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2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的
1．（5 分）已知集合A={
2
﹣，0，2}，B={x|x2
x
2=0
﹣﹣
}，则A∩B=（ ）
A．∅
B．{2}
C．{0}
D．{
2
﹣}
2．（5 分）
=（ ）
A．1+2i
B．﹣1+2i
C．1
2i
﹣
D．﹣1
2i
﹣
3．（5 分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（ ）
A．p 是q 的充分必要条件
B．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
4．（5 分）设向量，满足| + |=
，| ﹣|=
，则• =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
5．（5 分）等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n 项和Sn=（ ）
A．n（n+1）
B．n（n
1
﹣）
C．
D．
6．
（5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该
零件由一个底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯
体积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．
（5 分）正三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的底面边长为2，侧棱长为
，D 为BC 中点，则三棱锥A
B
﹣
1DC1的体
积为（ ）
A．3
B．
C．1
D．
8．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t 均为2，则输出的S=（ ）
第1页（共15页）
A．4
B．5
C．6
D．7
9．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=x+2y 的最大值为（ ）
A．8
B．7
C．2
D．1
10．（5 分）设F 为抛物线C：y2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B 两点，则|AB|=（
）
A．
B．6
C．12
D．7
11．（5 分）若函数f（x）=kx
ln x
﹣
在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]
B．（﹣∞，﹣1]
C．[2，+∞）
D．[1，+∞）
12．（5 分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1 上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是
（ ）
A．[
1
﹣，1]
B．[﹣
，
]
C．[﹣
，
]
D．[﹣
，
]
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．
13．
（5 分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3 种颜色的运动服中选择1 种，则他们选择相
同颜色运动服的概率为 ．
14．（5 分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx 的最大值为 ．
15．（5 分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2 对称，f（3）=3，则f（﹣1）= ．
16．（5 分）数列{an}满足an+1=
，a8=2，则a1= ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（1）求C 和BD；
（2）求四边形ABCD 的面积．
18．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=
，三棱锥P
ABD
﹣
的体积V=
，求A 到平面PBC 的距离．
19．
（12 分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50 位市民，根据这50 位市民对两部
门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：
（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90 的概率；
（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
第2页（共15页）
20．（12 分）设F1，F2分别是C：
+
=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF2与x 轴垂直，
直线MF1与C 的另一个交点为N．
（1）若直线MN 的斜率为
，求C 的离心率；
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
21．（12 分）已知函数f（x）=x3
3x
﹣
2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为﹣
2．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：当k＜1 时，曲线y=f（x）与直线y=kx
2
﹣只有一个交点．
三、选修4-1：几何证明选讲
22．（10 分）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B，C，PC=2PA，D
为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB2．
第3页（共15页）
四、选修4-4，坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方
程为ρ=2cosθ，θ∈[0，
]
（Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线l：y=
x+2 垂直，根据（1）中你得到的参数方
程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标．
五、选修4-5：不等式选讲
24．设函数f（x）=|x+
|+|x
a
﹣|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a 的取值范围．
第4页（共15页）
2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的
1．（5 分）已知集合A={
2
﹣，0，2}，B={x|x2
x
2=0
﹣﹣
}，则A∩B=（ ）
A．∅
B．{2}
C．{0}
D．{
2
﹣}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．
【解答】解：∵A={
2
﹣，0，2}，B={x|x2
x
2=0
﹣﹣
}={
1
﹣，2}，
∴A∩B={2}．
故选：B．
【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
2．（5 分）
=（ ）
A．1+2i
B．﹣1+2i
C．1
2i
﹣
D．﹣1
2i
﹣
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i 化简即可．
【解答】解：化简可得
=
=
=
=
1
﹣+2i
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础
题．
3．（5 分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（ ）
A．p 是q 的充分必要条件
B．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，
充分性不成立．
根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0 成立，即必要性成立，
故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题
的关键，比较基础．
4．（5 分）设向量，满足| + |=
，| ﹣|=
，则• =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．
【解答】解：∵| + |=
，| ﹣|=
，
∴分别平方得
+2 • +
=10，
﹣2 • +
=6，
两式相减得4 • =10
6=4
﹣
，
第5页（共15页）
即• =1，
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．
5．（5 分）等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n 项和Sn=（ ）
A．n（n+1）
B．n（n
1
﹣）
C．
D．
【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得a4
2=（a4
4
﹣）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．
【解答】解：由题意可得a4
2=a2•a8，
即a4
2=（a4
4
﹣）（a4+8），
解得a4=8，
∴a1=a4
3
﹣×2=2，
∴Sn=na1+
d，
=2n+
×2=n（n+1），
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
6．
（5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该
零件由一个底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯
体积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3 高为2，一个是底面半径为2，高为4，
组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．
底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：
=
．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
7．
（5 分）正三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的底面边长为2，侧棱长为
，D 为BC 中点，则三棱锥A
B
﹣
1DC1的体
积为（ ）
A．3
B．
C．1
D．
第6页（共15页）
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．
【解答】解：∵正三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的底面边长为2，侧棱长为
，D 为BC 中点，
∴底面B1DC1的面积：
=
，
A 到底面的距离就是底面正三角形的高：
．
三棱锥A
B
﹣
1DC1的体积为：
=1．
故选：C．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．
8．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t 均为2，则输出的S=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．
【解答】解：若x=t=2，
则第一次循环，1≤2 成立，则M=
，S=2+3=5，k=2，
第二次循环，2≤2 成立，则M=
，S=2+5=7，k=3，
此时3≤2 不成立，输出S=7，
故选：D．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．
9．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=x+2y 的最大值为（ ）
A．8
B．7
C．2
D．1
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣
，
平移直线y=﹣
，由图象可知当直线y=﹣
经过点A 时，直线y=﹣
的截距最大，此时
z 最大．
由
，得
，
即A（3，2），
此时z 的最大值为z=3+2×2=7，
故选：B．
第7页（共15页）
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
10．（5 分）设F 为抛物线C：y2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B 两点，则|AB|=（
）
A．
B．6
C．12
D．7
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦
长公式求得|AB|．
【解答】解：由y2=3x 得其焦点F（
，0），准线方程为x=﹣
．
则过抛物线y2=3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣
）=
（x﹣
）．
代入抛物线方程，消去y，得16x2
168x
﹣
+9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=
，
所以|AB|=x1+
+x2+
=
+
+
=12
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题
的难点和关键．
11．（5 分）若函数f（x）=kx
ln x
﹣
在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]
B．（﹣∞，﹣1]
C．[2，+∞）
D．[1，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx
lnx
﹣
在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0 在区间
（1，+∞）上恒成立．解出即可．
【解答】解：f′（x）=k﹣
，
∵函数f（x）=kx
lnx
﹣
在区间（1，+∞）单调递增，
∴f′（x）≥0 在区间（1，+∞）上恒成立．
∴k≥
，
而y=
在区间（1，+∞）上单调递减，
∴k≥1．
∴k 的取值范围是：[1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．
12．（5 分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1 上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是
（ ）
A．[
1
﹣，1]
B．[﹣
，
]
C．[﹣
，
]
D．[﹣
，
]
【考点】JE：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
第8页（共15页）
【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1 上存在点N，使得∠OMN=45°，
则∠OMN 的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，
而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值，
此时MN=1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，
∴x0的取值范围是[
1
﹣，1]．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略
之一．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．
13．
（5 分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3 种颜色的运动服中选择1 种，则他们选择相
同颜色运动服的概率为
．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】所有的选法共有3×3=9 种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3 种，由此求得他们选
择相同颜色运动服的概率．
【解答】解：所有的选法共有3×3=9 种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3 种，
故他们选择相同颜色运动服的概率为
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
14．（5 分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx 的最大值为
1
．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．
【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．
【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx
=sinxcosφ+sinφcosx
2sinφcosx
﹣
=sinxcosφ
sinφcosx
﹣
=sin（x
φ
﹣）≤1．
所以函数的最大值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．
15．（5 分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2 对称，f（3）=3，则f（﹣1）=
3
．
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．
【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2 对称，
所以f（2+x）=f（2
x
﹣）=f（x
2
﹣），
即f（x+4）=f（x），
则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，
法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2 对称，
第9页（共15页）
所以f（1）=f（3）=3，
因为f（x）是偶函数，
所以f（﹣1）=f（1）=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解
决本题的关键，比较基础．
16．（5 分）数列{an}满足an+1=
，a8=2，则a1=
．
【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据a8=2，令n=7 代入递推公式an+1=
，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求
出a1的值．
【解答】解：由题意得，an+1=
，a8=2，
令n=7 代入上式得，a8=
，解得a7=
；
令n=6 代入得，a7=
，解得a6=
1
﹣；
令n=5 代入得，a6=
，解得a5=2；
…
根据以上结果发现，求得结果按2，
，﹣1 循环，
∵8÷3=2…2，故a1=
故答案为：
．
【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n 具体的值代入后求数列的项，属于基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（1）求C 和BD；
（2）求四边形ABCD 的面积．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】（1）在三角形BCD 中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，
在三角形ABD 中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA 以及cosA 的值代入表示出BD2，两者相等
求出cosC 的值，确定出C 的度数，进而求出BD 的长；
（2）由C 的度数求出A 的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD 与三角形BCD 面积，之和即为
四边形ABCD 面积．
【解答】解：（1）在△BCD 中，BC=3，CD=2，
由余弦定理得：BD2=BC2+CD2
2BC•CDcosC=13
12cosC
﹣
﹣
①，
在△ABD 中，AB=1，DA=2，A+C=π，
由余弦定理得：BD2=AB2+AD2
2AB•ADcosA=5
4cosA=5
﹣
﹣
+4cosC ②，
由①②得：cosC=
，
则C=60°，BD=
；
（2）∵cosC=
，cosA=﹣
，
∴sinC=sinA=
，
则S=
AB•DAsinA+
BC•CDsinC=
×1×2×
+
×3×2×
=2
．
第10页（共15页）
【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定
理是解本题的关键．
18．（12 分）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=
，三棱锥P
ABD
﹣
的体积V=
，求A 到平面PBC 的距离．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面
AEC；
（Ⅱ）通过AP=1，AD=
，三棱锥P
ABD
﹣
的体积V=
，求出AB，作AH⊥PB 角PB 于H，说明AH 就是
A 到平面PBC 的距离．通过解三角形求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD 与AC 的交点为O，连结EO，
∵ABCD 是矩形，
∴O 为BD 的中点
∵E 为PD 的中点，
∴EO∥PB．
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC
∴PB∥平面AEC；
（Ⅱ）∵AP=1，AD=
，三棱锥P
ABD
﹣
的体积V=
，
∴V=
=
，
∴AB=
，PB=
=
．
作AH⊥PB 交PB 于H，
由题意可知BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC．
又在三角形PAB 中，由射影定理可得：
A 到平面PBC 的距离
．
【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
19．
（12 分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50 位市民，根据这50 位市民对两部
门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：
第11页（共15页）
（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90 的概率；
（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，
（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．
【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50 位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26 位的是
75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．
50 位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26 位的是66，68，故样本的中位数是
=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．
（Ⅱ）由茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于90 的比率分别为
，
故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90 的概率得估计值分别为0.1，0.16，
（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大
致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价
较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．
【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．
20．（12 分）设F1，F2分别是C：
+
=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF2与x 轴垂直，
直线MF1与C 的另一个交点为N．
（1）若直线MN 的斜率为
，求C 的离心率；
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为
，建立关于a，c 的方程即可求C 的离
心率；
（2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭
圆方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵M 是C 上一点且MF2与x 轴垂直，
∴M 的横坐标为c，当x=c 时，y=
，即M（c，
），
若直线MN 的斜率为
，
即tan∠MF1F2=
，
即b2=
=a2
c
﹣2，
即c2+
a
﹣
2=0，
则
，
即2e2+3e
2=0
﹣
解得e=
或e=
2
﹣（舍去），
第12页（共15页）
即e=
．
（Ⅱ）由题意，原点O 是F1F2的中点，则直线MF1与y 轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，
设M（c，y），（y＞0），
则
，即
，解得y=
，
∵OD 是△MF1F2的中位线，
∴
=4，即b2=4a，
由|MN|=5|F1N|，
则|MF1|=4|F1N|，
解得|DF1|=2|F1N|，
即
设N（x1，y1），由题意知y1＜0，
则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．
即
，即
代入椭圆方程得
，
将b2=4a 代入得
，
解得a=7，b=
．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合
性较强，运算量较大，有一定的难度．
21．（12 分）已知函数f（x）=x3
3x
﹣
2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为﹣
2．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：当k＜1 时，曲线y=f（x）与直线y=kx
2
﹣只有一个交点．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2
6x
﹣
+a；f′（0）=a；
则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，
∵切线与x 轴交点的横坐标为﹣2，
∴f（﹣2）=
2a
﹣
+2=0，
解得a=1．
（Ⅱ）当a=1 时，f（x）=x3
3x
﹣
2+x+2，
设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3
3x
﹣
2+（1
k
﹣）x+4，
由题设知1
k
﹣＞0，
当x≤0 时，g′（x）=3x2
6x
﹣
+1
k
﹣＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k
1
﹣，g（0）=4，
当x＞0 时，令h（x）=x3
3x
﹣
2+4，则g（x）=h（x）+（1
k
﹣）x＞h（x）．
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则h′（x）=3x2
6x=3x
﹣
（x
2
﹣）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，
∴在x=2 时，h（x）取得极小值h（2）=0，
g（﹣1）=k
1
﹣，g（0）=4，
则g（x）=0 在（﹣∞，0]有唯一实根．
∵g（x）＞h（x）≥h（2）=0，
∴g（x）=0 在（0，+∞）上没有实根．
综上当k＜1 时，曲线y=f（x）与直线y=kx
2
﹣只有一个交点．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关
系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
三、选修4-1：几何证明选讲
22．（10 分）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B，C，PC=2PA，D
为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB2．
【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】17：选作题；5Q：立体几何．
【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E 是
的中点，从而BE=EC；
（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．
【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D 为PC 的中点，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E 是
的中点，
∴BE=EC；
（Ⅱ）∵PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B，C，
∴PA2=PB•PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD，
∴BD•DC=PB•2PB，
∵AD•DE=BD•DC，
∴AD•DE=2PB2．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能
力，属于中档题．
四、选修4-4，坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方
程为ρ=2cosθ，θ∈[0，
]
（Ⅰ）求C 的参数方程；
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（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线l：y=
x+2 垂直，根据（1）中你得到的参数方
程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）利用
即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1 进而得出参数方程．
（2）利用半圆C 在D 处的切线与直线l：y=
x+2 垂直，则直线CD 的斜率与直线l 的斜率相等，即可
得出直线CD 的倾斜角及D 的坐标．
【解答】解：
（1）由半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，
]，即ρ2=2ρcosθ，可得C 的普通方程为（x
1
﹣）2+y2=1（0≤y≤1）．
可得C 的参数方程为
（t 为参数，0≤t≤π）．
（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C 是以C（1，0）为圆心，1 为半径的上半圆，
∵直线CD 的斜率与直线l 的斜率相等，∴tant=
，t=
．
故D 的直角坐标为
，即（
，
）．
【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，
考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
五、选修4-5：不等式选讲
24．设函数f（x）=|x+
|+|x
a
﹣|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a 的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+
|+|x
a
﹣|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2 成立．
（Ⅱ）由f（3）=|3+
|+|3
a
﹣|＜5，分当a＞3 时和当0＜a≤3 时两种情况，分别去掉绝对值，求得不
等式的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+
|+|x
a
﹣|≥|（x+
）﹣（x
a
﹣）|=|a+
|=a+
≥2
=2，
故不等式f（x）≥2 成立．
（Ⅱ）∵f（3）=|3+
|+|3
a
﹣|＜5，
∴当a＞3 时，不等式即a+
＜5，即a2
5a
﹣
+1＜0，解得3＜a＜
．
当0＜a≤3 时，不等式即 6
a
﹣+
＜5，即 a2
a
1
﹣﹣＞0，求得
＜a≤3．
综上可得，a 的取值范围（
，
）．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，
属于中档题．
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