
B3）=P（
）P（B3）=
．
P（X=1）=1
P
﹣（X=0）﹣P（X=2）=
．
从而EX=0×
+1×
+2×
=
．
【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概
率知识解决问题的能力．
21．（12 分）已知双曲线C：
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2
与C 的两个交点间的距离为
．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l 与C 的左、右两支分别相交于A、B 两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|
BF2|成等比数列．
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）由题设，可由离心率为3 得到参数a，b 的关系，将双曲线的方程用参数a 表示出来，再由
直线
建立方程求出参数a 即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l 的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C 的方程
联立，得出x1+x2=
，
，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B 坐标的方程，得出两点
横坐标的关系
，由此方程求出k 的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|
BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．
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【解答】解：（I）由题设知
=3，即
=9，故b2=8a2
所以C 的方程为8x2
y
﹣2=8a2
将y=2 代入上式，并求得x=±
，
由题设知，2
=
，解得a2=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C 的方程为8x2
y
﹣2=8 ①
由题意，可设l 的方程为y=k（x
3
﹣），|k|＜2
代入①并化简得（k2
8
﹣）x2
6k
﹣
2x+9k2+8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=
，
，于是
|AF1|=
=﹣（3x1+1），
|BF1|=
=3x2+1，
|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即
故
=
，解得
，从而
=﹣
由于|AF2|=
=1
3x
﹣
1，
|BF2|=
=3x2
1
﹣，
故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2
3
﹣（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2
1=16
﹣
因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想
运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解
答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．
22．（12 分）已知函数
．
（I）若x≥0 时，f（x）≤0，求λ 的最小值；
（II）设数列{an}的通项an=1+
．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大
值，利用最大值小于等于0 求出参数λ 的取值范围，即可求得其最小值；
（II）根据（I）的证明，可取λ=
，由于x＞0 时，f（x）＜0 得出
，考察发现，若取x=
，
则可得出
，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，
f′（x）=
=
，
∴f′（0）=0
欲使x≥0 时，f（x）≤0 恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0 恒成立，
当λ≤0 时，f′（x）＞0 在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，
若0＜λ＜
时，由f′（x）＞0 解得x＜
，则当0＜x＜
，f′（x）＞0，所以当0＜x＜
时，f
（x）＞0，此时不合题意，
若λ≥
，则当x＞0 时，f′（x）＜0 恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0 时，f（x）
＜0
恒成立，
综上，符合题意的λ 的取值范围是λ≥
，即λ 的最小值为
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（ II）令λ=
，由（I）知，当x＞0 时，f（x）＜0，即
取x=
，则
于是a2n
a
﹣
n+
=
+
+…+
+
=
=
=
=
＞
=ln2n
lnn=ln2
﹣
所以
【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已
有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度
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