文档文本内容
2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．（5 分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁UA=（ ）
A．{1，2}
B．{3，4，5}
C．{1，2，3，4，5} D．∅
2．（5 分）若α 为第二象限角，sinα=
，则cosα=（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+ ）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4
B．﹣3
C．﹣2
D．﹣1
4．（5 分）不等式|x2
2
﹣|＜2 的解集是（ ）
A．（﹣1，1）
B．（﹣2，2）
C．（﹣1，0）∪（0，1）D．
（﹣2，0）∪（0，2）
5．（5 分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（ ）
A．28
B．56
C．112
D．224
6．（5 分）函数f（x）=log2（1+
）（x＞0）的反函数f
1
﹣（x）=（ ）
A．
B．
C．2x
1
﹣（x∈R）
D．2x
1
﹣（x＞0）
7．（5 分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣
，则{an}的前10 项和等于（ ）
A．﹣6（1
3
﹣
10
﹣）B．
C．3（1
3
﹣
10
﹣）
D．3（1+3
10
﹣）
8．（5 分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F2且垂直于x 轴的直线交椭圆于A、B 两
点，且|AB|=3，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
10．（5 分）已知曲线y=x4+ax2+1 在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（ ）
A．9
B．6
C．﹣9
D．﹣6
11．（5 分）已知正四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD 与平面BDC1所成角的正弦值等于（
）
A．
B．
C．
D．
12．
（5 分）已知抛物线C：y2=8x 的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A，B 两
点，若
，则k=（ ）
A．
B．
C．
D．2
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）设f（x）是以2 为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x
2
﹣，则f（﹣1）= ．
14．（5 分）从进入决赛的6 名选手中决出1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共
有 种．（用数字作答）
15．（5 分）若x、y 满足约束条件
，则z=
x
﹣+y 的最小值为 ．
16 ．（5 分）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，
，则球O 的表面积等于 ．
第1页（共12页）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
，求数列{bn}的前n 项和Sn．
18．（12 分）设△ABC 的内角A，B，C 的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a
b
﹣+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=
，求C．
19．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD 都是边长为2 的
等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求点A 到平面PCD 的距离．
20．
（12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的
一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为
，各局比赛的结果都相互独立，第1 局甲当
裁判．
（Ⅰ）求第4 局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）求前4 局中乙恰好当1 次裁判概率．
第2页（共12页）
21．（12 分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．
（Ⅰ）求a=
时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a 的取值范围．
22．（12 分）已知双曲线C：
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2
与C 的两个交点间的距离为
．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l 与C 的左、右两支分别相交于A、B 两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|
BF2|成等比数列．
第3页（共12页）
2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．（5 分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁UA=（ ）
A．{1，2}
B．{3，4，5}
C．{1，2，3，4，5} D．∅
【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁UA，即可选出正确选项
【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}
所以∁UA={3，4，5}
故选：B．
【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键
2．（5 分）若α 为第二象限角，sinα=
，则cosα=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】由α 为第二象限角，得到cosα 小于0，根据sinα 的值，利用同角三角函数间的基本关系即可
求出cosα 的值．
【解答】解：∵α 为第二象限角，且sinα=
，
∴cosα=﹣
=﹣
．
故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
3．（5 分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+ ）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4
B．﹣3
C．﹣2
D．﹣1
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵
，
．
∴
=（2λ+3，3），
．
∵
，
∴
=0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=
3
﹣．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
4．（5 分）不等式|x2
2
﹣|＜2 的解集是（ ）
A．（﹣1，1）
B．（﹣2，2）
C．（﹣1，0）∪（0，1）D．
（﹣2，0）∪（0，2）
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．
【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．
【解答】解：不等式|x2
2
﹣|＜2 的解集等价于，不等式﹣2＜x2
2
﹣＜2 的解集，即0＜x2＜4，
解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．
第4页（共12页）
故选：D．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．
5．（5 分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（ ）
A．28
B．56
C．112
D．224
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1 项，令x 的指数为6 求出x6的系数．
【解答】解：（x+2）8展开式的通项为T r+1=C
x 8
r
﹣2 r
令8
r=6
﹣
得r=2，
∴展开式中x6的系数是2 2C8
2=112．
故选：C．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
6．（5 分）函数f（x）=log2（1+
）（x＞0）的反函数f
1
﹣（x）=（ ）
A．
B．
C．2x
1
﹣（x∈R）
D．2x
1
﹣（x＞0）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】把y 看作常数，求出x：x=
，x，y 互换，得到y=log2（1+
）的反函数．注意反函数的定义域．
【解答】解：设y=log2（1+
），
把y 看作常数，求出x：
1+
=2y，x=
，其中y＞0，
x，y 互换，得到y=log2（1+
）的反函数：y=
，
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．
7．（5 分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣
，则{an}的前10 项和等于（ ）
A．﹣6（1
3
﹣
10
﹣）B．
C．3（1
3
﹣
10
﹣）
D．3（1+3
10
﹣）
【考点】89：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣
为公比的等比数列，结合已知
可求a1，然后代入等比数
列的求和公式可求
【解答】解：∵3an+1+an=0
∴
∴数列{an}是以﹣
为公比的等比数列
∵
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，S10=
=3（1
3
﹣
10
﹣）
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
8．（5 分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F2且垂直于x 轴的直线交椭圆于A、B 两
第5页（共12页）
点，且|AB|=3，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆的方程为
，根据题意可得
=1．再由AB 经过右焦点F2且垂直于x 轴
且|AB|=3 算出A、B 的坐标，代入椭圆方程得
，两式联解即可算出a2=4，b2=3，从而得
到椭圆C 的方程．
【解答】解：设椭圆的方程为
，
可得c=
=1，所以a2
b
﹣
2=1…①
∵AB 经过右焦点F2且垂直于x 轴，且|AB|=3
∴可得A（1，
），B（1，﹣
），代入椭圆方程得
，…②
联解①②，可得a2=4，b2=3
∴椭圆C 的方程为
故选：C．
【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几
何性质等知识，属于基础题．
9．（5 分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．
【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与
，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，
所以函数的周期T=2（
）=
，
所以T=
=
，所以ω=
=4．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．
10．（5 分）已知曲线y=x4+ax2+1 在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（ ）
A．9
B．6
C．﹣9
D．﹣6
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a 的值．
【解答】解：∵y=x4+ax2+1，
∴y′=4x3+2ax，
第6页（共12页）
∵曲线y=x4+ax2+1 在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，
∴﹣4
2a=8
﹣
∴a=
6
﹣
故选：D．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．（5 分）已知正四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD 与平面BDC1所成角的正弦值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直
角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD 与平面BDC1所成角为θ，
则sinθ=|
|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空
间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
=（1，1，0），
=（1，0，﹣2），
=（1，0，0），
设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则
，即
，取=（2，﹣2，1），
设CD 与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=|
|=
，
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向
量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
12．
（5 分）已知抛物线C：y2=8x 的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A，B 两
点，若
，则k=（ ）
A．
B．
C．
D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】斜率k 存在，设直线AB 为y=k（x
2
﹣），代入抛物线方程，利用
=（x1+2，y1
2
﹣）•（x2+2，y2
2
﹣）=0，即可求出k 的值．
【解答】解：由抛物线C：y2=8x 得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k 存在，设直线AB 为y=k（x
2
﹣），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=4+
，x1x2=4．
∴y1+y2=
，y1y2=
16
﹣
，
第7页（共12页）
又
=0，
∴
=（x1+2，y1
2
﹣）•（x2+2，y2
2
﹣）=
=0
∴k=2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中
档题．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）设f（x）是以2 为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x
2
﹣，则f（﹣1）= ﹣
1
．
【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用函数的周期，求出f（﹣1）=f（1），代入函数的解析式求解即可．
【解答】解：因设f（x）是以2 为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x
2
﹣，
则f（﹣1）=f（1）=1
2=
1
﹣
﹣．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，函数的定义域是解题的关键，考查计算能力．
14．（5 分）从进入决赛的6 名选手中决出1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共
有
60
种．（用数字作答）
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】6 名选手中决出1 名一等奖有
种方法，2 名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答
案．
【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6 名选手中决出1 名一等奖有
种方法，
第二步，再决出2 名二等奖，有
种方法，
第三步，剩余三人为三等奖，
根据分步乘法计数原理得：共有
•
=60 种方法．
故答案为：60．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．
15．（5 分）若x、y 满足约束条件
，则z=
x
﹣+y 的最小值为
0
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；59：不等式的解法及应用．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=
x
﹣+y 对应
的直线进行平移，可得当x=y=1 时，目标函数z 取得最小值，从而得到本题答案．
【解答】解：作出不等式组
表示的平面区域，
得到如图的△ABC 及其内部，其中A（1，1），B（0，
），C（0，4）
设z=F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z=
x
﹣+y 进行平移，
当l 经过点A 时，目标函数z 达到最小值
∴z 最小值=F（1，1）=
1
﹣+1=0
故答案为：0
第8页（共12页）
【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=
x
﹣+y 的最小值，着重考查了二元一次不等式组表
示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
16 ．（5 分）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，
，则球O 的表面积等于
16π
．
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：如图所示，设球O 的半径为r，AB 是公共弦，∠OCK 是面面角
根据题意得OC=
，CK=
在△OCK 中，OC2=OK2+CK2，即
∴r2=4
∴球O 的表面积等于4πr2=16π
故答案为16π
【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
，求数列{bn}的前n 项和Sn．
【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an
（II）由
=
=
，利用裂项求和即可求解
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d
∵a7=4，a19=2a9，
∴
解得，a1=1，d=
∴
=
（II）∵
=
=
∴sn=
=
=
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易
18．（12 分）设△ABC 的内角A，B，C 的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a
b
﹣+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=
，求C．
第9页（共12页）
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出
cosB，将关系式代入求出cosB 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B
的度数；
（II）由（I）得到A+C 的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A
C
﹣），变形后将cos（A+C）及
2sinAsinC 的值代入求出cos（A
C
﹣）的值，利用特殊角的三角函数值求出A
C
﹣的值，与A+C 的值
联立即可求出C 的度数．
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a
b
﹣+c）=（a+c）2
b
﹣
2=ac，
∴a2+c2
b
﹣
2=
ac
﹣
，
∴cosB=
=﹣
，
又B 为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=
，cos（A+C）=
，
∴cos（A
C
﹣）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC
sinAsinC
﹣
+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=
+2×
=
，
∴A
C=30°
﹣
或A
C=
30°
﹣
﹣
，
则C=15°或C=45°．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余
弦定理是解本题的关键．
19．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD 都是边长为2 的
等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求点A 到平面PCD 的距离．
【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（I）取BC 的中点E，连接DE，则ABED 为正方形，过P 作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，
OB，OD，OE，证明PB⊥OE，OE∥CD，即可证明PB⊥CD；
（II）取PD 的中点F，连接OF，证明O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，即可求得点A
到平面PCD 的距离．
【解答】（I）证明：取BC 的中点E，连接DE，则ABED 为正方形，过P 作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连
接OA，OB，OD，OE
由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD
∴OA=OB=OD，即O 为正方形ABED 对角线的交点
∴OE⊥BD，∴PB⊥OE
∵O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，∴OE∥CD
∴PB⊥CD；
（II）取PD 的中点F，连接OF，则OF∥PB
由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，
∵
，
=
∴△POD 为等腰三角形，∴OF⊥PD
∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD
∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD
∴O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离
∵OF=
∴点A 到平面PCD 的距离为1．
第10页（共12页）
【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问
题的能力，属于中档题．
20．
（12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的
一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为
，各局比赛的结果都相互独立，第1 局甲当
裁判．
（Ⅰ）求第4 局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）求前4 局中乙恰好当1 次裁判概率．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，
A 表示事件“第四局甲当裁判”，可得A=A1•A2．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；
（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3
表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B 表示事件“前4 局中乙恰好当1 次裁判”．可得
B=
，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出．
【解答】解：（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲
负”，A 表示事件“第四局甲当裁判”．
则A=A1•A2．
P（A）=P（A1•A2）=
．
（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，
B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B 表示事件“前4 局中乙恰好当1 次裁判”．
则B=
，
则P（B）=P（
）
=
+
=
+
=
．
【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键．
21．（12 分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．
（Ⅰ）求a=
时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a 的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】（I）把a=
代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0 可得x=﹣
，或x=﹣
，判
断函数在区间（﹣∞，﹣
），（﹣
，﹣
），（﹣
，+∞）的正负可得单调性；（II）由f
（2）≥0，可得a≥
，当a≥
，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，
进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0 成立，进而可得a 的范围．
【解答】解：（I）当a=
时，f（x）=x3+3
x2+3x+1，
f′（x）=3x2+6
x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣
，或x=﹣
，
当x∈（﹣∞，﹣
）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（﹣
，﹣
）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（﹣
，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（II）由f（2）≥0，可解得a≥
，当a≥
，x∈（2，+∞）时，
第11页（共12页）
f′（x）=3（x2+2ax+1）≥3（
）=3（x﹣
）（x
2
﹣）＞0，
所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，
综上可得，a 的取值范围是[
，+∞）
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．
22．（12 分）已知双曲线C：
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2
与C 的两个交点间的距离为
．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l 与C 的左、右两支分别相交于A、B 两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|
BF2|成等比数列．
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）由题设，可由离心率为3 得到参数a，b 的关系，将双曲线的方程用参数a 表示出来，再由
直线
建立方程求出参数a 即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l 的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C 的方程
联立，得出x1+x2=
，
，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B 坐标的方程，得出两点
横坐标的关系
，由此方程求出k 的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|
BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．
【解答】解：（I）由题设知
=3，即
=9，故b2=8a2
所以C 的方程为8x2
y
﹣2=8a2
将y=2 代入上式，并求得x=±
，
由题设知，2
=
，解得a2=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C 的方程为8x2
y
﹣2=8 ①
由题意，可设l 的方程为y=k（x
3
﹣），|k|＜2
代入①并化简得（k2
8
﹣）x2
6k
﹣
2x+9k2+8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=
，
，于是
|AF1|=
=﹣（3x1+1），
|BF1|=
=3x2+1，
|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即
故
=
，解得
，从而
=﹣
由于|AF2|=
=1
3x
﹣
1，
|BF2|=
=3x2
1
﹣，
故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2
3
﹣（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2
1=16
﹣
因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想
运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解
答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．
第12页（共12页）
