文档文本内容
2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求
的.
1．（5 分）已知集合A={x|x2
2x
﹣
＞0}，B={x|﹣
＜x＜
}，则（ ）
A．A∩B=∅
B．A∪B=R
C．B⊆A
D．A⊆B
2．（5 分）若复数z 满足（3
4i
﹣）z=|4+3i|，则z 的虚部为（ ）
A．﹣4
B．
C．4
D．
3．（5 分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事
先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况
差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单的随机抽样
B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样
D．系统抽样
4．（5 分）已知双曲线C：
（a＞0，b＞0）的离心率为
，则C 的渐近线方程为（ ）
A．y=
B．y=
C．y=±x
D．y=
5．（5 分）执行程序框图，如果输入的t∈[
1
﹣，3]，则输出的s 属于（ ）
A．[
3
﹣，4]
B．[
5
﹣，2]
C．[
4
﹣，3]
D．[
2
﹣，5]
6．（5 分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向
容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若Sm
1
﹣=
2
﹣，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
第1页（共17页）
A．16+8π
B．8+8π
C．16+16π
D．8+16π
9．（5 分）设m 为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数
的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
10．
（5 分）已知椭圆E：
的右焦点为F（3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A、B 两点．
若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）已知函数f（x）=
，若|f（x）|≥ax，则a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]
B．（﹣∞，1]
C．[
2
﹣，1]
D．[
2
﹣，0]
12．（5 分）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3…若b1＞c1，
b1+c1=2a1，an+1=an，
，
，则（ ）
A．{Sn}为递减数列
B．{Sn}为递增数列
C．{S2n
1
﹣}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n
1
﹣}为递减数列，{S2n}为递增数列
二.填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t +（1
t
﹣）．若• =0，则t= ．
14．（5 分）若数列{an}的前n 项和为Sn=
an+
，则数列{an}的通项公式是an= ．
15．（5 分）设当x=θ 时，函数f（x）=sinx
2cosx
﹣
取得最大值，则cosθ= ．
16．（5 分）若函数f（x）=（1
x
﹣2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=
2
﹣对称，则f（x）的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=
，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC=90°．
（1）若PB=
，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
第2页（共17页）
18．（12 分）如图，三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值．
19．
（12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这4 件产品
中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品
通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他
情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的
概率都为
，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需
的费用记为X（单位：元），求X 的分布列及数学期望．
20．（12 分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x
1
﹣）2+y2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P
的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．
21．
（12 分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且
在点P 处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d 的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2 时，f（x）≤kg（x），求k 的取值范围．
第3页（共17页）
四、请考生在第22、23、24 题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧
方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题
进行评分.
22．（10 分）（选修4
1
﹣：几何证明选讲）
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E，DB 垂直BE 交
圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=
，延长CE 交AB 于点F，求△BCF 外接圆的半径．
23．已知曲线C1的参数方程为
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
24．已知函数f（x）=|2x
1
﹣|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=
2
﹣时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣
，
]时，f（x）≤g（x），求a 的取值范围．
第4页（共17页）
2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求
的.
1．（5 分）已知集合A={x|x2
2x
﹣
＞0}，B={x|﹣
＜x＜
}，则（ ）
A．A∩B=∅
B．A∪B=R
C．B⊆A
D．A⊆B
【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．
【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B 和A∪B．
【解答】解：∵集合A={x|x2
2x
﹣
＞0}={x|x＞2 或x＜0}，
∴A∩B={x|2＜x＜
或﹣
＜x＜0}，A∪B=R，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．
2．（5 分）若复数z 满足（3
4i
﹣）z=|4+3i|，则z 的虚部为（ ）
A．﹣4
B．
C．4
D．
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】由题意可得 z=
=
，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为
+
i，由此
可得z 的虚部．
【解答】解：∵复数z 满足（3
4i
﹣）z=|4+3i|，∴z=
=
=
=
+
i，
故z 的虚部等于
，
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
3．（5 分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事
先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况
差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单的随机抽样
B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样
D．系统抽样
【考点】B3：分层抽样方法．菁优网版权所有
【专题】21：阅读型．
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情
况差异不大．
了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．
故选：C．
【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．
4．（5 分）已知双曲线C：
（a＞0，b＞0）的离心率为
，则C 的渐近线方程为（ ）
A．y=
B．y=
C．y=±x
D．y=
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
第5页（共17页）
【分析】由离心率和abc 的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±
x，代入可得答案．
【解答】解：由双曲线C：
（a＞0，b＞0），
则离心率e=
=
=
，即4b2=a2，
故渐近线方程为y=±
x=
x，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．
5．（5 分）执行程序框图，如果输入的t∈[
1
﹣，3]，则输出的s 属于（ ）
A．[
3
﹣，4]
B．[
5
﹣，2]
C．[
4
﹣，3]
D．[
2
﹣，5]
【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．
【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺
序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1 我们可得，分段函数的分
类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．
【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：
函数分为两段，即t＜1 与t≥1，
又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；
不满足条件时，即t≥1 时，函数的解析式为：s=4t
t
﹣2
故分段函数的解析式为：s=
，
如果输入的t∈[
1
﹣，3]，画出此分段函数在t∈[
1
﹣，3]时的图象，
则输出的s 属于[
3
﹣，4]．
故选：A．
【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构
是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的
“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段
函数的解析式．
6．（5 分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向
容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
第6页（共17页）
A．
B．
C．
D．
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M 为正方体上底面正方形的中心．设球
的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R
2
﹣）cm，而圆M 的半径为4，由球的截面圆
性质建立关于R 的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．
【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，
则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R
2
﹣）cm，
而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R
2
﹣）2+42，
解出R=5，
∴根据球的体积公式，该球的体积V=
=
=
．
故选：A．
【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质
和球的体积公式等知识，属于中档题．
7．（5 分）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若Sm
1
﹣=
2
﹣，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am，进而得到公差d，由前n 项和公式及Sm=0 可求得a1，再由
通项公式及am=2 可得m 值．
【解答】解：am=Sm
S
﹣m
1
﹣=2，am+1=Sm+1
S
﹣m=3，
所以公差d=am+1
a
﹣
m=1，
Sm=
=0，
m
1
﹣＞0，m＞1，因此m 不能为0，
得a1=
2
﹣，
所以am=
2
﹣+（m
1
﹣）•1=2，解得m=5，
另解：等差数列{an}的前n 项和为Sn，即有数列{
}成等差数列，
则
，
，
成等差数列，
可得2•
=
+
，
即有0=
+
，
解得m=5．
又一解：由等差数列的求和公式可得
（m
1
﹣）（a1+am
1
﹣）=
2
﹣，
m（a1+am）=0，
（m+1）（a1+am+1）=3，
可得a1=
a
﹣
m，﹣2am+am+1+am+1=
+
=0，
解得m=5．
第7页（共17页）
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及通项an与Sn的关系，考查学生的计算能力．
8．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π
B．8+8π
C．16+16π
D．8+16π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；27：图表型．
【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、
宽、高，即可求出几何体的体积．
【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分
别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．
∴长方体的体积=4×2×2=16，
半个圆柱的体积=
×22×π×4=8π
所以这个几何体的体积是16+8π；
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，
空间想象能力
9．（5 分）设m 为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数
的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】5P：二项式定理．
【分析】根据二项式系数的性质求得a 和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b 求得m 的值．
【解答】解：∵m 为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可
得a=
，
同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b=
=
．
再由13a=7b，可得13
=7
，即 13×
=7×
，
即 13=7×
，即 13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．
第8页（共17页）
10．
（5 分）已知椭圆E：
的右焦点为F（3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A、B 两点．
若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得
，利用“点差法”可得
．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=
2
﹣，利用斜率计算公式可得
=
=
．于是得到
，化为a2=2b2，再利用c=3=
，即可解得a2，
b2．进而得到椭圆的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得
，
相减得
，
∴
．
∵x1+x2=2，y1+y2=
2
﹣，
=
=
．
∴
，
化为a2=2b2，又c=3=
，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E 的方程为
．
故选：D．
【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．
11．（5 分）已知函数f（x）=
，若|f（x）|≥ax，则a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]
B．（﹣∞，1]
C．[
2
﹣，1]
D．[
2
﹣，0]
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．
【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax 的
图象，由导数求切线斜率可得l 的斜率，进而数形结合可得a 的范围．
【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax 的图象，
第9页（共17页）
由图象可知：函数y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的
切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2
2x
﹣
，
求其导数可得y′=2x
2
﹣，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l 的斜率为﹣2，
故只需直线y=ax 的斜率a 介于﹣2 与0 之间即可，即a∈[
2
﹣，0]
故选：D．
【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
12．（5 分）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3…若b1＞c1，
b1+c1=2a1，an+1=an，
，
，则（ ）
A．{Sn}为递减数列
B．{Sn}为递增数列
C．{S2n
1
﹣}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n
1
﹣}为递减数列，{S2n}为递增数列
【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+1
2a
﹣
1=
及b1+c1=2a1得
bn+cn=2a1，则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，
由此可知顶点An 在以Bn 、Cn 为焦点的椭圆上，根据bn+1
c
﹣n+1=
，得bn
c
﹣n=
，可知n→+∞时bn→cn，据此可判断△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n 的增大而
增大，再由三角形面积公式可得到答案．
【解答】解：b1=2a1
c
﹣1且b1＞c1，∴2a1
c
﹣1＞c1，∴a1＞c1，
∴b1
a
﹣
1=2a1
c
﹣1
a
﹣
1=a1
c
﹣1＞0，∴b1＞a1＞c1，
又b1
c
﹣1＜a1，∴2a1
c
﹣1
c
﹣1＜a1，∴2c1＞a1，∴
，
由题意，
+an，∴bn+1+cn+1
2a
﹣
n=
（bn+cn
2a
﹣
n），
∴bn+cn
2a
﹣
n=0，∴bn+cn=2an=2a1，∴bn+cn=2a1，
由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，
又由题意，bn+1
c
﹣n+1=
，∴
=a1
b
﹣
n，
∴bn+1
a
﹣
1=
，∴bn
a
﹣
1=
，
∴
，cn=2a1
b
﹣
n=
，
∴
[
][
]
=
[
﹣
]单调递增（可证当n=1 时
＞0）
故选：B．
【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题
的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．
二.填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t +（1
t
﹣）．若• =0，则t=
2
．
第10页（共17页）
【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由于• =0，对式子=t +（1
t
﹣）两边与作数量积可得
=0，经过化简
即可得出．
【解答】解：∵
，
，∴
=0，
∴tcos60°+1
t=0
﹣
，∴1
=0，解得t=2．
故答案为2．
【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．
14．（5 分）若数列{an}的前n 项和为Sn=
an+
，则数列{an}的通项公式是an= （﹣
2 ）
n
1
﹣
．
【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】把n=1 代入已知式子可得数列的首项，由n≥2 时，an=Sn
S
﹣n
1
﹣，可得数列为等比数列，且公比
为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．
【解答】解：当n=1 时，a1=S1=
，解得a1=1
当n≥2 时，an=Sn
S
﹣n
1
﹣=（
）﹣（
）=
，
整理可得
，即
=
2
﹣，
故数列{an}从第二项开始是以﹣2 为首项，﹣2 为公比的等比数列，
故当n≥2 时，an=（﹣2）n
1
﹣，
经验证当n=1 时，上式也适合，
故答案为：（﹣2）n
1
﹣
【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．
15．（5 分）设当x=θ 时，函数f（x）=sinx
2cosx
﹣
取得最大值，则cosθ= ﹣
．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．
【分析】f（x）解析式提取
，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ 时，函
数f（x）取得最大值，得到sinθ
2cosθ=
﹣
，与sin2θ+cos2θ=1 联立即可求出cosθ 的值．
【解答】解：f（x）=sinx
2cosx=
﹣
（
sinx﹣
cosx）=
sin（x
α
﹣）（其中cosα=
，sinα=
），
∵x=θ 时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ
α
﹣）=1，即sinθ
2cosθ=
﹣
，
又sin2θ+cos2θ=1，
联立得（2cosθ+
）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣
．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义
域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
16．（5 分）若函数f（x）=（1
x
﹣2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=
2
﹣对称，则f（x）的最大值为
16
．
【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0 且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8 且b=15，由此可得f（x）=
x
﹣4﹣
8x3
14x
﹣
2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣
）、
（﹣2，﹣2+
）上是增函数，在区间（﹣2﹣
，﹣2）、（﹣2+
，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣
）=f（﹣2+
）=16，即可得到f（x）的最大值．
【解答】解：∵函数f（x）=（1
x
﹣2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=
2
﹣对称，
∴f（﹣1）=f（﹣3）=0 且f（1）=f（﹣5）=0，
第11页（共17页）
即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0 且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，
解之得
，
因此，f（x）=（1
x
﹣2）（x2+8x+15）=
x
﹣4
8x
﹣
3
14x
﹣
2+8x+15，
求导数，得f′（x）=
4x
﹣
3
24x
﹣
2
28x
﹣
+8，
令f′（x）=0，得x1=
2
﹣﹣
，x2=
2
﹣，x3=
2
﹣+
，
当x∈（﹣∞，﹣2﹣
）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣
，﹣2）时，f′（x）＜0；
当x∈（﹣2，﹣2+
）时，f′（x）＞0； 当x∈（﹣2+
，+∞）时，f′（x）＜0
∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣
）、（﹣2，﹣2+
）上是增函数，在区间（﹣2﹣
，﹣2）、（﹣2+
，
+∞）上是减函数．
又∵f（﹣2﹣
）=f（﹣2+
）=16，
∴f（x）的最大值为16．
故答案为：16．
【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=
2
﹣对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、
利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=
，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC=90°．
（1）若PB=
，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA 中，利用余弦
定理即可求得PA．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC 中，可得PB=sinα．在△PBA 中，由正弦定理得
，即
，化简即可求出．
【解答】解：（I）在Rt△PBC 中，
=
，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．
在△PBA 中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2
2PB•ABcos30°=
﹣
=
．
∴PA=
．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC 中，PB=BCcos（90°
α
﹣）=sinα．
在△PBA 中，由正弦定理得
，即
，
化为
．∴
．
【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．
18．（12 分）如图，三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值．
第12页（共17页）
【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）取AB 的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得
AB⊥A1C；
（Ⅱ）易证OA，OA1，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正向，|
|为单位长，建立坐
标系，可得
，
，
的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C 的法向量，则
，可解得=
（
，1，﹣1），可求|cos＜，
＞|，即为所求正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）取AB 的中点O，连接OC，OA1，A1B，
因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，
所以△AA1B 为等边三角形，所以OA1⊥AB，
又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC 两两垂直．
以O 为坐标原点，
的方向为x 轴的正向，|
|为单位长，建立如图所示的坐标系，
可得A（1，0，0），A1（0，
，0），C（0，0，
），B（﹣1，0，0），
则
=（1，0，
），
=（﹣1，
，0），
=（0，﹣
，
），
设=（x，y，z）为平面BB1C1C 的法向量，则
，即
，
可取y=1，可得=（
，1，﹣1），故cos＜，
＞=
=
，
又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，
故直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值为：
．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难
题．
19．
（12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这4 件产品
中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品
通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他
情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的
概率都为
，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需
的费用记为X（单位：元），求X 的分布列及数学期望．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4 件产品中恰有3 件优质品为事件A1，第一次取出的4 件产品全是优
质品为事件A2，第二次取出的4 件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1 件产品是优质品为
事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得
加法公式和条件概率，代入数据计算可得；
（Ⅱ）X 可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．
【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4 件产品中恰有3 件优质品为事件A1，第一次取出的4 件产品全是
优质品为事件A2，
第13页（共17页）
第二次取出的4 件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1 件产品是优质品为事件B2，
这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，
所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）
=
=
（Ⅱ）X 可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=
，P（X=500）=
，
P（X=400）=1﹣
﹣
=
，故X 的分布列如下：
X
400
500
800
P
故EX=400×
+500×
+800×
=506.25
【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．
20．（12 分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x
1
﹣）2+y2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P
的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．
【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3
R
﹣）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，求
出即可；
（II）设曲线C 上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R
2
﹣≤4
2=2
﹣
，所以R≤2，当且仅当⊙P 的圆
心为（2，0）R=2 时，其半径最大，其方程为（x
2
﹣）2+y2=4．分①l 的倾斜角为90°，此时l 与y 轴重合
可得|AB|．②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R，可知l 与x 轴不平行，设l 与x 轴的交
点为Q，根据
，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系
数的关系利用弦长公式即可得出．
【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x
1
﹣）2+y2=9，圆心N（1，0），半径
3．
设动圆的半径为R，
∵动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3
R
﹣）=4，
而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，
∴a=2，c=1，b2=a2
c
﹣2=3．
∴曲线C 的方程为
（x≠﹣2）．
（II）设曲线C 上任意一点P（x，y），
由于|PM|﹣|PN|=2R
2
﹣≤3
1=2
﹣
，所以R≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0）R=2 时，其半径最大，其
方程为（x
2
﹣）2+y2=4．
①l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|=
．
②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R，可知l 与x 轴不平行，
设l 与x 轴的交点为Q，则
，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），
由l 于M 相切可得：
，解得
．
当
时，联立
，得到7x2+8x
8=0
﹣
．
∴
，
．
∴|AB|=
=
=
由于对称性可知：当
时，也有|AB|=
．
第14页（共17页）
综上可知：|AB|=
或
．
【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相
交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算
能力及其分类讨论的思想方法．
21．
（12 分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且
在点P 处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d 的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2 时，f（x）≤kg（x），求k 的取值范围．
【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过
点P（0，2），从而解出a，b，c，d 的值；
（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出F（x）的最
值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k 的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，
而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，
从而a=4，b=2，c=2，d=2；
（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）
设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2kex（x+1）﹣x2
4x
2
﹣
﹣，
则F′（x）=2kex（x+2）﹣2x
4=2
﹣
（x+2）（kex
1
﹣），
由题设得F（0）≥0，即k≥1，
令F′（x）=0，得x1=
lnk
﹣
，x2=
2
﹣，
①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，
即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[
2
﹣，+∞）上的最小值为F（x1），
而F（x1）=
x
﹣1（x1+2）≥0，x≥﹣2 时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（ex
e
﹣
2
﹣），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，
即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2 时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（ex
e
﹣
2
﹣），
而F（﹣2）=
2ke
﹣
2
﹣+2＜0，所以当x＞﹣2 时，f（x）≤kg（x）不恒成立，
综上，k 的取值范围是[1，e2]．
【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解
题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．
四、请考生在第22、23、24 题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧
方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题
进行评分.
22．（10 分）（选修4
1
﹣：几何证明选讲）
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E，DB 垂直BE 交
圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=
，延长CE 交AB 于点F，求△BCF 外接圆的半径．
【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）连接DE 交BC 于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得
∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE 为⊙O 的直径，
Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．
（II）由（I）可知：DG 是BC 的垂直平分线，即可得到BG=
．设DE 的中点为O，连接BO，可得
第15页（共17页）
∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF 的外接圆的半径=
．
【解答】（I）证明：连接DE 交BC 于点G．
由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又∵DB⊥BE，∴DE 为⊙O 的直径，∠DCE=90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．
（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．
故DG 是BC 的垂直平分线，∴BG=
．
设DE 的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF 的外接圆的半径=
．
【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的
半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．
23．已知曲线C1的参数方程为
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由
，能求出C1的极坐标方
程．
（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，
由此能求出C1与C2交点的极坐标．
【解答】解：（1）将
，消去参数t，化为普通方程（x
4
﹣）2+（y
5
﹣）2=25，
即C1：x2+y2
8x
10y
﹣
﹣
+16=0，
将
代入x2+y2
8x
10y
﹣
﹣
+16=0，
得ρ2
8ρcosθ
10ρsinθ
﹣
﹣
+16=0．
∴C1的极坐标方程为ρ2
8ρcosθ
10ρsinθ
﹣
﹣
+16=0．
（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2
2y=0
﹣
，
联立
，
解得
或
，
∴C1与C2交点的极坐标为（
）和（2，
）．
【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角
坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想
函数与方程思想，是中档题．
24．已知函数f（x）=|2x
1
﹣|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=
2
﹣时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣
，
]时，f（x）≤g（x），求a 的取值范围．
第16页（共17页）
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）当a=
2
﹣时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x
1
﹣|+|2x
2
﹣|
x
3
﹣﹣＜0．设y=|2x
1
﹣|+|2x
2
﹣|
x
3
﹣﹣，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．
（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故x≥a
2
﹣对x∈[﹣
，]都成立，分析可得﹣
≥a
2
﹣，由此解得a 的
取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=
2
﹣时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x
1
﹣|+|2x
2
﹣|
x
3
﹣﹣＜0．
设y=|2x
1
﹣|+|2x
2
﹣|
x
3
﹣﹣，则 y=
，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0 的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣
，
]时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，
故 x≥a
2
﹣对x∈[﹣
，
]都成立．
故﹣
≥a
2
﹣，
解得 a≤
，
故a 的取值范围为（﹣1，
]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点分段讨论法分析函
数的解析式．
第17页（共17页）
