文档文本内容
O
5
4
3
0.8
0.7
0.5
t
p
否
是
输出S
k=k+1
S=S+2k
k<3
k=0，S=0
结束
开始
2014 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）下列函数中，定义域是
且为增函数的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知向量
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的
值为（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
（5）设
、
是实数，则“
”是“
”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件
（6）已知函数
，在下列区间中，包含
零点的区间
是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
（7）已知圆
和两点
，
，
若圆
上存在点
，使得
，则
的最大值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率
与加工时
间（单位：分钟）满足的函数关系
（
、、是常数），如图记录了三次实验的数据.
根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
（A）
分钟 （B）
分钟
（C）
分钟 （D）
分钟
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
（9）若
，则
.
1
（10）设双曲线
的两个焦点为
，
，一个顶点式
，则
的方程为 .
（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
（12）在
中，
，
，
，则
；
.
（13）若
、
满足
，则
的最小值为
.
（14）顾客请一位工艺师把
、
两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺
师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由
工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件
原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料
原料
则最短交货期为 工作日.
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。
（15）（本小题13 分）
已知
是等差数列，满足
，
，数列
满足
，
， 且
为
等比数列.
（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前
项和.
2
俯视图
侧（左）视图
正（主）视图
1
1
1
2
2
（16）（本小题13 分）
函数
的部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出
的最小正周期及图中
、
的值；
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值.
（17）（本小题14 分）
如图，在三棱柱
中，侧棱垂直于底面，
，
，
、
分别为
、
的中点.
3
C1
B1
A1
F
E
C
B
A
O
y
x
y0
x0
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积.
（18）（本小题14 分）
从某校随机抽取100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单
位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
4
组号
分组
频数
1
6
2
8
3
17
4
22
5
25
6
12
7
6
8
2
9
2
合计
100
阅读时间
b
a
频数
组距
18
16
14
12
10
8
6
4
2
O
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12 小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b 的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100 名学生该周课外阅读时
间的平均数在第几组（只需写出结论）
（19）（本小题14 分）
已知椭圆C：
.
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在直线
，点B 在椭圆C 上，且
，求线段AB 长度的最小值.
5
（20）（本小题13 分）已知函数
.
（Ⅰ）求
在区间
上的最大值；
（Ⅱ）若过点
存在3 条直线与曲线
相切，求t 的取值范围；
（Ⅲ）问过点
分别存在几条直线与曲线
相切？（只需写出结论）
6
2014 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）答案及解析
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】因为
，所以选C.
【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.
7
否
是
输出S
k=k+1
S=S+2k
k<3
k=0，S=0
结束
开始
（2）下列函数中，定义域是
且为增函数的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】对于选项A，在R 上是减函数；选项C 的定义域为
；选项D，在
上是减函数，故选
B.
【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.
（3）已知向量
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】因为
，所以
，故选A.
【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题
（4）执行如图所示的程序框图，输出的
值为（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】当k=0 时，
；当k=1 时，
；
当k=2 时，
；当k=3 时，输出
，故选C.
【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高考新
增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键.
（5）设
、
是实数，则“
”是“
”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要
条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件
【答案】D
【解析】若
，则
，故不充分；
若
，则
，而
，故不必要，故选D.
【考点】本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.
（6 ）已知函数
，在下列区间中，包含
零点的区间是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】C
【解析】因为
，所以由根的存在性定理可知，选C.
8
O
5
4
3
0.8
0.7
0.5
t
p
【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
（7）已知圆
和两点
，
，
若圆
上存在点
，使得
，则
的最大值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】由题意知，点P 在以原点(0,0)为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两个
圆有交点即可，所以
，故选B.
【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.
（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率
与加工时
间（单位：分钟）满足的函数关系
（
、、是常数），如图记录了三次实验的数据.
根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
（A）
分钟 （B）
分钟
（C）
分钟 （D）
分钟
【答案】B
【解析】由图形可知，三点
都在函数
的图象上，
所以
，解得
.
所以
，当
=
时，p 取最大值，故选B.
【考点】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查
同学们分析问题与解决问题的能力.
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
（9）若
，则
.
【答案】2
【解析】由题意知：
，所以由复数相等的定义知
【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数
是
高
考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.
（10）设双曲线
的两个焦点为
，
，一个顶点式
，
则
的方程为 .
【答案】
【解析】由题意知：
，所以
，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C 的方程为
.
9
【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、
的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.
（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
【答案】
【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2 的等边三角形，棱锥的高
为2，所以最长的棱长为
.
【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能
力.
（12）在
中，
，
，
，则
；
.
【答案】2，
【解析】由余弦定理得：
，故
；因为
，
所以
.
【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低档题
目.
（13）若
、
满足
，则
的最小值为 .
【答案】1
【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线
可得，当直线经过两条直线
与
的交点
(0,1)时，z 取得最小值1.
【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，
正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.
（14）顾客请一位工艺师把
、两件玉石原料各制成一件工艺品，工
艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，
再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾
客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料
原料
则最短交货期为 工作日.
10
俯视图
侧（左）视图
正（主）视图
1
1
1
2
2
【答案】42
【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为
天.
【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑思维能力，考查分析问题与解决问题的能力.
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。
（15）（本小题13 分）
已知
是等差数列，满足
，
，数列
满足
，
， 且
为
等比数列.
（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前
项和.
（15）（共13 分）
解：（Ⅰ） 设等差数列
的公差为
，由题意得
所以
．
设等比数列
的公比为
，
由题意得
，解得
．
所以
．
从而
（Ⅱ）由⑴知
．
数列
的前
项和为
，数列
的前
项和为
．
所以，数列
的前
项和为
．
（16）（本小题13 分）
函数
的部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出
的最小正周期及图中
、
的值；
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值.
（16）（共13 分）
解：（Ⅰ）
的最小正周期为
．
11
O
y
x
y0
x0
（Ⅱ） 因为
，所以
．
于是当
，即
时，
取得最大值0；
当
，即
时，
取得最小值
．
（17）（本小题14 分）
如图，在三棱柱
中，侧棱垂直于底面，
，
，
、
分别为
、
的中点.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积.
（17）（共14 分）
解：（Ⅰ）在三棱柱
中，
底面
．
所以
．
又因为
．
所以
平面
．
所以平面
平面
．
（Ⅱ）取
中点
，连结
，
．
因为
，
分别是
，
的中点，
所以
，且
．
因为
，且
，
所以
，且
．
所以四边形
为平行四边形．
所以
．
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（Ⅲ）因为
，
，
，
所以
．
所以三棱锥
的体积
12
C1
B1
A1
F
E
C
B
A
G
C1
B1
A1
F
E
C
B
A
．
（18）（本小题14 分）
从某校随机抽取100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组
及频数分布表和频率分布直方图：
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少
于12 小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b 的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100 名学生该周课外阅读时
间的平均数在第几组（只需写出结论）
（18）（共13 分）
解：（Ⅰ）根据频数分布表，100 名学生中课外阅读时间不少于12 小时的学生共有
名，所以样
本中的学生课外阅读时间少于12 小时的频率是
．
从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12 小时的概率为
．
（Ⅱ）课外阅读时间落在组
的有17 人，频率为
，所以
．
课外阅读时间落在组
的有25 人，频率为
，
所以
．
（Ⅲ）样本中的100 名学生课外阅读时间的平均数在第4 组．
（19）（本小题14 分）
已知椭圆C：
.
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
13
组号
分组
频数
1
6
2
8
3
17
4
22
5
25
6
12
7
6
8
2
9
2
合计
100
阅读时间
b
a
频数
组距
18
16
14
12
10
8
6
4
2
O
（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在直线
，点B 在椭圆C 上，且
，求线段AB 长度的最小值.
（19）（共14 分）
解：（Ⅰ）由题意，椭圆
的标准方程为
．
所以
，
，从而
．
因此
，
．故椭圆
的离心率
．
（Ⅱ）设点
，
的坐标分别为
，
，其中
．
因为
，
所以
，
即
，解得
．
又
，所以
．
因为
，且当
时等号成立，所以
．
故线段
长度的最小值为
．
（20）（本小题13 分）已知函数
.
（Ⅰ）求
在区间
上的最大值；
（Ⅱ）若过点
存在3 条直线与曲线
相切，求t 的取值范围；
（Ⅲ）问过点
分别存在几条直线与曲线
相切？（只需写出结论）
（20）（共13 分）
解：（Ⅰ） 由
得
.
令
，得
或
.
14
因为
，
，
所以
在区间
上的最大值为
.
（Ⅱ） 设过点
的直线与曲线
相切于点
则
且切线斜率为
所以切线方程为
，
因此
.
整理得
.
设
则“过点
存在3 条直线与曲线
相切”等价于“
有3 个不同零点”.
.
与
的情况如下：
0
1
0
0
↗
↘
↗
所以，
是
的极大值，
是
的极小值．
当
，即
时，此时
在区间
和
上分别至多有1 个零点，所
以
至多有2 个零点．
当
，即
时，此时
在区间
和
上分别至多有1 个零点，所
以
至多有2 个零点．
当
且
，即
时，因为
，所以
分别
在区间
，
和
上恰有个零点.由于
在区间
和
上单调，所以
分别在区间
和
上恰有1 个零点.
综上可知，当过点
存在条直线与曲线
相切时，的取值范围是
.
（Ⅲ） 过点
存在条直线与曲线
相切；
过点
存在
条直线与曲线
相切；
过点
存在条直线与曲线
相切.：
15
16
