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2013 年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|
4≤x≤1}
﹣
，则S∩T=（ ）
A．[
4
﹣，+∞）
B．（﹣2，+∞）
C．[
4
﹣，1]
D．（﹣2，1]
2．（5 分）（2013•浙江）已知i 是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（ ）
A．5
5i
﹣
B．7
5i
﹣
C．5+5i
D．7+5i
3．（5 分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）（2013•浙江）设m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，（ ）
A．若m α
∥，n α
∥，则m n
∥
B．若m α
∥，m β
∥，则α β
∥
C．若m n
∥，m α
⊥，则n α
⊥
D．若m α
∥，α β
⊥，则m β
⊥
5．（5 分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm3
B．100 cm3
C．92cm3
D．84cm3
6．（5 分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+
cos2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1
B．π，2
C．2π，1
D．2π，2
7．（5 分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（ ）
A．a＞0，4a+b=0
B．a＜0，4a+b=0
C．a＞0，2a+b=0
D．a＜0，2a+b=0
8．（5 分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：
+y2=1 与双曲线C2 的公共焦点A、B 分别是C1、C2在第二、四象限的
公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：
a∧b=
a b=
∨
若正数a、b、c、d 满足ab≥4，c+d≤4，则（ ）
A．a∧b≥2，c∧d≤2
B．a∧b≥2，c d≥2
∨
C．a b≥2
∨
，c∧d≤2
D．a b≥2
∨
，c d≥2
∨
二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分.
11．（4 分）（2013•浙江）已知函数f（x）=
，若f（a）=3，则实数a=
_________
．
12．（4 分）（2013•浙江）从三男三女6 名学生中任选2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2 名都是女同学的概率
等于
_________
．
13．（4 分）（2013•浙江）直线y=2x+3 被圆x2+y2
6x
8y=0
﹣
﹣
所截得的弦长等于
_________
．
14．（4 分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于
_________
．
15．（4 分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y 满足
若z 的最大值为12，则实数k=
_________
．
16．（4 分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0 时恒有0≤x4
x
﹣3+ax+b≤（x2
1
﹣）2，则ab 等于
_________
．
17．（4 分）（2013•浙江）设
、
为单位向量，非零向量=x
+y
，x、y∈R．若
、
的夹角为30°，则
的最
大值等于
_________
．
三、解答题：本大题共5 小题，共72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14 分）（2013•浙江）在锐角△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2asinB=
b．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．
19．（14 分）（2013•浙江）在公差为d 的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．
（Ⅰ）求d，an；
（Ⅱ） 若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．
20．（15 分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P
ABCD
﹣
中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=
，PA=
，
∠ABC=120°，G 为线段PC 上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；
（Ⅱ）若G 是PC 的中点，求DG 与PAC 所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G 满足PC⊥面BGD，求
的值．
21．（15 分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3
3
﹣（a+1）x2+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
22．（14 分）（2013•浙江）已知抛物线C 的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ） 过F 作直线交抛物线于A、B 两点．若直线OA、OB 分别交直线l：y=x
2
﹣于M、N 两点，求|MN|的最小值．
2013 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|
4≤x≤1}
﹣
，则S∩T=（ ）
A．[
4
﹣，+∞）
B．（﹣2，+∞）
C．[
4
﹣，1]
D．（﹣2，1]
考点：交集及其运算．756122
专题：计算题．
分析：找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．
解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|
4≤x≤1}=[
4
﹣
﹣，1]，
S∩T=
∴
（﹣2，1]．
故选D
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5 分）（2013•浙江）已知i 是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（ ）
A．5
5i
﹣
B．7
5i
﹣
C．5+5i
D．7+5i
考点：复数代数形式的乘除运算．756122
专题：计算题．
分析：直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．
解答：解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．
故选C．
点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
3．（5 分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．756122
专题：三角函数的图像与性质．
分析：当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充
分不必要条件．
解答：解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，
当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=
等，
“α=0”
∴
是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，
故选A．
点评：本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．
4．（5 分）（2013•浙江）设m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，（ ）
A．若m α
∥，n α
∥，则m n
∥
B．若m α
∥，m β
∥，则α β
∥
C．若m n
∥，m α
⊥，则n α
⊥
D．若m α
∥，α β
⊥，则m β
⊥
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．756122
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：用直线与平面平行的性质定理判断A 的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B 的正误；用线面垂直的判
定定理判断C 的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D 的正误．
解答：解：A、m α
∥，n α
∥，则m n
∥，m 与n 可能相交也可能异面，所以A 不正确；
B、m α
∥，m β
∥，则α β
∥，还有α 与β 可能相交，所以B 不正确；
C、m n
∥，m α
⊥，则n α
⊥，满足直线与平面垂直的性质定理，故C 正确．
D、m α
∥，α β
⊥，则m β
⊥，也可能m β
∥，也可能m∩β=A，所以D 不正确；
故选C．
点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．
5．（5 分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm3
B．100 cm3
C．92cm3
D．84cm3
考点：由三视图求面积、体积．756122
专题：空间位置关系与距离．
分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3 的一个三棱锥（长方
体的一个角）．据此即可得出体积．
解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3 的一个三棱锥（长
方体的一个角）．
∴该几何体的体积V=6×6×3﹣
=100．
故选B．
点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
6．（5 分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+
cos2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1
B．π，2
C．2π，1
D．2π，2
考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．756122
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角
函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω 的值，求出函数的最小正周期即
可．
解答：解：f（x）= sin2x+
cos2x=sin（2x+
），
1≤sin
∵﹣
（2x+
）≤1，∴振幅为1，
ω=2
∵
，∴T=π．
故选A
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌
握公式是解本题的关键．
7．（5 分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（ ）
A．a＞0，4a+b=0
B．a＜0，4a+b=0
C．a＞0，2a+b=0
D．a＜0，2a+b=0
考点：二次函数的性质．756122
专题：函数的性质及应用．
分析：由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b 变为关于a 的不等式可得a＞0．
解答：解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，
所以4a+b=0；
又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，
所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．
故选A．
点评：本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．
8．（5 分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：函数的图象．756122
专题：函数的性质及应用．
分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．
解答：解：由导数的图象可得，函数f（x）在[
1
﹣，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在[0，1]上增长速度逐渐
变小，图象是上凸型的，
故选B．
点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．
9．（5 分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：
+y2=1 与双曲线C2 的公共焦点A、B 分别是C1、C2在第二、四象限的
公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：椭圆的简单性质．756122
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意
，解此方程组可求得x，y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求
得C2的离心率．
解答：
解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A 为椭圆C1：
+y2=1 上的点，
2a=4
∴
，b=1，c=
；
|AF
∴
1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴
+
=
，即x2+y2=（2c）2=
=12，②
由①②得：
，解得x=2﹣
，y=2+
，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，
则2a=，|AF2|
|AF
﹣
1|=y
x=2
﹣
，2c=2
=2
，
∴双曲线C2的离心率e= =
=
．
故选D．
点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10．（5 分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：
a∧b=
a b=
∨
若正数a、b、c、d 满足ab≥4，c+d≤4，则（ ）
A．a∧b≥2，c∧d≤2
B．a∧b≥2，c d≥2
∨
C．a b≥2
∨
，c∧d≤2
D．a b≥2
∨
，c d≥2
∨
考点：函数的值．756122
专题：计算题；新定义．
分析：依题意，对a，b 赋值，对四个选项逐个排除即可．
解答：
解：∵a∧b=
，a b=
∨
，
正数a、b、c、d 满足ab≥4，c+d≤4，
∴不妨令a=1，4，则a∧b≥2 错误，故可排除A，B；
再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c d≥2
∨
，故可排除D；
故选C．
点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．
二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分.
11．（4 分）（2013•浙江）已知函数f（x）=
，若f（a）=3，则实数a=
10
．
考点：函数的值．756122
专题：计算题．
分析：利用函数的解析式以及f（a）=3 求解a 即可．
解答：解：因为函数f（x）=
，又f（a）=3，
所以
，解得a=10．
故答案为：10．
点评：本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．
12．（4 分）（2013•浙江）从三男三女6 名学生中任选2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2 名都是女同学的概率
等于 ．
考点：古典概型及其概率计算公式．756122
专题：概率与统计．
分析：由组合数可知：从6 名学生中任选2 名共有
=15 种情况，2 名都是女同学的共有
=3 种情况，由古典概型
的概率公式可得答案．
解答：解：从6 名学生中任选2 名共有
=15 种情况，
满足2 名都是女同学的共有
=3 种情况，
故所求的概率为：
=
故答案为：
点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．
13．（4 分）（2013•浙江）直线y=2x+3 被圆x2+y2
6x
8y=0
﹣
﹣
所截得的弦长等于
4
．
考点：直线与圆的位置关系．756122
专题：计算题；直线与圆．
分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．
解答：解：圆x2+y2
6x
8y=0
﹣
﹣
的圆心坐标（3，4），半径为5，
圆心到直线的距离为：
，
因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，
所以直线y=2x+3 被圆x2+y2
6x
8y=0
﹣
﹣
所截得的弦长为：2×
=4
．
故答案为：4
．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力．
14．（4 分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 ．
考点：程序框图．756122
专题：图表型．
分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=1+
+
+
+
的值，然后利用裂项求和即可求解．
解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1+
+
+
+
的值．
而S=1+
+
+
+
=1+1﹣+ ﹣+ ﹣+ ﹣= ．
故答案为：．
点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．
15．（4 分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y 满足
若z 的最大值为12，则实数k=
2
．
考点：简单线性规划．756122
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=kx+y 对应的直线进行平
移．经讨论可得当当k＜0 时，找不出实数k 的值使z 的最大值为12；当k≥0 时，结合图形可得：当l 经过点C
时，zmax=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．
解答：
解：作出不等式组
表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，
其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）
设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y 进行平移，可得
①当k＜0 时，直线l 的斜率﹣k＞0，
由图形可得当l 经过点B（2，3）或C（4，4）时，z 可达最大值，
此时，zmax=F（2，3）=2k+3 或zmax=F（4，4）=4k+4
但由于k＜0，使得2k+3＜12 且4k+4＜12，不能使z 的最大值为12，
故此种情况不符合题意；
②当k≥0 时，直线l 的斜率﹣k≤0，
由图形可得当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值
此时zmax=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意
综上所述，实数k 的值为2
故答案为：2
点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y 的最大值为12 的情况下求参数k 的值，着重考查了二元一
次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
16．（4 分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0 时恒有0≤x4
x
﹣3+ax+b≤（x2
1
﹣）2，则ab 等于 ﹣
1
．
考点：函数恒成立问题．756122
专题：转化思想；函数的性质及应用．
分析：由题意，x≥0 时恒有0≤x4
x
﹣3+ax+b≤（x2
1
﹣）2，考察（x2
1
﹣）2，发现当x=±1 时，其值都为0，再对照不等式左
边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b 满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积
解答：解：验证发现，
当x=1 时，将1 代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0；
当x=
1
﹣时，将﹣1 代入不等式有0≤2
a+b≤0
﹣
，所以 b
a=
2
﹣
﹣
联立以上二式得：a=1，b=
1
﹣
所以ab=
1
﹣
故答案为﹣1
点评：本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本
题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键
17．（4 分）（2013•浙江）设
、
为单位向量，非零向量=x
+y
，x、y∈R．若
、
的夹角为30°，则
的最
大值等于
2
．
考点：数量积表示两个向量的夹角．756122
专题：平面向量及应用．
分析：
由题意求得
=
，| |=
=
，从而可得
=
=
=
，
再利用二次函数的性质求得
的最大值．
解答：解：∵
、
为单位向量，
和
的夹角等于30°，∴
=1×1×cos30°=
．
∵非零向量=x
+y
，∴| |=
=
=
，
∴
=
=
=
=
，
故当=﹣
时，
取得最大值为2，
故答案为 2．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．
三、解答题：本大题共5 小题，共72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14 分）（2013•浙江）在锐角△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2asinB=
b．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．
考点：正弦定理；余弦定理．756122
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA 的值，由A 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度
数；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c 及cosA 的值代入求出bc 的值，再由sinA
的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积．
解答：解：（Ⅰ）由2asinB=
b，利用正弦定理得：2sinAsinB=
sinB，
sinB≠0
∵
，∴sinA=
，
又A 为锐角，
则A=
；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2
2bc•cosA
﹣
，即36=b2+c2
bc=
﹣
（b+c）2
3bc=64
3bc
﹣
﹣
，
bc=
∴
，又sinA=
，
则S
ABC
△
= bcsinA=
．
点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
19．（14 分）（2013•浙江）在公差为d 的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．
（Ⅰ）求d，an；
（Ⅱ） 若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．
考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．756122
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式an可求；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{an}的前11 项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0 时|
a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和．
解答：解：（Ⅰ）由题意得
，即
，整理得d2
3d
﹣
﹣
4=0．解得d=
1
﹣或d=4．
当d=
1
﹣时，an=a1+（n
1
﹣）d=10﹣（n
1
﹣）=
n+11
﹣
．
当d=4 时，an=a1+（n
1
﹣）d=10+4（n
1
﹣）=4n+6．
所以an=
n+11
﹣
或an=4n+6；
（Ⅱ）设数列{an}的前n 项和为Sn，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=
1
﹣，an=
n+11
﹣
．
则当n≤11 时，
．
当n≥12 时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
S
﹣
n+2S11=
．
综上所述，
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
．
点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学
思想方法和学生的运算能力，是中档题．
20．（15 分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P
ABCD
﹣
中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=
，PA=
，
∠ABC=120°，G 为线段PC 上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；
（Ⅱ）若G 是PC 的中点，求DG 与PAC 所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G 满足PC⊥面BGD，求
的值．
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．756122
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA BD
⊥
；设AC 与BD 的交点为O，则由条件可得BD 是AC 的中垂线，故O 为
AC 的中点，且BD AC
⊥
．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．
（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO 为DG 与平面PAC 所成的角，求出GO 和AC 的值，可得
OC、OD 的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan DGO
∠
的值．
（Ⅲ）先证 PC OG
⊥
，且 PC=
=
．由△COG
PCA
△
∽
，可得
，解得GC 的值，可得PG=PC
GC
﹣
的值，从而求得
的值．
解答：解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P
ABCD
﹣
中，PA⊥面ABCD，∴PA BD
⊥
．
AB=BC=2
∵
，AD=CD=
，设AC 与BD 的交点为O，则BD 是AC 的中垂线，故O 为AC 的中点，且
BD AC
⊥
．
而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（Ⅱ）若G 是PC 的中点，则GO 平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO OD
⊥
，故
OD⊥平面PAC，故∠DGO 为DG 与平面PAC 所成的角．
由题意可得，GO= PA=
．
ABC
△
中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2
2AB•BC•cos ABC=4+4
2×2×2×cos120°=12
﹣
∠
﹣
，
AC=2
∴
，OC=
．
∵直角三角形COD 中，OD=
=2，
∴直角三角形GOD 中，tan DGO=
∠
=
．
（Ⅲ）若G 满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，
PC OG
∴
⊥
，且 PC=
=
．
由△COG
PCA
∽△
，可得
，即
，解得GC=
，
PG=PC
GC=
∴
﹣
﹣
=
，
∴
=
= ．
点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．
21．（15 分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3
3
﹣（a+1）x2+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．756122
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．
解答：解：（Ⅰ）当a=1 时，f′（x）=6x2
12x+6
﹣
，所以f′（2）=6
f
∵（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x
8
﹣；
（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x2
6
﹣（a+1）x+6a=6（x
1
﹣）（x
a
﹣）
令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a
当a＞1 时，
x
0
（0，1）
1
（1，a）
a
（a，2a）2a
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
0
单调递增
极大值3a
1
﹣单调递减
极小值
e2（3
a
﹣）
单调递增
4a3
比较f（0）和f（a）=a2（3
a
﹣）的大小可得g（a）=
；
当a＜﹣1 时，
X
0
（0，1）
1
（1，﹣2a）
2a
﹣
f′x）
﹣
0
+
f（x）
0
单调递减
极小值3a
1
﹣
单调递增
28a
﹣
3
24a
﹣
2
g
∴（a）=3a
1
﹣
f
∴（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=
．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数
学思想，属于中档题．
22．（14 分）（2013•浙江）已知抛物线C 的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ） 过F 作直线交抛物线于A、B 两点．若直线OA、OB 分别交直线l：y=x
2
﹣于M、N 两点，求|MN|的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．756122
专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方
程；
（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB 的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结
合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．
解答：解：（I）由题意可设抛物线C 的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C 的方程为x2=4y
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB 的方程为y=kx+1
由
消去y，整理得x2
4kx
4=0
﹣
﹣
所以x1+x2=4k，x1x2=
4
﹣，从而有|x1
x
﹣2|=
=4
由
解得点M 的横坐标为xM=
=
=
，
同理可得点N 的横坐标为xN=
所以|MN|=
|xM
x
﹣N|=|
﹣
|=8
|
|=
令4k
3=t
﹣
，t 不为0，则k=
当t＞0 时，|MN|=2
＞2
当t＜0 时，|MN|=2
=2
≥
综上所述，当t=﹣
时，|MN|的最小值是
点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解
能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后
求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用
