2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150 分. 考试用时120 分钟.
第Ⅰ卷1 至2 页, 第Ⅱ卷3 至5 页.
第Ⅰ卷
参考公式:
如果事件A, B 互斥, 那么
)
( )
( )
(
B
P A
P A
P B
·棱柱的体积公式V = Sh，
其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.
·如果事件A, B 相互独立, 那么
)
( ) (
(
)
B
P A
A
P
P
B
·球的体积公式
3
4
.
3
V
R
其中R 表示球的半径.
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, B = {x∈R| x≤1}, 则A
B
(A) (
,2]
(B) [1,2]
(C) [－2,2]
(D) [－2,1]
(2) 设变量x, y 满足约束条件
3
6
0,
2
0,
3
0,
x
y
y
x
y
则目标函数z = y－2x 的最小值为
(A) －7
(B) －4
(C) 1
(D) 2
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为
(A) 7
(B) 6
(C) 5
(D) 4
(4) 设,a bR , 则 “
2
(
)
0
a
b a
”是“ a
b
”的
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
(5) 已知过点P(2,2) 的直线与圆
2
2
5
(
1)
x
y
相切, 且与直线
1
0
ax
y
垂直, 则a
(A)
1
2
(B) 1
(C) 2
(D) 1
2
(6) 函数
( )
sin 2
4
f x
x
在区间0, 2
上的最小值是
(A) 1
(B)
2
2
(C)
2
2
(D) 0
(7) 已知函数
( )
f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,
)
上单调递增. 若实数a 满足
2
1
2
(log
)
(log
)
2 (1)
f
a
f
f
a
, 则a 的取值范围是
(A) [1,2]
(B)
1
0, 2
(C)
1 ,2
2
(D) (0,2]
(8) 设函数
2
2, ( )
ln
)
3
(
x
x
g x
x
x
x
f
e
. 若实数a, b 满足
( )
0, ( )
0
f a
g b
, 则
(A)
( )
0
( )
g a
f b
(B)
( )
0
( )
f b
g a
(C) 0
( )
( )
g a
f b
(D)
( )
( )
0
f b
g a
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12 小题, 共110 分.
二．填空题: 本大题共6 小题, 每小题5 分, 共30 分.
(9) i 是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = .
(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为9
2
, 则正方体的棱长为
.
(11) 已知抛物线
2
8
y
x
的准线过双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的一个焦点, 且双曲线的离心率为
2, 则该双曲线的方程为 .
(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1,
60
BAD
, E 为CD 的中点. 若
·
1
AC BE
, 则AB 的长为
.
(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB//DC, 过点A 作圆的切线与
CB 的延长线交于点E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为
.
(14) 设a + b = 2, b>0, 则
1
|
|
2 |
|
a
a
b
的最小值为 .
三．解答题: 本大题共6 小题, 共70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13 分)
某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S≤4, 则
该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10 件产品作为样本, 其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x, y, z)
(1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x, y, z)
(1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取2 件产品,
(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;
(⒉) 设事件B 为 “在取出的2 件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发
生的概率.
(16) (本小题满分13 分)
在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c. 已知sin
3 sin
b
A
c
B
, a = 3,
2
cos
3
B .
(Ⅰ) 求b 的值;
(Ⅱ) 求sin 2
3
B
的值.
(17) (本小题满分13 分)
如图, 三棱柱ABC－A1B1C1 中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均
相等. D, E, F 分别为棱AB, BC, A1C1的中点.
(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直线BC 与平面A1CD 所成角的正弦值.
(18) (本小题满分13 分)
设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F, 离心率为
3
3 , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得
的线段长为4 3
3 .
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D 两点. 若
·
·
8
AC DB
AD CB
, 求k 的值.
(19) (本小题满分14 分)
已知首项为3
2 的等比数列{
}
na 的前n 项和为
(
*)
n
S
nN
, 且
2
3
4
,
2
,
4
S
S
S
成等差数列.
(Ⅰ) 求数列{
}
na 的通项公式;
(Ⅱ) 证明
13
*)
6
1
(
n
n
S
n
S
N
.
(20) (本小题满分14 分)
设
[ 2,0]
a
, 已知函数
3
3
2
(
5) ,
0
3
,
0
(
,
)
.
2
x
f
a
x
x
a
x
x
x
x
x
a
(Ⅰ) 证明
( )
f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线
( )
y
f x
在点
( ,
( ))(
1,2,3)
i
i
i
x
f x
i
P
处的切线相互平行, 且
1
2
3
0,
x x
x
证明
1
2
3
1
3
x
x
x
.
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。每小题5 分。满分40 分。
（1）D （2）A （3）D （4）A
（5）C （6）B （7）C （8）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5 分，满分30 分。
（9）5-5i （10）3 （11）
2
2
1
3
y
x
（12）1
2 （13）15
2 （14）3
4
三、解答题
（15）本小题主要考查样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、
古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问
题的能力。满分13 分。
（I）解：计算10 件产品的综合指标S，如下表:
产品编号
1A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
A
8A
9
A
10
A
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4 的有
1A ，
2
A ，
4
A ，
5
A ，
7
A ，
9
A ，共6 件，故该样本的一等品率为6
10 =0.6，
从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
（II）
（i）解：在该样本的一等品中，随机抽取2 件产品的所有可能结果为
1,
2
A A ，
1,
4
A A ，
1,
5
A A ，
1,
7
A A ，
1,
9
A A ，
2
4
,
A A ，
2
5
,
A A ，
2
7
,
A A ，
2
9
,
A A ，
4
5
,
A A ，
4
7
,
A A ，
4
9
,
A A ，
5
7
,
A A ，
5
9
,
A A ，
7
9
,
A A ，共15 种.
（ii）解：在该样本的一等品中，综合指标S 等于4 的产品编号分别为
1A ，2
A ，
5
A ，7
A ，则
事件B 发生的所有可能结果为
1,
2
A A ，
1,
5
A A ，
1,
7
A A ，
2
5
,
A A ，
2
7
,
A A ，
5
7
,
A A 共6 种。
所以P(B)= 6
2
15
5
.
（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式
、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.满分13
分。
（I）解：在ABC
中，由sin
a
A = sin
b
B ，可得sin
sin
b
A
a
B
,又由sin
3 sin
b
A
c
B
，可得a=3c，又
a=3，故c=1.
由
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
，cos B = 2
3 ，可得
6.
b
（II ）解：由cos B = 2
3
，得sin B =
5
3
，进而得cos2B=
2
2cos
1
B =
1
9
，
4 5
sin 2
2sin
cos
9
B
B
B
.
所以sin 2
3
B
=sin2 cos 3
B
cos2 sin 3
B
4 5
3 .
18
（17）本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识。
考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分13 分。
（I）证明：如图，在三棱柱ABC
1
1
1
A B C
中，
AC ∥
1
1
AC ，且AC =
1
1
AC ，连接ED，在ABC
中，因
为D,E 分别为
AB, BC 的中点，所以DE= 1
2 AC 且DE∥AC，又因
为F 为
1
1
AC 的
中点，可得
1A F
DE
,且
1A F ∥DE ，即四边形
1A DEF 为平行四边形，所以EF ∥
1.
DA 又EF
平面
1ACD ,
1
DA 平面
1ACD ，所以，EF ∥平面
1ACD 。
（II）证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱
1A A⊥底面
ABC ，CD平面ABC ，所以
1A A⊥CD，又
1A A
AB
A
，因此CD⊥平面
1
1
A ABB ，而CD平面
1ACD ，所以平面
1ACD ⊥
1
1
A ABB 。
（III）解：在平面
1
1
A ABB 内，过点B 作BG⊥
1A D 交直线
1A D 于点G，连接CG. 由于平面
1ACD
⊥平面
1
1
A ABB ，而直线
1A D 是平面
1ACD 与平面
1
1
A ABB 的交线，故BG⊥平面
1ACD 。由此得
BCG
为直线BC 与平面
1ACD 所成的角。
设棱长为a，可得
1A D
5
2
a
，由
1A AD
∽
BGD
，易得BG
5
5
a
。在Rt BGC
中，sin
5
5
BG
BCG
BC
.
所以直线BC 与平面
1ACD 所成角的正弦值为
5
5
。
（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识。
考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能
力。满分13 分。
（I）解：设F（
,0
c
），由
3 ,
3
c
a
知
3
a
c
. 过点F 且与x 轴垂直的直线为x
c
，代入椭圆
方程有
2
2
2
2
(
)
1
c
y
a
b
，解得
6
3
b
y
，于是2 6
4 3
3
3
b
，解得
2
b
，又
2
2
2
a
c
b
，从而
3
a
，
c=1，所以椭圆的方程为
2
2
1
3
2
x
y
.
（II）解：设点
1
1
( ,
)
C x y ，
2
2
(
,
)
D x
y
,由F（-1，0）得直线CD 的方程为
(
1)
y
k x
，由方程组
2
2
(
1)
1
3
2
y
k x
x
y
消去y ，整理得
2
2
2
2
(2+3
)
6
3
6
0
k
x
k x
k
.
求解可得
2
1
2
2
6
2
3
k
x
x
k
，
2
1
2
2
3
6
2
3
k
x x
k
. 因为A(
3,0
),
( 3,0)
B
，所以AC DB
AD CB
=（
1
1
3,
x
y
）
2
2
( 3
,
)
x
y
+
2
2
(
3,
)
x
y
1
1
( 3
,
)
x
y
=
1
2
1
2
6
2
2
x x
y y
=
2
1
2
1
2
5
2
2
(
1)(
1)
x x
k
x
x
6
2
2
2
1
2
1
2
(2
2
)
2
(
)
2
k
x x
k
x
x
k
=
2
2
2
12
6
2
3
k
k
.
由已知得
2
2
2
12
6
2
3
k
k
=8，解得
2.
k
（19）本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式，数列的
基本性质等基础知识. 考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.
满分14 分.
（I）解：设等比数列
na
的公比为q，因为
2
2S
,
3
S ,
4
4S 成等差数列，所以
3
S +
2
2S =
4
4S
3
S ，
即
4
S
3
S
=
2
4
S
S
，可得2
4
3
a
a
，于是
4
3
1
2
a
q
a
. 又
1
3
2
a
，所以等比数列
na
的通项公式为
1
1
3
1
3
( 1)
2
2
2
n
n
n
n
a
.
（II）证明：
n
S =
1
1
1
1
1
,
1
2
2
1
1
2
n
n
n
n
n
S
S
=
1
2
,
2 (2
1)
1
2
,
2 (2
1)
n
n
n
n
n
n
为奇数，
为偶数。
当n 为奇数时，
1
n
n
S
S
随n 的增大而减小，所以
1
n
n
S
S
≤
1
1
1
13.
6
S
S
当n 为偶数时，
1
n
n
S
S
随n 的增大而减小，所以
1
n
n
S
S
≤
2
2
1
25.
12
S
S
故对于n
,
n
N
有
1
n
n
S
S
≤13.
6
（20）本小题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨
论思想、化归思想、函数思想. 考查综合分析问题和解决问题的能力. 满分14 分。
（I）证明：设函数
3
1( )
(
5)
f x
x
a
x
(
0)
x
，
2( )
f
x
3
2
3
2
a
x
x
ax
(
0),
x
①
'
1 ( )
f
x =
2
3
(
5),
x
a
由
2,0
a
，从而当1
＜x ＜0 时，
'
1 ( )
f
x =
2
3
(
5)
x
a
＜3
5
0
a
，所
以函数
1( )
f x 在区间
1,0
内单调递减.
②
'
2 ( )
f
x =
2
3
(
3)
(3
)(
1)
x
a
x
a
x
a x
，由于
2,0
a
，所以当0＜x ＜1 时，
'
2 ( )
f
x ＜0；当x
＞1 时，
'
2 ( )
f
x ＞0. 即函数
2( )
f
x 在区间
0,1 内单调递减，在区间(1,
)
内单调递增.
综合①，②及
1
2
(0)
(0)
f
f
，可知函数
( )
f x 在区间（-1,1）内单调递减，在区间(1,
)
内单
调递增.
（II）证明：由（I）知
'( )
f
x 在区间(
,0)
内单调递减，在区间
3
0,
6
a
内单调递减，在区间
3,
6
a
内单调递增. 因为曲线
( )
y
f x
在点
1
1
1
( ,
(
))
P x
f x （i=1,2,3）处的切线相互平行，从而
1
2
3
,
,
x x
x 互不相等，且
'
'
'
1
2
3
(
)
(
)
(
)
f
x
f
x
f
x
. 不防设
1x ＜0＜
2x ＜
3x ，由
2
2
2
1
2
2
3
3
3
(
5)
3
(
3)
3
(
3)
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
，
可得
2
2
3x
2
3
2
3
3
(
3)(
)
0
x
a
x
x
，解得
2
3
3
3
a
x
x
，从而0＜
2x ＜
3
6
a ＜
3x .
设
2
( )
3
(
3)
g x
x
a
x
a
，则
3
6
a
g
＜
2
(
)
g x ＜(0)
g
a
.
由
2
1
2
(
5)
(
)
3
a
g x
x
＜a ，解得
2
5
3
a
＜
1x ＜0，所以
1x +
2x +
3x ＞
2
5
3
a
3
3
a
，设
2
5
3
a
t
，则
2
3
5
2
t
a
，因为
2,0
a
，所以
3
15
,
3
3
t
，故
1x +
2x +
3x ＞
2
2
3
1
1
1
1
(
1)
6
2
3
3
t
t
t
，
即
1x +
2x +
3x ＞
1
3
.
