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2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
\一、选择题：本大题共12 小题．每小题5 分，在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的．
1．（5 分）已知集合M={x|
3
﹣＜x＜1，x∈R}，N={
3
﹣，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（
）
A．{
2
﹣，﹣1，0，1} B．{
3
﹣，﹣2，﹣1，0}
C．{
2
﹣，﹣1，0}
D．{
3
﹣，﹣2，﹣1}
2．（5 分）
=（ ）
A．2
B．2
C．
D．1
3．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x
3y
﹣
的最小值是（ ）
A．﹣7
B．﹣6
C．﹣5
D．﹣3
4．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=
，C=
，则
△ABC 的面积为（ ）
A．2
+2
B．
C．2
2
﹣
D．
﹣1
5．（5 分）设椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P 是C 上的点
PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）已知sin2α=
，则cos2（α+
）=（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（ ）
第1页（共31页）
A．1+
+
+
B．1+
+
+
C．1+
+
+
+
D．1+
+
+
+
8．（5 分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（ ）
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
9．（5 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O
xyz
﹣
中的坐标分别是（1，0，
1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx
平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A．
B．
第2页（共31页）
C．
D．
10．
（5 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，直线l 过F 且与C 交于A，B 两点．若|AF|
=3|BF|，则l 的方程为（ ）
A．y=x
1
﹣或y=
x
﹣+1
B．y=
（x
1
﹣）或 y=﹣
（x
1
﹣）
C．y=
（x
1
﹣）或 y=﹣
（x
1
﹣）
D．y=
（x
1
﹣）或 y=﹣
（x
1
﹣）
11．（5 分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，f（x0）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0 ）=0
12．（5 分）若存在正数x 使2x（x
a
﹣）＜1 成立，则a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）
C．（0，+∞）
D．（﹣1，+∞）
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分．
13．（4 分）从1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为5 的概率是 ．
14．（4 分）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则
•
= ．
15．（4 分）已知正四棱锥O
ABCD
﹣
的体积为
，底面边长为
，则以O 为球心，
OA 为半径的球的表面积为 ．
16．（4 分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移
个单位后，与函数
y=sin（2x+
）的图象重合，则φ= ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
第3页（共31页）
（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n
2
﹣．
18．（12 分）如图，直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，D，E 分别是AB，BB1的中点
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=
，求三棱锥C
A
﹣
1DE 的体积．
19．（12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润
500 元，未售出的产品，每1t 亏损300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场
需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该
农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T
第4页（共31页）
（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000 元的概率．
20．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2
，在y
轴上截得线段长为2
．
（Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若P 点到直线y=x 的距离为
，求圆P 的方程．
21．（12 分）已知函数f（x）=x2e
x
﹣
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．
第5页（共31页）
选做题．请考生在第22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一
部分，作答时请写清题号．
22．【选修4
1
﹣几何证明选讲】
如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D，E、F 分别为弦
AB 与弦AC 上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C 四点共圆．
（1）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
23．已知动点P、Q 都在曲线
（β 为参数）上，对应参数分别为β=α 与
β=2α（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点．
（1）求M 的轨迹的参数方程；
（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原
点．
第6页（共31页）
24．（14 分）【选修4
5
﹣﹣；不等式选讲】
设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
．
第7页（共31页）
2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题．每小题5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．
1．（5 分）已知集合M={x|
3
﹣＜x＜1，x∈R}，N={
3
﹣，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（
）
A．{
2
﹣，﹣1，0，1} B．{
3
﹣，﹣2，﹣1，0}
C．{
2
﹣，﹣1，0}
D．{
3
﹣，﹣2，﹣1}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】找出集合M 与N 的公共元素，即可求出两集合的交集．
【解答】解：∵集合M={x|
3
﹣＜x＜1，x∈R}，N={
3
﹣，﹣2，﹣1，0，1}，
∴M∩N={
2
﹣，﹣1，0}．
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5 分）
=（ ）
A．2
B．2
C．
D．1
【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
【解答】解：
=
=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
第8页（共31页）
3．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x
3y
﹣
的最小值是（ ）
A．﹣7
B．﹣6
C．﹣5
D．﹣3
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】先画出满足约束条件：
，的平面区域，求出平面区域的各角点，
然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=2x
3y
﹣
的最小值
【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，
由
得
，
由图可知目标函数在点A（3，4）取最小值z=2×3
3
﹣×4=
6
﹣．
故选：B．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目
标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式
组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点
的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
第9页（共31页）
4．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=
，C=
，则
△ABC 的面积为（ ）
A．2
+2
B．
C．2
2
﹣
D．
﹣1
【考点】%H：三角形的面积公式；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】由sinB，sinC 及b 的值，利用正弦定理求出c 的值，再求出A 的度数，由b，
c 及sinA 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积．
【解答】解：∵b=2，B=
，C=
，
∴由正弦定理
=
得：c=
=
=2
，A=
，
∴sinA=sin（
+
）=cos
=
，
则S△ABC=
bcsinA=
×2×2
×
=
+1．
故选：B．
【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公
式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5．（5 分）设椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P 是C 上的点
PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
第10页（共31页）
【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆
离心率的性质即可求得答案．
【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，
∴|PF1|=2x，|F1F2|=
x，
又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c
∴2a=3x，2c=
x，
∴C 的离心率为：e=
=
．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与
应用能力，属于中档题．
6．（5 分）已知sin2α=
，则cos2（α+
）=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】GE：诱导公式；GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知
等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵sin2α=
，
∴cos2（α+
）=
[1+cos（2α+
）]=
（1
sin2α
﹣
）=
×（1﹣
）=
．
故选：A．
【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式
是解本题的关键．
7．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（ ）
第11页（共31页）
A．1+
+
+
B．1+
+
+
C．1+
+
+
+
D．1+
+
+
+
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】27：图表型．
【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足
时，用S+
的值代替S 得到新的S，并用k+1 代替k，直到条件不能满足时输出
最后算出的S 值，由此即可得到本题答案．
【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行
第一次：S=1，
第12页（共31页）
第二次：S=1+
，
第三次：S=1+
+
，
第四次：S=1+
+
+
．
此时k=5 时，符合k＞N=4，输出S 的值．
∴S=1+
+
+
故选：B．
【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和
直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题．
8．（5 分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（ ）
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
第13页（共31页）
【专题】11：计算题．
【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．
【解答】解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，
所以a=log32，b=log52=
，
所以c＞a＞b，
故选：C．
【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查．
9．（5 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O
xyz
﹣
中的坐标分别是（1，0，
1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx
平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；13：作图题．
【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视
图即可．
【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O
xyz
﹣
中的坐标分别是
（1，0，1），
（1，1，0），
（0，1，1），
（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶
点为顶点的一个正四面体，所以以zOx 平面为投影面，则得到正视图为：
第14页（共31页）
故选：A．
【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题
的关键，考查空间想象能力．
10．
（5 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，直线l 过F 且与C 交于A，B 两点．若|AF|
=3|BF|，则l 的方程为（ ）
A．y=x
1
﹣或y=
x
﹣+1
B．y=
（x
1
﹣）或 y=﹣
（x
1
﹣）
C．y=
（x
1
﹣）或 y=﹣
（x
1
﹣）
D．y=
（x
1
﹣）或 y=﹣
（x
1
﹣）
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l 方程为y=k（x
1
﹣），
与抛物线方程联解消去x，得
﹣y
k=0
﹣
．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与
系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于y1、y2和k 的方程组，解之可得k 值，从而
得到直线l 的方程．
【解答】解：∵抛物线C 方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l 方程为y=k（x
1
﹣）
第15页（共31页）
由
消去x，得
﹣y
k=0
﹣
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=
，y1y2=
4…
﹣
（*）
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0，可得y1=
3y
﹣
2，代入（*）得﹣2y2=
且﹣3y2
2=
4
﹣，
消去y2得k2=3，解之得k=
∴直线l 方程为y=
（x
1
﹣）或y=﹣
（x
1
﹣）
故选：C．
【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB 被焦点F 分成1：3 的两部分，求直线AB 的
方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置
关系等知识，属于中档题．
11．（5 分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，f（x0）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0 ）=0
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
第16页（共31页）
【分析】对于A，对于三次函数f（x ）=x3+ax2+bx+c，由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当
x→+∞时，y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点；
对于B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断；
对于C：采用取特殊函数的方法，若取a=
1
﹣，b=
1
﹣，c=0，则f（x）=x3
x
﹣2
x
﹣，利用
导数研究其极值和单调性进行判断；
D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0 ）=0，正确．
【解答】解：
A、对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，
A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，
故∃x0∈R，f（x0）=0，故A 正确；
B、∵f（﹣
﹣x）+f（x）=（﹣
﹣x）3+a（﹣
﹣x）2+b（﹣
﹣x）+c+x3+ax2+bx+c=
﹣
+2c，
f（﹣
）=（﹣
）3+a（﹣
）2+b（﹣
）+c=
﹣
+c，
∵f（﹣
﹣x）+f（x）=2f（﹣
），
∴点P（﹣
，f（﹣
））为对称中心，故B 正确．
C、若取a=
1
﹣，b=
1
﹣，c=0，则f（x）=x3
x
﹣2
x
﹣，
对于f（x）=x3
x
﹣2
x
﹣，∵f′（x）=3x2
2x
1
﹣
﹣
∴由f′（x）=3x2
2x
1
﹣
﹣＞0 得x∈（﹣∞，﹣
）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x2
2x
1
﹣
﹣＜0 得x∈（﹣
，1）
∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣
），（1，+∞），减区间为：（﹣
，1），
故1 是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C 错误；
D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0 ）=0，故D 正确．
由于该题选择错误的，故选：C．
第17页（共31页）
【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及
导数的运算．
12．（5 分）若存在正数x 使2x（x
a
﹣）＜1 成立，则a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）
C．（0，+∞）
D．（﹣1，+∞）
【考点】3E：函数单调性的性质与判断；7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】转化不等式为
，利用x 是正数，通过函数的单调性，求出a 的范
围即可．
【解答】解：因为2x（x
a
﹣）＜1，所以
，
函数y=
是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，
所以a 的取值范围是（﹣1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能
力．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分．
13．（4 分）从1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为5 的概率是
0.2
．
第18页（共31页）
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为5 的情形，由古
典概型的概率公式可得答案．
【解答】解：从1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数共有
=10 种情况，
和为5 的有（1，4）（2，3）两种情况，
故所求的概率为：
=0.2
故答案为：0.2
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．
14．（4 分）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则
•
=
2
．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（
）•（
），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．
【解答】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则
=0，
故
=（
）•（
）=（
）•（
）=
﹣
+
﹣
=4+0
0
﹣﹣
=2，
故答案为 2．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直
的性质，属于中档题．
15．（4 分）已知正四棱锥O
ABCD
﹣
的体积为
，底面边长为
，则以O 为球心，
OA 为半径的球的表面积为
24π
．
第19页（共31页）
【考点】L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O
ABCD
﹣
的高，再利用直
角三角形求出正四棱锥O
ABCD
﹣
的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算
即得．
【解答】解：如图，正四棱锥O
ABCD
﹣
的体积V=
sh= （
×
）×OH=
，
∴OH=
，
在直角三角形OAH 中，OA=
=
=
所以表面积为4πr2=24π；
故答案为：24π．
【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题．
16．（4 分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移
个单位后，与函数
y=sin（2x+
）的图象重合，则φ=
．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y=cos[2（x﹣
）+φ]的
第20页（共31页）
图象，即y=cos（2x+φ
π
﹣）的图象．结合题意得函数y=sin（2x+
）=
的图象与y=cos（2x+φ
π
﹣）图象重合，由此结合三角函数的诱
导公式即可算出φ 的值．
【解答】解：函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移
个单位后，得平
移后的图象的函数解析式为
y=cos[2（x﹣
）+φ]=cos（2x+φ
π
﹣），
而函数y=sin（2x+
）=
，
由函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移
个单位后，与函数y=sin
（2x+
）的图象重合，得
2x+φ
π=
﹣
，解得：φ=
．
符合﹣π≤φ＜π．
故答案为
．
【点评】本题给出函数y=cos（2x+φ）的图象平移，求参数φ 的值．着重考查了函数
图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知
识，属于基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n
2
﹣．
【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
第21页（共31页）
【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，
，再利用等差数列的通项公式可得
，化为
d（2a1+25d）=0，解出d 即可得到通项公式an；
（II）由（I）可得a3n
2
﹣=
2
﹣（3n
2
﹣）+27=
6n
﹣
+31，可知此数列是以25 为首项，﹣6
为公差的等差数列．利用等差数列的前n 项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n
2
﹣．
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，
由题意a1，a11，a13成等比数列，∴
，
∴
，化为d（2a1+25d）=0，
∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=
2
﹣．
∴an=25+（n
1
﹣）×（﹣2）=
2n
﹣
+27．
（II）由（I）可得a3n
2
﹣=
2
﹣（3n
2
﹣）+27=
6n
﹣
+31，可知此数列是以25 为首项，﹣6
为公差的等差数列．
∴Sn=a1+a4+a7+…+a3n
2
﹣=
=
=
3n
﹣
2+28n．
【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式是解题的关
键．
18．（12 分）如图，直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，D，E 分别是AB，BB1的中点
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=
，求三棱锥C
A
﹣
1DE 的体积．
第22页（共31页）
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连接AC1 交A1C 于点F，则DF 为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．
再根据直线和平面平行的判定定理证得
BC1∥平面A1CD．
（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC 为等腰直角三角形，由D 为AB 的中点可
得CD⊥平面ABB1A1．求得CD 的值，利用
勾股定理求得A1D、DE 和A1E 的值，可得A1D⊥DE．进而求得
的值，再根据
三棱锥C
A
﹣
1DE 的体积
为
•
•CD，运算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC1 交A1C 于点F，则F 为AC1的中点．
∵直棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，D，E 分别是AB，BB1的中点，故DF 为三角形ABC1的中
位线，故DF∥BC1．
由于DF⊂平面A1CD，而BC1不在平面A1CD 中，故有BC1∥平面A1CD．
第23页（共31页）
（Ⅱ）∵AA1=AC=CB=2，AB=2
，故此直三棱柱的底面ABC 为等腰直角三角形．
由D 为AB 的中点可得CD⊥平面ABB1A1 ，∴CD=
=
．
∵A1D=
=
，同理，利用勾股定理求得 DE=
，A1E=3．
再由勾股定理可得
+DE2=
，∴A1D⊥DE．
∴
=
=
，
∴
=
•
•CD=1．
【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现
了数形结合的数学思想，属于中档题．
19．（12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润
500 元，未售出的产品，每1t 亏损300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场
需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该
农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T
（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
第24页（共31页）
（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000 元的概率．
【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润
值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．
（II）由（I）知，利润T 不少于57000 元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求
量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度
的利润T 不少于57000 元的概率的估计值．
【解答】解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X
300
﹣
（130
X
﹣）=800X﹣
39000，
当X∈[130，150]时，T=500×130=65000，
∴T=
．
（II）由（I）知，利润T 不少于57000 元，当且仅当120≤X≤150．
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T 不少于57000 元的概率的估计值为0.7．
【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是
对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义．
第25页（共31页）
20．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2
，在y
轴上截得线段长为2
．
（Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若P 点到直线y=x 的距离为
，求圆P 的方程．
【考点】J1：圆的标准方程；J3：轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形
中利用勾股定理建立关于点P 的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹
方程；
（Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点P 的横纵坐标的方程，将此方
程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点P 的坐标，进而解出圆的半径即可写出
圆P 的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心P（x，y），由题意得圆心到x 轴的距离与半径之间的关系
为2=
y
﹣2+r2，同理圆心到y 轴的距离与半径之间的关系为3=
x
﹣2+r2，由两式整
理得x2+3=y2+2，整理得y2
x
﹣2=1 即为圆心P 的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线
（Ⅱ）由P 点到直线y=x 的距离为
得，
=
，即|x
y
﹣|=1，即x=y+1 或
y=x+1，分别代入y2
x
﹣2=1 解得P（0，﹣1）或P（0，1）
若P（0，﹣1），此时点P 在y 轴上，故半径为
，所以圆P 的方程为（y+1）2+x2=3；
若P（0，1），此时点P 在y 轴上，故半径为
，所以圆P 的方程为（y
1
﹣）2+x2=3；
综上，圆P 的方程为（y+1）2+x2=3 或（y
1
﹣）2+x2=3
【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方
程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程
21．（12 分）已知函数f（x）=x2e
x
﹣
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．
【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用
第26页（共31页）
导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系
及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；
（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出
与x 轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2e
x
﹣，
∴f′（x）=2xe
x
﹣
x
﹣2e
x
﹣=e
x
﹣（2x
x
﹣2），
令f′（x）=0，解得x=0 或x=2，
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；
令f′（x）＜0，可解得x＜0 或x＞2，
故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．
∴x=0 是极小值点，x=2 极大值点，又f（0）=0，f（2）=
．
故f（x）的极小值和极大值分别为0，
．
（Ⅱ）设切点为（
），
则切线方程为y﹣
=
（x
x
﹣0），
令y=0，解得x=
=
，
∵曲线y=f（x）的切线l 的斜率为负数，
∴
（
＜0，
∴x0＜0 或x0＞2，
令
，
则
=
．
第27页（共31页）
①当x0＜0 时，
0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f
（x0）＜f（0）=0；
②当x0＞2 时，令f′（x0）=0，解得
．
当
时，f′（x0）＞0，函数f（x0）单调递增；当
时，f′（x0）＜0，
函数f（x0）单调递减．
故当
时，函数f（x0）取得极小值，也即最小值，且
=
．
综上可知：切线l 在x 轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪
．
【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函
数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．
选做题．请考生在第22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一
部分，作答时请写清题号．
22．【选修4
1
﹣几何证明选讲】
如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D，E、F 分别为弦
AB 与弦AC 上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C 四点共圆．
（1）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（1）已知CD 为△ABC 外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及
BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．
利用B、E、F、C 四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明
CA 是△ABC 外接圆的直径；
第28页（共31页）
（2）要求过B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．只需求出其外
接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C 四点的圆的直径为CE，及DB=BE，
可得CE=DC，利用切割线定理可得DC2=DB•DA，CA2=CB2+BA2，都用DB 表示即可．
【解答】（1）证明：∵CD 为△ABC 外接圆的切线，∴∠DCB=∠A，
∵BC•AE=DC•AF，∴
．
∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．
∵B、E、F、C 四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．
∴∠CBA=90°，∴CA 是△ABC 外接圆的直径；
（2）连接CE，∵∠CBE=90°，
∴过B、E、F、C 四点的圆的直径为CE，由DB=BE，得CE=DC，
又BC2=DB•BA=2DB2，
∴CA2=4DB2+BC2=6DB2．
而DC2=DB•DA=3DB2，
故过B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 面积的外接圆的面积比值=
=
．
【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径
的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键．
23．已知动点P、Q 都在曲线
（β 为参数）上，对应参数分别为β=α 与
β=2α（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点．
（1）求M 的轨迹的参数方程；
（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原
点．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
第29页（共31页）
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；
（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．
M 的轨迹的参数方程为
为参数，0＜α＜2π）．
（2）M 点到坐标原点的距离d=
（0＜α＜2π）．
当α=π 时，d=0，故M 的轨迹过坐标原点．
【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的
单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．（14 分）【选修4
5
﹣﹣；不等式选讲】
设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
．
【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c=1⇒（a+b+c）2=1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，利用基
本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；
（Ⅱ）利用基本不等式可证得：
+b≥2a，
+c≥2b，
+a≥2c，三式累加即可证
得结论．
【解答】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca 得：
a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，
第30页（共31页）
所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤
．
（Ⅱ）因为
+b≥2a，
+c≥2b，
+a≥2c，
故
+
+
+（a+b+c）≥2（a+b+c），即
+
+
≥a+b+c．
所以
+
+
≥1．
【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理
论证能力，属于中档题．
第31页（共31页）
